2024年5月29日发(作者：倪暮芸)
S5的子群
赵俊锋;王飞;贾有
【摘 要】小阶数对称群在有限群论研究中具有重要的作用,但随着n的增大,结构也
越复杂.文章利用传递与正规性计算出了S5的所有子群,并给出了严格的证明.
【期刊名称】《长治学院学报》
【年(卷),期】2010(027)005
【总页数】3页(P50-52)
【关键词】共轭类;n次对称群;长度
【作 者】赵俊锋;王飞;贾有
【作者单位】忻州师范学院专科部,山西忻州,034000;长治学院,数学系,山西长
治,046011;忻州师范学院,专科部,山西忻州,034000
【正文语种】中 文
【中图分类】O211.4
对称群在群论发展史上起着十分重要的作用，关于对称群Sn子群的研究，文献
［1］研究了S4子群的个数。文献［2］研究了对称群S4及其正规子群的若干性
质。但当n>4时，对Sn的研究大部分都是借助于计算机编程来实现的。例如文
献［3］利用计算机给出了S5所有幂零子群和可解子群，文献［4］［5］利用计
算机研究了S5的基本性质，本文经过计算并通过严格的证明给出了S5的所有子
群。
定理 S5共有156个子群，可分为19个共轭类：
平凡子群有两个共轭类：｛1｝，｛S5｝长度都为1；
2阶子群都同构于C2，可分为2个共轭类，即：｛＜（12）＞g|g∈S5｝,长度为
10；｛＜（12）（34）＞g|g∈S5｝，长度为15；
3阶子群都同构C3，有1个共轭类，即：｛＜（123）＞g|g∈S5｝，长度为 10；
4阶子群有3个共轭类，即：｛＜（1234）＞g|g∈S5｝，长度为 15；｛＜（12）
（34）＞g|g∈S5｝，长度为 15；
｛＜（12）（34），（13）（24）＞g|g∈S5｝，长度为 5；
其中＜（1234）＞≌C4，＜（12）（34）＞≌C2×C2，＜（12）（34），（12）
（24）＞≌C2×C2
5阶子群都同构于C5，有1个共轭类，即：
｛＜（12345）＞g|g∈S5｝，长度为 6；
6阶子群有3个共轭类，即：
｛Sg｛1，2，3｝|g∈S5｝，长度为 10；
｛＜（12），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10；
｛＜（12），（34），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10；
其中 S｛1，2，3｝ ≌S3，＜（12），（345）>≌C6，
＜（12），（34），（345）>≌S3
8阶子群都同构于D8，有1个共轭类，即：
｛＜（12），（1423）＞g|g∈S5｝，长度为 15；
10阶子群都同构于D10，有1个共轭类，即：
｛＜（12345），（12），（35）＞g|g∈S5｝，长度为 6；
12阶子群有两个共轭类，即：｛Ag｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为5；
｛（S｛1，2｝ ×S｛3，4，5｝）｝，长度为10；
其中 A｛1，2，3｝≌A4，S｛1，2｝ ×S｛3，4，5｝≌S2×S3
20阶子群都同构于＜x，y|y4=x5=1，xy=x2＞，有1个共轭类，｛＜（12345）
（|2354）＞g|g∈S5｝，长度为 6；
24阶子群都同构于S4，有1个共轭类，即：
｛Sg｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为 5
60阶子群有1个共轭类，即：｛A5｝，长度为1.
证明 由（i1，i2，…，i）sσ=σ-（1i1，i2，…，i）sσ=（iσ1，iσ2，…，iσ）s，
知S5中元素可分为7个共轭类，分别为：（｛1）｝；
因为S5=120，由Largrange定理可知S5的子群的阶可能为：
1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。
下面首先分别找 S5的 1，2，3，4，5，6，8，10，12，20，24，60，120阶子
群。最后证明S5中不存在15，30，40阶的子群。除了｛1｝和S5这两个平凡子
群外，找其它子群的方法如下。
2阶子群：
因为S5中每个2阶元生成一个2阶子群，故S5的2阶子群的个数等于S5中不
同2阶元的个数。即25个，可分为2个共轭类，即 ｛＜（12）＞g|g∈S5｝，
长度为 10；
｛＜（12），（34）＞g|g∈S5｝，长度为 15.
3阶子群：
因为S5中每个3阶元生成一个3阶子群，由于每个3阶元子群含两个3阶元且
它们互为逆元，故S5的3阶子群的个数等于S5中不同3阶元的个数的一半，10
个3阶子群，1个共轭类，如下：｛＜（123）＞g|g∈S5｝，长度为=10.
4阶子群：
设H为S5的任一4阶子群，则H有不动点。
事实上，假设 H无不动点，此时，若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上传递，则 5||H|，
即 5|4，矛盾。若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上不传递，则H≤S3×S2，此时
H≌C2×C2必有不动点。矛盾。
从而 S5的 4阶子群为 S｛1， 2，3，4｝ ，S｛1， 2，3，5｝，S｛1， 2，4，
5｝ ，S｛1， 3，4，5｝ ，S｛2， 3，4，5｝的所有4阶子群，又因为集合不同
所以4阶子群一定不重复。
所以S5的4阶子群共有35个，3个共轭类，如下：
5阶子群：
因为S5的每个5阶元生成一个5阶子群，又由于每个5阶子群含4个5阶元，
且任两个不同的5阶子群的交为1，故S5的5阶子群的个数为5阶元个数的，即
6个，1个共轭类：H5，1｛＜（12345）＞g|g∈S5｝，长度为=6.
6阶子群：
以下分有不动点和无不动点两种情况讨论：
（1）有不动点时：S4的子群可知，S5的所有6阶子群为：｛Sg｛1，2，3｝
|g∈S5｝，长度为 C35=10
（2）无不动点时：则 6阶子群在 ｛1，2，3，4，5｝上不传递。事实上，若在
｛1，2，3，4，5｝上传递，则5|6矛盾。所以H≤S2×S3=（S｛a，b｝×S｛c，
d，e｝）。
断言H只能为循环群或S3.
事实上，若H有6阶元，则H为循环群。否则，有Sylow定理知H中有唯一的
3阶子群K。设K=〈a〉，由于|H：K|=2，故K是H的正规子群。任取b∈HK，
则o（b）=2。于是H=K∪Kb=｛1，a，ab，a2，a2b，b｝且bK=Kb由 此 得
ba∈｛a， ab，a2b｝.简单验证易得，ba=a2b令 σ 是H到S3得映射，其中
a→（123），b→（12），易验证 σ 是 H到 S3的同构映射，即H≌S3。
当H交换，即H为循环群时有10种情形，1个共轭类。即：｛＜（12），（345）
＞g|g∈S5｝长度为 C25<（12），（345）>≌C6
当H不交换时，有10种情形，1个共轭类；
｛＜（12）（34），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10，<（12）（34），
（345）>≌C3.
8阶子群：
若H为S5的8阶子群，则H在｛1234 ｝上有不动点。
事实上，H在 ｛1，2，3，4，5｝上无不动点时，若H在｛1，2，3，4，5｝ 上
传递，则有 5|8，矛盾。若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上不传递，则H≤S2×S3，
进而8|12，矛盾。由S4的8阶子群可知S5的8阶子群有15个，1个共轭类；
｛＜（12）（1423）＞g|g∈S5｝长度为 15，且 <（12），（1423）>≌D8.
10阶子群：
设 H为 S5的 10阶子群，α（abcde），α∈H，o（α）=5
有 Sylow定理知，n5|2，n5=1+5k，从而 n5=1，进而＜α＞是H的正规子群，
H≤Ns（5＜α＞），H中有4个5阶元，5个2阶元。由定理3.3知Ns（5＜α＞）
中只有5个2阶元，从而
H=｛＜（abcde）＞，（be）（cd），（ae）（bd），（ad）（k），（ac）
（de），（ad）（ce）｝=＜（abcde），（be），（cd）＞≌D10
所以所有10阶子群有一个共轭类为：
｛＜（12345），（12）（35）＞g|g∈S5｝长度为 6，且
＜（12345），（12），（35）＞≌D10.
12阶子群：
设H为12阶子群，若有不动点时，由S4子群可知S5的12阶子群同构于A4，
一个共轭类，即：｛Sg｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为5。若无不动点，则H
在 ｛1，2，3，4，5｝上不传递，（否则，5|12，矛盾。）进而 H≤S3×S2，又
H=S3×S2所以 H=S3×S2.进而得12阶子群的另一个共轭类：
｛（S｛1，2｝ ×S｛3，4，5｝g|g∈S5｝，长度为 10.
20阶子群：
设H为20阶子群，若o（α）=5，下面证明NS（5＜α＞）=H，易知＜α＞为H
得Sylow5子群。对于H，由Sylow定理知n5|4，n5=1+5k从而n5=1，即＜α
＞是H的正规子群，所以H≤NS（5＜α＞）.
又由H=NS（5＜α＞）=20，从而H=NS（5＜α＞）。所以20阶子群共有6个，
（1个5阶子群＜α＞，对应1个20阶子群NS（5＜α＞）），1个共轭类，即：
24阶子群：
若 H为 24阶子群，则 H在（1，2，3，4，5}上有不动点。事实上，H在 ｛1，
2，3，4，5｝ 上无不动点时，若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上传递，则5|24，矛
盾。若H在 ｛1，2，3，4，5｝上不传递，则H≤S3×S2，24|12，矛盾。从而
S5的 24阶子群只能为 S4，即得共轭类：｝|g∈S5｝，长度为 5.
60阶子群：
设H为S5的60阶子群，G：H=2，所以H是G的正规子群。
进一步知H为某几个S5中元素的共轭类的并，且必含有（1），又S5元素共轭
类长度依次分别为：
1，10，20，15，30，20，24。
而60只能分解为1+15+24+20，所以
经验证其不成群。所以60阶子群只有1个，即 ｛A5｝。
下面证明S没有15，30，40阶子群。
S5没有15阶子群。
事实上，若S5有15阶子群H，＜α＞为H的5阶子群。
由Sylow定理知，＜α＞是H的正规子群。进而H≤NS（5＜α＞），又H有3
阶元，而NS（5＜α＞）无3阶元，矛盾，所以S5没有15阶子群。
S5没有30阶子群。
事实上，若S5有30阶子群H，＜α＞为H的5阶子群。由Sylow定理知，
n5=1或6。若n5=1同上可得矛盾。所以n5=6，此时H有1个1阶元，24个
5阶元。即H包含了S5中所有的5阶元，又由于Sylow定理知n3|10，
n3=1+3k，从而n3=1，或者n3=10。若n3=10，又1个3阶子群有2个3阶
元，且不同3阶子群交为1。所以H有20个3阶元，此时与H矛盾。所以
n3=1，即只有1个3阶子群，设为＜α＞，＜b＞是H的正规子群。不妨设 b=
（ijk），又（ijklm）∈H。但（ijk）（ijklm）=（jkl）∉＜（ijk）＞，从而与＜α
＞是H的正规子群矛盾。所以S5没有30阶子群。
S5没有40阶子群。
设H为S5的40阶子群，由Sylow定理知，n5=1+5k，n5|8。所以n5=1，即
H有4个5阶元，剩余35个2幂阶元。由Sylow定理知，n2=1+2k，n2|5，所
以 n2=1或者 5.若 n2=1，此时与｜H｜=40矛盾。所以n5=5，即有5个8阶子
群。又因为共35个2阶元，所以其8阶子群的交只能为1，但右前面找的8阶子
群知，任意两个 8阶子群的交都不为 1，如＜（12），（1423）＞和＜（13），
（1234）＞，且（12）（34）∈＜（12），（1423）＞∩＜（13），（1234）
＞从而产生矛盾。所以S5没有40阶子群。
Keywords：conjugacy class；the symmetric group of degree n；length
【相关文献】
［1］孙自行，崔方达.4次对称群.子群的个数及其证明［J］.阜阳师范学院学报，2005，（4）：
129-132.
［2］马建萍.对称群.及其正规子群的若干性质［J］.青海师范大学学报，2009，（2）：16-18.
［3］徐明耀，黄建华，李慧陵.有限群引论［M］.北京：科学出版社，1999.
［4］黄本文，计算对称群.的所有子群［J］.高校应用数学学报［J］，2001，（1）：31-35.
［5］黄本文，廖向军，吕云翔.计算对称群的所有Sylowp子群［J］.武汉大学学报，2004，
（3）：303-305.
Abstract：Small order of symmetry group plays an important role in research of finite
group theory，but as the number n is increasing,the structure of S5is more
paper calculates all the subgroups of S5appling the transitivity and
normality and gives the strict proof.
2024年5月29日发(作者：倪暮芸)
S5的子群
赵俊锋;王飞;贾有
【摘 要】小阶数对称群在有限群论研究中具有重要的作用,但随着n的增大,结构也
越复杂.文章利用传递与正规性计算出了S5的所有子群,并给出了严格的证明.
【期刊名称】《长治学院学报》
【年(卷),期】2010(027)005
【总页数】3页(P50-52)
【关键词】共轭类;n次对称群;长度
【作 者】赵俊锋;王飞;贾有
【作者单位】忻州师范学院专科部,山西忻州,034000;长治学院,数学系,山西长
治,046011;忻州师范学院,专科部,山西忻州,034000
【正文语种】中 文
【中图分类】O211.4
对称群在群论发展史上起着十分重要的作用，关于对称群Sn子群的研究，文献
［1］研究了S4子群的个数。文献［2］研究了对称群S4及其正规子群的若干性
质。但当n>4时，对Sn的研究大部分都是借助于计算机编程来实现的。例如文
献［3］利用计算机给出了S5所有幂零子群和可解子群，文献［4］［5］利用计
算机研究了S5的基本性质，本文经过计算并通过严格的证明给出了S5的所有子
群。
定理 S5共有156个子群，可分为19个共轭类：
平凡子群有两个共轭类：｛1｝，｛S5｝长度都为1；
2阶子群都同构于C2，可分为2个共轭类，即：｛＜（12）＞g|g∈S5｝,长度为
10；｛＜（12）（34）＞g|g∈S5｝，长度为15；
3阶子群都同构C3，有1个共轭类，即：｛＜（123）＞g|g∈S5｝，长度为 10；
4阶子群有3个共轭类，即：｛＜（1234）＞g|g∈S5｝，长度为 15；｛＜（12）
（34）＞g|g∈S5｝，长度为 15；
｛＜（12）（34），（13）（24）＞g|g∈S5｝，长度为 5；
其中＜（1234）＞≌C4，＜（12）（34）＞≌C2×C2，＜（12）（34），（12）
（24）＞≌C2×C2
5阶子群都同构于C5，有1个共轭类，即：
｛＜（12345）＞g|g∈S5｝，长度为 6；
6阶子群有3个共轭类，即：
｛Sg｛1，2，3｝|g∈S5｝，长度为 10；
｛＜（12），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10；
｛＜（12），（34），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10；
其中 S｛1，2，3｝ ≌S3，＜（12），（345）>≌C6，
＜（12），（34），（345）>≌S3
8阶子群都同构于D8，有1个共轭类，即：
｛＜（12），（1423）＞g|g∈S5｝，长度为 15；
10阶子群都同构于D10，有1个共轭类，即：
｛＜（12345），（12），（35）＞g|g∈S5｝，长度为 6；
12阶子群有两个共轭类，即：｛Ag｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为5；
｛（S｛1，2｝ ×S｛3，4，5｝）｝，长度为10；
其中 A｛1，2，3｝≌A4，S｛1，2｝ ×S｛3，4，5｝≌S2×S3
20阶子群都同构于＜x，y|y4=x5=1，xy=x2＞，有1个共轭类，｛＜（12345）
（|2354）＞g|g∈S5｝，长度为 6；
24阶子群都同构于S4，有1个共轭类，即：
｛Sg｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为 5
60阶子群有1个共轭类，即：｛A5｝，长度为1.
证明 由（i1，i2，…，i）sσ=σ-（1i1，i2，…，i）sσ=（iσ1，iσ2，…，iσ）s，
知S5中元素可分为7个共轭类，分别为：（｛1）｝；
因为S5=120，由Largrange定理可知S5的子群的阶可能为：
1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。
下面首先分别找 S5的 1，2，3，4，5，6，8，10，12，20，24，60，120阶子
群。最后证明S5中不存在15，30，40阶的子群。除了｛1｝和S5这两个平凡子
群外，找其它子群的方法如下。
2阶子群：
因为S5中每个2阶元生成一个2阶子群，故S5的2阶子群的个数等于S5中不
同2阶元的个数。即25个，可分为2个共轭类，即 ｛＜（12）＞g|g∈S5｝，
长度为 10；
｛＜（12），（34）＞g|g∈S5｝，长度为 15.
3阶子群：
因为S5中每个3阶元生成一个3阶子群，由于每个3阶元子群含两个3阶元且
它们互为逆元，故S5的3阶子群的个数等于S5中不同3阶元的个数的一半，10
个3阶子群，1个共轭类，如下：｛＜（123）＞g|g∈S5｝，长度为=10.
4阶子群：
设H为S5的任一4阶子群，则H有不动点。
事实上，假设 H无不动点，此时，若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上传递，则 5||H|，
即 5|4，矛盾。若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上不传递，则H≤S3×S2，此时
H≌C2×C2必有不动点。矛盾。
从而 S5的 4阶子群为 S｛1， 2，3，4｝ ，S｛1， 2，3，5｝，S｛1， 2，4，
5｝ ，S｛1， 3，4，5｝ ，S｛2， 3，4，5｝的所有4阶子群，又因为集合不同
所以4阶子群一定不重复。
所以S5的4阶子群共有35个，3个共轭类，如下：
5阶子群：
因为S5的每个5阶元生成一个5阶子群，又由于每个5阶子群含4个5阶元，
且任两个不同的5阶子群的交为1，故S5的5阶子群的个数为5阶元个数的，即
6个，1个共轭类：H5，1｛＜（12345）＞g|g∈S5｝，长度为=6.
6阶子群：
以下分有不动点和无不动点两种情况讨论：
（1）有不动点时：S4的子群可知，S5的所有6阶子群为：｛Sg｛1，2，3｝
|g∈S5｝，长度为 C35=10
（2）无不动点时：则 6阶子群在 ｛1，2，3，4，5｝上不传递。事实上，若在
｛1，2，3，4，5｝上传递，则5|6矛盾。所以H≤S2×S3=（S｛a，b｝×S｛c，
d，e｝）。
断言H只能为循环群或S3.
事实上，若H有6阶元，则H为循环群。否则，有Sylow定理知H中有唯一的
3阶子群K。设K=〈a〉，由于|H：K|=2，故K是H的正规子群。任取b∈HK，
则o（b）=2。于是H=K∪Kb=｛1，a，ab，a2，a2b，b｝且bK=Kb由 此 得
ba∈｛a， ab，a2b｝.简单验证易得，ba=a2b令 σ 是H到S3得映射，其中
a→（123），b→（12），易验证 σ 是 H到 S3的同构映射，即H≌S3。
当H交换，即H为循环群时有10种情形，1个共轭类。即：｛＜（12），（345）
＞g|g∈S5｝长度为 C25<（12），（345）>≌C6
当H不交换时，有10种情形，1个共轭类；
｛＜（12）（34），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10，<（12）（34），
（345）>≌C3.
8阶子群：
若H为S5的8阶子群，则H在｛1234 ｝上有不动点。
事实上，H在 ｛1，2，3，4，5｝上无不动点时，若H在｛1，2，3，4，5｝ 上
传递，则有 5|8，矛盾。若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上不传递，则H≤S2×S3，
进而8|12，矛盾。由S4的8阶子群可知S5的8阶子群有15个，1个共轭类；
｛＜（12）（1423）＞g|g∈S5｝长度为 15，且 <（12），（1423）>≌D8.
10阶子群：
设 H为 S5的 10阶子群，α（abcde），α∈H，o（α）=5
有 Sylow定理知，n5|2，n5=1+5k，从而 n5=1，进而＜α＞是H的正规子群，
H≤Ns（5＜α＞），H中有4个5阶元，5个2阶元。由定理3.3知Ns（5＜α＞）
中只有5个2阶元，从而
H=｛＜（abcde）＞，（be）（cd），（ae）（bd），（ad）（k），（ac）
（de），（ad）（ce）｝=＜（abcde），（be），（cd）＞≌D10
所以所有10阶子群有一个共轭类为：
｛＜（12345），（12）（35）＞g|g∈S5｝长度为 6，且
＜（12345），（12），（35）＞≌D10.
12阶子群：
设H为12阶子群，若有不动点时，由S4子群可知S5的12阶子群同构于A4，
一个共轭类，即：｛Sg｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为5。若无不动点，则H
在 ｛1，2，3，4，5｝上不传递，（否则，5|12，矛盾。）进而 H≤S3×S2，又
H=S3×S2所以 H=S3×S2.进而得12阶子群的另一个共轭类：
｛（S｛1，2｝ ×S｛3，4，5｝g|g∈S5｝，长度为 10.
20阶子群：
设H为20阶子群，若o（α）=5，下面证明NS（5＜α＞）=H，易知＜α＞为H
得Sylow5子群。对于H，由Sylow定理知n5|4，n5=1+5k从而n5=1，即＜α
＞是H的正规子群，所以H≤NS（5＜α＞）.
又由H=NS（5＜α＞）=20，从而H=NS（5＜α＞）。所以20阶子群共有6个，
（1个5阶子群＜α＞，对应1个20阶子群NS（5＜α＞）），1个共轭类，即：
24阶子群：
若 H为 24阶子群，则 H在（1，2，3，4，5}上有不动点。事实上，H在 ｛1，
2，3，4，5｝ 上无不动点时，若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上传递，则5|24，矛
盾。若H在 ｛1，2，3，4，5｝上不传递，则H≤S3×S2，24|12，矛盾。从而
S5的 24阶子群只能为 S4，即得共轭类：｝|g∈S5｝，长度为 5.
60阶子群：
设H为S5的60阶子群，G：H=2，所以H是G的正规子群。
进一步知H为某几个S5中元素的共轭类的并，且必含有（1），又S5元素共轭
类长度依次分别为：
1，10，20，15，30，20，24。
而60只能分解为1+15+24+20，所以
经验证其不成群。所以60阶子群只有1个，即 ｛A5｝。
下面证明S没有15，30，40阶子群。
S5没有15阶子群。
事实上，若S5有15阶子群H，＜α＞为H的5阶子群。
由Sylow定理知，＜α＞是H的正规子群。进而H≤NS（5＜α＞），又H有3
阶元，而NS（5＜α＞）无3阶元，矛盾，所以S5没有15阶子群。
S5没有30阶子群。
事实上，若S5有30阶子群H，＜α＞为H的5阶子群。由Sylow定理知，
n5=1或6。若n5=1同上可得矛盾。所以n5=6，此时H有1个1阶元，24个
5阶元。即H包含了S5中所有的5阶元，又由于Sylow定理知n3|10，
n3=1+3k，从而n3=1，或者n3=10。若n3=10，又1个3阶子群有2个3阶
元，且不同3阶子群交为1。所以H有20个3阶元，此时与H矛盾。所以
n3=1，即只有1个3阶子群，设为＜α＞，＜b＞是H的正规子群。不妨设 b=
（ijk），又（ijklm）∈H。但（ijk）（ijklm）=（jkl）∉＜（ijk）＞，从而与＜α
＞是H的正规子群矛盾。所以S5没有30阶子群。
S5没有40阶子群。
设H为S5的40阶子群，由Sylow定理知，n5=1+5k，n5|8。所以n5=1，即
H有4个5阶元，剩余35个2幂阶元。由Sylow定理知，n2=1+2k，n2|5，所
以 n2=1或者 5.若 n2=1，此时与｜H｜=40矛盾。所以n5=5，即有5个8阶子
群。又因为共35个2阶元，所以其8阶子群的交只能为1，但右前面找的8阶子
群知，任意两个 8阶子群的交都不为 1，如＜（12），（1423）＞和＜（13），
（1234）＞，且（12）（34）∈＜（12），（1423）＞∩＜（13），（1234）
＞从而产生矛盾。所以S5没有40阶子群。
Keywords：conjugacy class；the symmetric group of degree n；length
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［4］黄本文，计算对称群.的所有子群［J］.高校应用数学学报［J］，2001，（1）：31-35.
［5］黄本文，廖向军，吕云翔.计算对称群的所有Sylowp子群［J］.武汉大学学报，2004，
（3）：303-305.
Abstract：Small order of symmetry group plays an important role in research of finite
group theory，but as the number n is increasing,the structure of S5is more
paper calculates all the subgroups of S5appling the transitivity and
normality and gives the strict proof.