2024年3月22日发(作者：铎静)

勾股定理

一、内容提要

1.

勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠



a

2

＋b

2

=c

2

2.

勾股定理及逆定理的应用

① 作已知线段a的

2

，

3

，

5

……倍

② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题

③ 证明线段的平方关系等。

3.

勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a

2

＋b

2

=c

2

，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.

4.

勾股数的推算公式

① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）

任取两个正整数m和n(m>n),那么m

2

-n

2

，2mn, m

2

+n

2

是一组勾股数。

k

2

1k

2

1

② 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。

22



K



K



③ 如果k是大于2的偶数，那么k,



1

,



1

是一组勾股数。



2



2



④ 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。

5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，

25； 8，15，17； 9，40，41。

1.常用勾股数口诀记忆

22

常见勾股数

3，4，5 ： 勾三股四弦五

5，12，13 ： 5·12记一生

6，8，10： 连续的偶数

7，24，25 ： 企鹅是二百五

8，15，17 ： 八月十五在一起

特殊勾股数

连续的勾股数只有3，4，5

连续的偶数勾股数只有6，8，10

2.100以内的勾股数

开头数字为20以内

6. 3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；

14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82

二、例题

例1.已知线段a a

5

a 2a 3a

5

a

求作线段

5

a a

222

分析一：

5

a＝

5a

＝

4aa

2a

1

∴

5

a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。

分析二：

5

a＝

9a4a

2

∴

5

a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图（略）

例2.四边形ABCD中∠DAB＝60



，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2

求对角线AC的长

A

例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A

b

c

求证：AB

2

－BC

2

＝AB×BC

例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD

C

B

　m

D

n

求证：AB＝AC

例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC

求证：AC＞BD

证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F

ACDE和BCDF都是平行四边形

∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF

D

j

C

作DH⊥AB于H，根据勾股定理

AH＝

2

AD

2

-DH

2

，FH＝

DF

2

-DH

2

E

B

∵AD＞BC，AD＞DF

A

F

H

∴AH＞FH，EH＞BH

222

DE＝

DHEH

，BD＝

DHBH

∴DE＞BD

即AC＞BD

例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且S

EFGH

＝

AE

D

H

2

3

求：

ba

的值

（2001年希望杯数学邀请赛，初二）

F

三、练习

C

B

G

1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：

① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿

④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿

2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：

① 25

2

－24

2

＝＿＿， ②5

2

＋12

2

＝＿＿，

③

815

＝＿＿＿，④

25-15

＝＿＿＿

3. △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S

△

ABC

＝＿＿，CH＝＿＿，MH

＝＿＿＿

4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S

梯形

＝＿＿＿

5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD

求证：AE＝AF

2

2222

2024年3月22日发(作者：铎静)

勾股定理

一、内容提要

1.

勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠



a

2

＋b

2

=c

2

2.

勾股定理及逆定理的应用

① 作已知线段a的

2

，

3

，

5

……倍

② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题

③ 证明线段的平方关系等。

3.

勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a

2

＋b

2

=c

2

，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.

4.

勾股数的推算公式

① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）

任取两个正整数m和n(m>n),那么m

2

-n

2

，2mn, m

2

+n

2

是一组勾股数。

k

2

1k

2

1

② 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。

22



K



K



③ 如果k是大于2的偶数，那么k,



1

,



1

是一组勾股数。



2



2



④ 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。

5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，

25； 8，15，17； 9，40，41。

1.常用勾股数口诀记忆

22

常见勾股数

3，4，5 ： 勾三股四弦五

5，12，13 ： 5·12记一生

6，8，10： 连续的偶数

7，24，25 ： 企鹅是二百五

8，15，17 ： 八月十五在一起

特殊勾股数

连续的勾股数只有3，4，5

连续的偶数勾股数只有6，8，10

2.100以内的勾股数

开头数字为20以内

6. 3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；

14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82

二、例题

例1.已知线段a a

5

a 2a 3a

5

a

求作线段

5

a a

222

分析一：

5

a＝

5a

＝

4aa

2a

1

∴

5

a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。

分析二：

5

a＝

9a4a

2

∴

5

a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图（略）

例2.四边形ABCD中∠DAB＝60



，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2

求对角线AC的长

A

例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A

b

c

求证：AB

2

－BC

2

＝AB×BC

例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD

C

B

　m

D

n

求证：AB＝AC

例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC

求证：AC＞BD

证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F

ACDE和BCDF都是平行四边形

∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF

D

j

C

作DH⊥AB于H，根据勾股定理

AH＝

2

AD

2

-DH

2

，FH＝

DF

2

-DH

2

E

B

∵AD＞BC，AD＞DF

A

F

H

∴AH＞FH，EH＞BH

222

DE＝

DHEH

，BD＝

DHBH

∴DE＞BD

即AC＞BD

例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且S

EFGH

＝

AE

D

H

2

3

求：

ba

的值

（2001年希望杯数学邀请赛，初二）

F

三、练习

C

B

G

1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：

① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿

④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿

2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：

① 25

2

－24

2

＝＿＿， ②5

2

＋12

2

＝＿＿，

③

815

＝＿＿＿，④

25-15

＝＿＿＿

3. △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S

△

ABC

＝＿＿，CH＝＿＿，MH

＝＿＿＿

4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S

梯形

＝＿＿＿

5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD

求证：AE＝AF

2

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