2024年5月20日发(作者：呼延冷雪)

2020年高中三年级数学下期中第一次模拟试卷及答案(2)

一、选择题

1．若直线

axby10



a0,b0



把圆



x4







y1



16

分成面积相等的两部分，

则

22

12



的最小值为( )

2ab

B

．8

C

．5

D

．4

A

．10

2．等比数列



a

n



的前n项和为

S

n

，若

S

3

=2，S

6

=18

，则

A

．－3

B

．5

C

．33

S

10

等于( )

S

5

D

．－31

3．若

a

、

b

、

c

>0且

a

(

a

＋

b

＋

c

)＋

bc

＝4－2

3

，则2

a

＋

b

＋

c

的最小值为( )

A

．

3

－1

C

．2

3

＋2

B

．

3

＋1

D

．2

3

－2

4．设数列



a

n



是等差数列，且

a

2

6

，

a

8

6

，

S

n

是数列



a

n



的前

n

项和，则

（ ）．

A

．

S

4

S

5

B

．

S

4

S

5

C

．

S

6

S

5

D

．

S

6

S

5



5．设

S

n

为等差数列



a

n



的前

n

项和，

(n1)S

n

＜nS

n1

(nN)

.

若

a

8

1

，则（

）

a

7

A

．

S

n

的最大值为

S

8

B

．

S

n

的最小值为

S

8

C

．

S

n

的最大值为

S

7

D

．

S

n

的最小值为

S

7



x2y0



6．设

z2xy

，其中

x,y

满足



xy0

，若

z

的最小值是

12

，则

z

的最大值为



0yk



（

）

A

．

9

B

．

12

C

．

12

n

D

．

9

2

7．数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

nn1

,

b

n





1



a

n



nN*



,则数列



b

n



的前50项

和为（ ）

A

．49

B

．50

C

．99

D

．100

8．定义在



,0







0,



上的函数

f



x



,如果对于任意给定的等比数列



a

n



,若



f



a





仍是比数列，则称

f



x



为“保等比数列函数”.现有定义在



,0







0,



n

上的如下函数：

①

f



x



x

；

3

②

f



x



e

；

x

③

f



x



x

；

④

f



x



lnx

则其中是“保等比数列函数”的

f



x



的序号为（ ）

A

．①②

B

．③④

C

．①③

D

．②④

9．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高

窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处

“

浮雕像

”

共

7

层，每上

层的数量是下层的

2

倍，总共有

1016

个

“

浮雕像

”

，这些

“

浮雕像

”

构成一幅优美的图案，若

从最下层往上

“

浮雕像

”

的数量构成一个数列



a

n



，则

log

2



a

3

a

5



的值为（

）

A

．

8

B

．

10

C

．

12

D

．

16

10．已知

x0,y0

，且

9xy1

，则

A

．

10

B

．

12?

11



的最小值是

xy

C

．

14

D

．

16

11．已知数列



a

n



的通项公式为

a

n

log

2

S

n

5

成立的自然数

n

( )

n1

nN

*



，设其前

n

项和为

S

n

，则使



n2

B

．有最大值

63

D

．有最大值

31

A

．有最小值

63

C

．有最小值

31

12．若

a

ln2ln3ln5

,b,c

，则

235

B

．

cab

D

．

bac

A

．

abc

C

．

cba

二、填空题



2xy0，



22

13．已知

x，y

满足



y0，

，则

xy2y

的取值范围是

__________

.



xy30，



14．已知等差数列



a

n



的公差为

d



d0



，前n项和为

S

n

，且数列

为d的等差数列，则

d

______

．

15．(

广东深圳市

2017

届高三第二次（

4

月）调研考试数学理试题

)

我国南宋时期著名的数

学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法

---“

三斜求积



S

n

n

也为公差



1



22



a

2

c

2

b

2



术

”

，即

△ABC

的面积

S



ac



4



2





内角

A、B、C

的对边

.

若

b2

，且

tanC

__________

．

2





，其中

a、b、c

分别为

△ABC





3sinB

，则

△ABC

的面积

S

的最大值为

13cosB

16．在钝角

VABC

中，已知

AB7,AC1

，若

VABC

的面积为

______

．

6

，则

BC

的长为

2

17．已知对满足

4x4y54xy

的任意正实数

x

，

y

，都有

x

2

2xyy

2

axay10

，则实数

a

的取值范围为

______

．

18．已知

a0,b0,

12

2

，

a2b

的最小值为

_______________

.

ab

1

，

nN*

，则

a

2019



__________

．

1a

n

边长相等，则的最大值是

19．已知数列



a

n



满足

a

1

1

，

a

n1



20．已知三角形

__________．

中，边上的高与

三、解答题

21．已知等差数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，且满足

a

3

7

，

S

9

99

.

（Ⅰ）求数列



a

n



的通项公式；（Ⅱ）若

b

n



a

n

(nN



)

，求数列



b

n



的前

n

项和

T

n

.

n

2

22．已知等差数列



a

n



满足

a

1

a

2

10

，

a

4

a

3

2

.

（

1

）求



a

n



的通项公式；

（

2

）设等比数列



b

n



满足

b

2

a

3

,b

3

a

7

.

若

b

6

a

k

，求

k

的值

.

23．已知数列

{a

n

}

的前

n

项和为

S

n

，且

2S

n

na

n

2a

n

1

．

（

1

）求数列

{a

n

}

的通项公式；

（

2

）若数列





1



n

T4

．

T

2



的前项和为

n

，证明：

n

a



n



24．已知函数

f



x



3sinxcosx

.

（

1

）求函数

f



x



在

x









,





的值域；



2



（

2

）在

ABC

中，内角

A

、

B

、

C

的对边分别是

a

、

b

、

c

，若

7





f



A

6







8

a



fB





，求的取值范围．

6



3

b



25．已知等差数列



a

n



满足

a

1

a

3

a

5

9

，

a

2

a

4

a

6

12

，等比数列



b

n



公比

q1

，且

b

2

b

4

a

20

，

b

3

a

8

.

（

1

）求数列



a

n



、



b

n



的通项公式；

n

（

2

）若数列



c

n



，满足

c

n

4b

n

，且数列



c

n



的前

n

项和为

B

n

，求证：数列





b

n





的

B



n



前

n

项和

T

n



3

．

2

26

．

D

为

VABC

的边

BC

的中点．

AB2AC2AD2

．

（

1

）求

BC

的长；

（

2

）若

ACB

的平分线交

AB

于

E

，求

S

VACE

．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：

B

【解析】

【分析】

由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“

1

”的代换的方

法以及基本不等式，求得所求和的最小值

.

【详解】

圆的圆心为



4,1



，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即

4ab10

，即

4ab1

，故

当

12



12



b8ab8a











4ab



4428

，当且仅

2ab



2ab



2ab2ab

11

b8a



，即

a,b

时，取得最小值为

8

.

故选

B.

2ab

82

【点睛】

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“

1

”的代换和基本不等式求解和式的最小

值问题

.

直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的

.

要注意的是，圆

的标准方程是



xa







yb



r

2

，圆心是



a,b



，所以本题的圆心是



4,1



，而不是

22



4,1



.

2

．

C

解析：

C

【解析】

【分析】

由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出

【详解】

设等比数列



a

n



的公比为

q

（公比显然不为

1

），则

S

10

.

S

5

a

1

1q

6





S

6

1q

6

1q

3

1q9

，得

q=2

，

3

S

3

a

1

1q

3

1q



1q

a

1

1q

10





S

10

1q

10

1q

55

1q1233

，故选

C.

因此，

5

5

S

5

1q

a

1

1q



1q

【点睛】

本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一

般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：

（

1

）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公

式或求和公式来进行计算；

（

2

）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．

3．D

解析：

D

【解析】

由

a

(

a

＋

b

＋

c

)＋

bc

＝4－2

3

，

得(

a

＋

c

)·(

a

＋

b

)＝4－2

3

.

∵

a

、

b

、

c

>0.



2abc



(当且仅当

a

＋

c

＝

b

＋

a

，即

b

＝

c

时取“＝”)，∴(

a

＋

c

)·(

a

＋

b

)≤





2



∴

2a

＋

b

＋

c≥2

4－23

＝

2(

3

－

1)

＝

2

3

－

2.

故选：

D

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不

等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、

“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误

2

4．B

解析：

B

【解析】

分析：由等差数列的性质，即

a

2

a

8

2a

5

，得

a

5

=0

，又由

S

5

S

4

a

5

，得

S

5

S

4

.

详解：

Q

数列



a

n



为等差数列，

a

2

a

8

2a

5

又

Qa

2

6,a

8

6

，

a

5

=0

由数列前

n

项和的定义

S

5

S

4

a

5

，

S

5

S

4

故选

B.

点睛：本题考查等差数列的性质与前

n

项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运

用数列的基本概念与性质

.

5．C

解析：

C

【解析】

【分析】

由已知条件推导出（

n

2

﹣

n

）

d

＜

2n

2

d

，从而得到

d

＞

0

，所以

a

7

＜

0

，

a

8

＞

0

，由此求出数列

{S

n

}

中最小值是

S

7

．

【详解】

∵（

n+1

）

S

n

＜

nS

n

+1

，

∴

S

n

＜

nS

n

+1

﹣

nS

n

＝

na

n

+1

即

na

1



n



n1



d

2

＜

na

1

+n

2

d

，

整理得（

n

2

﹣

n

）

d

＜

2n

2

d

∵

n

2

﹣

n

﹣

2n

2

＝﹣

n

2

﹣

n

＜

0

∴

d

＞

0

a

8

∵

＜

1

＜

0

a

7

∴

a

7

＜

0

，

a

8

＞

0

数列的前

7

项为负，

故数列

{S

n

}

中最小值是

S

7

故选

C

．

【点睛】

本题考查等差数列中前

n

项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数

列的性质的灵活运用．

6．B

解析：

B

【解析】

【分析】

作出不等式对应的可行域，当目标函数过点

A

时，

z

取最小值，即

z

min

12

，可求得

k

的值，当目标函数过点

B

时，

z

取最大值，即可求出答案.

【详解】

作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为

y2xz

，

联立





x2y0

，可得

A



2k,k



，当目标函数过点

A

时，

z

取最小值，则



yk

2



2k



k12

，解得

k4

，



xy0

联立



，可得

B



k,k



，即

B



4,4



，当目标函数过点

B

时，

z

取最大值，



yk

z

max

24412

.

故选：

B.

【点睛】

本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属

于基础题

.

7

．

A

解析：

A

【解析】

试题分析：当

n1

时，

a

1

S

1

3

；当

n2

时，

2

a

n

S

n

S

n1

n

2

n1





n1







n1



1



2n

,

把

n1

代入上式可得





3,n1

3,n1

a

1

23

.

综上可得

a

n

{

.

所以

b

n

{2n,n为奇数且n1

.

数列



b

n



的前

50

项

2n,n2

2n,n为偶数

和为

S

50

32



357L49



2



246L50



32

24



349



2

2

25



250



2

49

.

故

A

正确

.

考点：

1

求数列的通项公式

;2

数列求和问题

.

8

．

C

解析：

C

【解析】

【分析】

设等比数列



a

n



的公比为

q

，验证

【详解】

f



a

n1



是否为非零常数，由此可得出正确选项

.

f



a

n



设等比数列



a

n



的公比为

q

，则

3

a

n1

q

.

a

n

3

3

f



a

n1



a

n



a



1

对于①中的函数

f



x



x

，



2





n1



q

3

，该函数为“保等比数列函

f



a

n



a

n



a

n



数”；

f



a

n1



e

a

n1



a

n

e

a

n1

a

n

不是非零常数，该函数不是“保等对于②中的函数

f



x



e

，

f



a

n



e

x

比数列函数”；

对于③中的函数

f



x





列函数”；

x

，

f



a

n1





f



a

n



a

n1

a

n



a

n1



a

n

q

，该函数为“保等比数

f



a

n1



lna

n1



对于④中的函数

f



x



lnx

，不是常数，该函数不是“保等比数列函

f



a

n



lna

n

数”

.

故选：

C.

【点睛】

本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能

力，属于中等题

.

9

．

C

解析：

C

【解析】

【分析】

数列



a

n



，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项

a

1

，得通项公式，

从而得结论．

【详解】

Q

最下层的

“

浮雕像

”

的数量为

a

1

，依题有：公比

q2,n7,S

7

a

1

12

7

12



1016

，解

n1n2

1n7,nN

*

，

a

3

2

5

,a

5

2

7

，从而得

a

1

8

，则

a

n

822



a

3

a

5

2

5

2

7

2

12

,log

2



a

3

a

5



log

2

2

12

12

，故选

C

．

【点睛】

本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后

利用数列的知识求解．



10．D

解析：

D

【解析】

【分析】

通过常数代换后，应用基本不等式求最值

.

【详解】

∵

x

＞

0

，

y

＞

0

，且

9x+y=1

，

∴



11



11y9xy9x





9xy











9110216

xyxyxyxy



y9x

11



,y

时取等号

.

时成立，即

x

xy

124

当且仅当

故选

D.

【点睛】

本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意

“1”

的整体代换和几个

“=”

必须保证同时成

立

.

11．A

解析：

A

【解析】

【分析】

利用对数运算，求得

S

n

，由此解不等式

S

n

5

，求得

n

的最小值

.

【详解】

∵

a

n

log

2

n1

nN

*



，



n2

23n1

log

2

log

2

34n2

∴

S

n

a

1

a

2

a

3

a

n

log

2

n1



2



23

log

2



log

，

2



34n2n2



又因为

S

n

5log

2

121

n62

，

32n232

故使

S

n

5

成立的正整数

n

有最小值：

63.

故选：

A.

【点睛】

本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题

.

12

．

B

解析：

B

【解析】

试题分析：因为

ln2ln3ln8ln9ln2ln3

0,

，

23623

ln2ln5ln32ln25ln2ln5

0,

，故选

B.

251025

考点：比较大小

.

二、填空题

13

．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求

出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角

形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：

1

最大值为所以的最小值为：

解析：



0,9



；

【解析】

【分析】

利用



x0







y1



22

表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点

A(0,1)

到点

(x,y)

的距离的最值，即可求解

x

2

y

2

2y

的取值范围.

【详解】

x

2

y

2

2y



x0







y1



1

22



x0







y1



22

表示点

A(0,1)

到点

(x,y)

的距离

AO1

，

AD1910,AC9110

，则三角形

ACD

为等腰三角形

则点

A(0,1)

到点

(x,y)

的距离的最小值为：

1

，最大值为

10

所以

xy2y

的最小值为：

1

2

10

，最大值为：

101=9

22

9



故

xy2y

的取值范围为



0，

22

9



故答案为：



0，

【点睛】

本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.

14．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详

解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首

项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n成立则解得：【点睛】本题

解析：

1

2

【解析】

2024年5月20日发(作者：呼延冷雪)

2020年高中三年级数学下期中第一次模拟试卷及答案(2)

一、选择题

1．若直线

axby10



a0,b0



把圆



x4







y1



16

分成面积相等的两部分，

则

22

12



的最小值为( )

2ab

B

．8

C

．5

D

．4

A

．10

2．等比数列



a

n



的前n项和为

S

n

，若

S

3

=2，S

6

=18

，则

A

．－3

B

．5

C

．33

S

10

等于( )

S

5

D

．－31

3．若

a

、

b

、

c

>0且

a

(

a

＋

b

＋

c

)＋

bc

＝4－2

3

，则2

a

＋

b

＋

c

的最小值为( )

A

．

3

－1

C

．2

3

＋2

B

．

3

＋1

D

．2

3

－2

4．设数列



a

n



是等差数列，且

a

2

6

，

a

8

6

，

S

n

是数列



a

n



的前

n

项和，则

（ ）．

A

．

S

4

S

5

B

．

S

4

S

5

C

．

S

6

S

5

D

．

S

6

S

5



5．设

S

n

为等差数列



a

n



的前

n

项和，

(n1)S

n

＜nS

n1

(nN)

.

若

a

8

1

，则（

）

a

7

A

．

S

n

的最大值为

S

8

B

．

S

n

的最小值为

S

8

C

．

S

n

的最大值为

S

7

D

．

S

n

的最小值为

S

7



x2y0



6．设

z2xy

，其中

x,y

满足



xy0

，若

z

的最小值是

12

，则

z

的最大值为



0yk



（

）

A

．

9

B

．

12

C

．

12

n

D

．

9

2

7．数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

nn1

,

b

n





1



a

n



nN*



,则数列



b

n



的前50项

和为（ ）

A

．49

B

．50

C

．99

D

．100

8．定义在



,0







0,



上的函数

f



x



,如果对于任意给定的等比数列



a

n



,若



f



a





仍是比数列，则称

f



x



为“保等比数列函数”.现有定义在



,0







0,



n

上的如下函数：

①

f



x



x

；

3

②

f



x



e

；

x

③

f



x



x

；

④

f



x



lnx

则其中是“保等比数列函数”的

f



x



的序号为（ ）

A

．①②

B

．③④

C

．①③

D

．②④

9．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高

窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处

“

浮雕像

”

共

7

层，每上

层的数量是下层的

2

倍，总共有

1016

个

“

浮雕像

”

，这些

“

浮雕像

”

构成一幅优美的图案，若

从最下层往上

“

浮雕像

”

的数量构成一个数列



a

n



，则

log

2



a

3

a

5



的值为（

）

A

．

8

B

．

10

C

．

12

D

．

16

10．已知

x0,y0

，且

9xy1

，则

A

．

10

B

．

12?

11



的最小值是

xy

C

．

14

D

．

16

11．已知数列



a

n



的通项公式为

a

n

log

2

S

n

5

成立的自然数

n

( )

n1

nN

*



，设其前

n

项和为

S

n

，则使



n2

B

．有最大值

63

D

．有最大值

31

A

．有最小值

63

C

．有最小值

31

12．若

a

ln2ln3ln5

,b,c

，则

235

B

．

cab

D

．

bac

A

．

abc

C

．

cba

二、填空题



2xy0，



22

13．已知

x，y

满足



y0，

，则

xy2y

的取值范围是

__________

.



xy30，



14．已知等差数列



a

n



的公差为

d



d0



，前n项和为

S

n

，且数列

为d的等差数列，则

d

______

．

15．(

广东深圳市

2017

届高三第二次（

4

月）调研考试数学理试题

)

我国南宋时期著名的数

学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法

---“

三斜求积



S

n

n

也为公差



1



22



a

2

c

2

b

2



术

”

，即

△ABC

的面积

S



ac



4



2





内角

A、B、C

的对边

.

若

b2

，且

tanC

__________

．

2





，其中

a、b、c

分别为

△ABC





3sinB

，则

△ABC

的面积

S

的最大值为

13cosB

16．在钝角

VABC

中，已知

AB7,AC1

，若

VABC

的面积为

______

．

6

，则

BC

的长为

2

17．已知对满足

4x4y54xy

的任意正实数

x

，

y

，都有

x

2

2xyy

2

axay10

，则实数

a

的取值范围为

______

．

18．已知

a0,b0,

12

2

，

a2b

的最小值为

_______________

.

ab

1

，

nN*

，则

a

2019



__________

．

1a

n

边长相等，则的最大值是

19．已知数列



a

n



满足

a

1

1

，

a

n1



20．已知三角形

__________．

中，边上的高与

三、解答题

21．已知等差数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，且满足

a

3

7

，

S

9

99

.

（Ⅰ）求数列



a

n



的通项公式；（Ⅱ）若

b

n



a

n

(nN



)

，求数列



b

n



的前

n

项和

T

n

.

n

2

22．已知等差数列



a

n



满足

a

1

a

2

10

，

a

4

a

3

2

.

（

1

）求



a

n



的通项公式；

（

2

）设等比数列



b

n



满足

b

2

a

3

,b

3

a

7

.

若

b

6

a

k

，求

k

的值

.

23．已知数列

{a

n

}

的前

n

项和为

S

n

，且

2S

n

na

n

2a

n

1

．

（

1

）求数列

{a

n

}

的通项公式；

（

2

）若数列





1



n

T4

．

T

2



的前项和为

n

，证明：

n

a



n



24．已知函数

f



x



3sinxcosx

.

（

1

）求函数

f



x



在

x









,





的值域；



2



（

2

）在

ABC

中，内角

A

、

B

、

C

的对边分别是

a

、

b

、

c

，若

7





f



A

6







8

a



fB





，求的取值范围．

6



3

b



25．已知等差数列



a

n



满足

a

1

a

3

a

5

9

，

a

2

a

4

a

6

12

，等比数列



b

n



公比

q1

，且

b

2

b

4

a

20

，

b

3

a

8

.

（

1

）求数列



a

n



、



b

n



的通项公式；

n

（

2

）若数列



c

n



，满足

c

n

4b

n

，且数列



c

n



的前

n

项和为

B

n

，求证：数列





b

n





的

B



n



前

n

项和

T

n



3

．

2

26

．

D

为

VABC

的边

BC

的中点．

AB2AC2AD2

．

（

1

）求

BC

的长；

（

2

）若

ACB

的平分线交

AB

于

E

，求

S

VACE

．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：

B

【解析】

【分析】

由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“

1

”的代换的方

法以及基本不等式，求得所求和的最小值

.

【详解】

圆的圆心为



4,1



，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即

4ab10

，即

4ab1

，故

当

12



12



b8ab8a











4ab



4428

，当且仅

2ab



2ab



2ab2ab

11

b8a



，即

a,b

时，取得最小值为

8

.

故选

B.

2ab

82

【点睛】

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“

1

”的代换和基本不等式求解和式的最小

值问题

.

直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的

.

要注意的是，圆

的标准方程是



xa







yb



r

2

，圆心是



a,b



，所以本题的圆心是



4,1



，而不是

22



4,1



.

2

．

C

解析：

C

【解析】

【分析】

由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出

【详解】

设等比数列



a

n



的公比为

q

（公比显然不为

1

），则

S

10

.

S

5

a

1

1q

6





S

6

1q

6

1q

3

1q9

，得

q=2

，

3

S

3

a

1

1q

3

1q



1q

a

1

1q

10





S

10

1q

10

1q

55

1q1233

，故选

C.

因此，

5

5

S

5

1q

a

1

1q



1q

【点睛】

本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一

般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：

（

1

）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公

式或求和公式来进行计算；

（

2

）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．

3．D

解析：

D

【解析】

由

a

(

a

＋

b

＋

c

)＋

bc

＝4－2

3

，

得(

a

＋

c

)·(

a

＋

b

)＝4－2

3

.

∵

a

、

b

、

c

>0.



2abc



(当且仅当

a

＋

c

＝

b

＋

a

，即

b

＝

c

时取“＝”)，∴(

a

＋

c

)·(

a

＋

b

)≤





2



∴

2a

＋

b

＋

c≥2

4－23

＝

2(

3

－

1)

＝

2

3

－

2.

故选：

D

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不

等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、

“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误

2

4．B

解析：

B

【解析】

分析：由等差数列的性质，即

a

2

a

8

2a

5

，得

a

5

=0

，又由

S

5

S

4

a

5

，得

S

5

S

4

.

详解：

Q

数列



a

n



为等差数列，

a

2

a

8

2a

5

又

Qa

2

6,a

8

6

，

a

5

=0

由数列前

n

项和的定义

S

5

S

4

a

5

，

S

5

S

4

故选

B.

点睛：本题考查等差数列的性质与前

n

项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运

用数列的基本概念与性质

.

5．C

解析：

C

【解析】

【分析】

由已知条件推导出（

n

2

﹣

n

）

d

＜

2n

2

d

，从而得到

d

＞

0

，所以

a

7

＜

0

，

a

8

＞

0

，由此求出数列

{S

n

}

中最小值是

S

7

．

【详解】

∵（

n+1

）

S

n

＜

nS

n

+1

，

∴

S

n

＜

nS

n

+1

﹣

nS

n

＝

na

n

+1

即

na

1



n



n1



d

2

＜

na

1

+n

2

d

，

整理得（

n

2

﹣

n

）

d

＜

2n

2

d

∵

n

2

﹣

n

﹣

2n

2

＝﹣

n

2

﹣

n

＜

0

∴

d

＞

0

a

8

∵

＜

1

＜

0

a

7

∴

a

7

＜

0

，

a

8

＞

0

数列的前

7

项为负，

故数列

{S

n

}

中最小值是

S

7

故选

C

．

【点睛】

本题考查等差数列中前

n

项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数

列的性质的灵活运用．

6．B

解析：

B

【解析】

【分析】

作出不等式对应的可行域，当目标函数过点

A

时，

z

取最小值，即

z

min

12

，可求得

k

的值，当目标函数过点

B

时，

z

取最大值，即可求出答案.

【详解】

作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为

y2xz

，

联立





x2y0

，可得

A



2k,k



，当目标函数过点

A

时，

z

取最小值，则



yk

2



2k



k12

，解得

k4

，



xy0

联立



，可得

B



k,k



，即

B



4,4



，当目标函数过点

B

时，

z

取最大值，



yk

z

max

24412

.

故选：

B.

【点睛】

本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属

于基础题

.

7

．

A

解析：

A

【解析】

试题分析：当

n1

时，

a

1

S

1

3

；当

n2

时，

2

a

n

S

n

S

n1

n

2

n1





n1







n1



1



2n

,

把

n1

代入上式可得





3,n1

3,n1

a

1

23

.

综上可得

a

n

{

.

所以

b

n

{2n,n为奇数且n1

.

数列



b

n



的前

50

项

2n,n2

2n,n为偶数

和为

S

50

32



357L49



2



246L50



32

24



349



2

2

25



250



2

49

.

故

A

正确

.

考点：

1

求数列的通项公式

;2

数列求和问题

.

8

．

C

解析：

C

【解析】

【分析】

设等比数列



a

n



的公比为

q

，验证

【详解】

f



a

n1



是否为非零常数，由此可得出正确选项

.

f



a

n



设等比数列



a

n



的公比为

q

，则

3

a

n1

q

.

a

n

3

3

f



a

n1



a

n



a



1

对于①中的函数

f



x



x

，



2





n1



q

3

，该函数为“保等比数列函

f



a

n



a

n



a

n



数”；

f



a

n1



e

a

n1



a

n

e

a

n1

a

n

不是非零常数，该函数不是“保等对于②中的函数

f



x



e

，

f



a

n



e

x

比数列函数”；

对于③中的函数

f



x





列函数”；

x

，

f



a

n1





f



a

n



a

n1

a

n



a

n1



a

n

q

，该函数为“保等比数

f



a

n1



lna

n1



对于④中的函数

f



x



lnx

，不是常数，该函数不是“保等比数列函

f



a

n



lna

n

数”

.

故选：

C.

【点睛】

本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能

力，属于中等题

.

9

．

C

解析：

C

【解析】

【分析】

数列



a

n



，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项

a

1

，得通项公式，

从而得结论．

【详解】

Q

最下层的

“

浮雕像

”

的数量为

a

1

，依题有：公比

q2,n7,S

7

a

1

12

7

12



1016

，解

n1n2

1n7,nN

*

，

a

3

2

5

,a

5

2

7

，从而得

a

1

8

，则

a

n

822



a

3

a

5

2

5

2

7

2

12

,log

2



a

3

a

5



log

2

2

12

12

，故选

C

．

【点睛】

本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后

利用数列的知识求解．



10．D

解析：

D

【解析】

【分析】

通过常数代换后，应用基本不等式求最值

.

【详解】

∵

x

＞

0

，

y

＞

0

，且

9x+y=1

，

∴



11



11y9xy9x





9xy











9110216

xyxyxyxy



y9x

11



,y

时取等号

.

时成立，即

x

xy

124

当且仅当

故选

D.

【点睛】

本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意

“1”

的整体代换和几个

“=”

必须保证同时成

立

.

11．A

解析：

A

【解析】

【分析】

利用对数运算，求得

S

n

，由此解不等式

S

n

5

，求得

n

的最小值

.

【详解】

∵

a

n

log

2

n1

nN

*



，



n2

23n1

log

2

log

2

34n2

∴

S

n

a

1

a

2

a

3

a

n

log

2

n1



2



23

log

2



log

，

2



34n2n2



又因为

S

n

5log

2

121

n62

，

32n232

故使

S

n

5

成立的正整数

n

有最小值：

63.

故选：

A.

【点睛】

本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题

.

12

．

B

解析：

B

【解析】

试题分析：因为

ln2ln3ln8ln9ln2ln3

0,

，

23623

ln2ln5ln32ln25ln2ln5

0,

，故选

B.

251025

考点：比较大小

.

二、填空题

13

．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求

出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角

形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：

1

最大值为所以的最小值为：

解析：



0,9



；

【解析】

【分析】

利用



x0







y1



22

表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点

A(0,1)

到点

(x,y)

的距离的最值，即可求解

x

2

y

2

2y

的取值范围.

【详解】

x

2

y

2

2y



x0







y1



1

22



x0







y1



22

表示点

A(0,1)

到点

(x,y)

的距离

AO1

，

AD1910,AC9110

，则三角形

ACD

为等腰三角形

则点

A(0,1)

到点

(x,y)

的距离的最小值为：

1

，最大值为

10

所以

xy2y

的最小值为：

1

2

10

，最大值为：

101=9

22

9



故

xy2y

的取值范围为



0，

22

9



故答案为：



0，

【点睛】

本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.

14．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详

解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首

项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n成立则解得：【点睛】本题

解析：

1

2

【解析】