2024年3月15日发(作者：子车锦)

关于复变函数积分求解总结

关于复变函数积分求解总结

关于求积分的各种方法的总结

摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结

归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求

积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线

1.利用定义求积分

例1、计算积分xyix2dz，积分路径C是连接由0到1i的直线段.

c解：yx0x1为从点0到点1i的直线方程，于是

xyixdz2cxyixdxiy

201ixxixdxix

20xx011iixdx1i3.

2.利用柯西积分定理求积分

柯西积分定理：设fz在单连通区域

1

D内解析，C为D内任一条周线，则

fzdzc0.

D柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，

DDC上解析，则fzdz0.

c为C之内部，fz在闭域

例2、求coszzidz，其中C为圆周z3i1，

c解：圆周C为z3z1，被积函数的奇点为i，在C的外部，

于是，

coszzi在以C为边界的闭圆z3i1上解析，

coszzidz0.

故由柯西积分定理的等价形式得c如果D为多连通区域，有如下定理：

设D是由复周线CC0C1C2Cn所构成的有界多连通区域，fz在D内解析，在DDC

上连续，则fzdz0.

c例3.计算积分dzz16z3z1.

2

2024年3月15日发(作者：子车锦)

关于复变函数积分求解总结

关于复变函数积分求解总结

关于求积分的各种方法的总结

摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结

归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求

积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线

1.利用定义求积分

例1、计算积分xyix2dz，积分路径C是连接由0到1i的直线段.

c解：yx0x1为从点0到点1i的直线方程，于是

xyixdz2cxyixdxiy

201ixxixdxix

20xx011iixdx1i3.

2.利用柯西积分定理求积分

柯西积分定理：设fz在单连通区域

1

D内解析，C为D内任一条周线，则

fzdzc0.

D柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，

DDC上解析，则fzdz0.

c为C之内部，fz在闭域

例2、求coszzidz，其中C为圆周z3i1，

c解：圆周C为z3z1，被积函数的奇点为i，在C的外部，

于是，

coszzi在以C为边界的闭圆z3i1上解析，

coszzidz0.

故由柯西积分定理的等价形式得c如果D为多连通区域，有如下定理：

设D是由复周线CC0C1C2Cn所构成的有界多连通区域，fz在D内解析，在DDC

上连续，则fzdz0.

c例3.计算积分dzz16z3z1.

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