2024年3月22日发(作者：硕舒云)

河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四）理科

数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

∣2x4}

，

B{x∣(x6)(x3)0}

，则（

1

．已知集合

A{x

A

．

2AB

B

．

3AB

C

．

4AB

）

D

．

5AB

）

2

．若复数

z

的共轭复数为

z

，且

z(2i)z35i

，则

z

的虚部为（

A

．

2i

B

．

2i

C

．

2

D

．

2

）

1

n

3．已知等比数列



a

n



的前n项和为

S

n

，且

S

n



2

m

，

mR

，则

S

4



（

3

A．

13

3

B．5C．

17

3

D．

22

3

4

．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收

藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称

“

佛塔

”

．如图，为测量某塔的

总高度

AB

，选取与塔底

B

在同一水平面内的两个测量基点

C

与

D

，现测得

BCD30

，

BDC45

，

CD30

米，在

C

点测得塔顶

A

的仰角为

60°

，则塔的总高度约为（

（参考数据：

21.4

，

31.7

）

）

A．13米

5．函数

y



B．24米C．39米

）

D．45米

x



3sin

x

的大致图象是（

|

x

|

A．B．

C．D．

试卷第1页，共6页

6．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”

五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多

有一项被选中的概率为（

A

．

0.9

）

C

．

0.6

D

．

0.3

B

．

0.7



x



y



3



0,



7．记不等式组



x



y



1



0,

的解集为D，现有下面四个命题：



x



3



0



p

1

:(x,y)D

，

2xy80

；

p

2

:(x,y)D

，

x2y40

；

p

3

:(x,y)D

，

xy30

；

p

4

:(x,y)D

，

x3y30

．

其中真命题的个数是（

A．1

）

C．3D．4B．2

8．已知抛物线

C:x

2

2py(p0)

的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与



抛物线的准线交于点

M

，且点

A

位于第一象限，

F

恰好为

AM

的中点，

AF



BM

(



R)

，

则





（

A．

3

2

）

B．

4

3

C．

2

D．

3

9

．任意写出一个正整数

m

，并且按照以下的规律进行变换：如果

m

是个奇数，则下一

1

步变成

3m1

，如果

m

是个偶数，则下一步变成

m

，无论

m

是怎样一个数字，最终必

2

进入循环圈

1421

，这就是数学史上著名的

“

冰雹猜想

”

．它可以表示为数列



3

a

n



1,

当

a

n

为奇数时





a

n



:

a

1

m

（

m

为正整数），

a

n



1





1

，若

a

7

2

，则

m

的所有可能

a

,

当

a

为偶数时

n



2

n



取值之和为（

A

．

188

）

B

．

190

C

．

192

D

．

201

10

．在菱形

ABCD

中，

AB5

，

AC6

，

AC

与

BD

的交点为

G

，点

M

，

N

分别在线段

1

1

CNND

，AD，CD上，且

AMMD

，将

MND

沿MN折叠到

△MND



，使

GD



22

，

3

3

则三棱锥

D



ABC

的外接球的表面积为（

A．

1203

π

16

）

C．

289

π

8

B．

627

π

16

D．

40π

x

2

y

2

11．设双曲线

E:

2



2



1

(a0,b0)

的左、右焦点分别为

F

1

，

F

2

，B为双曲线E上

ab

在第一象限内的点，线段

F

1

B

与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且

F

2

MAB

，

若

AF

1

F

2

30

，则双曲线E的离心率为（）

试卷第2页，共6页

A．

5

B．2C．

3

D．

2

）

12

．已知

ae

0.618

1

，

bln1.618

，

ctan0.618

，其中

e

为自然对数的底数，则（

A

．

cab

C

．

bac

B

．

abc

D

．

acb

二、填空题

3



13．二项式



x

2





的展开式中

x

4

的系数为________．

x



14

．如图，在矩形

ABCD

中，

AB2BC2

，

AC

与

BD

的交点为

M

，

N

为边

AB

上任



意点（包含端点），则

MBDN

的最大值为

________

．

5

15．圆

M:x

2

y

2

2x80

与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足

|

NA

|



2

，

|

NB

|

直线

l:ykxm(k0)

与圆

M

和点

N

的轨迹同时相切，则直线

l

的斜率为

________

．

16．先将函数

f(x)cosx

的图象向左平移

坐标变为原来的

1

2π

个单位长度，再将所得图象上所有点的横

3



(





0)

，纵坐标不变，所得图象与函数

g(x)

的图象关于x轴对称，



ππ





2π



若函数

g(x)

在



0,



上恰有两个零点，且在





,



上单调递增，则



的取值范围是



1212





3



________

．

三、解答题

17．在

ABC

中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

3(bacosC)csinA

．

(1)求A；

(2)若

ABC

的面积为

1

93

，点D在线段AC上，且

ADAC

，求BD的最小值．

3

4

18

．如图，在四棱锥

MABCD

中，底面

ABCD

是平行四边形，

AB4

，

AD22

，

MC22

，



ADC=45

，点

M

在底面

ABCD

上的射影为

CD

的中点

O

，

E

为线段

AD

上的点

(

含端点

)

．

试卷第3页，共6页

(1)

若

E

为线段

AD

的中点，证明：平面

MOE

平面

MAD

；

(2)

若

3AEDE

，求二面角

DMEO

的余弦值．

19

．某公司为了解年营销费用

x

（单位：万元）对年销售量

y

（单位：万件）的影响，

统计了近5年的年营销费用

x

i

和年销售量

y

i

(

i

1,2,3,4,5)

，得到的散点图如图所示，对

数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．



u

i



1

5

i



v

i



1

5

i





u



u



v



v







u



u



i



1

ii

i



1

i

5

5

2

16.10

26.02

0.40

1.60

1

5

1

5

表中

u

i



ln

x

i

，

v

i



ln

y

i

，

u





u

i

，

v





v

i

．已知

yax

b

可以作为年销售量y

5

i



1

5

i



1

关于年营销费用x的回归方程．

(1)求y关于x的回归方程；

(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估

计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益



销售

利润



营销费用



固定成本）

参考数据：

e

4.399

81

，

3

3



13

．

9

参考公式：对于一组数据



u

1

,

v

1



,



u

2

,

v

2



,



,



u

n

,

v

n



，其回归直线

v







u

的斜率和截

试卷第4页，共6页

ˆ



距的最小二乘估计分别为







u



u



v



v



i



1

ii

n

`





u



u



i



1

i

n

2

ˆ

u

．

ˆ

v



，





3



1

x

2

y

2

20．已知椭圆

C

:

2



2



1(

a



b



0)

的右焦点为F，离心率为

2

，且点



1,



在㮋圆上．



2



ab

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，

经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的

取值范围．

21

．已知函数

f(x)2mxmxcosxsinx(mR)

．

(1)当

m1

时，求

f(x)

在点



π,f



π





处的切线方程；

(2)

当

x0

时，

f(x)0

，求实数

m

的取值范围．



x



1



t

,

22．在直角坐标系

xOy

中，直线l的参数方程为



其中t为参数，以坐标原点为



y



1



t

,

极点，曲线

C

的极坐标方程为



2|sin



|2|cos



|

，

x

轴非负半轴为极轴建立极坐标系，

其中



为参数．

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并画出曲线C的简图（无需写出作

图过程）；





π





(2)直线

m:















0,





与曲线C相交于A，B两点，且

|AB|26

，求



的值．



2





23

．已知函数

f(x)2|x1||x1|4

的最小值为

m

．

试卷第5页，共6页

(1)

在直角坐标系中画出

yf(x)

的图象，并求出

m

的值；

a

2

b

2

c

2

(2)a，b，c均为正数，且

abcm1

，求



的最小值．

bca

试卷第6页，共6页

参考答案：

1．B

【分析】根据二次不等式解法求出集合

B

，求出

AB

及

AB

，根据元素和集合的关系即

可逐项判断

.

∣x6

或

x3}

，

∣2x3}

，

AB{x∣x4

或

x6}

，【详解】由题可知

B{x

则

AB{x

依据选项可知

B

正确

.

故选：B．

2．D

【分析】先根据条件求出复数

z

，然后可得虚部

.

【详解】设复数

zabi

，

a

，

bR

，则

abi(2i)(abi)

(ab)(3ba)i

35i

，



a



1





(

a



b

)



3

即



，解得



，则

z12i

，故z的虚部为2.

3

b



a



5

b



2





故选：D．

3．B

【分析】先根据

S

n

的定义依次求出

a

1

,a

2

,a

3

，再由等比数列的定义即可得到关于

m

的关系式，

解之即可得出答案

.

1

n

【详解】因为

S

n



2

m

，

3

当

n1

时，

a

1

S

1



2

m

，

3

4

2

m

，则

a

2



，

3

3

当

n2

时，

a

1

a

2

S

2



4

8

m

，则

a

3



，

3

3

a

3

a

2

1

因为



a

n



是等比数列，所以

q



2

，则

a

1



，

a

2

q

3

当

n3

时，

a

1

a

2

a

3

S

3



21

1

所以

m

，解得

m

，

3

33

1

n

1

则

S

n



2



，

33

则

S

4

5

.

故选：B.

4．C

【分析】在Rt△ABC根据∠ACB的正切得AB与BC的关系，在△BCD中利用正弦定理列

答案第

1

页，共

17

页

式即可求解．

【详解】设

ABm

，则

BC

mm



，

tan60



3

CDBC



，

sin105



sin45



2



6

，

4

在

△BCD

中，

CBD105

，由正弦定理得

因为

sin105sin



4560



sin45cos60cos45sin60



代入数据，解得

m90303

90301.739

（米），

故选：C．

5．A

【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项

B,D

；再利用特殊值即可排除选项

C

，进而求解

.

【详解】函数

y



f

(

x

)



且

f

(



x

)



x



3sin

x

的定义域为

(,0)(0,)

，

x



x



3sin(



x

)



x



3sin

x



f

(

x

)

，

xx

所以

f(x)

是奇函数，图象关于原点对称，排除

B,D

选项，

只需研究

x0

的图象，当

x

故选：

A

．

6．B

【分析】方法一：根据排列组合结合分类加法法则得出答案；

方法二：先求出“书法、舞蹈这两项活动都被选中”的概率，即可根据对立事件的概率求法得

出答案.

【详解】方法一：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：

①都没有被选中，有

C

3

种情况；②两项活动只有一项被选中，有

C

2

C

3

种情况，

12

C

3

7

3



C

2

C

3



0.7

，故选B．则所求概率为

P



C

3

10

5

312

π

πππ3

时，



3sin



0

，则

6

6662



π



f





0

，排除

C

选项.



6



方法二：

“

书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中

”

的对立事件是

“

书法、舞蹈这两项活动

2

C

1

7

3

C

2

都被选中”，故所求概率为

P

1



3



0.7

，

C

5

10

故选：B．

7．C

【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的关

答案第

2

页，共

17

页

系，再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.

【详解】不等式组的解集D表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题

p

1

为真

命题，依据图（2）知命题

p

2

为真命题，

依据图（3）知命题

p

3

为假命题，依据图（4）知命题

p

4

为真命题．所以真命题有3个，

故选：C．

8．A

【分析】过点

A

，

B

分别作准线的垂线，垂足分别为

N

，

E

，根据抛物线的定义，又

F

恰好

为AM的中点，可得到比例

【详解】如图，

|

AF

|

，进一步推导得到



的值.

|

BM

|

|BF||BE|

，过点

A

，垂足分别为

N

，根据抛物线的定义得

|AF||AN|

，

B

分别作准线的垂线，

E

，

因为F为AM的中点，所以

|

AF

||

BF

|



|

BM

||

BF

|



1

，又

|

BM

||

BM

||

BM

|

答案第

3

页，共

17

页

|

AN

||

AF

|1|

AF

||

BF

|13

|

BF

||

BE

|

3



，所以



1



1



，所以





.



|

BM

||

BM

|22

|

BM

||

BM

|

|

AM

||

AM

|2

2

故选：A

9．B

【分析】列举出

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

的可能情况，可得出

m

的所有可能取值，

相加即可得解

.

【详解】由题意，

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

的可能情况有：

①

2142142

；②

16842142

；

③

2010516842

；④

310516842

；

⑤

128643216842

；⑥

21643216842

；

所以，

m

的可能取值集合为



2,16,20,3,128,21



，

m

的所有可能取值之和为

21620312821190

.

故选：B.

10．B

【分析】设

MN

与

BD

的交点为

H

，连接

D



H

，证明

D



G

平面

ABC

．设

ABC

的外接圆圆

心为

O

1

，



AD



C

的外接圆圆心为

O

2

，过

O

1

，

O

2

分别作平面

ABC

，平面

AD



C

的垂线，设

两垂线交于点O，则O是三棱锥

D



ABC

外接球的球心，先求出

r

1

,r

2

，再求出三棱锥

D



ABC

的外接球的半径

R

即得解

.

1

1

【详解】如图所示，因为

AMMD

，

CNND

，

3

3

所以

MN//AC

，设

MN

与

BD

的交点为

H

，连接

D'H

，

因为

ADCDAB5

，

GAGC3

，所以

DG4

，则

GH1

，

DH3

，

所以

D



H3

．又

GD



22

，则

D



G

2

GH

2

D



H

2

，则

D



GGH

．又

D



GAC

，

ACHGG

，

AC，HG

平面

ABC

，故

D



G

平面

ABC

．

设

ABC

的外接圆圆心为

O

1

，



AD



C

的外接圆圆心为

O

2

，过

O

1

，

O

2

分别作平面

ABC

，平

面

AD



C

的垂线，设两垂线交于点

O

，则

O

是三棱锥

D



ABC

外接球的球心，且四边形

O

1

OO

2

G

为矩形．设

ABC

的外接圆半径为

r

1

，在

ABC

中，由



4r

1



3

2

r

1

2

，解得

r

1



2

25

，

8

同理可得



AD



C

的外接圆半径

r

2



172

2

，所以

GO

2



．设三棱锥

D



ABC

的外接球半

8

8

答案第

4

页，共

17

页

222

径为R，则

RO

1

AGO

2



6252627



，则三棱锥

D



ABC

的外接球的表面积

646464

S

4



R

2



627

π

.

16

故选：B．

11．D

【分析】连结连接

AF

2

、

BF

2

.设

AF

2



BF

2

m

，根据双曲线的定义可推得

|AB|4a

，即

m2a

．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得

F

2

M2c

2

2a

2

.结合已知条件，即可

得出

c

2

2a

2

，从而得出离心率

.

【详解】

如图，连接

AF

2

、

BF

2

.

因为M为AB的中点，

F

2

MAB

，所以

AF

2

BF

2

．

设

AF

2



BF

2

m

，

因为

AF

2

AF

1

2a

，所以

AF

1

m2a

.

又因为

BF

1



BF

2

2

a

，所以

BF

1



m2a

，

答案第

5

页，共

17

页

则

|AB|BF

1

AF

1

4a

．

因为M为AB的中点，所以

|AM||BM|2a

，则

F

1

Mm

．

设

F

1

F

2

2

c

，在

Rt△F

1

F

2

M

中，

F

2

M

在

Rt△AF

2

M

中，

F

2

M

F

1

F

2

F

1

M

22

4c

2

m

2

，

AF

2

AM

22

m

2

4a

2

，

则

4c

2

m

2

m

2

4a

2

，整理可得

m

2

2a

2

2c

2

，所以

F

2

M2c

2

2a

2

．

当

AF

1

F

2

30

时，

sinAF

1

F

2



所以离心率为

e



故选：D．

12．D

【分析】构造函数

f

(

x

)

e

x



1



tan

x

，

0

x

π

，利用导数判断其单调性即可判断

a,c

的大

4

F

2

M

F

1

F

2



2

c

2



2

a

2

1



，则

c

2

2a

2

，

2

c

2

c

2

．

a

小；

bln1.618ln(10.618)

，可构造函数

h(x)ln(x1)x

判断

bln1.618

与

0.618

的大小，

构造函数

k(x)xtanx

判断

0.618

与

tan0.618

的大小，从而可判断

b,c

的大小

.

π

e

x

cos

x



cos

x



sin

x

【详解】令

f

(

x

)

e

1



tan

x



，

0

x

，

4

cos

x

x

令

g

(

x

)



e

x

cos

x

cosxsinx

，

x

则

g



(

x

)



(



sin

x

cos

x

)e

x

sinxcosx



e



1(cos

x

sin

x

)

，



当

0

x





π

时，

g



(x)0

，则

g(x)

在



0,

4



4





上单调递增，



又

g(0)110

，所以当

0

x



成立，又

00.618









时，

g(x)0

，又

cosx0

，所以

f(x)0

在



0,



上恒

4



4





4

，所以

f(0.618)0

，即

ac

．

1



x



1



，

x



1

x



1

令

h(x)ln(x1)x

，则

h



(

x

)



当

0



x











时，

h



(x)0

，所以

h(x)

在



0,



上单调递减，

2



2





2

所以当

0



x



时，

h(x)h(0)0

，即

ln(x1)x

．

1







k(x)



0

，在



0,



上单调递减，

cos

2

x



2



令

k(x)xtanx

，则

k



(

x

)



1



答案第

6

页，共

17

页

2024年3月22日发(作者：硕舒云)

河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四）理科

数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

∣2x4}

，

B{x∣(x6)(x3)0}

，则（

1

．已知集合

A{x

A

．

2AB

B

．

3AB

C

．

4AB

）

D

．

5AB

）

2

．若复数

z

的共轭复数为

z

，且

z(2i)z35i

，则

z

的虚部为（

A

．

2i

B

．

2i

C

．

2

D

．

2

）

1

n

3．已知等比数列



a

n



的前n项和为

S

n

，且

S

n



2

m

，

mR

，则

S

4



（

3

A．

13

3

B．5C．

17

3

D．

22

3

4

．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收

藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称

“

佛塔

”

．如图，为测量某塔的

总高度

AB

，选取与塔底

B

在同一水平面内的两个测量基点

C

与

D

，现测得

BCD30

，

BDC45

，

CD30

米，在

C

点测得塔顶

A

的仰角为

60°

，则塔的总高度约为（

（参考数据：

21.4

，

31.7

）

）

A．13米

5．函数

y



B．24米C．39米

）

D．45米

x



3sin

x

的大致图象是（

|

x

|

A．B．

C．D．

试卷第1页，共6页

6．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”

五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多

有一项被选中的概率为（

A

．

0.9

）

C

．

0.6

D

．

0.3

B

．

0.7



x



y



3



0,



7．记不等式组



x



y



1



0,

的解集为D，现有下面四个命题：



x



3



0



p

1

:(x,y)D

，

2xy80

；

p

2

:(x,y)D

，

x2y40

；

p

3

:(x,y)D

，

xy30

；

p

4

:(x,y)D

，

x3y30

．

其中真命题的个数是（

A．1

）

C．3D．4B．2

8．已知抛物线

C:x

2

2py(p0)

的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与



抛物线的准线交于点

M

，且点

A

位于第一象限，

F

恰好为

AM

的中点，

AF



BM

(



R)

，

则





（

A．

3

2

）

B．

4

3

C．

2

D．

3

9

．任意写出一个正整数

m

，并且按照以下的规律进行变换：如果

m

是个奇数，则下一

1

步变成

3m1

，如果

m

是个偶数，则下一步变成

m

，无论

m

是怎样一个数字，最终必

2

进入循环圈

1421

，这就是数学史上著名的

“

冰雹猜想

”

．它可以表示为数列



3

a

n



1,

当

a

n

为奇数时





a

n



:

a

1

m

（

m

为正整数），

a

n



1





1

，若

a

7

2

，则

m

的所有可能

a

,

当

a

为偶数时

n



2

n



取值之和为（

A

．

188

）

B

．

190

C

．

192

D

．

201

10

．在菱形

ABCD

中，

AB5

，

AC6

，

AC

与

BD

的交点为

G

，点

M

，

N

分别在线段

1

1

CNND

，AD，CD上，且

AMMD

，将

MND

沿MN折叠到

△MND



，使

GD



22

，

3

3

则三棱锥

D



ABC

的外接球的表面积为（

A．

1203

π

16

）

C．

289

π

8

B．

627

π

16

D．

40π

x

2

y

2

11．设双曲线

E:

2



2



1

(a0,b0)

的左、右焦点分别为

F

1

，

F

2

，B为双曲线E上

ab

在第一象限内的点，线段

F

1

B

与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且

F

2

MAB

，

若

AF

1

F

2

30

，则双曲线E的离心率为（）

试卷第2页，共6页

A．

5

B．2C．

3

D．

2

）

12

．已知

ae

0.618

1

，

bln1.618

，

ctan0.618

，其中

e

为自然对数的底数，则（

A

．

cab

C

．

bac

B

．

abc

D

．

acb

二、填空题

3



13．二项式



x

2





的展开式中

x

4

的系数为________．

x



14

．如图，在矩形

ABCD

中，

AB2BC2

，

AC

与

BD

的交点为

M

，

N

为边

AB

上任



意点（包含端点），则

MBDN

的最大值为

________

．

5

15．圆

M:x

2

y

2

2x80

与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足

|

NA

|



2

，

|

NB

|

直线

l:ykxm(k0)

与圆

M

和点

N

的轨迹同时相切，则直线

l

的斜率为

________

．

16．先将函数

f(x)cosx

的图象向左平移

坐标变为原来的

1

2π

个单位长度，再将所得图象上所有点的横

3



(





0)

，纵坐标不变，所得图象与函数

g(x)

的图象关于x轴对称，



ππ





2π



若函数

g(x)

在



0,



上恰有两个零点，且在





,



上单调递增，则



的取值范围是



1212





3



________

．

三、解答题

17．在

ABC

中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

3(bacosC)csinA

．

(1)求A；

(2)若

ABC

的面积为

1

93

，点D在线段AC上，且

ADAC

，求BD的最小值．

3

4

18

．如图，在四棱锥

MABCD

中，底面

ABCD

是平行四边形，

AB4

，

AD22

，

MC22

，



ADC=45

，点

M

在底面

ABCD

上的射影为

CD

的中点

O

，

E

为线段

AD

上的点

(

含端点

)

．

试卷第3页，共6页

(1)

若

E

为线段

AD

的中点，证明：平面

MOE

平面

MAD

；

(2)

若

3AEDE

，求二面角

DMEO

的余弦值．

19

．某公司为了解年营销费用

x

（单位：万元）对年销售量

y

（单位：万件）的影响，

统计了近5年的年营销费用

x

i

和年销售量

y

i

(

i

1,2,3,4,5)

，得到的散点图如图所示，对

数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．



u

i



1

5

i



v

i



1

5

i





u



u



v



v







u



u



i



1

ii

i



1

i

5

5

2

16.10

26.02

0.40

1.60

1

5

1

5

表中

u

i



ln

x

i

，

v

i



ln

y

i

，

u





u

i

，

v





v

i

．已知

yax

b

可以作为年销售量y

5

i



1

5

i



1

关于年营销费用x的回归方程．

(1)求y关于x的回归方程；

(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估

计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益



销售

利润



营销费用



固定成本）

参考数据：

e

4.399

81

，

3

3



13

．

9

参考公式：对于一组数据



u

1

,

v

1



,



u

2

,

v

2



,



,



u

n

,

v

n



，其回归直线

v







u

的斜率和截

试卷第4页，共6页

ˆ



距的最小二乘估计分别为







u



u



v



v



i



1

ii

n

`





u



u



i



1

i

n

2

ˆ

u

．

ˆ

v



，





3



1

x

2

y

2

20．已知椭圆

C

:

2



2



1(

a



b



0)

的右焦点为F，离心率为

2

，且点



1,



在㮋圆上．



2



ab

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，

经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的

取值范围．

21

．已知函数

f(x)2mxmxcosxsinx(mR)

．

(1)当

m1

时，求

f(x)

在点



π,f



π





处的切线方程；

(2)

当

x0

时，

f(x)0

，求实数

m

的取值范围．



x



1



t

,

22．在直角坐标系

xOy

中，直线l的参数方程为



其中t为参数，以坐标原点为



y



1



t

,

极点，曲线

C

的极坐标方程为



2|sin



|2|cos



|

，

x

轴非负半轴为极轴建立极坐标系，

其中



为参数．

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并画出曲线C的简图（无需写出作

图过程）；





π





(2)直线

m:















0,





与曲线C相交于A，B两点，且

|AB|26

，求



的值．



2





23

．已知函数

f(x)2|x1||x1|4

的最小值为

m

．

试卷第5页，共6页

(1)

在直角坐标系中画出

yf(x)

的图象，并求出

m

的值；

a

2

b

2

c

2

(2)a，b，c均为正数，且

abcm1

，求



的最小值．

bca

试卷第6页，共6页

参考答案：

1．B

【分析】根据二次不等式解法求出集合

B

，求出

AB

及

AB

，根据元素和集合的关系即

可逐项判断

.

∣x6

或

x3}

，

∣2x3}

，

AB{x∣x4

或

x6}

，【详解】由题可知

B{x

则

AB{x

依据选项可知

B

正确

.

故选：B．

2．D

【分析】先根据条件求出复数

z

，然后可得虚部

.

【详解】设复数

zabi

，

a

，

bR

，则

abi(2i)(abi)

(ab)(3ba)i

35i

，



a



1





(

a



b

)



3

即



，解得



，则

z12i

，故z的虚部为2.

3

b



a



5

b



2





故选：D．

3．B

【分析】先根据

S

n

的定义依次求出

a

1

,a

2

,a

3

，再由等比数列的定义即可得到关于

m

的关系式，

解之即可得出答案

.

1

n

【详解】因为

S

n



2

m

，

3

当

n1

时，

a

1

S

1



2

m

，

3

4

2

m

，则

a

2



，

3

3

当

n2

时，

a

1

a

2

S

2



4

8

m

，则

a

3



，

3

3

a

3

a

2

1

因为



a

n



是等比数列，所以

q



2

，则

a

1



，

a

2

q

3

当

n3

时，

a

1

a

2

a

3

S

3



21

1

所以

m

，解得

m

，

3

33

1

n

1

则

S

n



2



，

33

则

S

4

5

.

故选：B.

4．C

【分析】在Rt△ABC根据∠ACB的正切得AB与BC的关系，在△BCD中利用正弦定理列

答案第

1

页，共

17

页

式即可求解．

【详解】设

ABm

，则

BC

mm



，

tan60



3

CDBC



，

sin105



sin45



2



6

，

4

在

△BCD

中，

CBD105

，由正弦定理得

因为

sin105sin



4560



sin45cos60cos45sin60



代入数据，解得

m90303

90301.739

（米），

故选：C．

5．A

【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项

B,D

；再利用特殊值即可排除选项

C

，进而求解

.

【详解】函数

y



f

(

x

)



且

f

(



x

)



x



3sin

x

的定义域为

(,0)(0,)

，

x



x



3sin(



x

)



x



3sin

x



f

(

x

)

，

xx

所以

f(x)

是奇函数，图象关于原点对称，排除

B,D

选项，

只需研究

x0

的图象，当

x

故选：

A

．

6．B

【分析】方法一：根据排列组合结合分类加法法则得出答案；

方法二：先求出“书法、舞蹈这两项活动都被选中”的概率，即可根据对立事件的概率求法得

出答案.

【详解】方法一：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：

①都没有被选中，有

C

3

种情况；②两项活动只有一项被选中，有

C

2

C

3

种情况，

12

C

3

7

3



C

2

C

3



0.7

，故选B．则所求概率为

P



C

3

10

5

312

π

πππ3

时，



3sin



0

，则

6

6662



π



f





0

，排除

C

选项.



6



方法二：

“

书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中

”

的对立事件是

“

书法、舞蹈这两项活动

2

C

1

7

3

C

2

都被选中”，故所求概率为

P

1



3



0.7

，

C

5

10

故选：B．

7．C

【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的关

答案第

2

页，共

17

页

系，再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.

【详解】不等式组的解集D表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题

p

1

为真

命题，依据图（2）知命题

p

2

为真命题，

依据图（3）知命题

p

3

为假命题，依据图（4）知命题

p

4

为真命题．所以真命题有3个，

故选：C．

8．A

【分析】过点

A

，

B

分别作准线的垂线，垂足分别为

N

，

E

，根据抛物线的定义，又

F

恰好

为AM的中点，可得到比例

【详解】如图，

|

AF

|

，进一步推导得到



的值.

|

BM

|

|BF||BE|

，过点

A

，垂足分别为

N

，根据抛物线的定义得

|AF||AN|

，

B

分别作准线的垂线，

E

，

因为F为AM的中点，所以

|

AF

||

BF

|



|

BM

||

BF

|



1

，又

|

BM

||

BM

||

BM

|

答案第

3

页，共

17

页

|

AN

||

AF

|1|

AF

||

BF

|13

|

BF

||

BE

|

3



，所以



1



1



，所以





.



|

BM

||

BM

|22

|

BM

||

BM

|

|

AM

||

AM

|2

2

故选：A

9．B

【分析】列举出

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

的可能情况，可得出

m

的所有可能取值，

相加即可得解

.

【详解】由题意，

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

的可能情况有：

①

2142142

；②

16842142

；

③

2010516842

；④

310516842

；

⑤

128643216842

；⑥

21643216842

；

所以，

m

的可能取值集合为



2,16,20,3,128,21



，

m

的所有可能取值之和为

21620312821190

.

故选：B.

10．B

【分析】设

MN

与

BD

的交点为

H

，连接

D



H

，证明

D



G

平面

ABC

．设

ABC

的外接圆圆

心为

O

1

，



AD



C

的外接圆圆心为

O

2

，过

O

1

，

O

2

分别作平面

ABC

，平面

AD



C

的垂线，设

两垂线交于点O，则O是三棱锥

D



ABC

外接球的球心，先求出

r

1

,r

2

，再求出三棱锥

D



ABC

的外接球的半径

R

即得解

.

1

1

【详解】如图所示，因为

AMMD

，

CNND

，

3

3

所以

MN//AC

，设

MN

与

BD

的交点为

H

，连接

D'H

，

因为

ADCDAB5

，

GAGC3

，所以

DG4

，则

GH1

，

DH3

，

所以

D



H3

．又

GD



22

，则

D



G

2

GH

2

D



H

2

，则

D



GGH

．又

D



GAC

，

ACHGG

，

AC，HG

平面

ABC

，故

D



G

平面

ABC

．

设

ABC

的外接圆圆心为

O

1

，



AD



C

的外接圆圆心为

O

2

，过

O

1

，

O

2

分别作平面

ABC

，平

面

AD



C

的垂线，设两垂线交于点

O

，则

O

是三棱锥

D



ABC

外接球的球心，且四边形

O

1

OO

2

G

为矩形．设

ABC

的外接圆半径为

r

1

，在

ABC

中，由



4r

1



3

2

r

1

2

，解得

r

1



2

25

，

8

同理可得



AD



C

的外接圆半径

r

2



172

2

，所以

GO

2



．设三棱锥

D



ABC

的外接球半

8

8

答案第

4

页，共

17

页

222

径为R，则

RO

1

AGO

2



6252627



，则三棱锥

D



ABC

的外接球的表面积

646464

S

4



R

2



627

π

.

16

故选：B．

11．D

【分析】连结连接

AF

2

、

BF

2

.设

AF

2



BF

2

m

，根据双曲线的定义可推得

|AB|4a

，即

m2a

．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得

F

2

M2c

2

2a

2

.结合已知条件，即可

得出

c

2

2a

2

，从而得出离心率

.

【详解】

如图，连接

AF

2

、

BF

2

.

因为M为AB的中点，

F

2

MAB

，所以

AF

2

BF

2

．

设

AF

2



BF

2

m

，

因为

AF

2

AF

1

2a

，所以

AF

1

m2a

.

又因为

BF

1



BF

2

2

a

，所以

BF

1



m2a

，

答案第

5

页，共

17

页

则

|AB|BF

1

AF

1

4a

．

因为M为AB的中点，所以

|AM||BM|2a

，则

F

1

Mm

．

设

F

1

F

2

2

c

，在

Rt△F

1

F

2

M

中，

F

2

M

在

Rt△AF

2

M

中，

F

2

M

F

1

F

2

F

1

M

22

4c

2

m

2

，

AF

2

AM

22

m

2

4a

2

，

则

4c

2

m

2

m

2

4a

2

，整理可得

m

2

2a

2

2c

2

，所以

F

2

M2c

2

2a

2

．

当

AF

1

F

2

30

时，

sinAF

1

F

2



所以离心率为

e



故选：D．

12．D

【分析】构造函数

f

(

x

)

e

x



1



tan

x

，

0

x

π

，利用导数判断其单调性即可判断

a,c

的大

4

F

2

M

F

1

F

2



2

c

2



2

a

2

1



，则

c

2

2a

2

，

2

c

2

c

2

．

a

小；

bln1.618ln(10.618)

，可构造函数

h(x)ln(x1)x

判断

bln1.618

与

0.618

的大小，

构造函数

k(x)xtanx

判断

0.618

与

tan0.618

的大小，从而可判断

b,c

的大小

.

π

e

x

cos

x



cos

x



sin

x

【详解】令

f

(

x

)

e

1



tan

x



，

0

x

，

4

cos

x

x

令

g

(

x

)



e

x

cos

x

cosxsinx

，

x

则

g



(

x

)



(



sin

x

cos

x

)e

x

sinxcosx



e



1(cos

x

sin

x

)

，



当

0

x





π

时，

g



(x)0

，则

g(x)

在



0,

4



4





上单调递增，



又

g(0)110

，所以当

0

x



成立，又

00.618









时，

g(x)0

，又

cosx0

，所以

f(x)0

在



0,



上恒

4



4





4

，所以

f(0.618)0

，即

ac

．

1



x



1



，

x



1

x



1

令

h(x)ln(x1)x

，则

h



(

x

)



当

0



x











时，

h



(x)0

，所以

h(x)

在



0,



上单调递减，

2



2





2

所以当

0



x



时，

h(x)h(0)0

，即

ln(x1)x

．

1







k(x)



0

，在



0,



上单调递减，

cos

2

x



2



令

k(x)xtanx

，则

k



(

x

)



1



答案第

6

页，共

17

页