2024年3月23日发(作者：出凌翠)
绝对值函数和绝对值不
等式
Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
绝对值函数和绝对值不等式
【知识点】
一、绝对值的性质
1.|a|=
推论①：|ab|≥ab(当且仅当ab≥0时，“=”成立)；
推论②：|ab|≥－ab(当且仅当ab≤0时，“=”成立).
2.|a|
2
=a
2
；
二、绝对值不等式
3.若a
2
≥b
2
，则|a|≥|b|；
证明：由性质2，a
2
≥b
2
|a|
2
≥|b|
2
|a|≥|b|.
4.|a|≥a，(当且仅当a≥0时等号成立)；
推论③：|ab|≥ab.
推论④：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
证明：(1)||a|－|b||≤|a－b|：
因为|ab|≥ab，所以：－2|ab|≤－2ab，所以：a
2
+b
2
－2|ab|≤a
2
+b
2
－2ab，由性
质2，则：(|a|－|b|)
2
≤(a－b)
2
，由性质3即证.
此时，当且仅当ab≥0时等号成立.
(2)||a|－|b||≤|a+b|.
证明：由推论②：|ab|≥－ab，所以：－2|ab|≤2ab，从而：(|a|－|b|)
2
≤(a+b)
2
，
由性质2即证.此时，“=”成立的条件为ab≤0.
(3)由2ab≤2|ab|=2|a||b|，则(a+b)
2
≤(|a|+|b|)
2
，由性质2即证.等号成立的条件为
ab≥0.同理可证：|a－b|≤|a|+|b|.等号成立的条件为ab≤0.
推论⑤：|a
1
+a
2
+…+a
n
|≤|a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|.
证明：当n=2时，显然成立；
设当n=k时，有：|a
1
+a
2
+…+a
k
|≤|a
1
|+|a
2
|+…+|a
k
|；
则当n=k+1时，|a
1
+a
2
+…+a
k
+a
k+1
|=|(a
1
+a
2
+…+a
k
)+a
k+1
|≤|a
1
+a
2
+…+a
k
|+|a
k+1
|≤
|a
1
|+|a
2
|+…+|a
k
|+|a
k+1
|.
推论⑥：|a|+|b|=|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}.
2024年3月23日发(作者：出凌翠)
绝对值函数和绝对值不
等式
Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
绝对值函数和绝对值不等式
【知识点】
一、绝对值的性质
1.|a|=
推论①：|ab|≥ab(当且仅当ab≥0时，“=”成立)；
推论②：|ab|≥－ab(当且仅当ab≤0时，“=”成立).
2.|a|
2
=a
2
；
二、绝对值不等式
3.若a
2
≥b
2
，则|a|≥|b|；
证明：由性质2，a
2
≥b
2
|a|
2
≥|b|
2
|a|≥|b|.
4.|a|≥a，(当且仅当a≥0时等号成立)；
推论③：|ab|≥ab.
推论④：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
证明：(1)||a|－|b||≤|a－b|：
因为|ab|≥ab，所以：－2|ab|≤－2ab，所以：a
2
+b
2
－2|ab|≤a
2
+b
2
－2ab，由性
质2，则：(|a|－|b|)
2
≤(a－b)
2
，由性质3即证.
此时，当且仅当ab≥0时等号成立.
(2)||a|－|b||≤|a+b|.
证明：由推论②：|ab|≥－ab，所以：－2|ab|≤2ab，从而：(|a|－|b|)
2
≤(a+b)
2
，
由性质2即证.此时，“=”成立的条件为ab≤0.
(3)由2ab≤2|ab|=2|a||b|，则(a+b)
2
≤(|a|+|b|)
2
，由性质2即证.等号成立的条件为
ab≥0.同理可证：|a－b|≤|a|+|b|.等号成立的条件为ab≤0.
推论⑤：|a
1
+a
2
+…+a
n
|≤|a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|.
证明：当n=2时，显然成立；
设当n=k时，有：|a
1
+a
2
+…+a
k
|≤|a
1
|+|a
2
|+…+|a
k
|；
则当n=k+1时，|a
1
+a
2
+…+a
k
+a
k+1
|=|(a
1
+a
2
+…+a
k
)+a
k+1
|≤|a
1
+a
2
+…+a
k
|+|a
k+1
|≤
|a
1
|+|a
2
|+…+|a
k
|+|a
k+1
|.
推论⑥：|a|+|b|=|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}.