2024年2月21日发(作者：后建明)

第２８卷第３期　２０１２年６月　大　学　数　学　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２８，№．３　Ｊｕｎ．２０１２　关于线性方程组同解的条件　罗家贵　（肇庆学院数学与信息科学学院，广东肇庆５２６０６１）　［摘　要］讨论线性方程组同解的条件，得到了两个线性方程组同解的充分必要条件．　［关键词］线性方程组；矩阵；秩；条件　［中图分类号］Ｏ１５１．２　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１２）０３—０１４１—０５　１　引　言　定义Ⅲ　两个含有相同变元的线性方程组称为同解，如果它们解的集合相等．　设有两个线性方程组　一ｂ　（　一１，２，…，ｍ）　（１）　与　∑ｂ　ｚ　一　（是一１，２，…，ｓ）．　Ｊ一１　（２）　若记　Ａ：＝＝（口　）　×　，　Ｂ一（６　）　×　，　Ｘ一（ｚ１，ｚ　２，…，ｚ　）　，ｂ一（６１，ｂ２，…，ｂ　）　，ｄ一（　１，ｄ２，…，ｄ　）　，　则（１）与（２）可写为矩阵形式　ＡＮ＝ｂ，　Ｂ　＝ｄ．　（３）　（４）　又记　口ｆ一（ａ　ａ　２，…，ａ　，ｂ　）　一（ｉ一１，２，…　），　（ｋ一１，２，…，Ｓ），　（　ｌ，ｂ　２，…，ｂ　，ｄ　）　则有　定理１　如果口　，口ｚ，…，口　与　，　ｚ，…，　等价，那么线性方程组（１）与（２）同解．　此定理的逆命题并不成立，有高校的研究生入学考试的试题曾要求考生证明此定理，并举例说明逆　命题不成立．作者曾先后任教于四川达县师范专科学校、中山大学、海南大学和肇庆学院，从四校的任教　经历来看，学生对线性方程组同解的概念的理解上存在误区，因此很难举出反例．　线性方程组同解是指它们的解的集合相等，这里应有两种情况：　１．两个线性方程组都无解，即它们的解集均为空集；　２．两个线性方程组都有解，且它们的解集相等．　学生往往认为同解就是指的情形２，因此他们想要举出的反例是线性方程组（１）与（２）都有解且同　［收稿日期］２ｏｏ９—１２—２４；　［修改日期］２ＯｌＯ一０４—１６　［基金项目］广东省高校人才引进基金资助项目；海南省教育厅自然科学基金资助的项目（Ｈｊ２００７５４）　

１４２　大　学　数　学　第２８卷　解时，口　，　ｚ，…，口　与　，　ｚ，…，　不等价，这样的反例当然举不出来，因为有　定理２如果线性方程组（１）与（２）都有解，则（１）与（２）同解的充分必要条件是它们的导出组　ＡＮ＝＝０　（５）　与　ＢＸ＝０　ｂ）　同解．　定理３　齐次线性方程组（５）和（６）同解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）一Ｒ　），这里Ｒ（Ａ）表示　矩阵Ａ的秩．　推论１　如果线性方程组（１）与（２）都有解，则（１）与（２）同解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）　一Ａ）．　推论２如果线性方程组（１）与（２）都有解，则（１）与（２）同解的充分必要条件是向量组口　，口　，…，　推论３非齐次线性方程组（１）与（２）同解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）≠Ｒ（Ａ，厶）且Ｒ（Ｂ）≠Ｒ（Ｂ，ｄ），　ａ　与ｐ１，　２，…，ｐ　ｓ等价．　或Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ａ　一Ｒ（Ｂ）＝：＝Ｒ（　：＝：Ｒ㈢．　２　一些引理　为了证明定理，需要如下引理：　引理１　Ｅ　个解向量．　如果齐次线性方程组（５）的系数矩阵Ａ的秩为ｒ（＜　），则（５）的基础解系中含有礼一ｒ　如果　，ｙ都是线性方程组（３）的解，则卵～ｙ是（３）的导出组（５）的解．　如果ｔ，是线性方程组（３）的解，ｙ是（３）的导出组（５）的一个解，则’，＋ｙ是（３）的解．　如果Ｒ（ａｌ，　２，…，口　）＝Ｒ（ａ１，　２，…，　，，　，口ｒ＋２，…，ａ　），则向量组口１，口２，…，　和　引理２　Ｌ１　引理３［１　引理４［　向量组　１，　２，…，口　，口　，　，＋２，…，口　等价，这里Ｒ（ａｌ，口２，…，ａ，）表示向量组　１，　２，…，　的秩．　３定理的证明　定理２的证明　首先证明如果线性方程组（１）与（２）同解，则它们的导出组（５）和（６）同解．　事实上，设’，是（１）的一个特解，则ｔ，也是（２）的一个特解．现设ｙ是（２）的导出组（６）的任何一个　解，则由引理３知，，＋ｙ是（２）的一个解，因此是（１）的一个解．再由引理２知ｙ一（　＋ｔ，）一ｔ，是（１）的导　出组（５）的一个解．同理可证ＡＸ＝０的任何一个解也是ＢＸ＝０的一个解，故ＡＸ：Ｏ和ＢＸ＝Ｏ同解．　下面证明若（５）与（６）同解，则（１）与（２）同解．　事实上，设　是（５）的任何一个解，则　也是（６）的一个解，因此Ａ　＝聊一。，所以（盒）ｙ一。，即　也　是　）ｘ一。　的一个解．易知（７）的任何解都是（５）的一个解，所以（５）与（７）同解．同理可证（６）与（７）同解，故它们的解　集相同．根据引理１可得　７ｚ～Ｒ（Ａ）：　—Ｒ（Ｂ）一　一Ｒ　Ａ１，　从而　

第３期　罗家贵：关于线性方程组同解的条件　１４３　ＲｃＡ　一ＲｃＢ，：Ｒ（三）．　又（１）与（２）都有解，所以　Ｒ（Ａ，６）一Ｒ（Ａ）一Ｒ（曰）一Ｒ（Ｂ，ｄ）：Ｒｆ＼Ａ１Ｂ／　：Ｒｆ＼Ａ，Ｂ。　／６１．　　根据矩阵秩的定义得ａｌ，口ｚ，…，口　与卢　，　ｚ，…，　和口　，口ｚ，…，ａ　，　。，　。，…，　这三个向量组的秩相　等．再由引理４得窃１，ａ　ｚ，…，口　与口　，口２，…，　，卢　，芦２，…，　等价，卢１，芦２，…，　也和口。，口２，…，ａ　，　·，Ｊ，２，…，　等价，因此口　，口ｚ，…，口　与　，　ｚ，…，　等价．故由定理１知（１）与（２）同解．　定理３的证明　如果齐次线性方程组（５）与（６）同解，从定理２的证明知　ＲｃＡ　一ＲｃＢ　一Ｒ（　）．　如果Ｒ（Ａ）一Ｒ（曰）一Ｒ　），则矩阵Ａ，口，　）的行向量组的秩相等．因此根据引理４知Ａ和Ｂ的　行向量组等价，故由定理１知（５）与（６）同解．　说明　如果没有（１）和（２）都有解的条件，定理２、推论１和推论２都不成立，参见下例．　例１线性方程组｛三：：三　’与｛　＝：＝三　’都无解，因此它们同解．但是它们的导出组　ｆ　ｌ＋Ｘ　２—０　Ｉｚ１＋　２：０　与　｛２　ｘ　￣＋　ｘｚ。＝：０。’不同解，因为（１，－１）ｖ是｛三　：　，　：’的解，但不是　ｆ２ｚ１　４－　２一　’的　Ｉ２ｘ１＋ｚ　２一　解，故定理２不成立．又可求得　Ｒ（（　）　（（　））：　≠Ｒ　１１　１　—２．　２　１　２　１　可见推论１不成立．向量组口　＝（１，１，１），　２一（１，１，２）与　１一（２，１，１），　＝（２，１，２）也不等价．因为　ｌ　ｌ一　，所以口　，口。，　线性无关，　不能由口　，口　线性表出，故推论２不成立．　４　应　用　１．讨论两个含有相同变元的齐次线性方程组是否同解的步骤．　（ｉ）将齐次线性方程组（５）的系数矩阵Ａ利用行初等变换化为阶梯型矩阵Ａ　；　（ｉｉ）如果Ａ　的非零行的行数等于　，即（５）只有零解时，则将（６）的系数矩阵Ｂ利用行初等变换化　为阶梯型矩阵Ｂ　，如果Ｂ　的的非零行的行数等于　，那么（５）和（６）都只有零解，所以同解，否则（５）和　（６）不同解；　（ｉｉｉ）如果Ａ　的非零行的行数ｒ小于　，则求出齐次线性方程组（５）的一个基础解系ｔ，　，’，ｚ，…，＇，　，　并令Ｃ＝（７１　，＇，２，…，ｔＩ　）（这里ｔＩ１，叩２，…，ｔＩ　为ｒｔ维列向量，ｔ一，２一ｒ）；　（ｉｖ）计算ＢＣ，如果ＢＣ≠Ｏ，则（５）和（６）不同解；如果ＢＣ—Ｄ，则利用初等变换将Ｂ化为阶梯型矩　阵曰　，如果曰　的非零行的行数等于ｒ，那么（５）和（６）同解（因为此时（６）的基础解系中也含ｔ个解向量，　因此，ｌ　，ｔｌ。，…，ｔｌ　就是（６）的一个基础解系），否则它们不同解．　例２　已知下列齐次线性方程组（Ｉ），（ＩＩ）：　（Ｉ）　４　１一　２一　３一Ｘ４—０，ｆ　·＋　ｚ一２ｚ　＝＝＝ｏ’　　（ＩＩ）　ｆｚ·ｚ　２一　３—２ｘ４：＋　ｚ　２一　。～　—ｏ，：：０，　　Ｉ３　一　２一ｚ。：ｏ，　Ｉ　。一红　一ｏ，　

１４４　大　学　数　学　第２８卷　（ｉ）求方程组（Ｉ）的通解；　（ｉｉ）当方程组（ＩＩ）中的参数ｍ，　，ｔ为何值时，方程组（Ｉ）与（ＩＩ）同解？不同解？　解（ｉ）（Ｉ）的系数矩阵　ｆ１　１　—０　—２１　经过行初等变换　Ａ一１　４　～１　１　—１　Ｉ　１　０　ｆ　ｌｆ１　０　０—１１　０　１　０　—１　１　Ｉ，ｌ　　【０　０　１—２　Ｊ　ｆ３—１　一Ｉ　ｌ　Ｂ＝　０　ｆ　５　＝一　１　１　～　２ｆ，　Ｒ（口）一３，　，　Ｉ　０　０　一１／２　ｌＩ　…，ｔ，　，并令Ｃ＝（７１１，ｔ，２，…，ｔ，　）（这里ｔ，ｌ，ｌ，２，…，１１　为　维列向量，ｔ—　—ｒ）；　（ｖ）计算聊，ＢＣ，如果Ｂ叼≠ｄ或ＢＣ≠０，则（１）和（２）不同解；如果Ｂ’，－－ｄ且ＢＣ一０，则利用初　经过行初等变换　一２１　—４　ｌ，　一５　Ｊ　Ｒ（Ａ）一Ｒ（　）一３＜４，线性方程组有无穷多解，易见（１，１，２，１）　是其导出组的基础解系，　（一２，～４，～５，Ｏ）　是方程组的一个特解，故方程组（Ｉ）的通解为　一（一２，一４，一５，Ｏ）　＋ｋ（１，１，２，１）　（是为任意常数）．　２—４ｍ＋５一一５，　（ｉｉ）将（Ｉ）的特解（一２，一４，一５，ｏ）　代入（ＩＩ），得　一４　＋５一一１１，　｛一５一一ｔ＋１，　２　—１　因此　－－２，，ｚ一４，ｔ－－６．此　时ｃ　ｒ　，的系数矩阵Ｂ—　４　—１　０　１　一巨］，故ｃ　ｚ，与ｃ　，的导出组同解，　

第３期　因此根据定理２知（Ｉ）与（ＩＩ）同解．　罗家贵：关于线性方程组同解的条件　１４５　说明　由于（Ｉ）与（ＩＩ）同解，将（Ｉ）的一个特解（一２，一４，一５，０）　代人（ＩＩ）便能得到关于　，　，ｔ的　三元一次方程，解之便求出了　，　，ｔ．但此时并不能说（Ｉ）与（ＩＩ）同解，因为（１）与（Ｉ１）有一个共同的特　解，只说明它们都有解，还不能保证它们同解，见下例　（Ｉ）　＋ｚ。＋ｚ　（ＩＩ）　＋２　。＋ｚ　一　＇　Ｉ　２＋２ｘ　３—１，　Ｉｚ２＋　３＋ｚ４：１，　易见（Ｉ）与（ＩＩ）有共同的特解（１，１，０，Ｏ）　，但（Ｉ）与（ＩＩ）不同解，如（Ｏ，０，０，１）　是（Ｉ１）的一个解但不是　（Ｉ）的解．　［参　考　文　献］　［１］王萼芳，石生明．高等代数ＥＭ］．３版．北京：高等教育出版社，２００８．　Ｅ２］张禾瑞，郝炳新．高等代数ＥＭ］．４版．北京：高等教育出版社，２００４．　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｗｈｉｃｈ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　Ａｒｅ　Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ＬＵＯＪｉａ—ｇｕｉ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｚｈａｏｑｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　５２６０６１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｗｈｉｃｈ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ，ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｗｈｉｃｈ　ｔｗｏ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｒｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｙｓｔｅｍ　ｏｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｍａｔｒｉｘ；ｒａｎｋ；ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　

2024年2月21日发(作者：后建明)

第２８卷第３期　２０１２年６月　大　学　数　学　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２８，№．３　Ｊｕｎ．２０１２　关于线性方程组同解的条件　罗家贵　（肇庆学院数学与信息科学学院，广东肇庆５２６０６１）　［摘　要］讨论线性方程组同解的条件，得到了两个线性方程组同解的充分必要条件．　［关键词］线性方程组；矩阵；秩；条件　［中图分类号］Ｏ１５１．２　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１２）０３—０１４１—０５　１　引　言　定义Ⅲ　两个含有相同变元的线性方程组称为同解，如果它们解的集合相等．　设有两个线性方程组　一ｂ　（　一１，２，…，ｍ）　（１）　与　∑ｂ　ｚ　一　（是一１，２，…，ｓ）．　Ｊ一１　（２）　若记　Ａ：＝＝（口　）　×　，　Ｂ一（６　）　×　，　Ｘ一（ｚ１，ｚ　２，…，ｚ　）　，ｂ一（６１，ｂ２，…，ｂ　）　，ｄ一（　１，ｄ２，…，ｄ　）　，　则（１）与（２）可写为矩阵形式　ＡＮ＝ｂ，　Ｂ　＝ｄ．　（３）　（４）　又记　口ｆ一（ａ　ａ　２，…，ａ　，ｂ　）　一（ｉ一１，２，…　），　（ｋ一１，２，…，Ｓ），　（　ｌ，ｂ　２，…，ｂ　，ｄ　）　则有　定理１　如果口　，口ｚ，…，口　与　，　ｚ，…，　等价，那么线性方程组（１）与（２）同解．　此定理的逆命题并不成立，有高校的研究生入学考试的试题曾要求考生证明此定理，并举例说明逆　命题不成立．作者曾先后任教于四川达县师范专科学校、中山大学、海南大学和肇庆学院，从四校的任教　经历来看，学生对线性方程组同解的概念的理解上存在误区，因此很难举出反例．　线性方程组同解是指它们的解的集合相等，这里应有两种情况：　１．两个线性方程组都无解，即它们的解集均为空集；　２．两个线性方程组都有解，且它们的解集相等．　学生往往认为同解就是指的情形２，因此他们想要举出的反例是线性方程组（１）与（２）都有解且同　［收稿日期］２ｏｏ９—１２—２４；　［修改日期］２ＯｌＯ一０４—１６　［基金项目］广东省高校人才引进基金资助项目；海南省教育厅自然科学基金资助的项目（Ｈｊ２００７５４）　

１４２　大　学　数　学　第２８卷　解时，口　，　ｚ，…，口　与　，　ｚ，…，　不等价，这样的反例当然举不出来，因为有　定理２如果线性方程组（１）与（２）都有解，则（１）与（２）同解的充分必要条件是它们的导出组　ＡＮ＝＝０　（５）　与　ＢＸ＝０　ｂ）　同解．　定理３　齐次线性方程组（５）和（６）同解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）一Ｒ　），这里Ｒ（Ａ）表示　矩阵Ａ的秩．　推论１　如果线性方程组（１）与（２）都有解，则（１）与（２）同解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）　一Ａ）．　推论２如果线性方程组（１）与（２）都有解，则（１）与（２）同解的充分必要条件是向量组口　，口　，…，　推论３非齐次线性方程组（１）与（２）同解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）≠Ｒ（Ａ，厶）且Ｒ（Ｂ）≠Ｒ（Ｂ，ｄ），　ａ　与ｐ１，　２，…，ｐ　ｓ等价．　或Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ａ　一Ｒ（Ｂ）＝：＝Ｒ（　：＝：Ｒ㈢．　２　一些引理　为了证明定理，需要如下引理：　引理１　Ｅ　个解向量．　如果齐次线性方程组（５）的系数矩阵Ａ的秩为ｒ（＜　），则（５）的基础解系中含有礼一ｒ　如果　，ｙ都是线性方程组（３）的解，则卵～ｙ是（３）的导出组（５）的解．　如果ｔ，是线性方程组（３）的解，ｙ是（３）的导出组（５）的一个解，则’，＋ｙ是（３）的解．　如果Ｒ（ａｌ，　２，…，口　）＝Ｒ（ａ１，　２，…，　，，　，口ｒ＋２，…，ａ　），则向量组口１，口２，…，　和　引理２　Ｌ１　引理３［１　引理４［　向量组　１，　２，…，口　，口　，　，＋２，…，口　等价，这里Ｒ（ａｌ，口２，…，ａ，）表示向量组　１，　２，…，　的秩．　３定理的证明　定理２的证明　首先证明如果线性方程组（１）与（２）同解，则它们的导出组（５）和（６）同解．　事实上，设’，是（１）的一个特解，则ｔ，也是（２）的一个特解．现设ｙ是（２）的导出组（６）的任何一个　解，则由引理３知，，＋ｙ是（２）的一个解，因此是（１）的一个解．再由引理２知ｙ一（　＋ｔ，）一ｔ，是（１）的导　出组（５）的一个解．同理可证ＡＸ＝０的任何一个解也是ＢＸ＝０的一个解，故ＡＸ：Ｏ和ＢＸ＝Ｏ同解．　下面证明若（５）与（６）同解，则（１）与（２）同解．　事实上，设　是（５）的任何一个解，则　也是（６）的一个解，因此Ａ　＝聊一。，所以（盒）ｙ一。，即　也　是　）ｘ一。　的一个解．易知（７）的任何解都是（５）的一个解，所以（５）与（７）同解．同理可证（６）与（７）同解，故它们的解　集相同．根据引理１可得　７ｚ～Ｒ（Ａ）：　—Ｒ（Ｂ）一　一Ｒ　Ａ１，　从而　

第３期　罗家贵：关于线性方程组同解的条件　１４３　ＲｃＡ　一ＲｃＢ，：Ｒ（三）．　又（１）与（２）都有解，所以　Ｒ（Ａ，６）一Ｒ（Ａ）一Ｒ（曰）一Ｒ（Ｂ，ｄ）：Ｒｆ＼Ａ１Ｂ／　：Ｒｆ＼Ａ，Ｂ。　／６１．　　根据矩阵秩的定义得ａｌ，口ｚ，…，口　与卢　，　ｚ，…，　和口　，口ｚ，…，ａ　，　。，　。，…，　这三个向量组的秩相　等．再由引理４得窃１，ａ　ｚ，…，口　与口　，口２，…，　，卢　，芦２，…，　等价，卢１，芦２，…，　也和口。，口２，…，ａ　，　·，Ｊ，２，…，　等价，因此口　，口ｚ，…，口　与　，　ｚ，…，　等价．故由定理１知（１）与（２）同解．　定理３的证明　如果齐次线性方程组（５）与（６）同解，从定理２的证明知　ＲｃＡ　一ＲｃＢ　一Ｒ（　）．　如果Ｒ（Ａ）一Ｒ（曰）一Ｒ　），则矩阵Ａ，口，　）的行向量组的秩相等．因此根据引理４知Ａ和Ｂ的　行向量组等价，故由定理１知（５）与（６）同解．　说明　如果没有（１）和（２）都有解的条件，定理２、推论１和推论２都不成立，参见下例．　例１线性方程组｛三：：三　’与｛　＝：＝三　’都无解，因此它们同解．但是它们的导出组　ｆ　ｌ＋Ｘ　２—０　Ｉｚ１＋　２：０　与　｛２　ｘ　￣＋　ｘｚ。＝：０。’不同解，因为（１，－１）ｖ是｛三　：　，　：’的解，但不是　ｆ２ｚ１　４－　２一　’的　Ｉ２ｘ１＋ｚ　２一　解，故定理２不成立．又可求得　Ｒ（（　）　（（　））：　≠Ｒ　１１　１　—２．　２　１　２　１　可见推论１不成立．向量组口　＝（１，１，１），　２一（１，１，２）与　１一（２，１，１），　＝（２，１，２）也不等价．因为　ｌ　ｌ一　，所以口　，口。，　线性无关，　不能由口　，口　线性表出，故推论２不成立．　４　应　用　１．讨论两个含有相同变元的齐次线性方程组是否同解的步骤．　（ｉ）将齐次线性方程组（５）的系数矩阵Ａ利用行初等变换化为阶梯型矩阵Ａ　；　（ｉｉ）如果Ａ　的非零行的行数等于　，即（５）只有零解时，则将（６）的系数矩阵Ｂ利用行初等变换化　为阶梯型矩阵Ｂ　，如果Ｂ　的的非零行的行数等于　，那么（５）和（６）都只有零解，所以同解，否则（５）和　（６）不同解；　（ｉｉｉ）如果Ａ　的非零行的行数ｒ小于　，则求出齐次线性方程组（５）的一个基础解系ｔ，　，’，ｚ，…，＇，　，　并令Ｃ＝（７１　，＇，２，…，ｔＩ　）（这里ｔＩ１，叩２，…，ｔＩ　为ｒｔ维列向量，ｔ一，２一ｒ）；　（ｉｖ）计算ＢＣ，如果ＢＣ≠Ｏ，则（５）和（６）不同解；如果ＢＣ—Ｄ，则利用初等变换将Ｂ化为阶梯型矩　阵曰　，如果曰　的非零行的行数等于ｒ，那么（５）和（６）同解（因为此时（６）的基础解系中也含ｔ个解向量，　因此，ｌ　，ｔｌ。，…，ｔｌ　就是（６）的一个基础解系），否则它们不同解．　例２　已知下列齐次线性方程组（Ｉ），（ＩＩ）：　（Ｉ）　４　１一　２一　３一Ｘ４—０，ｆ　·＋　ｚ一２ｚ　＝＝＝ｏ’　　（ＩＩ）　ｆｚ·ｚ　２一　３—２ｘ４：＋　ｚ　２一　。～　—ｏ，：：０，　　Ｉ３　一　２一ｚ。：ｏ，　Ｉ　。一红　一ｏ，　

１４４　大　学　数　学　第２８卷　（ｉ）求方程组（Ｉ）的通解；　（ｉｉ）当方程组（ＩＩ）中的参数ｍ，　，ｔ为何值时，方程组（Ｉ）与（ＩＩ）同解？不同解？　解（ｉ）（Ｉ）的系数矩阵　ｆ１　１　—０　—２１　经过行初等变换　Ａ一１　４　～１　１　—１　Ｉ　１　０　ｆ　ｌｆ１　０　０—１１　０　１　０　—１　１　Ｉ，ｌ　　【０　０　１—２　Ｊ　ｆ３—１　一Ｉ　ｌ　Ｂ＝　０　ｆ　５　＝一　１　１　～　２ｆ，　Ｒ（口）一３，　，　Ｉ　０　０　一１／２　ｌＩ　…，ｔ，　，并令Ｃ＝（７１１，ｔ，２，…，ｔ，　）（这里ｔ，ｌ，ｌ，２，…，１１　为　维列向量，ｔ—　—ｒ）；　（ｖ）计算聊，ＢＣ，如果Ｂ叼≠ｄ或ＢＣ≠０，则（１）和（２）不同解；如果Ｂ’，－－ｄ且ＢＣ一０，则利用初　经过行初等变换　一２１　—４　ｌ，　一５　Ｊ　Ｒ（Ａ）一Ｒ（　）一３＜４，线性方程组有无穷多解，易见（１，１，２，１）　是其导出组的基础解系，　（一２，～４，～５，Ｏ）　是方程组的一个特解，故方程组（Ｉ）的通解为　一（一２，一４，一５，Ｏ）　＋ｋ（１，１，２，１）　（是为任意常数）．　２—４ｍ＋５一一５，　（ｉｉ）将（Ｉ）的特解（一２，一４，一５，ｏ）　代入（ＩＩ），得　一４　＋５一一１１，　｛一５一一ｔ＋１，　２　—１　因此　－－２，，ｚ一４，ｔ－－６．此　时ｃ　ｒ　，的系数矩阵Ｂ—　４　—１　０　１　一巨］，故ｃ　ｚ，与ｃ　，的导出组同解，　

第３期　因此根据定理２知（Ｉ）与（ＩＩ）同解．　罗家贵：关于线性方程组同解的条件　１４５　说明　由于（Ｉ）与（ＩＩ）同解，将（Ｉ）的一个特解（一２，一４，一５，０）　代人（ＩＩ）便能得到关于　，　，ｔ的　三元一次方程，解之便求出了　，　，ｔ．但此时并不能说（Ｉ）与（ＩＩ）同解，因为（１）与（Ｉ１）有一个共同的特　解，只说明它们都有解，还不能保证它们同解，见下例　（Ｉ）　＋ｚ。＋ｚ　（ＩＩ）　＋２　。＋ｚ　一　＇　Ｉ　２＋２ｘ　３—１，　Ｉｚ２＋　３＋ｚ４：１，　易见（Ｉ）与（ＩＩ）有共同的特解（１，１，０，Ｏ）　，但（Ｉ）与（ＩＩ）不同解，如（Ｏ，０，０，１）　是（Ｉ１）的一个解但不是　（Ｉ）的解．　［参　考　文　献］　［１］王萼芳，石生明．高等代数ＥＭ］．３版．北京：高等教育出版社，２００８．　Ｅ２］张禾瑞，郝炳新．高等代数ＥＭ］．４版．北京：高等教育出版社，２００４．　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｗｈｉｃｈ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　Ａｒｅ　Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ＬＵＯＪｉａ—ｇｕｉ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｚｈａｏｑｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　５２６０６１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｗｈｉｃｈ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ，ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｗｈｉｃｈ　ｔｗｏ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｒｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｙｓｔｅｍ　ｏｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｍａｔｒｉｘ；ｒａｎｋ；ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ