2024年2月25日发(作者：招语山)
55习 题 四 1. 判断下列结论的正误 1 f x3xx2是复数域上的多项式 2 f x41??xx3是实数域R上的多项式 3 f x51x3是有理数域Q上的多项式 4 f xx3x2x1是复数域C上的多项式. 解 1错2 错3对 4对 2. 求用gx去除fx所得的商和余式. 1 fxx42 x3x1
gx3x2x1 2 fxx32 x26x7 gxx2x2 3 fx x43x3x24x3 gx 3x310x22x3. 解 1 商为27497312??xx余式为27312744??x 2 商为1??x余式为93x 3 商为9131??x余式为31091952xx 3. 数域F中的数m p q适合什么条件时 多项式x2mx1整除x4 px2q
解 以12mxx除qpxx4所得的商式为122mpmxx余式为 1222mpqxmpmxr.
而多项式12mxx整除qpxx24的充要条件是0xr 56 即010222mpqmpm且. 所以当 10qpm或212mpq时 qpxxmxx2421整除 4. 设a∈F. 证明 对任意的正整数n 有xa整除xnan. 证明 由于 123221nnnnnnnaxaxaaxxaxax 因此ax??在nnaxF??上整除 5. 设fx∈Fx k是正整数. 证明 x整除f kx当且仅当x整除fx. 证明
充分性当.xfxxfxk整除时显然有整除 必要性作带余除法得∈
kikiikiikikikkrxrxxqikrxxqikrxxqxf∑∑110由于xfxk整除因此krx. 这说明0r即有xxqxf 因此.xfx整除 6. 设kn是正整数. 证明 xk1整除xn1当且仅当k整除n. 证明 充分性若nk令1knnkxy. 因为111nyy 57所以.11nkxx 必要性设rkqn这里.0krlt≤ 显然有.11111rkqrrrrkqrkqnxxxxxxxxx因为11nkxx且11kqkxx这一点利用了必要性结合上式知.11rkxx 这时必然有.0r 7. 用辗转相除法求fxx43x3??x2??4x??3与 gx3x310x22x??3的最大公因式fxgx 并求ux vx使得fxgxuxfxvxgx. 222115251181
fxxgxxxgxxxxxxxxx解由于 因此3xxgxf的最大公因式为与. 取 2595189527xxxvxxu即可符合要求。 8. 设F 和F都是数域 且F包含于F
fxgx∈Fx. 下列论断哪些是对的哪些是错的是对的给出证明是错的举出反例. 1在F上用gx去除fx所得的商和余式分别与在F上用gx去除fx所得的商和余式相同 2在F上gx 整除fx当且仅当在F上gx 整除fx 3fx与gx在Fx中的最大公因式和fx与gx在Fx中
58 的最大公因式相同 4fx与gx在Fx中互素当且仅当fx与gx在Fx中互素. 解 1对2对3错4对 9. 证明定理4.2.5和定理4.2.6. 证明 定理4.2.5的证明与定理4.2.2的证明完全类似故略去. 下面只给出定理4.2.6的证明。 设xfxws与的最大公因式是xd则.xfxdxwxds且又因为121xfxfxfxws是的最大公?蚴浇鴛fxwi121si所以..121xfxdsixfxdsi而 这说明11xfxfxfxdss是的公因式.
令.121ssixfxhxFxhi∈且这里11xfxfxhs是的公因式而11xfxfxws是的最大公因式因此.xwxh 再利用xfxwxds与是的最大公因式且.xdxhxfxhxwxhs知综上所述可知11xfxfxfxhss是的最大公因式。定理4.2.6得证。 10. 设在Fx中 dx是g1x g2x… gsx的公因式 且gjx dxhjx j12 …s. 证明 dx是g1x g2x… gsx的最大公因式 59当且仅当h1xh2x…hsx互素. 证明 充分性因为21xhxhxhs互素所以存在 1221121xhxuxhxuxFxuxuxus∈使 .xhxuss
两端同乘以xd得 2211xgxuxgxuxgxuxdss 这说明xd是21xgxgxgs的最大公因式。 必要性由于21xgxgxgxds是的最大公因式由定理4.2.5知存在21xFxvxvxvs∈使∑siiixgxvxd1即有∑siiixhxdxvxd1事先假定0≠xd因此有∑siiixhxv11故h1xh2x…hsx互素。 11. 证明 如果fxgx1 fxhx1 那么fxgxhx1.推广之
你可得出什么结论 证明 由1xgxf知存在xvxu 使.1xgxvxfxu 又由1xhxf知存在
11xvxu使111xhxvxfxu。所以 111xhxvxfxuxgxvxfxu 60
11111xhxgxvxvxfxhxvxuxgxuxvxfxuxu 因此.1xhxgxf 推广该结论我们有以下结论 1
若1xgxfisi21则 .121xgxgxgxfs 2 若1xgxf则对任意正整数lk有.1xgxflk 3
若1xgxfiiri21sj21则 .12121xgxgxgxfxfxfsr 12. 设fxx31tx22x2u与 gxx3txu的最大公因式是一个二次多项式 求tu的值. 解
2310231040ituitutu或或 13. 设px∈Fx 0≠c∈F. 证明若px是F上的不可约多项式 则c px也是F上的不可约多项式. 证明 假如cpx是F上的可约多项式则有cpxgxhx其中gx与hx的次数都小于cpx的次数那么1pxcgxhx??并且1cgx??与hx的次数都小于px的次数这与px不可约的假设矛盾。 14. 证明 x 21是有理数域上的不可约多项式.
61证明 假如21x在有理数域上可约由定理4.3.121x可分解为两个一次有理系数多项式的乘积因此存在有理数a与b使得 故有0 由此得出21b??而0b≠矛盾。因此21x在有理数域上不可约。 15. 试分别在实数域上、复数域上将xn1分解成为不可约多项式之积. 并说明你的分解的合理性. 解 在复数域上有
xεεε 其中ππε 上式右端每个一次因式显然在复数域上不可约. 在实数域上当n是奇数时有 xn1 x1 x22xcosnπ21
x22xcosnπ41… x22xcosnnπ1??1. 上式右端每个一次二次因式在实数域上不可约.
在实数域上当n是偶数时有 xn1 x1 x1 x22xcosnπ21 x22xcosnπ41…
x22xcosnnπ2??1. 上式右端每个一次二次因式在实数域上不可约. 16. 证明 如果f′x
f′′x1 那么fx的重因式都是二重因式. 证明 设px是fx的k重因式2k≥则存在多项式gx使.kfxpxgx 62 因此 1kkfxkpxgxpxgx??′′ kpxgxkpxgxpxgx′′′′′?? 可看出2kpx??是fx′与fx′′的公因式又由假设知′′′ 因而2.k 即px是fx的k重因式。 17.
设fx∈Fx deg fx≥1. 证明 用fx f′x去除fx所得的商没有重因式. 证明 设fx的典型分解式为 1212tkkktfxapxpxpx 其中1ik≥ 由于jpx是fx的jk重因式由定理4.3.6知jpx是fx′的1jk??重因式因而 1211112tkkktfxpxpxpxgx′ 此处gx不能被任何ipx12it整除.于是 xfxpxpxpx′ 用fxfx′去除fx所得的商为12tapxpxpx它显然没有重因式。 18. 设fx∈Fx deg fx≥1. 证明
fx没有重因式当且仅当fx f′x1. 证明 设fx的典型分解式是
631212tkkktfxapxpxpx 其中1ik≥ 由定理4.3.6知
1211112tkkktfxpxpxpxgx′ 此处gx不能被任何ipx12it整除.于是
xfxpxpxpx′ 因此当fx没有重因式时亦即121tkkk时有1fxfx′. 反之若fx与fx′互素则121tkkk即fx没有重因式. 19. 设fx gx hx∈Fx 且fx gx1. 证明 若fx与gx都整除hx 那么fxgx也整除hx. 推广之 你可得出什么结论 证明 由fxhx知存在uxFx∈ 使.uxfxhx又由gxhx知.gxuxfx 而由1gxfx知存在12vxvxFx∈使 121vxgxvxfx 上式两端同乘以ux有 12uxvxgxvxuxfxux. 这样由上式及gxuxfx可得gxux. 令uxgxwx其中.wxFx∈ 将该式代入uxfxhx得fxgxwxhx所以fxgx整除 64 .hx
推广该结论可得如下结论 若ifxgx12is且12sfxfxfx两两互素则xgx 20. 用矩阵方法求f1x f2x f3x f4x的最大公因式f1x f2x f3x f4x其中 f1xx2??1 f2xx22x1 f3xx3x22x2 f4x2x32x2??x??1. 解 将矩阵2211通过准初等变换可化为11所以1234fxfxfxfx的最大公因式为1x。 21. 用矩阵方法求fx与gx的最大公因式fx gx 并求出ux vx 使 f x gxux f xvx gx. 1 fxx4??4x31 gxx3??3x21 2 fx4x4??2x3??16x25 x9
gx2x3??x2??5 x4. 解 1将433241103101xxxx通过x-矩阵的初等变换可化为 2227933323415186207
25662560xxxx 65 故fx与gx是互素的取ux2723491113162??xx 216vxxx则有gx
4323222322242165910 2
25433xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx→→→?222333xxxxxxxx 由于33x??整除2224xx因此1x??为fx与gx的最大公因式取13ux??13x222133vxxx则有1xuxfxvxgx?? 22. 用矩阵方法求f1x
f2x f3x的最大公因式f1x f2x f3x并求出u1x u2x u3x 使得f1x f2x f3x u1x f1xu2x f2x
u3x f3x 其中 f1xx3??2x2??x2 f2xx3??4x2x6 f3xx4??4 x32x24x??3. 解 66
32322232323222222221201xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx→????→→???????????2271012222xxxxxxxxx??????????????????????→ 因此1x是123fxfxfx的最大公因式取 12351
122uxxuxux 可使fx∑ 23. 证明 多项式x3mx3n1x3p2能被多项式x2x1所整除 其中mnp为非负整数. 推广之 你可得出什么结论 证明 由于32111xxxx因此21xx的两个根为ε和2ε其中22cossin.33iππε 由3231εε可知33132210mnpεεεεε
672323123222210mnpεεεεε 因此在复数域上xε??与2xε??均整除33132mnpxxx又xε??与2xε??互素故2xxεε在复数域上整除 即21xx在复数域上整除33132mnpxxx因此在任一数域上21xx整除 推广该结论可得如下结论
当12klll为k个非负整数时多项式121kkxxx整除多项式
xxxx 24. 设x4??2x23c0c1x2c2x22c3x23c4x24 试利用综合除法求出c0 c1 c2 c3 c4. 解 利用综合除法可得 0123411 24 22 8 25. 设fx∈Fx ab∈F 且a≠b. 求用x??ax??b去除fx所得的余式. 解 令∈ 在上式中分别取xa及xb可得 可推出 sba 故所求的余式为 .fafbbfaafbxabba 26. 设fx∈Fx. 证明 fx能被x1所整除当且仅当fx的奇次项系数之和等于偶次项系数之和. 68 证明 令ax∑ 假如fx能被1x所整除则1??是fx的根故有 ∑∑∑niiiniiiniiiaaa是奇数是偶数00001即fx的奇数项系数之和等于偶数项系数之和. 反之若∑∑niiiniiiaa是奇数是偶数00则010niiia??∑即1??是fx的根进而1x整除.fx 27. 证明 sin x不是x的多项式. 证明 假如sinx是x的多项式显然它是非零多项式设它的次数为n则sinx最多有n个根但实际上sinx有无穷多个根kπ012k±±矛盾.所以sin x不是x的多项式. 28. 设a1a2…an1是数域F中的n1个互不相同的数 b1b1…bn1是F中的n1个不全为零的数. 构造一个F上的多项式次数最多是n次 fx 使得fai bi i12 … n1 并证明这样的fx是唯一的. 证明 构造出的fx为
iiiiiinbxaxaxaxafxaaaaaaaa∑ 假如fx与gx均为所求多项式则 这说明fxgx??在F中有1n个互不相同的根而0fxn??≤??≤ 由引理4.6.3知fxgx??只 69能是零多项式所以.fxgx
29. 设复系数多项式fxanxnan??1xn??1…a2x2a1xa0其中an≠0的n个复根为α1α2…αn
问复系数多项式gxa0xna1xn??1… an??2x2an??1xan的复根有几个重根按重数计算
都是哪些 解 分两种情况进行讨论 1若12nααα都不等于零则利用根与系数的
关系可知gx的n个根为12111.nααα 2若12nααα中恰有s个为0不妨设12nsααα全不为零而αα 这时
111snsnsnnssfxxaxaxaxa 其中≠ 而111nsnsssnngxaxaxaxa是一个ns??次多项式再由1的结论可知此时gx共有ns??个根 ααα? 30. 设复系数多项式fxanxnan??1xn??1…a2x2a1xa0其中an≠0的n个复根为α1α2…αn 而c是复数. 求以cα1 cα2… cαn为复根的n次多项式.
解 利用根与系数的关系可解此题。也可利用代换 因为fx的n个根为12nααα所以以12ncccααα 70 为复根的n次多项式为
12121nnnnnnnnnnnnyyyyyfaaaaacccccayacyacyacyacc 31. 求2x37x24x??3的有理根. 解 多项式322743xxx??的有理根只可能是1313.22±±±± 通过综合除法试验可知32??是其有理根且为单重根。 32. 证明 x3??3
x1在有理数域上不可约. 证明 331xx??的可能的有理根为1或-1。但是1与-1均不是331xx??的根因此331xx??没有有理根。对一个3次有理系数多项式来说当它没有有理根时它在有理数域上不可约。 33. 化下列x—矩阵为标准形 并求它们的所有行列式因子和不变因子.
1 xxxxx1514013
2 2100xxxx. 解 1通过x??矩阵的初等变换可将原矩阵化为 71210000010x 所以原矩阵的不变因子为 2123411dxdxdxdxx??原矩阵的行列式因子为Dxx?? 2通过x??矩阵的初等变换可将原矩阵化为
41002x 所以原矩阵的不变因子为4123412dxdxdxdxx各级行列式因子为 Dxx 34. 证明 数域F上的n阶x—方阵 1232100nnnaxaxaxaxaxaxLLLLLLLLLLLLL 只有一个非常数的不变因子: dnx xnan??1xn??1…a2x2a1xa0. 证明 由于题目给的x??矩阵Ax左下角1n??阶子式等于1n-1所以第1至第n-1阶行列式因子 而 72 易知Ax的行列式等于121210nnnxaxaxaxa因此Ax的第n阶行列式因子为
xaxaxaxa 再利用行列式因子与不变因子之间的关系可知Ax只有一个非常数的不变因子xaxaxaxa 35. 设A是数域F上的n阶数字方阵. 证明 x—方阵xInA与xInAT具有相同的各阶行列式因子和不变因子.
证明 由于TnxIA??nxIA??T而行列式与转置行列式相等因此nxIA??与TnxIA??对应的各阶行列式因子相等。再由行列式因子与不变因子之间的关系可知nxIA??与TnxIA??对应的各阶不变因子相等。 36. 求3阶x—方阵 11102311xxx 的不变因子. 解 令11320111xAxxxAx有一个2阶子式13030x≠??所以Ax的1阶2阶行列式因子为 而x?? 因而Ax的不变因子为xxx?? 37. 设Ax与Bx都是F上的n阶x—方阵. 证明 若Ax与Bx 是x—等价的 则Ax与Bx的行列式只相差一个非零常数因子. 证明 由于n阶x—方阵Ax与Bx是x—等价的因此它们具有共同的秩k若knlt则detdet0AxBx结论成立若kn则由Ax与Bx具有相同的n阶行列式因子nDx知detAx等于nDx的某非零常数倍detBx等于
nDx的某非零常数倍因此detAx与detBx只相差一个非零常数因子 38. 设Ax是数域F上的n阶x—方阵 且其标准形是单位矩阵In. 证明 Ax是可逆x—方阵. 证明 由于n阶x—方阵Ax的标准形为In. 即可通过一系列x—矩阵的行列初等变换可把Ax化In.因此存在n阶初等x—矩阵1212stPPPQQQ使
AxQQQI 故可得QQPPPI 因此Ax是可逆x—方阵. 39. 设A是F上的n阶数字方阵. 证明 A与AT 相似. 证明 由于nxIA??与TnxIA??具有相同的各阶行列式因子 74 和不变因子见第35题且二者的秩都等于因此nxIA??与TnxIA??是等价的再由定理4.8.4知A与TA是相似的 40. 设Ux3532xxxxxxxxxx是数域F上的x—矩阵
B1021是F上的数字方阵. 试找出F上的2行3列的x—矩阵Qx F上的2行3列的数字矩阵U0 使得UxxI2B QxU0. 解32323213UxxxxDxDxDxD令23122011000QDQDBQQDBQUDBQ则2210QxQxQxQ0U即为所求 41.判断实数域上的两个3阶的数字方阵
A163053064与B203010001 是否相似 为什么 解 对3xIA??与3xIB??施行x??矩阵的初等变换可把二者 75都化为同一个标准形2100010002xxx因而3xIA??与3xIB??等价所以A与B相似 42. 设fxx33x2??6x2 A010110201. 求fA. 解132321
0117.074fA 43. 设A是复数域上的n阶方阵
λ1 λ2 …λn 是A的全体特征根重根按重数计算.
2024年2月25日发(作者：招语山)
55习 题 四 1. 判断下列结论的正误 1 f x3xx2是复数域上的多项式 2 f x41??xx3是实数域R上的多项式 3 f x51x3是有理数域Q上的多项式 4 f xx3x2x1是复数域C上的多项式. 解 1错2 错3对 4对 2. 求用gx去除fx所得的商和余式. 1 fxx42 x3x1
gx3x2x1 2 fxx32 x26x7 gxx2x2 3 fx x43x3x24x3 gx 3x310x22x3. 解 1 商为27497312??xx余式为27312744??x 2 商为1??x余式为93x 3 商为9131??x余式为31091952xx 3. 数域F中的数m p q适合什么条件时 多项式x2mx1整除x4 px2q
解 以12mxx除qpxx4所得的商式为122mpmxx余式为 1222mpqxmpmxr.
而多项式12mxx整除qpxx24的充要条件是0xr 56 即010222mpqmpm且. 所以当 10qpm或212mpq时 qpxxmxx2421整除 4. 设a∈F. 证明 对任意的正整数n 有xa整除xnan. 证明 由于 123221nnnnnnnaxaxaaxxaxax 因此ax??在nnaxF??上整除 5. 设fx∈Fx k是正整数. 证明 x整除f kx当且仅当x整除fx. 证明
充分性当.xfxxfxk整除时显然有整除 必要性作带余除法得∈
kikiikiikikikkrxrxxqikrxxqikrxxqxf∑∑110由于xfxk整除因此krx. 这说明0r即有xxqxf 因此.xfx整除 6. 设kn是正整数. 证明 xk1整除xn1当且仅当k整除n. 证明 充分性若nk令1knnkxy. 因为111nyy 57所以.11nkxx 必要性设rkqn这里.0krlt≤ 显然有.11111rkqrrrrkqrkqnxxxxxxxxx因为11nkxx且11kqkxx这一点利用了必要性结合上式知.11rkxx 这时必然有.0r 7. 用辗转相除法求fxx43x3??x2??4x??3与 gx3x310x22x??3的最大公因式fxgx 并求ux vx使得fxgxuxfxvxgx. 222115251181
fxxgxxxgxxxxxxxxx解由于 因此3xxgxf的最大公因式为与. 取 2595189527xxxvxxu即可符合要求。 8. 设F 和F都是数域 且F包含于F
fxgx∈Fx. 下列论断哪些是对的哪些是错的是对的给出证明是错的举出反例. 1在F上用gx去除fx所得的商和余式分别与在F上用gx去除fx所得的商和余式相同 2在F上gx 整除fx当且仅当在F上gx 整除fx 3fx与gx在Fx中的最大公因式和fx与gx在Fx中
58 的最大公因式相同 4fx与gx在Fx中互素当且仅当fx与gx在Fx中互素. 解 1对2对3错4对 9. 证明定理4.2.5和定理4.2.6. 证明 定理4.2.5的证明与定理4.2.2的证明完全类似故略去. 下面只给出定理4.2.6的证明。 设xfxws与的最大公因式是xd则.xfxdxwxds且又因为121xfxfxfxws是的最大公?蚴浇鴛fxwi121si所以..121xfxdsixfxdsi而 这说明11xfxfxfxdss是的公因式.
令.121ssixfxhxFxhi∈且这里11xfxfxhs是的公因式而11xfxfxws是的最大公因式因此.xwxh 再利用xfxwxds与是的最大公因式且.xdxhxfxhxwxhs知综上所述可知11xfxfxfxhss是的最大公因式。定理4.2.6得证。 10. 设在Fx中 dx是g1x g2x… gsx的公因式 且gjx dxhjx j12 …s. 证明 dx是g1x g2x… gsx的最大公因式 59当且仅当h1xh2x…hsx互素. 证明 充分性因为21xhxhxhs互素所以存在 1221121xhxuxhxuxFxuxuxus∈使 .xhxuss
两端同乘以xd得 2211xgxuxgxuxgxuxdss 这说明xd是21xgxgxgs的最大公因式。 必要性由于21xgxgxgxds是的最大公因式由定理4.2.5知存在21xFxvxvxvs∈使∑siiixgxvxd1即有∑siiixhxdxvxd1事先假定0≠xd因此有∑siiixhxv11故h1xh2x…hsx互素。 11. 证明 如果fxgx1 fxhx1 那么fxgxhx1.推广之
你可得出什么结论 证明 由1xgxf知存在xvxu 使.1xgxvxfxu 又由1xhxf知存在
11xvxu使111xhxvxfxu。所以 111xhxvxfxuxgxvxfxu 60
11111xhxgxvxvxfxhxvxuxgxuxvxfxuxu 因此.1xhxgxf 推广该结论我们有以下结论 1
若1xgxfisi21则 .121xgxgxgxfs 2 若1xgxf则对任意正整数lk有.1xgxflk 3
若1xgxfiiri21sj21则 .12121xgxgxgxfxfxfsr 12. 设fxx31tx22x2u与 gxx3txu的最大公因式是一个二次多项式 求tu的值. 解
2310231040ituitutu或或 13. 设px∈Fx 0≠c∈F. 证明若px是F上的不可约多项式 则c px也是F上的不可约多项式. 证明 假如cpx是F上的可约多项式则有cpxgxhx其中gx与hx的次数都小于cpx的次数那么1pxcgxhx??并且1cgx??与hx的次数都小于px的次数这与px不可约的假设矛盾。 14. 证明 x 21是有理数域上的不可约多项式.
61证明 假如21x在有理数域上可约由定理4.3.121x可分解为两个一次有理系数多项式的乘积因此存在有理数a与b使得 故有0 由此得出21b??而0b≠矛盾。因此21x在有理数域上不可约。 15. 试分别在实数域上、复数域上将xn1分解成为不可约多项式之积. 并说明你的分解的合理性. 解 在复数域上有
xεεε 其中ππε 上式右端每个一次因式显然在复数域上不可约. 在实数域上当n是奇数时有 xn1 x1 x22xcosnπ21
x22xcosnπ41… x22xcosnnπ1??1. 上式右端每个一次二次因式在实数域上不可约.
在实数域上当n是偶数时有 xn1 x1 x1 x22xcosnπ21 x22xcosnπ41…
x22xcosnnπ2??1. 上式右端每个一次二次因式在实数域上不可约. 16. 证明 如果f′x
f′′x1 那么fx的重因式都是二重因式. 证明 设px是fx的k重因式2k≥则存在多项式gx使.kfxpxgx 62 因此 1kkfxkpxgxpxgx??′′ kpxgxkpxgxpxgx′′′′′?? 可看出2kpx??是fx′与fx′′的公因式又由假设知′′′ 因而2.k 即px是fx的k重因式。 17.
设fx∈Fx deg fx≥1. 证明 用fx f′x去除fx所得的商没有重因式. 证明 设fx的典型分解式为 1212tkkktfxapxpxpx 其中1ik≥ 由于jpx是fx的jk重因式由定理4.3.6知jpx是fx′的1jk??重因式因而 1211112tkkktfxpxpxpxgx′ 此处gx不能被任何ipx12it整除.于是 xfxpxpxpx′ 用fxfx′去除fx所得的商为12tapxpxpx它显然没有重因式。 18. 设fx∈Fx deg fx≥1. 证明
fx没有重因式当且仅当fx f′x1. 证明 设fx的典型分解式是
631212tkkktfxapxpxpx 其中1ik≥ 由定理4.3.6知
1211112tkkktfxpxpxpxgx′ 此处gx不能被任何ipx12it整除.于是
xfxpxpxpx′ 因此当fx没有重因式时亦即121tkkk时有1fxfx′. 反之若fx与fx′互素则121tkkk即fx没有重因式. 19. 设fx gx hx∈Fx 且fx gx1. 证明 若fx与gx都整除hx 那么fxgx也整除hx. 推广之 你可得出什么结论 证明 由fxhx知存在uxFx∈ 使.uxfxhx又由gxhx知.gxuxfx 而由1gxfx知存在12vxvxFx∈使 121vxgxvxfx 上式两端同乘以ux有 12uxvxgxvxuxfxux. 这样由上式及gxuxfx可得gxux. 令uxgxwx其中.wxFx∈ 将该式代入uxfxhx得fxgxwxhx所以fxgx整除 64 .hx
推广该结论可得如下结论 若ifxgx12is且12sfxfxfx两两互素则xgx 20. 用矩阵方法求f1x f2x f3x f4x的最大公因式f1x f2x f3x f4x其中 f1xx2??1 f2xx22x1 f3xx3x22x2 f4x2x32x2??x??1. 解 将矩阵2211通过准初等变换可化为11所以1234fxfxfxfx的最大公因式为1x。 21. 用矩阵方法求fx与gx的最大公因式fx gx 并求出ux vx 使 f x gxux f xvx gx. 1 fxx4??4x31 gxx3??3x21 2 fx4x4??2x3??16x25 x9
gx2x3??x2??5 x4. 解 1将433241103101xxxx通过x-矩阵的初等变换可化为 2227933323415186207
25662560xxxx 65 故fx与gx是互素的取ux2723491113162??xx 216vxxx则有gx
4323222322242165910 2
25433xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx→→→?222333xxxxxxxx 由于33x??整除2224xx因此1x??为fx与gx的最大公因式取13ux??13x222133vxxx则有1xuxfxvxgx?? 22. 用矩阵方法求f1x
f2x f3x的最大公因式f1x f2x f3x并求出u1x u2x u3x 使得f1x f2x f3x u1x f1xu2x f2x
u3x f3x 其中 f1xx3??2x2??x2 f2xx3??4x2x6 f3xx4??4 x32x24x??3. 解 66
32322232323222222221201xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx→????→→???????????2271012222xxxxxxxxx??????????????????????→ 因此1x是123fxfxfx的最大公因式取 12351
122uxxuxux 可使fx∑ 23. 证明 多项式x3mx3n1x3p2能被多项式x2x1所整除 其中mnp为非负整数. 推广之 你可得出什么结论 证明 由于32111xxxx因此21xx的两个根为ε和2ε其中22cossin.33iππε 由3231εε可知33132210mnpεεεεε
672323123222210mnpεεεεε 因此在复数域上xε??与2xε??均整除33132mnpxxx又xε??与2xε??互素故2xxεε在复数域上整除 即21xx在复数域上整除33132mnpxxx因此在任一数域上21xx整除 推广该结论可得如下结论
当12klll为k个非负整数时多项式121kkxxx整除多项式
xxxx 24. 设x4??2x23c0c1x2c2x22c3x23c4x24 试利用综合除法求出c0 c1 c2 c3 c4. 解 利用综合除法可得 0123411 24 22 8 25. 设fx∈Fx ab∈F 且a≠b. 求用x??ax??b去除fx所得的余式. 解 令∈ 在上式中分别取xa及xb可得 可推出 sba 故所求的余式为 .fafbbfaafbxabba 26. 设fx∈Fx. 证明 fx能被x1所整除当且仅当fx的奇次项系数之和等于偶次项系数之和. 68 证明 令ax∑ 假如fx能被1x所整除则1??是fx的根故有 ∑∑∑niiiniiiniiiaaa是奇数是偶数00001即fx的奇数项系数之和等于偶数项系数之和. 反之若∑∑niiiniiiaa是奇数是偶数00则010niiia??∑即1??是fx的根进而1x整除.fx 27. 证明 sin x不是x的多项式. 证明 假如sinx是x的多项式显然它是非零多项式设它的次数为n则sinx最多有n个根但实际上sinx有无穷多个根kπ012k±±矛盾.所以sin x不是x的多项式. 28. 设a1a2…an1是数域F中的n1个互不相同的数 b1b1…bn1是F中的n1个不全为零的数. 构造一个F上的多项式次数最多是n次 fx 使得fai bi i12 … n1 并证明这样的fx是唯一的. 证明 构造出的fx为
iiiiiinbxaxaxaxafxaaaaaaaa∑ 假如fx与gx均为所求多项式则 这说明fxgx??在F中有1n个互不相同的根而0fxn??≤??≤ 由引理4.6.3知fxgx??只 69能是零多项式所以.fxgx
29. 设复系数多项式fxanxnan??1xn??1…a2x2a1xa0其中an≠0的n个复根为α1α2…αn
问复系数多项式gxa0xna1xn??1… an??2x2an??1xan的复根有几个重根按重数计算
都是哪些 解 分两种情况进行讨论 1若12nααα都不等于零则利用根与系数的
关系可知gx的n个根为12111.nααα 2若12nααα中恰有s个为0不妨设12nsααα全不为零而αα 这时
111snsnsnnssfxxaxaxaxa 其中≠ 而111nsnsssnngxaxaxaxa是一个ns??次多项式再由1的结论可知此时gx共有ns??个根 ααα? 30. 设复系数多项式fxanxnan??1xn??1…a2x2a1xa0其中an≠0的n个复根为α1α2…αn 而c是复数. 求以cα1 cα2… cαn为复根的n次多项式.
解 利用根与系数的关系可解此题。也可利用代换 因为fx的n个根为12nααα所以以12ncccααα 70 为复根的n次多项式为
12121nnnnnnnnnnnnyyyyyfaaaaacccccayacyacyacyacc 31. 求2x37x24x??3的有理根. 解 多项式322743xxx??的有理根只可能是1313.22±±±± 通过综合除法试验可知32??是其有理根且为单重根。 32. 证明 x3??3
x1在有理数域上不可约. 证明 331xx??的可能的有理根为1或-1。但是1与-1均不是331xx??的根因此331xx??没有有理根。对一个3次有理系数多项式来说当它没有有理根时它在有理数域上不可约。 33. 化下列x—矩阵为标准形 并求它们的所有行列式因子和不变因子.
1 xxxxx1514013
2 2100xxxx. 解 1通过x??矩阵的初等变换可将原矩阵化为 71210000010x 所以原矩阵的不变因子为 2123411dxdxdxdxx??原矩阵的行列式因子为Dxx?? 2通过x??矩阵的初等变换可将原矩阵化为
41002x 所以原矩阵的不变因子为4123412dxdxdxdxx各级行列式因子为 Dxx 34. 证明 数域F上的n阶x—方阵 1232100nnnaxaxaxaxaxaxLLLLLLLLLLLLL 只有一个非常数的不变因子: dnx xnan??1xn??1…a2x2a1xa0. 证明 由于题目给的x??矩阵Ax左下角1n??阶子式等于1n-1所以第1至第n-1阶行列式因子 而 72 易知Ax的行列式等于121210nnnxaxaxaxa因此Ax的第n阶行列式因子为
xaxaxaxa 再利用行列式因子与不变因子之间的关系可知Ax只有一个非常数的不变因子xaxaxaxa 35. 设A是数域F上的n阶数字方阵. 证明 x—方阵xInA与xInAT具有相同的各阶行列式因子和不变因子.
证明 由于TnxIA??nxIA??T而行列式与转置行列式相等因此nxIA??与TnxIA??对应的各阶行列式因子相等。再由行列式因子与不变因子之间的关系可知nxIA??与TnxIA??对应的各阶不变因子相等。 36. 求3阶x—方阵 11102311xxx 的不变因子. 解 令11320111xAxxxAx有一个2阶子式13030x≠??所以Ax的1阶2阶行列式因子为 而x?? 因而Ax的不变因子为xxx?? 37. 设Ax与Bx都是F上的n阶x—方阵. 证明 若Ax与Bx 是x—等价的 则Ax与Bx的行列式只相差一个非零常数因子. 证明 由于n阶x—方阵Ax与Bx是x—等价的因此它们具有共同的秩k若knlt则detdet0AxBx结论成立若kn则由Ax与Bx具有相同的n阶行列式因子nDx知detAx等于nDx的某非零常数倍detBx等于
nDx的某非零常数倍因此detAx与detBx只相差一个非零常数因子 38. 设Ax是数域F上的n阶x—方阵 且其标准形是单位矩阵In. 证明 Ax是可逆x—方阵. 证明 由于n阶x—方阵Ax的标准形为In. 即可通过一系列x—矩阵的行列初等变换可把Ax化In.因此存在n阶初等x—矩阵1212stPPPQQQ使
AxQQQI 故可得QQPPPI 因此Ax是可逆x—方阵. 39. 设A是F上的n阶数字方阵. 证明 A与AT 相似. 证明 由于nxIA??与TnxIA??具有相同的各阶行列式因子 74 和不变因子见第35题且二者的秩都等于因此nxIA??与TnxIA??是等价的再由定理4.8.4知A与TA是相似的 40. 设Ux3532xxxxxxxxxx是数域F上的x—矩阵
B1021是F上的数字方阵. 试找出F上的2行3列的x—矩阵Qx F上的2行3列的数字矩阵U0 使得UxxI2B QxU0. 解32323213UxxxxDxDxDxD令23122011000QDQDBQQDBQUDBQ则2210QxQxQxQ0U即为所求 41.判断实数域上的两个3阶的数字方阵
A163053064与B203010001 是否相似 为什么 解 对3xIA??与3xIB??施行x??矩阵的初等变换可把二者 75都化为同一个标准形2100010002xxx因而3xIA??与3xIB??等价所以A与B相似 42. 设fxx33x2??6x2 A010110201. 求fA. 解132321
0117.074fA 43. 设A是复数域上的n阶方阵
λ1 λ2 …λn 是A的全体特征根重根按重数计算.