2024年2月13日发(作者：泰晓)

2023年山东省临沂市中考数学第二次摸底试题（原题卷）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．−的倒数是（ ）

33A．−

2B．

233C．

22D．

32．下面瓷器上的纹饰图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．下列运算中，正确的是（ ）

A．x3⋅x3=x6

C．(x2)=x5

3B．3x2÷2x=x

D．(x+y)=x2+y2

24．2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩．出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，

每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，

小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（ ）

A．2

11B．

4C．1

12D．1

165．已知a, b都是实数，且a

A．a+1>b+1 B．−2a<−2b C．3a<3b D．ab>

226.实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动，年龄如表所示：

这10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（ ）

年龄

12 13 14 15

人数 2

A．14，13 B．14，14 C．14，13.5 D．13，14

3 4 1

7．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝110°，则∠D的度数是（ ）

1

A．25° B．35° C．45° D．55°

1+3x≤78．不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )

5x−2>3A． B． C． D．

9．如图，O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点，则∠AOC的度数是（ ）

A．144° B．130° C．129° D．108°

10．我国古代数学名著《九章算术》记载：

“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：

5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？

设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为（ ）

19125x+2y=5x+2y=A． B．

xy+=23122x+3y=19192x+5y=C．

3x2y12+=122x+5y=D．

3x+2y=1911．如图，已知Rt△ABO的顶点A，B分别在x轴，y轴上，AB=45，B(0,4)，按以下步骤作图：

①分别以点A，B为圆心，大于1AB的长为半径作弧，交于点P，Q；

2②作直线PQ交x轴于点C，交y轴于点D，则点C的坐标为（ ）

2

A．(3,0) B．(−3,0)

233C．2,0

33D．−2,0

12．已知二次函数ya(x−1)−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为（ ）

1A．或4

241B．或−

234C．−或4

31D．−或4

2二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

11−3．

13．比较大小−_____22__________

14．分解因式：a2b−b=15．圆锥的底面的半径为2，侧面积为6π，则圆锥母线长为____．

16．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，

=y1顶点A在函数2则k=_____．

1k1k2(x>0)的图象上，顶点B在函数(x>0)的图象上，∠ABO＝30°，

y2=xxk

17.

如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，

=BE5=，CN8，

连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若则线段AB的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共72分）

3

17．（12分）计算：

1(1)(π−1)−tan60°+−1−3+12

20−1m29

(2)+m−33−m18．（8分）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，

为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），

将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．

校本课程 频数

36

16

8

频率

0.45

0.25

A

B

C

D

合计

b

1

a

请您根据图表中提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；

（2）“D”对应扇形的圆心角为 度；

（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；

、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，

（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．

19 .（8分）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，

计划打通一条东西方向的隧道AB．

无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8ms的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，

然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．

4

；

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）

20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，

点F在BC的延长线上，且AF=AE．

(1)求证：AF是⊙O的切线；

4(2)若EF=6，sin∠BAC=，求⊙O的半径．

521. （10分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，

进价和售价如表所示：型号价格

进价（元/部）

3000

3500

售价（元/部）

3400

4000

A

B

某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．

（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？

（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

22．（12分）正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=7，CE=3，求∠AED的度数；

5

（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，

当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=5，求CN的长．

3ABAFMOBEFD

2CNDEC

，与y轴交于点B（0，3），

23. （12分）如图，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于点A（4，0）

点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；

（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

6

7

2023年山东省临沂市中考数学第二次摸底试题（解答卷）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．−的倒数是（ ）

33A．−

2B．

233C．

22D．

323解：−的倒数是−；

32故选A．

2．下面瓷器上的纹饰图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

解：选项A图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

选项B图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

选项C是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

选项D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；

故选：C．

3．下列运算中，正确的是（ ）

A．x3⋅x3=x6

C．(x2)=x5

3B．3x2÷2x=x

D．(x+y)=x2+y2

2解：A．由同底数幂的乘法法则可知x3⋅x3=x6，故本选项正确；

32x，故本选项错误；

B．由单项式的除法法则可知3x÷2x=2C．由幂的乘方法则可知(x2)=x6，故本选项错误；

3D．由完全平方公式可知(x+y)=x2+y2+2xy，故本选项错误．

故选：A．

4．2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩．出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，

每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，

小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（ ）

2

1

A．2

11B．

4C．1

12D．1

16解：设这四张卡片分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格如下：

A B

B，A

B，B

B，C

B，D

C

C，A

C，B

C，C

C，D

D

D，A

D，B

D，C

D，D

A A，A

B A，B

C A，C

D A，D

共有16种等可能结果，其中两人抽到的景点相同的有4种，

所以两人抽到的景点相同的概率是故选：B

5．已知a, b都是实数，且a

A．a+1>b+1 B．−2a<−2b C．3a<3b D．ab>

2241=．

164解：A、不等式的两边都加上1，不等号的方向不变，故A错误；

B、不等式的两边都乘以-2，不等号的方向改变，故B错误；

C、不等式的两边都乘以3，不等号的方向不变，故C正确；

D、不等式的两边都除以2，不等号的方向不变，故D错误；

故选：C．

6.实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动，年龄如表所示：

这10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（ ）

年龄

12 13 14 15

人数 2

A．14，13 B．14，14 C．14，13.5 D．13，14

3 4 1

解：这10名志愿者年龄出现次数最多的是14，因此众数是14，

将这10名志愿者年龄从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为13+14＝13.5，

2

2

因此中位数是13.5，

故选：C

7．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝110°，则∠D的度数是（ ）

A．25° B．35° C．45° D．55°

解：∵∠AOC=110°，

∴∠BOC=180°-110°=70°，

∴∠D=12∠BOC=35°，

故选：B．

8．不等式组1+3x≤75x−2>3的解集在数轴上表示正确的是( )

A． B． C． D．

解：1+3x≤7①5x−2>3②

∵解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞1，

∴不等式组的解集为1＜x≤2，

在数轴上表示为：．

故选C．

9．如图，O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点，则∠AOC的度数是（

A．144° B．130° C．129° D．108°

解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，

3

）

∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，

∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为：°(5−2)×180=5108° ，

∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，

故选：A．

10．我国古代数学名著《九章算术》记载：

“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：

5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？

设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为（ ）

195x+2y=A．

122x+3y=125x+2y=B．

192x+3y=192x+5y=C．

123x+2y=122x+5y=D．

193x+2y=解：设1头牛x两银子，1只羊y两银子，

195x+2y=由题意可得：，

122x+3y=故选：A．

11．如图，已知Rt△ABO的顶点A，B分别在x轴，y轴上，AB=45，B(0,4)，按以下步骤作图：

①分别以点A，B为圆心，大于1AB的长为半径作弧，交于点P，Q；

2②作直线PQ交x轴于点C，交y轴于点D，则点C的坐标为（ ）

A．(3,0)

解：连接BC，如图，

B．(−3,0)

33C．2,0

33D．−2,0



，

∵B（0，4）

4

∴OB＝4，

在Rt△ABO中，OA=AB2−OB=2(45)2=−428，

由作法得PQ垂直平分AB，

∴CA＝CB，

在Rt△BOC中，BC＝AC＝OA−OC＝8−OC，

∵OC2＋42＝（8−OC）2，

∴OC＝3，

∴C点坐标为（−3，0）．

故选：B．

12．已知二次函数ya(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为（A．12或4 B．43或−12 C．−43或4 D．−12或4

解：二次函数ya(x−1)2−a(a≠0)的对称轴为：直线x=1，

（1）当a>0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤4，y随x的增大而增大，∴ 当x=1时，y取得最小值，

∴

y=a(1−1)2−a=−4，

∴a=4；

（2）当a<0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4，y随x的增大而减小，

∴ 当x=4时，y取得最小值，

∴

y=a(4−1)2−a=−4，

∴a=−12．

故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．比较大小−11−32_____2．

解：−11−32−2

=3−22，

∵(3)2=3，22=4，3<4，

∴3<2，

5

）

∴∴−5−2>0，

211−5，

<22故答案为：<．

14．分解因式：a2b−b=__________

解：a2b−b

＝b（a2−1）

＝b（a＋1）（a−1）．

故答案为b（a＋1）（a−1）．

15．圆锥的底面的半径为2，侧面积为6π，则圆锥母线长为____．

解：∵圆锥侧面积=πrl，

∴6π=π×2×l，解得：l=3．

故答案为3．

16．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，=y1顶点A在函数2则k=_____．

1k1k2(x>0)的图象上，顶点B在函数=y2(x>0)的图象上，∠ABO＝30°，

xxk

解：如图，

Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝60°，

∵AB⊥x轴，

∴∠ACO＝90°，

∴∠AOC＝30°，

6

设AC＝a，则OA＝2a，

∴OC＝3a，

∴A（3a，a），

∵顶点A在函数y1=k1（x＞0）的图象上，

x2∴k1=3a×a＝3a，

在Rt△BOC中，OB＝2OC＝23a，

∴BC＝OB2−OC2＝3a，

，

∴B（3a，﹣3a）∵顶点B在函数y2=k2（x＞0）的图象上，

x∴k2=﹣3a×3a＝﹣33a2，

∴k2＝﹣3，

k1故答案为：﹣3

17.

如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，

=BE5=，CN8，

连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若则线段AB的长为______．

解：如图，连接AE，AF，EN，

∵四边形ABCD为正方形，

AD=BC=CD，∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°，

∴AB=在ABE和△ADF中，

AB=AD∠ADF，

∠ABE=BE=DF∴ABE≅ADF，

7

∠DAF，AE=AF， ∴∠BAE==90°,

∵∠BAE+∠EAD∴∠DAF+∠DAE=∠EAF=90°，

∴△EAF为等腰直角三角形，

∵AN⊥EF，

FM，∠EAM=∠FAM=45°，

∴EM=∴AEM≅AFM，EMN≅FMN，

∴EN=FN，

设DN=x,

=DF=5，CN=8，

∵BECN+DN=x+8，

∴CD=FN=DN+DF=+x5，CE=BC−BE=CD−BE=+x8−5=+x3，

∴EN=在Rt△ECN中，由勾股定理可得：CN2+CE2=EN2，

即82+(x+3)=(x+5)，

解得：x=12，

12，AB=CD=CN+DN=8+12=20，

∴DN=故答案为：20．

三、解答题（本大题共7小题，共72分）

17．（12分）计算：

221(1)(π−1)−tan60°+−1−3+12

20−19m2(2)

+m−33−m（1）解：原式=1−3+2−(3−1+23

)=−13+2−3+1+23

=4；

（2）解：原式m2−9

=m−3m29

−m−3m−3=(m+3)(m−3)

m−3=m+3．

18．（8分）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校

8

本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．

校本课程 频数

36

16

8

频率

0.45

0.25

A

B

C

D

合计

b

1

a

请您根据图表中提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；

（2）“D”对应扇形的圆心角为 度；

（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；

、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．

解：（1）a＝36÷0.45＝80，

b＝16÷80＝0.20，

故答案为：80，0.20；

（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：

8÷80×360°＝36°，

故答案为：36；

（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25＝500（人）；

（4）列表格如下：

A

A，A

B

B，A

C

C，A

A

9

B

C

A，B

A，C

B，B

B，C

C，B

C，C

共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，

所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：＝．

19 .（8分）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，

计划打通一条东西方向的隧道AB．

无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8ms的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，

然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．

；

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）

120(m)，

解（1）根据题意得：CD=8×15=在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，

∴tan60°=∴AC=120×AC，

CD3=1203(m)，

3答：无人机的高度AC=1203m；

400(m)，

（2）根据题意得：DE=8×50=则CE=

DE+CD=520(m)，

过点B作BF⊥CE于点F，

10

则四边形ABFC为矩形，

∴AB=FC，BF=AC=1203m，

在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，

=°∴tan37BF=0.75，

EF∴EF=1203≈276.8(m)，

0.75∴AB=FC=CE-EF=520-276.8≈243(m)，

答：AB的长度为243m．

20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，

点F在BC的延长线上，且AF=AE．

(1)求证：AF是⊙O的切线；

4(2)若EF=6，sin∠BAC=，求⊙O的半径．

5（1）证明：∵AE=AF，

∴∠F=∠CEA，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAE+∠CEA=90°，

∵AC=CD，

∴∠CAE=∠D=∠B，

∴∠B+∠F=90°，

∴FA⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

11

∴AF与⊙O相切于点A；

（2）解：∵AE=AF，∠ACB=90°，

∴CF=CE=2EF=3，

∵∠B+∠F=90°，∠B+∠BAC=90°，

∴∠BAC=∠F，

又∵∠F=∠CEA，

∴∠BAC=∠CEA，

∴sin∠BAC=sin∠CEA=∴AC=AC4=，

AE514AE，

5在RtACE中，AC2+CE2=AE2，

4222即(AE)+3=AE，

5解得AE=5，

∴AC=4，

∵sin∠BAC=∴BC=BC4=，

AB54AB，

5在RtABC中，BC2+AC2=AB2，

4222即(AB)+4=AB，

5∴AB=20，

3即⊙O的半径为

10．

321. （10分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，

进价和售价如表所示：型号价格

进价（元/部）

3000

3500

售价（元/部）

3400

4000

A

B

某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．

（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？

（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

12

解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，

，

解得，，

答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；

（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机（30﹣x）部，获得的利润为w元，

w＝（3400﹣3000）x+（4000﹣3500）（30﹣x）＝﹣100x+15000，

∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，

∴30﹣x≤2x，

解得，x≥10，

∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，

∴w随x的增大而减小，

∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，

答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元

22．（12分）正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=7，CE=3，求∠AED的度数；

（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，

当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=

5，求CN的长．

3ABAFMOBEFD

解 （1）CE=AF

CNDE0C

证明：∵ABCD是正方形∴AD=CD，∠ADC=90

∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FDE=90

∴∠ADF+∠ADE=∠CDE+∠ADE∴∠ADF=∠CDE

∴△ADF≌△CDE， ∴CE=AF

13

0

（2）设DE=k ∵DE：AE：CE=1：7：3 ∴AE=7k，CE=AF=3k，

∵△DEF为等腰直角三角形∴EF=2k，∠DEF=45

0∴AE+EF=7k+2k=9k，AF=9k ∴AE+EFAF∴△AEF为直角三角形 ∴∠AEF=90°

∴∠AED=∠AEF+∠DEF=90°+45°=135°

（3）∵M是AB中点， ∴MA=2222222 22=2

11AB=AD，

22∵AB∥CD， ∴OMOAAM1===，

ODOCDC2在Rt△DAM中，DM=AD2+AM2=16+4=25，∴DO=

45，

3∵OF=5，∴DF=5，

3∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，∴△DFN∽△DCO

∴575DFDN5DN，∴，∴DN= ∴CN=CD﹣DN=4﹣=

==33DCDO344532，与y轴交于点B（0，3），

23. （12分）如图，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于点A（4，0）点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；

（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

，与y轴交于点B（0，3），

解：（1）∵抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于点A（4，0）2

14

∴，解得，

∴抛物线y＝﹣x+x+3＝﹣（x﹣）+22；

）．

∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，，B（0，3）的解析式为y＝ax+d，

（2）设直线A（4，0）∴，解得，

∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+3；

∵点M（m，0）为线段OA上一动点，

过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，

∴PN∥y轴，即PN∥OB，且点N在点P上方，

若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则只需要PN＝OB，

∴﹣m+m+3﹣（﹣m+3）＝3，解得m＝2；

即当m＝2时，以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形．

（3）由（2）可知直线解析式为y＝﹣x+3，P（m，﹣m+3），N（m，﹣m+m+3），

∴PM＝﹣m+3，AM＝3﹣m，PN＝﹣m+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m+3m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，

∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，

当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，

∴N点的纵坐标为3，

∴﹣m+m+3＝3，解得m＝0（舍去）或m＝3，

；

∴M（3，0）当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，

15

22222

则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m+m+3﹣3＝﹣m+m，

∵∠NBP＝90°，

∴∠NBC+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠BNC，

∴Rt△NCB∽Rt△BOA，，

22∴＝，

，

解得m＝0（舍去）或m＝∴M（，0）；

综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（3，0）或（，0）．

16

17

2024年2月13日发(作者：泰晓)

2023年山东省临沂市中考数学第二次摸底试题（原题卷）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．−的倒数是（ ）

33A．−

2B．

233C．

22D．

32．下面瓷器上的纹饰图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．下列运算中，正确的是（ ）

A．x3⋅x3=x6

C．(x2)=x5

3B．3x2÷2x=x

D．(x+y)=x2+y2

24．2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩．出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，

每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，

小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（ ）

A．2

11B．

4C．1

12D．1

165．已知a, b都是实数，且a

A．a+1>b+1 B．−2a<−2b C．3a<3b D．ab>

226.实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动，年龄如表所示：

这10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（ ）

年龄

12 13 14 15

人数 2

A．14，13 B．14，14 C．14，13.5 D．13，14

3 4 1

7．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝110°，则∠D的度数是（ ）

1

A．25° B．35° C．45° D．55°

1+3x≤78．不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )

5x−2>3A． B． C． D．

9．如图，O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点，则∠AOC的度数是（ ）

A．144° B．130° C．129° D．108°

10．我国古代数学名著《九章算术》记载：

“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：

5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？

设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为（ ）

19125x+2y=5x+2y=A． B．

xy+=23122x+3y=19192x+5y=C．

3x2y12+=122x+5y=D．

3x+2y=1911．如图，已知Rt△ABO的顶点A，B分别在x轴，y轴上，AB=45，B(0,4)，按以下步骤作图：

①分别以点A，B为圆心，大于1AB的长为半径作弧，交于点P，Q；

2②作直线PQ交x轴于点C，交y轴于点D，则点C的坐标为（ ）

2

A．(3,0) B．(−3,0)

233C．2,0

33D．−2,0

12．已知二次函数ya(x−1)−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为（ ）

1A．或4

241B．或−

234C．−或4

31D．−或4

2二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

11−3．

13．比较大小−_____22__________

14．分解因式：a2b−b=15．圆锥的底面的半径为2，侧面积为6π，则圆锥母线长为____．

16．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，

=y1顶点A在函数2则k=_____．

1k1k2(x>0)的图象上，顶点B在函数(x>0)的图象上，∠ABO＝30°，

y2=xxk

17.

如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，

=BE5=，CN8，

连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若则线段AB的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共72分）

3

17．（12分）计算：

1(1)(π−1)−tan60°+−1−3+12

20−1m29

(2)+m−33−m18．（8分）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，

为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），

将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．

校本课程 频数

36

16

8

频率

0.45

0.25

A

B

C

D

合计

b

1

a

请您根据图表中提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；

（2）“D”对应扇形的圆心角为 度；

（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；

、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，

（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．

19 .（8分）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，

计划打通一条东西方向的隧道AB．

无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8ms的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，

然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．

4

；

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）

20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，

点F在BC的延长线上，且AF=AE．

(1)求证：AF是⊙O的切线；

4(2)若EF=6，sin∠BAC=，求⊙O的半径．

521. （10分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，

进价和售价如表所示：型号价格

进价（元/部）

3000

3500

售价（元/部）

3400

4000

A

B

某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．

（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？

（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

22．（12分）正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=7，CE=3，求∠AED的度数；

5

（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，

当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=5，求CN的长．

3ABAFMOBEFD

2CNDEC

，与y轴交于点B（0，3），

23. （12分）如图，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于点A（4，0）

点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；

（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

6

7

2023年山东省临沂市中考数学第二次摸底试题（解答卷）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．−的倒数是（ ）

33A．−

2B．

233C．

22D．

323解：−的倒数是−；

32故选A．

2．下面瓷器上的纹饰图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

解：选项A图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

选项B图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

选项C是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

选项D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；

故选：C．

3．下列运算中，正确的是（ ）

A．x3⋅x3=x6

C．(x2)=x5

3B．3x2÷2x=x

D．(x+y)=x2+y2

2解：A．由同底数幂的乘法法则可知x3⋅x3=x6，故本选项正确；

32x，故本选项错误；

B．由单项式的除法法则可知3x÷2x=2C．由幂的乘方法则可知(x2)=x6，故本选项错误；

3D．由完全平方公式可知(x+y)=x2+y2+2xy，故本选项错误．

故选：A．

4．2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩．出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，

每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，

小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（ ）

2

1

A．2

11B．

4C．1

12D．1

16解：设这四张卡片分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格如下：

A B

B，A

B，B

B，C

B，D

C

C，A

C，B

C，C

C，D

D

D，A

D，B

D，C

D，D

A A，A

B A，B

C A，C

D A，D

共有16种等可能结果，其中两人抽到的景点相同的有4种，

所以两人抽到的景点相同的概率是故选：B

5．已知a, b都是实数，且a

A．a+1>b+1 B．−2a<−2b C．3a<3b D．ab>

2241=．

164解：A、不等式的两边都加上1，不等号的方向不变，故A错误；

B、不等式的两边都乘以-2，不等号的方向改变，故B错误；

C、不等式的两边都乘以3，不等号的方向不变，故C正确；

D、不等式的两边都除以2，不等号的方向不变，故D错误；

故选：C．

6.实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动，年龄如表所示：

这10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（ ）

年龄

12 13 14 15

人数 2

A．14，13 B．14，14 C．14，13.5 D．13，14

3 4 1

解：这10名志愿者年龄出现次数最多的是14，因此众数是14，

将这10名志愿者年龄从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为13+14＝13.5，

2

2

因此中位数是13.5，

故选：C

7．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝110°，则∠D的度数是（ ）

A．25° B．35° C．45° D．55°

解：∵∠AOC=110°，

∴∠BOC=180°-110°=70°，

∴∠D=12∠BOC=35°，

故选：B．

8．不等式组1+3x≤75x−2>3的解集在数轴上表示正确的是( )

A． B． C． D．

解：1+3x≤7①5x−2>3②

∵解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞1，

∴不等式组的解集为1＜x≤2，

在数轴上表示为：．

故选C．

9．如图，O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点，则∠AOC的度数是（

A．144° B．130° C．129° D．108°

解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，

3

）

∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，

∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为：°(5−2)×180=5108° ，

∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，

故选：A．

10．我国古代数学名著《九章算术》记载：

“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：

5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？

设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为（ ）

195x+2y=A．

122x+3y=125x+2y=B．

192x+3y=192x+5y=C．

123x+2y=122x+5y=D．

193x+2y=解：设1头牛x两银子，1只羊y两银子，

195x+2y=由题意可得：，

122x+3y=故选：A．

11．如图，已知Rt△ABO的顶点A，B分别在x轴，y轴上，AB=45，B(0,4)，按以下步骤作图：

①分别以点A，B为圆心，大于1AB的长为半径作弧，交于点P，Q；

2②作直线PQ交x轴于点C，交y轴于点D，则点C的坐标为（ ）

A．(3,0)

解：连接BC，如图，

B．(−3,0)

33C．2,0

33D．−2,0



，

∵B（0，4）

4

∴OB＝4，

在Rt△ABO中，OA=AB2−OB=2(45)2=−428，

由作法得PQ垂直平分AB，

∴CA＝CB，

在Rt△BOC中，BC＝AC＝OA−OC＝8−OC，

∵OC2＋42＝（8−OC）2，

∴OC＝3，

∴C点坐标为（−3，0）．

故选：B．

12．已知二次函数ya(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为（A．12或4 B．43或−12 C．−43或4 D．−12或4

解：二次函数ya(x−1)2−a(a≠0)的对称轴为：直线x=1，

（1）当a>0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤4，y随x的增大而增大，∴ 当x=1时，y取得最小值，

∴

y=a(1−1)2−a=−4，

∴a=4；

（2）当a<0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4，y随x的增大而减小，

∴ 当x=4时，y取得最小值，

∴

y=a(4−1)2−a=−4，

∴a=−12．

故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．比较大小−11−32_____2．

解：−11−32−2

=3−22，

∵(3)2=3，22=4，3<4，

∴3<2，

5

）

∴∴−5−2>0，

211−5，

<22故答案为：<．

14．分解因式：a2b−b=__________

解：a2b−b

＝b（a2−1）

＝b（a＋1）（a−1）．

故答案为b（a＋1）（a−1）．

15．圆锥的底面的半径为2，侧面积为6π，则圆锥母线长为____．

解：∵圆锥侧面积=πrl，

∴6π=π×2×l，解得：l=3．

故答案为3．

16．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，=y1顶点A在函数2则k=_____．

1k1k2(x>0)的图象上，顶点B在函数=y2(x>0)的图象上，∠ABO＝30°，

xxk

解：如图，

Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝60°，

∵AB⊥x轴，

∴∠ACO＝90°，

∴∠AOC＝30°，

6

设AC＝a，则OA＝2a，

∴OC＝3a，

∴A（3a，a），

∵顶点A在函数y1=k1（x＞0）的图象上，

x2∴k1=3a×a＝3a，

在Rt△BOC中，OB＝2OC＝23a，

∴BC＝OB2−OC2＝3a，

，

∴B（3a，﹣3a）∵顶点B在函数y2=k2（x＞0）的图象上，

x∴k2=﹣3a×3a＝﹣33a2，

∴k2＝﹣3，

k1故答案为：﹣3

17.

如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，

=BE5=，CN8，

连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若则线段AB的长为______．

解：如图，连接AE，AF，EN，

∵四边形ABCD为正方形，

AD=BC=CD，∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°，

∴AB=在ABE和△ADF中，

AB=AD∠ADF，

∠ABE=BE=DF∴ABE≅ADF，

7

∠DAF，AE=AF， ∴∠BAE==90°,

∵∠BAE+∠EAD∴∠DAF+∠DAE=∠EAF=90°，

∴△EAF为等腰直角三角形，

∵AN⊥EF，

FM，∠EAM=∠FAM=45°，

∴EM=∴AEM≅AFM，EMN≅FMN，

∴EN=FN，

设DN=x,

=DF=5，CN=8，

∵BECN+DN=x+8，

∴CD=FN=DN+DF=+x5，CE=BC−BE=CD−BE=+x8−5=+x3，

∴EN=在Rt△ECN中，由勾股定理可得：CN2+CE2=EN2，

即82+(x+3)=(x+5)，

解得：x=12，

12，AB=CD=CN+DN=8+12=20，

∴DN=故答案为：20．

三、解答题（本大题共7小题，共72分）

17．（12分）计算：

221(1)(π−1)−tan60°+−1−3+12

20−19m2(2)

+m−33−m（1）解：原式=1−3+2−(3−1+23

)=−13+2−3+1+23

=4；

（2）解：原式m2−9

=m−3m29

−m−3m−3=(m+3)(m−3)

m−3=m+3．

18．（8分）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校

8

本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．

校本课程 频数

36

16

8

频率

0.45

0.25

A

B

C

D

合计

b

1

a

请您根据图表中提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；

（2）“D”对应扇形的圆心角为 度；

（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；

、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．

解：（1）a＝36÷0.45＝80，

b＝16÷80＝0.20，

故答案为：80，0.20；

（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：

8÷80×360°＝36°，

故答案为：36；

（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25＝500（人）；

（4）列表格如下：

A

A，A

B

B，A

C

C，A

A

9

B

C

A，B

A，C

B，B

B，C

C，B

C，C

共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，

所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：＝．

19 .（8分）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，

计划打通一条东西方向的隧道AB．

无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8ms的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，

然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．

；

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）

120(m)，

解（1）根据题意得：CD=8×15=在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，

∴tan60°=∴AC=120×AC，

CD3=1203(m)，

3答：无人机的高度AC=1203m；

400(m)，

（2）根据题意得：DE=8×50=则CE=

DE+CD=520(m)，

过点B作BF⊥CE于点F，

10

则四边形ABFC为矩形，

∴AB=FC，BF=AC=1203m，

在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，

=°∴tan37BF=0.75，

EF∴EF=1203≈276.8(m)，

0.75∴AB=FC=CE-EF=520-276.8≈243(m)，

答：AB的长度为243m．

20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，

点F在BC的延长线上，且AF=AE．

(1)求证：AF是⊙O的切线；

4(2)若EF=6，sin∠BAC=，求⊙O的半径．

5（1）证明：∵AE=AF，

∴∠F=∠CEA，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAE+∠CEA=90°，

∵AC=CD，

∴∠CAE=∠D=∠B，

∴∠B+∠F=90°，

∴FA⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

11

∴AF与⊙O相切于点A；

（2）解：∵AE=AF，∠ACB=90°，

∴CF=CE=2EF=3，

∵∠B+∠F=90°，∠B+∠BAC=90°，

∴∠BAC=∠F，

又∵∠F=∠CEA，

∴∠BAC=∠CEA，

∴sin∠BAC=sin∠CEA=∴AC=AC4=，

AE514AE，

5在RtACE中，AC2+CE2=AE2，

4222即(AE)+3=AE，

5解得AE=5，

∴AC=4，

∵sin∠BAC=∴BC=BC4=，

AB54AB，

5在RtABC中，BC2+AC2=AB2，

4222即(AB)+4=AB，

5∴AB=20，

3即⊙O的半径为

10．

321. （10分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，

进价和售价如表所示：型号价格

进价（元/部）

3000

3500

售价（元/部）

3400

4000

A

B

某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．

（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？

（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

12

解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，

，

解得，，

答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；

（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机（30﹣x）部，获得的利润为w元，

w＝（3400﹣3000）x+（4000﹣3500）（30﹣x）＝﹣100x+15000，

∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，

∴30﹣x≤2x，

解得，x≥10，

∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，

∴w随x的增大而减小，

∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，

答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元

22．（12分）正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=7，CE=3，求∠AED的度数；

（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，

当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=

5，求CN的长．

3ABAFMOBEFD

解 （1）CE=AF

CNDE0C

证明：∵ABCD是正方形∴AD=CD，∠ADC=90

∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FDE=90

∴∠ADF+∠ADE=∠CDE+∠ADE∴∠ADF=∠CDE

∴△ADF≌△CDE， ∴CE=AF

13

0

（2）设DE=k ∵DE：AE：CE=1：7：3 ∴AE=7k，CE=AF=3k，

∵△DEF为等腰直角三角形∴EF=2k，∠DEF=45

0∴AE+EF=7k+2k=9k，AF=9k ∴AE+EFAF∴△AEF为直角三角形 ∴∠AEF=90°

∴∠AED=∠AEF+∠DEF=90°+45°=135°

（3）∵M是AB中点， ∴MA=2222222 22=2

11AB=AD，

22∵AB∥CD， ∴OMOAAM1===，

ODOCDC2在Rt△DAM中，DM=AD2+AM2=16+4=25，∴DO=

45，

3∵OF=5，∴DF=5，

3∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，∴△DFN∽△DCO

∴575DFDN5DN，∴，∴DN= ∴CN=CD﹣DN=4﹣=

==33DCDO344532，与y轴交于点B（0，3），

23. （12分）如图，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于点A（4，0）点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；

（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

，与y轴交于点B（0，3），

解：（1）∵抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于点A（4，0）2

14

∴，解得，

∴抛物线y＝﹣x+x+3＝﹣（x﹣）+22；

）．

∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，，B（0，3）的解析式为y＝ax+d，

（2）设直线A（4，0）∴，解得，

∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+3；

∵点M（m，0）为线段OA上一动点，

过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，

∴PN∥y轴，即PN∥OB，且点N在点P上方，

若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则只需要PN＝OB，

∴﹣m+m+3﹣（﹣m+3）＝3，解得m＝2；

即当m＝2时，以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形．

（3）由（2）可知直线解析式为y＝﹣x+3，P（m，﹣m+3），N（m，﹣m+m+3），

∴PM＝﹣m+3，AM＝3﹣m，PN＝﹣m+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m+3m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，

∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，

当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，

∴N点的纵坐标为3，

∴﹣m+m+3＝3，解得m＝0（舍去）或m＝3，

；

∴M（3，0）当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，

15

22222

则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m+m+3﹣3＝﹣m+m，

∵∠NBP＝90°，

∴∠NBC+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠BNC，

∴Rt△NCB∽Rt△BOA，，

22∴＝，

，

解得m＝0（舍去）或m＝∴M（，0）；

综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（3，0）或（，0）．

16

17