2024年5月30日发(作者：称言心)
第五讲 一元二次方程根的判别式与根系关系
第一讲 一元二次方程根的判别式与根系关系
一、【基础知识精讲】
1．一元二次二次方程根的判别式
（1）根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 是否有实根，由b +4ac 决
定，因此我们把 叫做一元二次方程根的判别式，并用∆表示，即∆=b +4ac 。 （2）一元
二次方程根的情况与判别式的关系：
∆>0方程有 ∆=0方程有
∆
①使用前应先将方程化为一般形式；
②使用此性质时要保证方程为一元二次方程，即a ≠0；
③性质顺用、逆用均可； ④不解方程，可以判断根的情况；
⑤根据根的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；
2．根与系数的关系（韦达定理）
（1）对于一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的两根x 1, x 2，有
2
2
2
b ｃ
x 1+x 2=－，x 1∙x 2=
a a
（2）推论
如果方程x +ｐx +ｑ=0的两个根是x 1, x 2，那么x 1+x 2=－ｐ，x 1∙x 2=ｑ
常用变形：
x x +2x ) -21x 2x (x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2 １+x ２=(1
注：使用此性质要保证一元二次方程有两根，即a ≠0和∆≥0； （4）应用
3） （
2024年5月30日发(作者：称言心)
第五讲 一元二次方程根的判别式与根系关系
第一讲 一元二次方程根的判别式与根系关系
一、【基础知识精讲】
1．一元二次二次方程根的判别式
（1）根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 是否有实根，由b +4ac 决
定，因此我们把 叫做一元二次方程根的判别式，并用∆表示，即∆=b +4ac 。 （2）一元
二次方程根的情况与判别式的关系：
∆>0方程有 ∆=0方程有
∆
①使用前应先将方程化为一般形式；
②使用此性质时要保证方程为一元二次方程，即a ≠0；
③性质顺用、逆用均可； ④不解方程，可以判断根的情况；
⑤根据根的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；
2．根与系数的关系（韦达定理）
（1）对于一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的两根x 1, x 2，有
2
2
2
b ｃ
x 1+x 2=－，x 1∙x 2=
a a
（2）推论
如果方程x +ｐx +ｑ=0的两个根是x 1, x 2，那么x 1+x 2=－ｐ，x 1∙x 2=ｑ
常用变形：
x x +2x ) -21x 2x (x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2 １+x ２=(1
注：使用此性质要保证一元二次方程有两根，即a ≠0和∆≥0； （4）应用
3） （