2024年3月13日发(作者：申屠问玉)
§8.7 抛物线
考试要求 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆
锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程
图形
范围
焦点
准线方程
对称轴
顶点
离心率
微思考
1．抛物线定义中，若l经过点F，则点的轨迹会怎样？
提示 若l经过点F，则到F与到l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．
2．怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多
少？
p
提示 抛物线y
2
＝2px(p>0)上一点P(x
0
，y
0
)到焦点的距离(焦半径)为x
0
＋；抛物线的焦点弦
2
的最小值是2p(通径的长度)．
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
y
2
＝2px(p>0) y
2
＝－2px(p>0) x
2
＝2py(p>0) x
2
＝－2py(p>0)
p
，0
2
p
x＝－
2
x轴
－
p
，0
2
p
x＝
2
0，
p
2
p
y＝－
2
y轴
(0,0)
e＝1
0，－
p
2
p
y＝
2
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
a
(2)方程y＝ax
2
(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是
4
，0
，准线方
a
程是x＝－.( × )
4
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × )
题组二 教材改编
2．过抛物线y
2
＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x
1
，y
1
)，Q(x
2
，y
2
)两点，如果x
1
＋x
2
＝6，
则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y
2
＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|
＝x
1
＋1＋x
2
＋1＝x
1
＋x
2
＋2＝8.
3．抛物线y
2
＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为______．
答案 2
解析 设P(x
1
，y
1
)，则|PF|＝x
1
＋2＝5，得x
1
＝3，y
1
＝±26.故满足条件的点的个数为2.
4．已知A(2,0)，B为抛物线y
2
＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
答案
7
2
解析 设点B(x，y)，则x＝y
2
≥0，
所以|AB|＝x－2
2
＋y
2
＝x－2
2
＋x
＝x
2
－3x＋4＝
x－
3
2
＋
7
.
2
4
37
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|
min
＝.
22
题组三 易错自纠
5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
9
A．y
2
＝x
2
9
C．y
2
＝－x
2
答案 BC
4
B．x
2
＝y
3
4
D．x
2
＝－y
3
2024年3月13日发(作者：申屠问玉)
§8.7 抛物线
考试要求 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆
锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程
图形
范围
焦点
准线方程
对称轴
顶点
离心率
微思考
1．抛物线定义中，若l经过点F，则点的轨迹会怎样？
提示 若l经过点F，则到F与到l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．
2．怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多
少？
p
提示 抛物线y
2
＝2px(p>0)上一点P(x
0
，y
0
)到焦点的距离(焦半径)为x
0
＋；抛物线的焦点弦
2
的最小值是2p(通径的长度)．
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
y
2
＝2px(p>0) y
2
＝－2px(p>0) x
2
＝2py(p>0) x
2
＝－2py(p>0)
p
，0
2
p
x＝－
2
x轴
－
p
，0
2
p
x＝
2
0，
p
2
p
y＝－
2
y轴
(0,0)
e＝1
0，－
p
2
p
y＝
2
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
a
(2)方程y＝ax
2
(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是
4
，0
，准线方
a
程是x＝－.( × )
4
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × )
题组二 教材改编
2．过抛物线y
2
＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x
1
，y
1
)，Q(x
2
，y
2
)两点，如果x
1
＋x
2
＝6，
则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y
2
＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|
＝x
1
＋1＋x
2
＋1＝x
1
＋x
2
＋2＝8.
3．抛物线y
2
＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为______．
答案 2
解析 设P(x
1
，y
1
)，则|PF|＝x
1
＋2＝5，得x
1
＝3，y
1
＝±26.故满足条件的点的个数为2.
4．已知A(2,0)，B为抛物线y
2
＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
答案
7
2
解析 设点B(x，y)，则x＝y
2
≥0，
所以|AB|＝x－2
2
＋y
2
＝x－2
2
＋x
＝x
2
－3x＋4＝
x－
3
2
＋
7
.
2
4
37
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|
min
＝.
22
题组三 易错自纠
5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
9
A．y
2
＝x
2
9
C．y
2
＝－x
2
答案 BC
4
B．x
2
＝y
3
4
D．x
2
＝－y
3