2024年2月22日发(作者：纳喇静恬)

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章末综合测评(一) 预备知识

(满分：150分 时间：120分钟)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“∀x∈R，使得x2≥0”的否定形式是( )

A．∀x∈R，x2＜0

C．∃x∈R，x2≥0

B．∀x∈R，x2≤0

D．∃x∈R，x2＜0

D[命题“∀x∈R，x2≥0”的否定形式是∃x∈R，x2＜0，故选D.]

2．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )

A．{1}

C．{3，4，5}

B．{1，2}

D．{2，3，4，5}

A[图中阴影部分所表示的集合为A∩(∁UB)，故选A.]

x－23．已知集合A＝x≤0，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝( )

xA．{1，2}

C．{1}

x－2A[∵A＝x≤0＝{x|0＜x≤2}，

xB．{0，1，2}

D．{1，2，3}

∴A∩B＝{1，2}．]

4．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2” 的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A[解不等式x3＞8，得x＞2，解不等式|x|＞2，得x＞2或x＜－2，

所以“x3＞8”是“|x|＞2” 的充分而不必要条件．故选A.]

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5．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )

A．{1，－3}

C．{1，3}

C[∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．

故选C.]

6．满足条件M∪{1，2}＝{1，2，3}的集合M的个数是( )

A．4

C．2

B．3

D．1

B．{1，0}

D．{1，5}

A[∵M∪{1，2}＝{1，2，3}，∴3∈M，且可能含有元素1，2，

∴集合M的个数为集合{1，2}，子集的个数4.故选A.]

7．已知实数a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，c－b＝a2－4a＋4，则a，b，c的大小关系是( )

A．c≥b＞a

C．c＞b＞a

A[∵c－b＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴c≥b；

又b＋c＝3a2－4a＋6，

∴2b＝2a2＋2，

∴b＝a2＋1，

13a－＋＞0， ∴b－a＝a2－a＋1＝24∴b＞a，

∴c≥b＞a.]

a＋3bm8．已知a＞0，b＞0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为 ( )

ab3a＋bA．4 B．16

B．a＞c≥b

D．a＞c＞b

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C．9 D．3

a＋3b（a＋3b）（3a＋b）mB[≤，即m≤；

abab3a＋b（a＋3b）（3a＋b）3a3b又＝＋＋10≥2abba号，

∴m≤16，故选B.]

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．

9．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是( )

1x<－1或x> A．x43a3b·＝6＋10＝16，当且仅当a＝b时，取等baB．R

D．∅

13－0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D.]

10．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中其中假命题的是( )

A．若a>b，c≠0，则ac>bc

B．若a>b，则ac2>bc2

C．若ac2>bc2，则a>b

D．若a>b>0，c>d，则ac>bd

ABD[若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，D错，故选ABD.]

11．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是( )

A．0 B．1 C．2D．3

AB[根据补集的概念，∁RB＝{x|x≥2m}．

又∵A⊆∁RB，∴2m≤2.

解得m≤1，故m的值可以是0，1.]

12．设集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之- 3 - / 7

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和为7，则实数a的值为( )

A．0B．1 C．2D．4

ABCD[x2－(a＋2)x＋2a＝(x－2)(x－a)＝0，解得x＝2或x＝a，则A＝{2，a}．x2－5x＋4＝(x－1)(x－4)＝0，解得x＝1或x＝4，则B＝{1，4}．当a＝0时，A＝{0，2}，B＝{1，4}，A∪B＝{0，1，2，4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a＝1时，A＝{1，2}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝2时，A＝{2}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝4时，A＝{2，4}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a的取值集合为{0，1，2，4}．]

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．

1x－＞0的解集是________. 13．若0＜a＜1，则不等式(a－x)a11xa＜x＜[原不等式可化为(x－a)(x－)＜0，

aa11由0＜a＜1，得a＜，∴a＜x＜.]

aa14．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值X围________．

(－∞，1][

用数轴表示集合A，B，若A∪B＝R，则a≤1，即实数a的取值X围是(－∞，1].]

15．“∃x∈[0，3]，x2－a＞0”是假命题，则实数a的取值X围是________．

[9，＋∞)[由题意得“∀x∈[0，3]，x2－a≤0”是真命题，即a≥x2，所以a≥(x2)max＝9. ]

16．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．

20[由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－116(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20.]

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．

(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB).

(2)若A∩B＝A，某某数m的取值X围．

[解](1)当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，

∴B＝{x|x＜3}，

∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，

则∁UB＝{x|3≤x＜4}，

∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x＜4}．

(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}＝{x|x＜m}，

由A∩B＝A得A⊆B，

∴m≥4，即实数m的取值X围是[4，＋∞).

18．(本小题满分12分)解下列不等式：

(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(1＋a)x＋a＜0.

[解](1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，

故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，

当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a＜1时，原不等式的解集为(a，1).

19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，当A∪B＝B时，某某数a的取值组成的集合P.

[解] 由A∪B＝B知A⊆B.

又A＝{－4，0}，故此时必有B＝{－4，0}，即－4，0为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，

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－4＋0＝－2（a＋1），于是

2（－4）×0＝a－1，得a＝1.即P＝{1}．

20．(本小题满分12分)已知a＞b＞0，求证：a＋b＋3＞ab＋2a＋b.

[证明]a＋b＋3－ab－2a－b

1＝(2a＋2b－2ab－4a－2b)＋3

21＝(a－4a＋b－2b＋a＋b－2ab)＋3

21＝(a－4a＋4＋b－2b＋1＋a＋b－2ab－5)＋3

21＝[(a－2)2＋(b－1)2＋(a－b)2－5]＋3

21111＝(a－2)2＋(b－1)2＋(a－b)2＋，

2222∵(a－2)2≥0，(b－1)2≥0，(a－b)2＞0，

∴a＋b＋3－ab－2a－b＞0，

∴a＋b＋3＞ab＋2a＋b.

21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝[0，3]，某某数m的值；

(2)若A⊆∁UB，某某数m的取值X围．

[解] 由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

(1)∵A∩B＝[0，3]，

m－2＝0，∴

m＋2≥3，∴m＝2.

(2)∁UB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}，

∵A⊆∁UB，

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∴m－2＞3或m＋2＜－1，

即m＞5或m＜－3.

22．(本小题满分12分)已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x使不等式恒成立？若存在，求出m的取值X围；若不存在，请说明理由.

[解] 要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函数y＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．

1当m＝0时，1－2x＜0，则x＞，不满足题意；

2当m≠0时，函数y＝mx2－2x－m＋1为二次函数，其图象需满足开口向下且与x轴没有公共点，

m＜0，即，不等式组的解集为空集，即m不存在．

Δ＝4－4m（1－m）＜0综上可知，不存在这样的实数m使不等式恒成立．

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2024年2月22日发(作者：纳喇静恬)

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章末综合测评(一) 预备知识

(满分：150分 时间：120分钟)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“∀x∈R，使得x2≥0”的否定形式是( )

A．∀x∈R，x2＜0

C．∃x∈R，x2≥0

B．∀x∈R，x2≤0

D．∃x∈R，x2＜0

D[命题“∀x∈R，x2≥0”的否定形式是∃x∈R，x2＜0，故选D.]

2．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )

A．{1}

C．{3，4，5}

B．{1，2}

D．{2，3，4，5}

A[图中阴影部分所表示的集合为A∩(∁UB)，故选A.]

x－23．已知集合A＝x≤0，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝( )

xA．{1，2}

C．{1}

x－2A[∵A＝x≤0＝{x|0＜x≤2}，

xB．{0，1，2}

D．{1，2，3}

∴A∩B＝{1，2}．]

4．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2” 的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A[解不等式x3＞8，得x＞2，解不等式|x|＞2，得x＞2或x＜－2，

所以“x3＞8”是“|x|＞2” 的充分而不必要条件．故选A.]

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5．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )

A．{1，－3}

C．{1，3}

C[∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．

故选C.]

6．满足条件M∪{1，2}＝{1，2，3}的集合M的个数是( )

A．4

C．2

B．3

D．1

B．{1，0}

D．{1，5}

A[∵M∪{1，2}＝{1，2，3}，∴3∈M，且可能含有元素1，2，

∴集合M的个数为集合{1，2}，子集的个数4.故选A.]

7．已知实数a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，c－b＝a2－4a＋4，则a，b，c的大小关系是( )

A．c≥b＞a

C．c＞b＞a

A[∵c－b＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴c≥b；

又b＋c＝3a2－4a＋6，

∴2b＝2a2＋2，

∴b＝a2＋1，

13a－＋＞0， ∴b－a＝a2－a＋1＝24∴b＞a，

∴c≥b＞a.]

a＋3bm8．已知a＞0，b＞0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为 ( )

ab3a＋bA．4 B．16

B．a＞c≥b

D．a＞c＞b

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C．9 D．3

a＋3b（a＋3b）（3a＋b）mB[≤，即m≤；

abab3a＋b（a＋3b）（3a＋b）3a3b又＝＋＋10≥2abba号，

∴m≤16，故选B.]

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．

9．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是( )

1x<－1或x> A．x43a3b·＝6＋10＝16，当且仅当a＝b时，取等baB．R

D．∅

13－0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D.]

10．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中其中假命题的是( )

A．若a>b，c≠0，则ac>bc

B．若a>b，则ac2>bc2

C．若ac2>bc2，则a>b

D．若a>b>0，c>d，则ac>bd

ABD[若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，D错，故选ABD.]

11．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是( )

A．0 B．1 C．2D．3

AB[根据补集的概念，∁RB＝{x|x≥2m}．

又∵A⊆∁RB，∴2m≤2.

解得m≤1，故m的值可以是0，1.]

12．设集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之- 3 - / 7

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和为7，则实数a的值为( )

A．0B．1 C．2D．4

ABCD[x2－(a＋2)x＋2a＝(x－2)(x－a)＝0，解得x＝2或x＝a，则A＝{2，a}．x2－5x＋4＝(x－1)(x－4)＝0，解得x＝1或x＝4，则B＝{1，4}．当a＝0时，A＝{0，2}，B＝{1，4}，A∪B＝{0，1，2，4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a＝1时，A＝{1，2}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝2时，A＝{2}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝4时，A＝{2，4}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a的取值集合为{0，1，2，4}．]

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．

1x－＞0的解集是________. 13．若0＜a＜1，则不等式(a－x)a11xa＜x＜[原不等式可化为(x－a)(x－)＜0，

aa11由0＜a＜1，得a＜，∴a＜x＜.]

aa14．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值X围________．

(－∞，1][

用数轴表示集合A，B，若A∪B＝R，则a≤1，即实数a的取值X围是(－∞，1].]

15．“∃x∈[0，3]，x2－a＞0”是假命题，则实数a的取值X围是________．

[9，＋∞)[由题意得“∀x∈[0，3]，x2－a≤0”是真命题，即a≥x2，所以a≥(x2)max＝9. ]

16．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．

20[由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－116(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20.]

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．

(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB).

(2)若A∩B＝A，某某数m的取值X围．

[解](1)当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，

∴B＝{x|x＜3}，

∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，

则∁UB＝{x|3≤x＜4}，

∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x＜4}．

(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}＝{x|x＜m}，

由A∩B＝A得A⊆B，

∴m≥4，即实数m的取值X围是[4，＋∞).

18．(本小题满分12分)解下列不等式：

(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(1＋a)x＋a＜0.

[解](1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，

故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，

当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a＜1时，原不等式的解集为(a，1).

19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，当A∪B＝B时，某某数a的取值组成的集合P.

[解] 由A∪B＝B知A⊆B.

又A＝{－4，0}，故此时必有B＝{－4，0}，即－4，0为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，

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－4＋0＝－2（a＋1），于是

2（－4）×0＝a－1，得a＝1.即P＝{1}．

20．(本小题满分12分)已知a＞b＞0，求证：a＋b＋3＞ab＋2a＋b.

[证明]a＋b＋3－ab－2a－b

1＝(2a＋2b－2ab－4a－2b)＋3

21＝(a－4a＋b－2b＋a＋b－2ab)＋3

21＝(a－4a＋4＋b－2b＋1＋a＋b－2ab－5)＋3

21＝[(a－2)2＋(b－1)2＋(a－b)2－5]＋3

21111＝(a－2)2＋(b－1)2＋(a－b)2＋，

2222∵(a－2)2≥0，(b－1)2≥0，(a－b)2＞0，

∴a＋b＋3－ab－2a－b＞0，

∴a＋b＋3＞ab＋2a＋b.

21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝[0，3]，某某数m的值；

(2)若A⊆∁UB，某某数m的取值X围．

[解] 由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

(1)∵A∩B＝[0，3]，

m－2＝0，∴

m＋2≥3，∴m＝2.

(2)∁UB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}，

∵A⊆∁UB，

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∴m－2＞3或m＋2＜－1，

即m＞5或m＜－3.

22．(本小题满分12分)已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x使不等式恒成立？若存在，求出m的取值X围；若不存在，请说明理由.

[解] 要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函数y＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．

1当m＝0时，1－2x＜0，则x＞，不满足题意；

2当m≠0时，函数y＝mx2－2x－m＋1为二次函数，其图象需满足开口向下且与x轴没有公共点，

m＜0，即，不等式组的解集为空集，即m不存在．

Δ＝4－4m（1－m）＜0综上可知，不存在这样的实数m使不等式恒成立．

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