2024年5月21日发(作者：巫代桃)

绝密★启用前

试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试

新课标Ⅰ卷数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右

上角“条形码粘贴处”.

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合

A.

M



2,1,0,1,2



B.

，

Nxx

2

x60

C.



，则

MN

（）

D.2



2,1,0,1



0,1,2



）



2



2

已知

z



.

1



i

，则

zz

（

2



2i

B.

i

A.



i

C.0D.1





3.已知向量

a



1,1



,b



1,1



，若

a



ba



b

，则（



）

A.







1

C.



1

4.设函数

f



x





2

x



x



a



B.







1

D.



1

在区间



0,1



上单调递减，则

a

的取值范围是（）

第

1

页/共

6

页

A.

C.



,2



B.

D.



2,0





2,



）



0,2



x

2

x

2

2

5.设椭圆

C

1

:

2



y



1(

a



1),

C

2

:



y

2



1

的离心率分别为

e

1

,e

2

．若

e

2

3e

1

，则

a

（

a

4

A.

23

3

B.

2

C.

3

D.

6

）

6.过点



0,2



与圆

x

2

y

2

4x10

相切

的

两条直线的夹角为



，则

sin





（

A.1B.

15

4

C.

10

4

D.

6

4

）

7.记

S

n

为数列



a

n



的前

n

项和，设甲：



a

n



为等差数列；乙：

{

A.

甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.

甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.

甲是乙的充要条件

D.

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知

sin













S

n

}

为等差数列，则（

n

11

,cos



sin





，则

cos



2



2







（

36

B.

）．

A.

7

9

1

9

C.



1

9

D.



7

9

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据

x

1

,x

2

,,x

6

，其中

x

1

是最小值，

x

6

是最大值，则（

A.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的平均数等于

x

1

,x

2

,,x

6

的平均数

B.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的中位数等于

x

1

,x

2

,,x

6

的中位数

C.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的标准差不小于

x

1

,x

2

,,x

6

的标准差

D.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的极差不大于

x

1

,x

2

,,x

6

的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L

p



20



lg

）

p

，其中常数

p

0

第

2

页/共

6

页

p

0



p

0

0



是听觉下限阈值，

p

是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源

燃油汽车

混合动力汽车

电动汽车

与声源的距离

/m

10

10

10

声压级

/dB

6090

5060

40

）．

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车

10m

处测得实际声压分别为

p

1

,p

2

,p

3

，则（

A.

p

1

p

2

C.

p

3

100p

0

B.

p

2

10p

3

D.

p

1

100p

2

22

11.

已知函数

f



x



的

定义域为

R

，

f



xy



yf



x



xf



y



，则（）．

A.

f



0



0

C.

f



x



是偶函数

B.

f



1



0

D.

x0

为

f



x



的极小值点

）12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

A.直径为

0.99m

的球体

B.所有棱长均为

1.4m

的四面体

C.底面直径为

0.01m

，高为

1.8m

的圆柱体

D.底面直径为

1.2m

，高为

0.01m

的圆柱体

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每

类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．

14.

在正四棱台

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

AB2,A

1

B

1

1,AA

1

2

，则该棱台的体积为

________

．

15.

已知函数

f



x



cos



x1(



0)

在区间



0,2π



有且仅有

3

个零点，则



的取值范围是

________

．

x

2

y

2

16.

已知双曲线

C

:

2



2



1(

a



0,

b



0)

的左、右焦点分别为

F

1

,F

2

．点

A

在

C

上，点

B

在

y

轴上，

ab



2



F

1

AF

1

B

,

F

2

AF

2

B

，则

C

的离心率为

________

．

3

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

已知在

ABC

中，

AB3C,2sin



AC



sinB

．

第

3

页/共

6

页

（

1

）求

sinA

；

（

2

）设

AB5

，求

AB

边上的高．

18.如图，在正四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

AB2,AA

1

4

．点

A

2

,B

2

,C

2

,D

2

分别在棱

AA

1

,BB

1

,CC

1

,

DD

1

上，

AA

2

1,BB

2

DD

2

2,CC

2

3

．

（1）证明：

B

2

C

2

∥A

2

D

2

；

（2）点

P

在棱

BB

1

上，当二面角

PA

2

C

2

D

2

为

150

时，求

B

2

P

．

19

已知函数

f



x



a

e

ax

．

.



x



（1）讨论

f



x



的单调性；

（2）证明：当

a0

时，

f



x





2ln

a

3

．

2

n

2



n

20.设等差数列



a

n



的公差为

d

，且

d1

．令

b

n



，记

S

n

,

T

n

分别为数列



a

n



,



b

n



的前

n

项和．

a

n

（1）若

3a

2

3a

1

a

3

,S

3

T

3

21

，求



a

n



的通项公式；

（2）若



b

n



为等差数列，且

S

99

T

99

99

，求

d

．

乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无

21.

甲、

论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为

0.6

，乙每次投篮的命中率均为

0.8

．由抽签确定第

1

次投

篮的人选，第

1

次投篮的人是甲、乙的概率各为

0.5

．

（

1

）求第

2

次投篮的人是乙的概率；

（

2

）求第

i

次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量

X

i

服从两点分布，且

P



X

i

1



1P



X

i

0



q

i

,i1,2,,n

，则

第

4

页/共

6

页



n



n

E





X

i







q

i

．记前

n

次（即从第1次到第

n

次投篮）中甲投篮的次数为

Y

，求

E



Y



．



i



1



i



1

22.在直角坐标系

xOy

中，点

P

到

x

轴的距离等于点

P

到点



0,



的距离，记动点

P

的轨迹为

W

．

（

1

）求

W

的方程；

（2）已知矩形

ABCD

有三个顶点在

W

上，证明：矩形

ABCD

的周长大于

3





1



2



3

．

第

5

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6

页

绝密★启用前

试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试

新课标Ⅰ卷数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右

上角“条形码粘贴处”.

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合

A.

M



2,1,0,1,2



B.

，

Nxx

2

x60

C.



，则

MN

（）

D.2



2,1,0,1



0,1,2



2



【答案】

C

【解析】

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合

N

，即可根据交集的运算解出．

方法二：将集合

M

中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

【详解】方法一：因为

Nxxx60







,2







3,





，而

M



2,1,0,1,2



，

2



所以

MN



2



．

故选：

C

．

方法二：因为

M



2,1,0,1,2



，将

2,1,0,1,2

代入不等式

x

2

x60

，只有

2

使不等式成立，所

第

1

页/共

28

页

以

MN



2



．

故选：

C

．

2.已知

z



A.



i

【答案】

A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出

z

，再由共轭复数的概念得到

z

，从而解出．

【详解】因为

z



故选：

A

．

1



i

，则

zz

（

2



2i

B.

i

）

C.0D.1



1



i



1



i





2i11



i

1



i

，所以

z

i

，即

zzi

．

2



2i2



1



i



1



i



42

2





3.已知向量

a



1,1



,b



1,1



，若

a



ba



b

，则（



）

A.







1

C.



1

【答案】

D

【解析】

B.







1

D.



1





【分析】根据向量的坐标运算求出

a



b

，

a



b

，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．





【详解】因为

a



1,1



,b



1,1



，所以

a



b



1



,1





，

a



b



1



,1





，





由

a



ba



b

可得，

a



ba



b0

，





即



1





1









1





1





0

，整理得：



1

．

故选：

D

．

4.设函数

f



x





2

A.

C.

x



x



a



在区间



0,1



上单调递减，则

a

的取值范围是（

B.

D.

）



,2





2,0





2,





0,2



【答案】

D

【解析】

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答

.

第

2

页/共

28

页

【详解】函数

y

2

x

在R上单调递增，而函数

f



x





2

x



x



a



在区间



0,1



上单调递减，

a

a

2

a

2

则有函数

yx

(

xa

)



(

x

)



在区间



0,1



上单调递减，因此



1

，解得

a2

，

2

24

所以

a

的取值范围是



2,



.

故选：

D

x

2

x

2

2

5.设椭圆

C

1

:

2



y



1(

a



1),

C

2

:



y

2



1

的离心率分别为

e

1

,e

2

．若

e

2

3e

1

，则

a

（

a

4

A.

）

23

3

B.

2

C.

3

D.

6

【答案】

A

【解析】

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答

.

4



1

a

2



1

23

【详解】由

e

2

3e

1

，得

e3e

，因此.



3



2

，而

a1

，所以

a

4

a

3

2

2

2

1

故选：

A

6.过点



0,2



与圆

x

2

y

2

4x10

相切的两条直线的夹角为



，则

sin





（

A.1

【答案】

B

【解析】

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，

结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得

k

2

8k10

，利用韦达定理结

合夹角公式运算求解

.

【详解】方法一：因为

x

2

y

2

4x10

，即



x2



y

2

5

，可得圆心

C



2,0



，半径

r

2

）

B.

15

4

C.

10

4

D.

6

4

5

，

过点

P



0,2



作圆C的切线，切点为

A,B

，

因为

PC

2

2

2





2



22

，则

PAPCr

2

3

，

2

可得

sin

APC

5

22



1036

，

,cos

APC

44

22

第

3

页/共

28

页

则

sin

APB

sin2

APC

2sin

APC

cos

APC

2



10615

，



444

22



6



10



1

cos



APB



cos2



APC



cos

2



APC



sin

2



APC







0

，





4



4



4



即



APB

为钝角，

所以

sin





sin



π

APB





sin

APB

15

；

4

5

，法二：圆

x

2

y

2

4x10

的圆心

C



2,0



，半径

r

过点

P



0,2



作圆C的切线，切点为

A,B

，连接

AB

，

可得

PC

2

2

2

2





2



22

，则

PAPBPCr

2

3

，

2

2

因为

PAPB2PAPBcosAPBCACB2CACBcosACB

且

ACBπAPB

，则

336cosAPB5510cos



πAPB



，

22

1



0

，

4

1

即



APB

为钝角，则

cos





cos



π

APB





cos

APB

，

4

即

3cosAPB55cosAPB

，解得

cos

APB

且



为锐角，所以

sin





1



cos

2





15

；

4

5

，方法三：圆

x

2

y

2

4x10

的圆心

C



2,0



，半径

r

若切线斜率不存在，则切线方程为

y0

，则圆心到切点的距离

d2r

，不合题意；

若切线斜率存在，设切线方程为

ykx2

，即

kxy20

，

则

2

k



2

k

2



1



5

，整理得

k

2

8k10

，且

644600

设两切线斜率分别为

k

1

,k

2

，则

k

1

k

2

8,k

1

k

2

1

，

可得

k

1

k

2



所以

tan







k

1

k

2



2

4k

1

k

2

215

，

sin



sin



cos







15

，可得，

cos



15

k

1



k

2

1



k

1

k

2

2



15

，即

sin

2



则

sin





cos





sin





1

，

15

22

第

4

页/共

28

页

且







0,

故选：

B.





π



15

，则，解得

.

sin



0

sin







2



4

7.记

S

n

为数列



a

n



的前

n

项和，设甲：



a

n



为等差数列；乙：

{

A.

甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.

甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.

甲是乙的充要条件

D.

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】

C

【解析】

S

n

}

为等差数列，则（

n

）

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前

n

项和与第

n

项的关系推理判

断作答

.

，

【详解】方法1，甲：



a

n



为等差数列，设其首项为

a

1

，公差为

d

，

则

S

n



na

1



因此

{

S

n

}

为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

S

n

(

n



1)

S

n

n



1

dd

S

d

d

,



a

1



d



n



a

1



,

n



1



n



，

2

n

222

n



1

n

2

反之，乙：

{

SSnS



(

n



1)

S

n

na

n



1



S

n

S

n



}

为等差数列，即

n



1



n



n



1

为常数，设为

t

，

n



1

nn

(

n



1)

n

(

n



1)

n

na

n



1



S

n



t

，则

S

n



na

n



1



t



n

(

n



1)

，有

S

n



1



(

n



1)

a

n



t



n

(

n



1),

n



2

，即

n

(

n



1)

两式相减得：

a

n



na

n



1



(

n



1)

a

n



2

tn

，即

a

n



1



a

n



2

t

，对

n1

也成立，

第

5

页/共

28

页

因此



a

n



为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，

C

正确

.

方法2，甲：



a

n



为等差数列，设数列



a

n



的首项

a

1

，公差为

d

，即

S

n



na

1



则

S

n

S

(

n



1)

dd



a

1



d



n



a

1



，因此

{

n

}

为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n

n

222

SSS

S

反之，乙：

{

n

}

为

等差数列，即

n



1



n



D

,

n



S

1



(

n



1)

D

，

n

n



1

nn

即

S

n

nS

1

n

(

n

1)

D

，

S

n



1



(

n



1)

S

1



(

n



1)(

n



2)

D

，

当

n2

时，上两式相减得：

S

n



S

n



1



S

1



2(

n



1)

D

，当

n1

时，上式成立，

于是

a

n

a

1



2(

n

1)

D

，又

a

n



1



a

n



a

1



2

nD



[

a

1



2(

n



1)

D

]



2

D

为常数，

因此



a

n



为等差数列，则甲是乙

的

必要条件，

所以甲是乙的充要条件

.

故选：

C

8.已知

sin













n

(

n



1)

d

，

2

11

,cos



sin





，则

cos



2



2







（

36

B.

）．

A.

7

9

1

9

C.



1

9

D.



7

9

【答案】

B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出

sin(







)

，再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为

sin(







)



sin



cos





cos



sin





则

sin(







)



sin



cos





cos



sin





2

，

3

2

1

1

1

，而

cos



sin





，因此

sin



cos





，

2

6

3

2

3

1

.

9

所以

cos(2





2



)



cos2(







)



1



2sin(







)



1



2



()



故选：

B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

2

（

1

）

“

给角求值

”

：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解

题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．

（

2

）

“

给值求值

”

：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于

“

变角

”

，使其角

相同或具有某种关系．

第

6

页/共

28

页

（

3

）

“

给值求角

”

：实质上也转化为

“

给值求值

”

，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得

的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据

x

1

,x

2

,,x

6

，其中

x

1

是最小值，

x

6

是最大值，则（

A.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的平均数等于

x

1

,x

2

,,x

6

的平均数

B.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的中位数等于

x

1

,x

2

,,x

6

的中位数

C.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的标准差不小于

x

1

,x

2

,,x

6

的标准差

D.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的极差不大于

x

1

,x

2

,,x

6

的极差

【答案】

BD

【解析】

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断

.

【详解】对于选项A：设

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的平均数为

m

，

x

1

,x

2

,,x

6

的平均数为

n

，

则

n



m



）

x

1



x

2



x

3



x

4



x

5



x

6

x

2



x

3



x

4



x

5

2



x

1



x

6







x

5



x

2



x

3



x

4



，



6412

因为没有确定

2



x

1

x

6



,x

5

x

2

x

3

x

4

的大小关系，所以无法判断

m,n

的大小，

例如：

1,2,3,4,5,6

，可得

mn3.5

；

例如

1,1,1,1,1,7

，可得

m1,n2

；

例如

1,2,2,2,2,2

，可得

m

2,

n

11

；故A错误；

6

x

3

x

4

，故B正确；

2

对于选项B：不妨设

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

，

可知

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的中位数等于

x

1

,x

2

,,x

6

的中位数均为

对于选项C：因为

x

1

是最小值，

x

6

是最大值，

则

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的波动性不大于

x

1

,x

2

,,x

6

的波动性，即

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的标准差不大于

x

1

,x

2

,,x

6

的标准差，

例如：

2,4,6,8,10,12

，则平均数

n

标准差

s

1



1



2



4



6



8



10



12





7

，

6

1



105

222222

，

2



7







4



7







6



7







8



7







10



7







12



7











63

第

7

页/共

28

页

4,6,8,10

，则平均数

m

标准差

s

2



1



4



6



8



10





7

，

4

1



2222

4



7







6



7







8



7







10



7







5

，





4



显然

105



5

，即

s

1

s

2

；故C错误；

3

对于选项D：不妨设

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

，

则

x

6

x

1

x

5

x

2

，当且仅当

x

1

x

2

,x

5

x

6

时，等号成立，故D正确；

故选：

BD.

10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L

p



20



lg

p

，其中常数

p

0

p

0



p

0

0



是听觉下限阈值，

p

是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源

燃油汽车

混合动力汽车

电动汽车

与声源的距离

/m

10

10

10

声压级

/dB

6090

5060

40

）．

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车

10m

处测得实际声压分别为

p

1

,p

2

,p

3

，则（

A.

p

1

p

2

C.

p

3

100p

0

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意可知

L

p

1





60,90



,

L

p

2





50,60



,

L

p

3



40

，结合对数运算逐项分析判断

.

【详解】由题意可知：

L

p

1





60,90



,

L

p

2





50,60



,

L

p

3



40

，

对于选项

A

：可得

L

p

1



L

p

2



20



lg

B.

p

2

10p

3

D.

p

1

100p

2

p

1

pp



20



lg

2



20



lg

1

，

p

0

p

0

p

2

p

1

p



0

，即

lg

1



0

，

p

2

p

2

因为

L

p

1

L

p

2

，则

L

p

1



L

p

2



20



lg

第

8

页/共

28

页

p

1



1

且

p

1

,p

2

0

，可得

p

1

p

2

，故A正确；

所以

p

2

对于选项B：可得

L

p

2



L

p

3



20



lg

p

p

2

p



20



lg

3



20



lg

2

，

p

0

p

0

p

3

p

2

p

1



10

，即

lg

2



，

p

3

p

3

2

因为

L

p

2

L

p

3

L

p

2



40



10

，则

20



lg

所以

p

2



e

且

p

2

,p

3

0

，可得

p

2

ep

3

，

p

3

当且仅当

L

p

2



50

时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为

L

p

3



20



lg

p

3

p



40

，即

lg

3



2

，

p

0

p

0

可得

p

3



100

，即

p

3

100p

0

，故C正确；

p

0

p

1

，

p

2

对于选项D：由选项A可知：

L

p

1



L

p

2



20



lg

且

L

p

1

L

p

2



90



50



40

，则

20



lg

p

1



40

，

p

2

即

lg

p

1

p



2

，可得

1



100

，且

p

1

,p

2

0

，所以

p

1

100p

2

，故D正确；

p

2

p

2

故选：

ACD.

11.已知函数

f



x



的定义域为

R

，

f



xy



yf



x



xf

22



y



，则（）．

A.

f



0



0

C.

f



x



是偶函数

【答案】

ABC

【解析】

B.

f



1



0

D.

x0

为

f



x



的极小值点

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项

ABC

，举反例

f(x)0

即可排除选

项

D.



x

2

ln

x

,

x



0

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数

f

(

x

)





进行判断即可.



0,

x



0

第

9

页/共

28

页

【详解】方法一：

因为

f(xy)y

2

f(x)x

2

f(y)

，

对于A，令

xy0

，

f(0)0f(0)0f(0)0

，故

A

正确.

对于B，令

xy1

，

f(1)1f(1)1f(1)

，则

f(1)0

，故B正确.

对于C，令

xy1

，

f(1)f(1)f(1)2f(1)

，则

f(1)0

，

令

y1,f(x)f(x)x

2

f(1)f(x)

，

又函数

f(x)

的定义域为

R

，所以

f(x)

为偶函数，故

C

正确，

对于D，不妨令

f(x)0

，显然符合题设条件，此时

f(x)

无极值，故

D

错误

方法二：

因为

f(xy)y

2

f(x)x

2

f(y)

，

对于A，令

xy0

，

f(0)0f(0)0f(0)0

，故

A

正确.

对于B，令

xy1

，

f(1)1f(1)1f(1)

，则

f(1)0

，故B正确.

对于C，令

xy1

，

f(1)f(1)f(1)2f(1)

，则

f(1)0

，

令

y1,f(x)f(x)x

2

f(1)f(x)

，

又函数

f(x)

的定义域为

R

，所以

f(x)

为偶函数，故

C

正确，

.

f(xy)f(x)f(y)



2

，对于D，当

xy0

时，对

f(xy)yf(x)xf(y)

两边同时除以

xy

，得到

22



2

xyxy

22

22

22



x

2

ln

x

,

x



0

f

(

x

)

故可以设

2



ln

x

(

x



0)

，则

f

(

x

)





，

x



0,

x



0

2

当

x0

肘，

f(x)x

2

lnx

，则

f





x





2xlnx



x



1



x(2ln

x

1)

，

x

令

f





x



0

，得

0



x



e



1

2

1

；令

f

¢

(

x

)

>

0

，得

x



e



2

；





1







1



2

故

f(x)

在



0,e



上单调递减，在



e

2

,





上单调递增，





1







1



因为

f(x)

为偶函数，所以

f(x)

在





e

2

,0



上单调递增，在





,e

2



上单调递减，



第

10

页/共

28

页

显然，此时

x0

是

f(x)

的极大值，故

D

错误

.

故选：

ABC

.

12.

下列物体中，能够被整体放入棱长为

1

（单位：

m

）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

A.

直径为

0.99m

的球体

B.

所有棱长均为

1.4m

的四面体

C.

底面直径为

0.01m

，高为

1.8m

的圆柱体

D.

底面直径为

1.2m

，高为

0.01m

的圆柱体

【答案】

ABD

【解析】

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断

.

【详解】对于选项

A

：因为

0.99m1m

，即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故

A

正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为

2m

，且

21.4

，

所以能够被整体放入正方体内，故

B

正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为

3m

，且

31.8

，

所以不能够被整体放入正方体内，故

C

正确；

对于选项D：因为正方体的体对角线长为

3m

，且

31.2

，

）

O

设正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的中心为

O

，以

AC

1

为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心

1

到正方体的表

面的最近的距离为

hm

，

如图，结合对称性可知：

OC

1



133

C

1

A

,

C

1

O

1

OC

1

OO

1



0.6

，

222

第

11

页/共

28

页

2024年5月21日发(作者：巫代桃)

绝密★启用前

试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试

新课标Ⅰ卷数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右

上角“条形码粘贴处”.

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合

A.

M



2,1,0,1,2



B.

，

Nxx

2

x60

C.



，则

MN

（）

D.2



2,1,0,1



0,1,2



）



2



2

已知

z



.

1



i

，则

zz

（

2



2i

B.

i

A.



i

C.0D.1





3.已知向量

a



1,1



,b



1,1



，若

a



ba



b

，则（



）

A.







1

C.



1

4.设函数

f



x





2

x



x



a



B.







1

D.



1

在区间



0,1



上单调递减，则

a

的取值范围是（）

第

1

页/共

6

页

A.

C.



,2



B.

D.



2,0





2,



）



0,2



x

2

x

2

2

5.设椭圆

C

1

:

2



y



1(

a



1),

C

2

:



y

2



1

的离心率分别为

e

1

,e

2

．若

e

2

3e

1

，则

a

（

a

4

A.

23

3

B.

2

C.

3

D.

6

）

6.过点



0,2



与圆

x

2

y

2

4x10

相切

的

两条直线的夹角为



，则

sin





（

A.1B.

15

4

C.

10

4

D.

6

4

）

7.记

S

n

为数列



a

n



的前

n

项和，设甲：



a

n



为等差数列；乙：

{

A.

甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.

甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.

甲是乙的充要条件

D.

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知

sin













S

n

}

为等差数列，则（

n

11

,cos



sin





，则

cos



2



2







（

36

B.

）．

A.

7

9

1

9

C.



1

9

D.



7

9

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据

x

1

,x

2

,,x

6

，其中

x

1

是最小值，

x

6

是最大值，则（

A.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的平均数等于

x

1

,x

2

,,x

6

的平均数

B.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的中位数等于

x

1

,x

2

,,x

6

的中位数

C.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的标准差不小于

x

1

,x

2

,,x

6

的标准差

D.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的极差不大于

x

1

,x

2

,,x

6

的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L

p



20



lg

）

p

，其中常数

p

0

第

2

页/共

6

页

p

0



p

0

0



是听觉下限阈值，

p

是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源

燃油汽车

混合动力汽车

电动汽车

与声源的距离

/m

10

10

10

声压级

/dB

6090

5060

40

）．

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车

10m

处测得实际声压分别为

p

1

,p

2

,p

3

，则（

A.

p

1

p

2

C.

p

3

100p

0

B.

p

2

10p

3

D.

p

1

100p

2

22

11.

已知函数

f



x



的

定义域为

R

，

f



xy



yf



x



xf



y



，则（）．

A.

f



0



0

C.

f



x



是偶函数

B.

f



1



0

D.

x0

为

f



x



的极小值点

）12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

A.直径为

0.99m

的球体

B.所有棱长均为

1.4m

的四面体

C.底面直径为

0.01m

，高为

1.8m

的圆柱体

D.底面直径为

1.2m

，高为

0.01m

的圆柱体

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每

类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．

14.

在正四棱台

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

AB2,A

1

B

1

1,AA

1

2

，则该棱台的体积为

________

．

15.

已知函数

f



x



cos



x1(



0)

在区间



0,2π



有且仅有

3

个零点，则



的取值范围是

________

．

x

2

y

2

16.

已知双曲线

C

:

2



2



1(

a



0,

b



0)

的左、右焦点分别为

F

1

,F

2

．点

A

在

C

上，点

B

在

y

轴上，

ab



2



F

1

AF

1

B

,

F

2

AF

2

B

，则

C

的离心率为

________

．

3

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

已知在

ABC

中，

AB3C,2sin



AC



sinB

．

第

3

页/共

6

页

（

1

）求

sinA

；

（

2

）设

AB5

，求

AB

边上的高．

18.如图，在正四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

AB2,AA

1

4

．点

A

2

,B

2

,C

2

,D

2

分别在棱

AA

1

,BB

1

,CC

1

,

DD

1

上，

AA

2

1,BB

2

DD

2

2,CC

2

3

．

（1）证明：

B

2

C

2

∥A

2

D

2

；

（2）点

P

在棱

BB

1

上，当二面角

PA

2

C

2

D

2

为

150

时，求

B

2

P

．

19

已知函数

f



x



a

e

ax

．

.



x



（1）讨论

f



x



的单调性；

（2）证明：当

a0

时，

f



x





2ln

a

3

．

2

n

2



n

20.设等差数列



a

n



的公差为

d

，且

d1

．令

b

n



，记

S

n

,

T

n

分别为数列



a

n



,



b

n



的前

n

项和．

a

n

（1）若

3a

2

3a

1

a

3

,S

3

T

3

21

，求



a

n



的通项公式；

（2）若



b

n



为等差数列，且

S

99

T

99

99

，求

d

．

乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无

21.

甲、

论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为

0.6

，乙每次投篮的命中率均为

0.8

．由抽签确定第

1

次投

篮的人选，第

1

次投篮的人是甲、乙的概率各为

0.5

．

（

1

）求第

2

次投篮的人是乙的概率；

（

2

）求第

i

次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量

X

i

服从两点分布，且

P



X

i

1



1P



X

i

0



q

i

,i1,2,,n

，则

第

4

页/共

6

页



n



n

E





X

i







q

i

．记前

n

次（即从第1次到第

n

次投篮）中甲投篮的次数为

Y

，求

E



Y



．



i



1



i



1

22.在直角坐标系

xOy

中，点

P

到

x

轴的距离等于点

P

到点



0,



的距离，记动点

P

的轨迹为

W

．

（

1

）求

W

的方程；

（2）已知矩形

ABCD

有三个顶点在

W

上，证明：矩形

ABCD

的周长大于

3





1



2



3

．

第

5

页/共

6

页

绝密★启用前

试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试

新课标Ⅰ卷数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右

上角“条形码粘贴处”.

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合

A.

M



2,1,0,1,2



B.

，

Nxx

2

x60

C.



，则

MN

（）

D.2



2,1,0,1



0,1,2



2



【答案】

C

【解析】

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合

N

，即可根据交集的运算解出．

方法二：将集合

M

中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

【详解】方法一：因为

Nxxx60







,2







3,





，而

M



2,1,0,1,2



，

2



所以

MN



2



．

故选：

C

．

方法二：因为

M



2,1,0,1,2



，将

2,1,0,1,2

代入不等式

x

2

x60

，只有

2

使不等式成立，所

第

1

页/共

28

页

以

MN



2



．

故选：

C

．

2.已知

z



A.



i

【答案】

A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出

z

，再由共轭复数的概念得到

z

，从而解出．

【详解】因为

z



故选：

A

．

1



i

，则

zz

（

2



2i

B.

i

）

C.0D.1



1



i



1



i





2i11



i

1



i

，所以

z

i

，即

zzi

．

2



2i2



1



i



1



i



42

2





3.已知向量

a



1,1



,b



1,1



，若

a



ba



b

，则（



）

A.







1

C.



1

【答案】

D

【解析】

B.







1

D.



1





【分析】根据向量的坐标运算求出

a



b

，

a



b

，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．





【详解】因为

a



1,1



,b



1,1



，所以

a



b



1



,1





，

a



b



1



,1





，





由

a



ba



b

可得，

a



ba



b0

，





即



1





1









1





1





0

，整理得：



1

．

故选：

D

．

4.设函数

f



x





2

A.

C.

x



x



a



在区间



0,1



上单调递减，则

a

的取值范围是（

B.

D.

）



,2





2,0





2,





0,2



【答案】

D

【解析】

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答

.

第

2

页/共

28

页

【详解】函数

y

2

x

在R上单调递增，而函数

f



x





2

x



x



a



在区间



0,1



上单调递减，

a

a

2

a

2

则有函数

yx

(

xa

)



(

x

)



在区间



0,1



上单调递减，因此



1

，解得

a2

，

2

24

所以

a

的取值范围是



2,



.

故选：

D

x

2

x

2

2

5.设椭圆

C

1

:

2



y



1(

a



1),

C

2

:



y

2



1

的离心率分别为

e

1

,e

2

．若

e

2

3e

1

，则

a

（

a

4

A.

）

23

3

B.

2

C.

3

D.

6

【答案】

A

【解析】

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答

.

4



1

a

2



1

23

【详解】由

e

2

3e

1

，得

e3e

，因此.



3



2

，而

a1

，所以

a

4

a

3

2

2

2

1

故选：

A

6.过点



0,2



与圆

x

2

y

2

4x10

相切的两条直线的夹角为



，则

sin





（

A.1

【答案】

B

【解析】

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，

结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得

k

2

8k10

，利用韦达定理结

合夹角公式运算求解

.

【详解】方法一：因为

x

2

y

2

4x10

，即



x2



y

2

5

，可得圆心

C



2,0



，半径

r

2

）

B.

15

4

C.

10

4

D.

6

4

5

，

过点

P



0,2



作圆C的切线，切点为

A,B

，

因为

PC

2

2

2





2



22

，则

PAPCr

2

3

，

2

可得

sin

APC

5

22



1036

，

,cos

APC

44

22

第

3

页/共

28

页

则

sin

APB

sin2

APC

2sin

APC

cos

APC

2



10615

，



444

22



6



10



1

cos



APB



cos2



APC



cos

2



APC



sin

2



APC







0

，





4



4



4



即



APB

为钝角，

所以

sin





sin



π

APB





sin

APB

15

；

4

5

，法二：圆

x

2

y

2

4x10

的圆心

C



2,0



，半径

r

过点

P



0,2



作圆C的切线，切点为

A,B

，连接

AB

，

可得

PC

2

2

2

2





2



22

，则

PAPBPCr

2

3

，

2

2

因为

PAPB2PAPBcosAPBCACB2CACBcosACB

且

ACBπAPB

，则

336cosAPB5510cos



πAPB



，

22

1



0

，

4

1

即



APB

为钝角，则

cos





cos



π

APB





cos

APB

，

4

即

3cosAPB55cosAPB

，解得

cos

APB

且



为锐角，所以

sin





1



cos

2





15

；

4

5

，方法三：圆

x

2

y

2

4x10

的圆心

C



2,0



，半径

r

若切线斜率不存在，则切线方程为

y0

，则圆心到切点的距离

d2r

，不合题意；

若切线斜率存在，设切线方程为

ykx2

，即

kxy20

，

则

2

k



2

k

2



1



5

，整理得

k

2

8k10

，且

644600

设两切线斜率分别为

k

1

,k

2

，则

k

1

k

2

8,k

1

k

2

1

，

可得

k

1

k

2



所以

tan







k

1

k

2



2

4k

1

k

2

215

，

sin



sin



cos







15

，可得，

cos



15

k

1



k

2

1



k

1

k

2

2



15

，即

sin

2



则

sin





cos





sin





1

，

15

22

第

4

页/共

28

页

且







0,

故选：

B.





π



15

，则，解得

.

sin



0

sin







2



4

7.记

S

n

为数列



a

n



的前

n

项和，设甲：



a

n



为等差数列；乙：

{

A.

甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.

甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.

甲是乙的充要条件

D.

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】

C

【解析】

S

n

}

为等差数列，则（

n

）

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前

n

项和与第

n

项的关系推理判

断作答

.

，

【详解】方法1，甲：



a

n



为等差数列，设其首项为

a

1

，公差为

d

，

则

S

n



na

1



因此

{

S

n

}

为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

S

n

(

n



1)

S

n

n



1

dd

S

d

d

,



a

1



d



n



a

1



,

n



1



n



，

2

n

222

n



1

n

2

反之，乙：

{

SSnS



(

n



1)

S

n

na

n



1



S

n

S

n



}

为等差数列，即

n



1



n



n



1

为常数，设为

t

，

n



1

nn

(

n



1)

n

(

n



1)

n

na

n



1



S

n



t

，则

S

n



na

n



1



t



n

(

n



1)

，有

S

n



1



(

n



1)

a

n



t



n

(

n



1),

n



2

，即

n

(

n



1)

两式相减得：

a

n



na

n



1



(

n



1)

a

n



2

tn

，即

a

n



1



a

n



2

t

，对

n1

也成立，

第

5

页/共

28

页

因此



a

n



为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，

C

正确

.

方法2，甲：



a

n



为等差数列，设数列



a

n



的首项

a

1

，公差为

d

，即

S

n



na

1



则

S

n

S

(

n



1)

dd



a

1



d



n



a

1



，因此

{

n

}

为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n

n

222

SSS

S

反之，乙：

{

n

}

为

等差数列，即

n



1



n



D

,

n



S

1



(

n



1)

D

，

n

n



1

nn

即

S

n

nS

1

n

(

n

1)

D

，

S

n



1



(

n



1)

S

1



(

n



1)(

n



2)

D

，

当

n2

时，上两式相减得：

S

n



S

n



1



S

1



2(

n



1)

D

，当

n1

时，上式成立，

于是

a

n

a

1



2(

n

1)

D

，又

a

n



1



a

n



a

1



2

nD



[

a

1



2(

n



1)

D

]



2

D

为常数，

因此



a

n



为等差数列，则甲是乙

的

必要条件，

所以甲是乙的充要条件

.

故选：

C

8.已知

sin













n

(

n



1)

d

，

2

11

,cos



sin





，则

cos



2



2







（

36

B.

）．

A.

7

9

1

9

C.



1

9

D.



7

9

【答案】

B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出

sin(







)

，再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为

sin(







)



sin



cos





cos



sin





则

sin(







)



sin



cos





cos



sin





2

，

3

2

1

1

1

，而

cos



sin





，因此

sin



cos





，

2

6

3

2

3

1

.

9

所以

cos(2





2



)



cos2(







)



1



2sin(







)



1



2



()



故选：

B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

2

（

1

）

“

给角求值

”

：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解

题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．

（

2

）

“

给值求值

”

：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于

“

变角

”

，使其角

相同或具有某种关系．

第

6

页/共

28

页

（

3

）

“

给值求角

”

：实质上也转化为

“

给值求值

”

，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得

的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据

x

1

,x

2

,,x

6

，其中

x

1

是最小值，

x

6

是最大值，则（

A.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的平均数等于

x

1

,x

2

,,x

6

的平均数

B.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的中位数等于

x

1

,x

2

,,x

6

的中位数

C.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的标准差不小于

x

1

,x

2

,,x

6

的标准差

D.

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的极差不大于

x

1

,x

2

,,x

6

的极差

【答案】

BD

【解析】

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断

.

【详解】对于选项A：设

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的平均数为

m

，

x

1

,x

2

,,x

6

的平均数为

n

，

则

n



m



）

x

1



x

2



x

3



x

4



x

5



x

6

x

2



x

3



x

4



x

5

2



x

1



x

6







x

5



x

2



x

3



x

4



，



6412

因为没有确定

2



x

1

x

6



,x

5

x

2

x

3

x

4

的大小关系，所以无法判断

m,n

的大小，

例如：

1,2,3,4,5,6

，可得

mn3.5

；

例如

1,1,1,1,1,7

，可得

m1,n2

；

例如

1,2,2,2,2,2

，可得

m

2,

n

11

；故A错误；

6

x

3

x

4

，故B正确；

2

对于选项B：不妨设

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

，

可知

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的中位数等于

x

1

,x

2

,,x

6

的中位数均为

对于选项C：因为

x

1

是最小值，

x

6

是最大值，

则

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的波动性不大于

x

1

,x

2

,,x

6

的波动性，即

x

2

,x

3

,x

4

,x

5

的标准差不大于

x

1

,x

2

,,x

6

的标准差，

例如：

2,4,6,8,10,12

，则平均数

n

标准差

s

1



1



2



4



6



8



10



12





7

，

6

1



105

222222

，

2



7







4



7







6



7







8



7







10



7







12



7











63

第

7

页/共

28

页

4,6,8,10

，则平均数

m

标准差

s

2



1



4



6



8



10





7

，

4

1



2222

4



7







6



7







8



7







10



7







5

，





4



显然

105



5

，即

s

1

s

2

；故C错误；

3

对于选项D：不妨设

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

，

则

x

6

x

1

x

5

x

2

，当且仅当

x

1

x

2

,x

5

x

6

时，等号成立，故D正确；

故选：

BD.

10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L

p



20



lg

p

，其中常数

p

0

p

0



p

0

0



是听觉下限阈值，

p

是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源

燃油汽车

混合动力汽车

电动汽车

与声源的距离

/m

10

10

10

声压级

/dB

6090

5060

40

）．

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车

10m

处测得实际声压分别为

p

1

,p

2

,p

3

，则（

A.

p

1

p

2

C.

p

3

100p

0

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意可知

L

p

1





60,90



,

L

p

2





50,60



,

L

p

3



40

，结合对数运算逐项分析判断

.

【详解】由题意可知：

L

p

1





60,90



,

L

p

2





50,60



,

L

p

3



40

，

对于选项

A

：可得

L

p

1



L

p

2



20



lg

B.

p

2

10p

3

D.

p

1

100p

2

p

1

pp



20



lg

2



20



lg

1

，

p

0

p

0

p

2

p

1

p



0

，即

lg

1



0

，

p

2

p

2

因为

L

p

1

L

p

2

，则

L

p

1



L

p

2



20



lg

第

8

页/共

28

页

p

1



1

且

p

1

,p

2

0

，可得

p

1

p

2

，故A正确；

所以

p

2

对于选项B：可得

L

p

2



L

p

3



20



lg

p

p

2

p



20



lg

3



20



lg

2

，

p

0

p

0

p

3

p

2

p

1



10

，即

lg

2



，

p

3

p

3

2

因为

L

p

2

L

p

3

L

p

2



40



10

，则

20



lg

所以

p

2



e

且

p

2

,p

3

0

，可得

p

2

ep

3

，

p

3

当且仅当

L

p

2



50

时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为

L

p

3



20



lg

p

3

p



40

，即

lg

3



2

，

p

0

p

0

可得

p

3



100

，即

p

3

100p

0

，故C正确；

p

0

p

1

，

p

2

对于选项D：由选项A可知：

L

p

1



L

p

2



20



lg

且

L

p

1

L

p

2



90



50



40

，则

20



lg

p

1



40

，

p

2

即

lg

p

1

p



2

，可得

1



100

，且

p

1

,p

2

0

，所以

p

1

100p

2

，故D正确；

p

2

p

2

故选：

ACD.

11.已知函数

f



x



的定义域为

R

，

f



xy



yf



x



xf

22



y



，则（）．

A.

f



0



0

C.

f



x



是偶函数

【答案】

ABC

【解析】

B.

f



1



0

D.

x0

为

f



x



的极小值点

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项

ABC

，举反例

f(x)0

即可排除选

项

D.



x

2

ln

x

,

x



0

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数

f

(

x

)





进行判断即可.



0,

x



0

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页/共

28

页

【详解】方法一：

因为

f(xy)y

2

f(x)x

2

f(y)

，

对于A，令

xy0

，

f(0)0f(0)0f(0)0

，故

A

正确.

对于B，令

xy1

，

f(1)1f(1)1f(1)

，则

f(1)0

，故B正确.

对于C，令

xy1

，

f(1)f(1)f(1)2f(1)

，则

f(1)0

，

令

y1,f(x)f(x)x

2

f(1)f(x)

，

又函数

f(x)

的定义域为

R

，所以

f(x)

为偶函数，故

C

正确，

对于D，不妨令

f(x)0

，显然符合题设条件，此时

f(x)

无极值，故

D

错误

方法二：

因为

f(xy)y

2

f(x)x

2

f(y)

，

对于A，令

xy0

，

f(0)0f(0)0f(0)0

，故

A

正确.

对于B，令

xy1

，

f(1)1f(1)1f(1)

，则

f(1)0

，故B正确.

对于C，令

xy1

，

f(1)f(1)f(1)2f(1)

，则

f(1)0

，

令

y1,f(x)f(x)x

2

f(1)f(x)

，

又函数

f(x)

的定义域为

R

，所以

f(x)

为偶函数，故

C

正确，

.

f(xy)f(x)f(y)



2

，对于D，当

xy0

时，对

f(xy)yf(x)xf(y)

两边同时除以

xy

，得到

22



2

xyxy

22

22

22



x

2

ln

x

,

x



0

f

(

x

)

故可以设

2



ln

x

(

x



0)

，则

f

(

x

)





，

x



0,

x



0

2

当

x0

肘，

f(x)x

2

lnx

，则

f





x





2xlnx



x



1



x(2ln

x

1)

，

x

令

f





x



0

，得

0



x



e



1

2

1

；令

f

¢

(

x

)

>

0

，得

x



e



2

；





1







1



2

故

f(x)

在



0,e



上单调递减，在



e

2

,





上单调递增，





1







1



因为

f(x)

为偶函数，所以

f(x)

在





e

2

,0



上单调递增，在





,e

2



上单调递减，



第

10

页/共

28

页

显然，此时

x0

是

f(x)

的极大值，故

D

错误

.

故选：

ABC

.

12.

下列物体中，能够被整体放入棱长为

1

（单位：

m

）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

A.

直径为

0.99m

的球体

B.

所有棱长均为

1.4m

的四面体

C.

底面直径为

0.01m

，高为

1.8m

的圆柱体

D.

底面直径为

1.2m

，高为

0.01m

的圆柱体

【答案】

ABD

【解析】

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断

.

【详解】对于选项

A

：因为

0.99m1m

，即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故

A

正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为

2m

，且

21.4

，

所以能够被整体放入正方体内，故

B

正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为

3m

，且

31.8

，

所以不能够被整体放入正方体内，故

C

正确；

对于选项D：因为正方体的体对角线长为

3m

，且

31.2

，

）

O

设正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的中心为

O

，以

AC

1

为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心

1

到正方体的表

面的最近的距离为

hm

，

如图，结合对称性可知：

OC

1



133

C

1

A

,

C

1

O

1

OC

1

OO

1



0.6

，

222

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