2024年2月25日发(作者：屠祺)
（2012•上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=
21
2
，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．
解 析（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）关键是证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解；
（3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值．
解 答解：（1）二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），
∴
216a+6×4+c=0
a-6+c=0
，解得
a=-2
c=8
，
∴这个二次函数的解析式为：y=-2x+6x+8；
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴
2EF
DO
=
ED
DA
．
∵
ED
DA
=tan∠DAE=
1
2
，
∴
EF
DO
=
1
2
，
∴
EF
t
=
1
2
，
∴EF=
1
2
t．
同理
DF
OA
=
ED
DA
，
∴DF=2，
∴OF=t-2．
（3）∵抛物线的解析式为：y=-2x+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．
∵∠ECA=∠OAC，
2
在△GCA与△OAC中，
∠GCA=∠CAO
AC=AC
∠COA=∠CGA
，
∴△GCA≌△OAC，
∴CG=4，AG=OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，
∴EM=OF=t-2，AM=OA+OM=OA+EF=4+
1
2
t，
由勾股定理得：
∵AE=AM+EM=(4+
2221
2
t)2+(t-2)2；
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
∴EG=
AE2-AG2
=
(4+
1
2
t)2+(t-2)2-82
5
4
t2-44
=
∵在Rt△ECF中，EF=
1
2
t，CF=OC-OF=10-t，CE=CG+EG=
5
4
t2-44
222+4
由勾股定理得：EF+CF=CE，
即(
1
2
t)2+(10-t)2=(
5
4
t2-44
+4)2，
解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，
∴t=6．
2024年2月25日发(作者：屠祺)
（2012•上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=
21
2
，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．
解 析（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）关键是证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解；
（3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值．
解 答解：（1）二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），
∴
216a+6×4+c=0
a-6+c=0
，解得
a=-2
c=8
，
∴这个二次函数的解析式为：y=-2x+6x+8；
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴
2EF
DO
=
ED
DA
．
∵
ED
DA
=tan∠DAE=
1
2
，
∴
EF
DO
=
1
2
，
∴
EF
t
=
1
2
，
∴EF=
1
2
t．
同理
DF
OA
=
ED
DA
，
∴DF=2，
∴OF=t-2．
（3）∵抛物线的解析式为：y=-2x+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．
∵∠ECA=∠OAC，
2
在△GCA与△OAC中，
∠GCA=∠CAO
AC=AC
∠COA=∠CGA
，
∴△GCA≌△OAC，
∴CG=4，AG=OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，
∴EM=OF=t-2，AM=OA+OM=OA+EF=4+
1
2
t，
由勾股定理得：
∵AE=AM+EM=(4+
2221
2
t)2+(t-2)2；
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
∴EG=
AE2-AG2
=
(4+
1
2
t)2+(t-2)2-82
5
4
t2-44
=
∵在Rt△ECF中，EF=
1
2
t，CF=OC-OF=10-t，CE=CG+EG=
5
4
t2-44
222+4
由勾股定理得：EF+CF=CE，
即(
1
2
t)2+(10-t)2=(
5
4
t2-44
+4)2，
解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，
∴t=6．