2024年3月23日发(作者：翁嘉悦)
《高等代数》上题库 第一章 多项式 填空题 1.71、设用x-1除fx余数为5用x1除fx余
数为7则用x2-1除fx余数是 。 1.52、当px是 多项式时由px fxgx可推出pxfx或pxgx。
1.43、当fx与gx 时由fxgxhx可推出fxhx。 1.54、设fxx33x2axb 用x1除余数为3用x-1
除余数为5那么a b 。 1.75、设fxx43x2-kx2用x-1除余数为3则k 。 1.76、如果
x2-12x4-3x36x2axb则a b 。 1.77、如果fxx3-3xk有重根那么k 。 1.88、以l为二重根
21i为单根的次数最低的实系数多项式为fx 。 1.89、已知1-i是fxx4-4x35x2-2x-2的一
个根则fx的全部根是 。 1.410、如果fxgx1hxgx1 则 。 1.511、设px是不可约多项
式pxfxgx则 。 1.312、如果fxgxgxhx则 。 1.513、设px是不可约多项式fx是任一多
项式则 。 1.314、若fxgxhxfxgx则 。 1.315、若fxgxfx hx则 。 1.416、若gxfxhxfx
且gxhx1则 。 1.517、若px gxhx且 则pxgx或pxhx。 1.418、若fxgxhx且fxgx-hx则 。
1.719、α是fx的根的充分必要条件是 。 1.720、fx没有重根的充分必要条件是 。 答
案 1、-x6 2、不可约 3、互素 4、a0b1 5、k3 6、a3b-7 7、k±2 8、x5-6x415x3-20x214x-4
9、1-i1i 121-2 10、fxhxgx1 11、pxfx或pxgx 12、fxhx 13、pxfx或pxfx1 14、fxhx 15、
fxgxhx 16、gxhxfx 17、px是不可约多项式 18、fxgx且fxhx 19、x-αfx 20、fxf’x1 判
断并说明理由 1.11、数集12ibabia是有理数是数域 1.12、数集12ibabia是整数是数
域 1.33、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.34、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.45、若gxfxhxfx
则gxhxfx 1.46、若fxgxhx1则fxhx1 gxhx1 7、若fxgxhx且fxgx则fxhx1 1.68、
设px是数域p上不可约多项式那么如果px是fx的k重因式则px是fx的k-1重因式。
1.99、如果fx在有理数域上是可约的则fx必有有理根。 1.910、fxx4-2x38x-10在有
理数域上不可约。 1.111、数集是有理数baba2是数域 1.112、数集为整数nn2是
数域 1.313、若fxgxhx则fxgx或fxhx 1.314、若fxgxfxhx则fxgxhx 1.315、若
fxgxhxfxgx-hx则fxgx且fxhx 1.416、若有dxfxuxgxvx则dx是fxgx的最大公因式
1.617、若px是f’x内的k重因式则px是fx的k1重因式 1.718、如果fx没有有理根则它
在有理数域上不可约。 1.819、奇次数的实系数多项式必有实根。 1.920、 fxx6x31
在有理数域上可约。 答案1、√ 2、× 3、× 4、√ 5、× 6、√ 7、× 8、√ 9、× 10、√11、
√ 12、× 除法不封闭 13、× 当fx是不可约时才成立 14、× 如fxx2gxhxx时 不成立
15、√ 16、× 17、×如fxxk11 18×、19、√虚根成对 20、× 变形后用判别法知 不可约
选择题 1.11、以下数集不是数域的是 A、是有理数babiai2 -1 B、 是整数babiai2 -1
C、是有理数baba2 D、全体有理数 1.32、关于多项式的整除以下命题正确的是 A、
若fxgxhx且fxgx则fxhx B、若gxfxhxfx则gxhxfx C、若fxgxhx且fxgx则/ fxhx D、若
fxgxfxhx则fxgxhx 1.43、关于多项式的最大公因式以下结论正确的是 A、若fxgxhx
且fxgx 则fxhx1 B、若存在uxvx使得fxuxgxvxdx则dx是fx和gx的最大公因式 C、若
dxfx且有fxuxgxvx dx则dx是fx和gx的最大公因式 D、若fxgxhx1则fxhx1且gxhx1
1.74、关于多项式的根以下结论正确的是 A、如果fx在有理数域上可约则它必有
理根。 B、如果fx在实数域上可约则它必有实根。 C、如果fx没有有理根则fx在有
理数域上不可约。 D、一个三次实系数多项式必有实根。 1.65、关于多项式的重因
式以下结论正确的是 A、若fx是f’x的k重因式则px 是fx的k1重因式 B、若px是fx
的k重因式则px 是fxf’x的公因式 C、若px是f’x的因式则px是fx的重因式 D、若px
是fx的重因式则px是xfxfxf的单因式 1.76、关于多项式的根以下结论不正确的是
A、α是fx的根的充分必要条件是x-αfx B、若fx没有有理根则fx在有理数域上不可约
C、每个次数≥1的复数系数多项式在复数域中有根 D、一个三次的实系数多项式必
有实根 1.77、设fxx3-3xk有重根那么k A、1 B、-1 C、±2 D、0 1.98、设fxx3-3x2tx-1
是整系数多项式当t 时fx在有理数域上可约。 A、1 B、0 C、-1 D、3或-5 1.99、设
fxx3-tx25x1是整系数多项式当t 时fx在有理数域上可约。 A、t7或3 B、1 C、-1 D、
0 1.910、设fxx3tx23x-1是整系数多项式当t 时fx在有理数域上可约。 A、1 B、-1 C、
0 D、5或-3 1.511、关于不可约多项式px以下结论不正确的是 A、若pxfxgx则pxfx
或pxgx B、若qx也是不可约多项式则pxqx1或pxcqx c≠0 C、px是任何数域上的不可
约多项式 D、px是有理数域上的不可约多项式 1.912、设fxx55x1以下结论不正确的
是 A、fx在有理数域上 不可约 B、fx在有理数域上 可约 C、fx有一实根 D、fx
没有有理根 1.913、设fxxppx1p为奇素数以下结论正确的是 A、fx在有理数域上
不可约 B、fx在有理数域上 可约 C、fx在实数域上 不可约 D、fx在复数域上 不
可约 答案 1、B 2、C 3、D 4、D 5、D 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D 11、C 12、B 13、
A 计算题 1.31、求mp的值使 x23x2x4-mx2-px2 解用带余除法 求得
rx-3mp15x-2m12令rx0即060153mpm 求得m -6 p3 1.62、判断fxx4-6x28x-3有无重因
式如果有求其重数 解f’x4x3-12x8 fxf’xx-12 x-1是fx的三重因式 1.73、设
fxx4-3x36x2-10x16 C3求fc 解用综合除法求得fc40 1.74、决是t的值使fxx3-3x2tx-1
有重根 解J由辗转除法使fxf’x≠求得t3 或t415当t3时 fx有三重根1 当t415时fx有二
重根-21 1.95、设fxx5x4-2x3-x2-x2求fx的有理根并写出fx在实数域和复数域上的标准
分解式。 解有理根是1二重2 实数域上分解式为fxx-12x2x2x1 复数域上分解式为
fxx-12x2x21-23ix2321i 1.96、求fx4x4-7x2-5x1的有理根并写出fx在有理数域上的标准
分解式。 解有理根为21二重分解式为fx4x212x2-x-1 1.97、求fxx5x4-6x3-14x2-11x-3
的有理根并写出fx在复数域上的标准分解式 解有理根为1四重3分解式fxx14x-3
1.88、已知i z-i 是fx2x5-7x48x3-2x26x5的两个根求fx的全部根 解全部根为 i-i2-i2i
21 1.89、求以1-i i为根的次数最低的复系数多项式fx 解fxx2-x1i 1.810、求以1为二重
根1I为单根的次数最低近的实系数多项式fx. 解fxx4-4x3-x2-6x2 1.811、已知1-i是
fxx4-4x3-5x2-2x-2的根求fx的全部根。 解全部根为1i1-i121-2 证明题 1.31、试证用
x2-1除fx所得余式为211211ffxff 证明设余式为axb则有fxx2-1qxaxb f1ab f-1-ab 求得
a211211ffbff 1.32、证明hxfxgxfxhxgxhx其中hx是首项系数为1的多项式。 证明设
fxgxdx 则hxdxhxfx hxdxhxgx又存在uxvx使得fxuxgxvxd有hxfxuxhxgxvxhxgx于是
hxdxhxfxhxgx 1.43、证明如果fxgxhx且fxgx1则fxhx 证明由fxgx1存在uxvx使得
fxuxgxvx1从而fxuxhxgxvxhxhxfxgxhxfxhx 所以fxhx 1.44、证明fxgxfx-gxfxgx 证明
fxgxdx 则dxfxgxdxfx-gx 设d1x 是fxgxfx-gxr的任一公因式 则d1xfxgxfx-gxzfx
d1xfxgx-fxgxzgx 故d1xfxd1xgx从而d1xdx 得证 1.55、证明gxfx的充分必要条件是
g2xf2x 证明设fxgxhx 则f2xg2xh2x即g2xfx 反之设g2xf2x将fxgx分解fx
aP1l1x??pslsxgxbp1r1x??psrsx 其中li ri为非负整数pix为互不相同的可约多项式那么
f2xa2p12l1x??ps2lsxg2xb2p12r1x??ps2rsx 由g2xf2x必有2ri≤2li即ri≤li于是gxfx。
1.76、设fxanxnan-1xn-1??a1xa0有n个非零根α1α2αn证明是n11121
gxa0xna1xn-1??an-1xan的n个根。 证明设α为fx的任非零根则
fαanαnan-1αn-1??a1αao0 g1a01na11n-1??an-11an1nanαnan-1αn-1??a1αao0所以得证的
根是1xg 1.57、设px是次数大于零的多项式如果对任意多项式fxgx由pxfxgx可推出
pxfx或pxgx那么px是不可约多项式 证明假设px是可约的设pxp1xp2x 其中 p1 x lt
px p2xlt px 显然pxp1xp2x 但pxP1x pxp2x 这与题设矛盾即px是不可约的。 1.5
8、设px是数域p上不可约多项式fx是p上任一多项式那么pxfx或pxfx1 证明设pxfxdx
则dxpx 由px不可约知dxcpx c≠0或dx1 当dxcpx时就有pxfx 1.59、设pxqx是数域p上两
个不可约多项式证明pxqx1或pxqx c≠证明因pxqx皆不可约故有pxqx1 或pxqx且qxpx
即pxcqx 1.710、证明如果x2x1f1x3xf2x3那么x-1f1x x-1f2x 证明x3-1x-1x2x1 设ω1ω2
是x2x1的根则有ω311ω321且ω1ω2为f1x3xf2x3的根那么有 f11ω1f210 f11ω2f210 因
ω1≠ω2 解得f110 f210 即 x-1f1x x-1f2x 1.911、设fxanxnan-1xn-1??a1xa0是整系数多
项式证明如果a0an均为奇数f1f-1中至少有一个为奇数那么fx无有理根 证明若fx有
有理根vuuv互素则van ua0知uv均为奇数由u-vf1uvf-1知f1f-1均为偶数这与题设矛盾
所以fx无有理根。 第二章 行列式 填空题 2.21、n级排列un-1??2 1的逆序数是 。
2.22、如果排列i1’i2’??in的逆序数是k则排列in’n-1??l’2l’1的逆序数是 。 2.43、
21112 2.34、aaxaxxaxxx 2.35、xxxaxxaaa43210000000 2.36、
的系数为中3221321213215xxxxxxxxf 2.37、的系数为中32xxxxxx 2.48、
若行列式中每一行元素之和都等于零则行列式的值为 。 2.49、
11134aaaa 2.410、43211aaaa 2.211、在全部n级排列中偶
排列的个数为 2.212、若排列1 2 7 4 i 5 6 k 9 是偶排列则i k 2.613、的代数余子式是
中2321215021 2.614、的代数余子式是中5321215021 4.215、设A为5级方阵且A1则
-2A 。 4.216、设A为5级方阵且A2则-2A 。 2.317、6级行列式中项a32 a43 a14 a51
a66 a25的符号为 。 2.318、6级行列式中项a43 a32 a51 a14 a26 a56的符号为 。
2.419、abccabbca111 2.420、111111111abcabccba 2.521、△111113222中 则△ 。 2.522、
△1111111322中 则△ 。 答案 1、21nn 2、21nn-k 3、5 4、 a1a2a3a4 5、a1a2a3a4 6、
-5 7、-1 8、09a4a3a2a11 10、a1a2a3a4 11、1n 12、i8k3 13、-4 14、-6 15、-32 16、
-64 17、正 18、负 19、b-ac-ac-b 20、b-ac-ac-b 21、0 22、-3 判断题 2.41、若行列
式中有两行对应元素互为相反数则行列式的值为0 2.32、6级行列式中项a32 a45
a51 a66 a25带负号 2.43、设dnnnnnnaaaaaaaaa2则
2nnnnaanaaaaaaad 2.44、设d nnnnnnaaaaaaaaa2则
daaaaaaaaannnnnn1 2.35、abcdzzzdyycxba000000 2.36、
abcddcxbyxazyx000000 2.37、0000000yxhgfedcba 2.48、000000hxgyayhfdxgecba
2.49、7654321 2.310、若n级行列试D中等于零的元素的个数大于
n2-n则D0 4.211、设A为n级方阵A2 则-3A -6 4.212、设A为n级方阵A2则-A-1n2
2.813、22200000000abbaabbaab 2.814、22200000000baabbaabba 2.415、
0dbacdbcabdcabdac 2.416、4831113 2.317、设
D43221ddddccccbbbbaaaa则a3 b2 c1 d3是D的一项。 2.318、设
D43221ddddccccbbbbaaaa则项a3 b4 d1 c2带正号。 2.319、如果行列式
D的元素都是整数则D的值也是整数。 2.320、如果行列D的元素都是自然数则D的
值也是自然数。 2.321、nnaaaaaa2121 2.322、010nnn 答案 1、
√ 2、× 3、× 4、× 5、√ 6、× 7、√ 8、× 9、√ 10、√ 11、× 12、√ 13、√ 14、√ 15、√ 16、
√ 17、× 18、× 19、√ 20、× 21、× 22、× 单项选择题 2.21、排列nn-1??2 1 的逆序
数为 A、n-1 B、21nn C、n D、21nn 2.22、如果排列i1i2??in的逆序数是k则排列
inin-1??l’2l’1的逆序数是 A、k B、n-k C、knn21 D、knn21 2.23、关于n级排列i1i2??in
以下结论不正确的是 A、逆序数是一个非负整数 B、一个对换改变其奇偶性 C、
逆序数最大为n D、可经若干次对换变为12??n 2.24、关于排列nn-1??2 1的奇偶性以
下结论正确的是 A、当n为偶数时是偶排列 B、当n为奇数时是奇排列 C、当n4m
或n4m2时是偶排列 D、当n4m或n4m1时是偶排列当n4m2或n4m3时奇排列 2.35、以
下乘积是5级行列式的项且符号为正的是 A、a31 a45 a12 a24 a53 B、a45 a54 a42 a12
a23 C、a53 a21 a45 a34 a12 D、a13 a34 a22 a45 a51 2.36、以下乘积是的一项是符号
为负的是43221ddddccccbbbbaaaa A、a3 b2 c1 d3 B、a3 b4 d1 c2 C、c2
b1 d3 c4 D、a1 b2 c3 d4 2.47、设dnnnnnnaaaaaaaaa2则
2nnnnnnaaaaaaaaa A、d B、-d C、-1nd D、-1n-1d 2.48、设d如上则
nmnnnnaaaaaaaaa1 A、-1nd B、-1n-1d C、d D、-d 2.49、设d如上则
221121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa A、d B、-d C、dnn211 D、-1n-1d 2.610、
321215021中5的代数余子式是 A、5 B、-5 C、-6 D、6 2.611、321215021中-2的
代数余子式是 A、 2 B、-2 C、4 D、-4 2.412、1111112223则设 A、-3 B、0 C、
3 D、1 2.413、111112223则设 A、1 B、0 C、-1 D、 2.314、nn0001000
A、n B、121nnn C、1221nnnn D、-1n n 4.215、设A为n级方阵且A2则-3A A、-6 B、
6 C、2 -3n D、2n-3n 4.216、设A为n级方程且A3则-2A A、-6 B、6 C、-23n D、-2n3
4.217、设A为n级方阵A2则-A A、-2 B、-1n2 C、2 D、-2 4.418、设A为n级方阵A
是A的伴随矩阵则当A -2时A A、2 B、-2 C、-2n D、-2n-1 2.419、设14131232xxx0
则x A、1 B、0 C、1或0 D、-1 2.420、设32111132xxx0则 x A、1或0 B、1 C、0
D、-1 2.321、fx2xxxxx中x3的系数是 A、4 B、2 C、-1 D、1 2.522、
Dnaaaa A、an-1 B、an1 C、an-2-1 D、an-an-2 2.423、设
D10000abcacbbcacba 2222abacbc则D1与D2的关系为 A、D1 D2 B、
D2abcD1 C、121DabcD D、1221DabcD 2.624、abaaba A、a4a4-b2 B、
a4a4b2 C、a4a2-b2 D、a2a2-b2 2.625、fedcba A、abcdef B、-abdf C、
abdf D、edf 答案 1、B 2、C 3、C 4、D 5、A 6、B 7、D 8、B 9、C 10、C 11、D 12、
A 13、B 14、C 15、C 16、D 17、B 18、D 19、C 20、A 21、D 22、A 23、 24、D 25、
B 计算题 2.51、d32321 解各列行加到第一列行后各行列减去第一行列
d160 2.52、dyyxx11111 解按第一列.
2024年3月23日发(作者：翁嘉悦)
《高等代数》上题库 第一章 多项式 填空题 1.71、设用x-1除fx余数为5用x1除fx余
数为7则用x2-1除fx余数是 。 1.52、当px是 多项式时由px fxgx可推出pxfx或pxgx。
1.43、当fx与gx 时由fxgxhx可推出fxhx。 1.54、设fxx33x2axb 用x1除余数为3用x-1
除余数为5那么a b 。 1.75、设fxx43x2-kx2用x-1除余数为3则k 。 1.76、如果
x2-12x4-3x36x2axb则a b 。 1.77、如果fxx3-3xk有重根那么k 。 1.88、以l为二重根
21i为单根的次数最低的实系数多项式为fx 。 1.89、已知1-i是fxx4-4x35x2-2x-2的一
个根则fx的全部根是 。 1.410、如果fxgx1hxgx1 则 。 1.511、设px是不可约多项
式pxfxgx则 。 1.312、如果fxgxgxhx则 。 1.513、设px是不可约多项式fx是任一多
项式则 。 1.314、若fxgxhxfxgx则 。 1.315、若fxgxfx hx则 。 1.416、若gxfxhxfx
且gxhx1则 。 1.517、若px gxhx且 则pxgx或pxhx。 1.418、若fxgxhx且fxgx-hx则 。
1.719、α是fx的根的充分必要条件是 。 1.720、fx没有重根的充分必要条件是 。 答
案 1、-x6 2、不可约 3、互素 4、a0b1 5、k3 6、a3b-7 7、k±2 8、x5-6x415x3-20x214x-4
9、1-i1i 121-2 10、fxhxgx1 11、pxfx或pxgx 12、fxhx 13、pxfx或pxfx1 14、fxhx 15、
fxgxhx 16、gxhxfx 17、px是不可约多项式 18、fxgx且fxhx 19、x-αfx 20、fxf’x1 判
断并说明理由 1.11、数集12ibabia是有理数是数域 1.12、数集12ibabia是整数是数
域 1.33、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.34、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.45、若gxfxhxfx
则gxhxfx 1.46、若fxgxhx1则fxhx1 gxhx1 7、若fxgxhx且fxgx则fxhx1 1.68、
设px是数域p上不可约多项式那么如果px是fx的k重因式则px是fx的k-1重因式。
1.99、如果fx在有理数域上是可约的则fx必有有理根。 1.910、fxx4-2x38x-10在有
理数域上不可约。 1.111、数集是有理数baba2是数域 1.112、数集为整数nn2是
数域 1.313、若fxgxhx则fxgx或fxhx 1.314、若fxgxfxhx则fxgxhx 1.315、若
fxgxhxfxgx-hx则fxgx且fxhx 1.416、若有dxfxuxgxvx则dx是fxgx的最大公因式
1.617、若px是f’x内的k重因式则px是fx的k1重因式 1.718、如果fx没有有理根则它
在有理数域上不可约。 1.819、奇次数的实系数多项式必有实根。 1.920、 fxx6x31
在有理数域上可约。 答案1、√ 2、× 3、× 4、√ 5、× 6、√ 7、× 8、√ 9、× 10、√11、
√ 12、× 除法不封闭 13、× 当fx是不可约时才成立 14、× 如fxx2gxhxx时 不成立
15、√ 16、× 17、×如fxxk11 18×、19、√虚根成对 20、× 变形后用判别法知 不可约
选择题 1.11、以下数集不是数域的是 A、是有理数babiai2 -1 B、 是整数babiai2 -1
C、是有理数baba2 D、全体有理数 1.32、关于多项式的整除以下命题正确的是 A、
若fxgxhx且fxgx则fxhx B、若gxfxhxfx则gxhxfx C、若fxgxhx且fxgx则/ fxhx D、若
fxgxfxhx则fxgxhx 1.43、关于多项式的最大公因式以下结论正确的是 A、若fxgxhx
且fxgx 则fxhx1 B、若存在uxvx使得fxuxgxvxdx则dx是fx和gx的最大公因式 C、若
dxfx且有fxuxgxvx dx则dx是fx和gx的最大公因式 D、若fxgxhx1则fxhx1且gxhx1
1.74、关于多项式的根以下结论正确的是 A、如果fx在有理数域上可约则它必有
理根。 B、如果fx在实数域上可约则它必有实根。 C、如果fx没有有理根则fx在有
理数域上不可约。 D、一个三次实系数多项式必有实根。 1.65、关于多项式的重因
式以下结论正确的是 A、若fx是f’x的k重因式则px 是fx的k1重因式 B、若px是fx
的k重因式则px 是fxf’x的公因式 C、若px是f’x的因式则px是fx的重因式 D、若px
是fx的重因式则px是xfxfxf的单因式 1.76、关于多项式的根以下结论不正确的是
A、α是fx的根的充分必要条件是x-αfx B、若fx没有有理根则fx在有理数域上不可约
C、每个次数≥1的复数系数多项式在复数域中有根 D、一个三次的实系数多项式必
有实根 1.77、设fxx3-3xk有重根那么k A、1 B、-1 C、±2 D、0 1.98、设fxx3-3x2tx-1
是整系数多项式当t 时fx在有理数域上可约。 A、1 B、0 C、-1 D、3或-5 1.99、设
fxx3-tx25x1是整系数多项式当t 时fx在有理数域上可约。 A、t7或3 B、1 C、-1 D、
0 1.910、设fxx3tx23x-1是整系数多项式当t 时fx在有理数域上可约。 A、1 B、-1 C、
0 D、5或-3 1.511、关于不可约多项式px以下结论不正确的是 A、若pxfxgx则pxfx
或pxgx B、若qx也是不可约多项式则pxqx1或pxcqx c≠0 C、px是任何数域上的不可
约多项式 D、px是有理数域上的不可约多项式 1.912、设fxx55x1以下结论不正确的
是 A、fx在有理数域上 不可约 B、fx在有理数域上 可约 C、fx有一实根 D、fx
没有有理根 1.913、设fxxppx1p为奇素数以下结论正确的是 A、fx在有理数域上
不可约 B、fx在有理数域上 可约 C、fx在实数域上 不可约 D、fx在复数域上 不
可约 答案 1、B 2、C 3、D 4、D 5、D 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D 11、C 12、B 13、
A 计算题 1.31、求mp的值使 x23x2x4-mx2-px2 解用带余除法 求得
rx-3mp15x-2m12令rx0即060153mpm 求得m -6 p3 1.62、判断fxx4-6x28x-3有无重因
式如果有求其重数 解f’x4x3-12x8 fxf’xx-12 x-1是fx的三重因式 1.73、设
fxx4-3x36x2-10x16 C3求fc 解用综合除法求得fc40 1.74、决是t的值使fxx3-3x2tx-1
有重根 解J由辗转除法使fxf’x≠求得t3 或t415当t3时 fx有三重根1 当t415时fx有二
重根-21 1.95、设fxx5x4-2x3-x2-x2求fx的有理根并写出fx在实数域和复数域上的标准
分解式。 解有理根是1二重2 实数域上分解式为fxx-12x2x2x1 复数域上分解式为
fxx-12x2x21-23ix2321i 1.96、求fx4x4-7x2-5x1的有理根并写出fx在有理数域上的标准
分解式。 解有理根为21二重分解式为fx4x212x2-x-1 1.97、求fxx5x4-6x3-14x2-11x-3
的有理根并写出fx在复数域上的标准分解式 解有理根为1四重3分解式fxx14x-3
1.88、已知i z-i 是fx2x5-7x48x3-2x26x5的两个根求fx的全部根 解全部根为 i-i2-i2i
21 1.89、求以1-i i为根的次数最低的复系数多项式fx 解fxx2-x1i 1.810、求以1为二重
根1I为单根的次数最低近的实系数多项式fx. 解fxx4-4x3-x2-6x2 1.811、已知1-i是
fxx4-4x3-5x2-2x-2的根求fx的全部根。 解全部根为1i1-i121-2 证明题 1.31、试证用
x2-1除fx所得余式为211211ffxff 证明设余式为axb则有fxx2-1qxaxb f1ab f-1-ab 求得
a211211ffbff 1.32、证明hxfxgxfxhxgxhx其中hx是首项系数为1的多项式。 证明设
fxgxdx 则hxdxhxfx hxdxhxgx又存在uxvx使得fxuxgxvxd有hxfxuxhxgxvxhxgx于是
hxdxhxfxhxgx 1.43、证明如果fxgxhx且fxgx1则fxhx 证明由fxgx1存在uxvx使得
fxuxgxvx1从而fxuxhxgxvxhxhxfxgxhxfxhx 所以fxhx 1.44、证明fxgxfx-gxfxgx 证明
fxgxdx 则dxfxgxdxfx-gx 设d1x 是fxgxfx-gxr的任一公因式 则d1xfxgxfx-gxzfx
d1xfxgx-fxgxzgx 故d1xfxd1xgx从而d1xdx 得证 1.55、证明gxfx的充分必要条件是
g2xf2x 证明设fxgxhx 则f2xg2xh2x即g2xfx 反之设g2xf2x将fxgx分解fx
aP1l1x??pslsxgxbp1r1x??psrsx 其中li ri为非负整数pix为互不相同的可约多项式那么
f2xa2p12l1x??ps2lsxg2xb2p12r1x??ps2rsx 由g2xf2x必有2ri≤2li即ri≤li于是gxfx。
1.76、设fxanxnan-1xn-1??a1xa0有n个非零根α1α2αn证明是n11121
gxa0xna1xn-1??an-1xan的n个根。 证明设α为fx的任非零根则
fαanαnan-1αn-1??a1αao0 g1a01na11n-1??an-11an1nanαnan-1αn-1??a1αao0所以得证的
根是1xg 1.57、设px是次数大于零的多项式如果对任意多项式fxgx由pxfxgx可推出
pxfx或pxgx那么px是不可约多项式 证明假设px是可约的设pxp1xp2x 其中 p1 x lt
px p2xlt px 显然pxp1xp2x 但pxP1x pxp2x 这与题设矛盾即px是不可约的。 1.5
8、设px是数域p上不可约多项式fx是p上任一多项式那么pxfx或pxfx1 证明设pxfxdx
则dxpx 由px不可约知dxcpx c≠0或dx1 当dxcpx时就有pxfx 1.59、设pxqx是数域p上两
个不可约多项式证明pxqx1或pxqx c≠证明因pxqx皆不可约故有pxqx1 或pxqx且qxpx
即pxcqx 1.710、证明如果x2x1f1x3xf2x3那么x-1f1x x-1f2x 证明x3-1x-1x2x1 设ω1ω2
是x2x1的根则有ω311ω321且ω1ω2为f1x3xf2x3的根那么有 f11ω1f210 f11ω2f210 因
ω1≠ω2 解得f110 f210 即 x-1f1x x-1f2x 1.911、设fxanxnan-1xn-1??a1xa0是整系数多
项式证明如果a0an均为奇数f1f-1中至少有一个为奇数那么fx无有理根 证明若fx有
有理根vuuv互素则van ua0知uv均为奇数由u-vf1uvf-1知f1f-1均为偶数这与题设矛盾
所以fx无有理根。 第二章 行列式 填空题 2.21、n级排列un-1??2 1的逆序数是 。
2.22、如果排列i1’i2’??in的逆序数是k则排列in’n-1??l’2l’1的逆序数是 。 2.43、
21112 2.34、aaxaxxaxxx 2.35、xxxaxxaaa43210000000 2.36、
的系数为中3221321213215xxxxxxxxf 2.37、的系数为中32xxxxxx 2.48、
若行列式中每一行元素之和都等于零则行列式的值为 。 2.49、
11134aaaa 2.410、43211aaaa 2.211、在全部n级排列中偶
排列的个数为 2.212、若排列1 2 7 4 i 5 6 k 9 是偶排列则i k 2.613、的代数余子式是
中2321215021 2.614、的代数余子式是中5321215021 4.215、设A为5级方阵且A1则
-2A 。 4.216、设A为5级方阵且A2则-2A 。 2.317、6级行列式中项a32 a43 a14 a51
a66 a25的符号为 。 2.318、6级行列式中项a43 a32 a51 a14 a26 a56的符号为 。
2.419、abccabbca111 2.420、111111111abcabccba 2.521、△111113222中 则△ 。 2.522、
△1111111322中 则△ 。 答案 1、21nn 2、21nn-k 3、5 4、 a1a2a3a4 5、a1a2a3a4 6、
-5 7、-1 8、09a4a3a2a11 10、a1a2a3a4 11、1n 12、i8k3 13、-4 14、-6 15、-32 16、
-64 17、正 18、负 19、b-ac-ac-b 20、b-ac-ac-b 21、0 22、-3 判断题 2.41、若行列
式中有两行对应元素互为相反数则行列式的值为0 2.32、6级行列式中项a32 a45
a51 a66 a25带负号 2.43、设dnnnnnnaaaaaaaaa2则
2nnnnaanaaaaaaad 2.44、设d nnnnnnaaaaaaaaa2则
daaaaaaaaannnnnn1 2.35、abcdzzzdyycxba000000 2.36、
abcddcxbyxazyx000000 2.37、0000000yxhgfedcba 2.48、000000hxgyayhfdxgecba
2.49、7654321 2.310、若n级行列试D中等于零的元素的个数大于
n2-n则D0 4.211、设A为n级方阵A2 则-3A -6 4.212、设A为n级方阵A2则-A-1n2
2.813、22200000000abbaabbaab 2.814、22200000000baabbaabba 2.415、
0dbacdbcabdcabdac 2.416、4831113 2.317、设
D43221ddddccccbbbbaaaa则a3 b2 c1 d3是D的一项。 2.318、设
D43221ddddccccbbbbaaaa则项a3 b4 d1 c2带正号。 2.319、如果行列式
D的元素都是整数则D的值也是整数。 2.320、如果行列D的元素都是自然数则D的
值也是自然数。 2.321、nnaaaaaa2121 2.322、010nnn 答案 1、
√ 2、× 3、× 4、× 5、√ 6、× 7、√ 8、× 9、√ 10、√ 11、× 12、√ 13、√ 14、√ 15、√ 16、
√ 17、× 18、× 19、√ 20、× 21、× 22、× 单项选择题 2.21、排列nn-1??2 1 的逆序
数为 A、n-1 B、21nn C、n D、21nn 2.22、如果排列i1i2??in的逆序数是k则排列
inin-1??l’2l’1的逆序数是 A、k B、n-k C、knn21 D、knn21 2.23、关于n级排列i1i2??in
以下结论不正确的是 A、逆序数是一个非负整数 B、一个对换改变其奇偶性 C、
逆序数最大为n D、可经若干次对换变为12??n 2.24、关于排列nn-1??2 1的奇偶性以
下结论正确的是 A、当n为偶数时是偶排列 B、当n为奇数时是奇排列 C、当n4m
或n4m2时是偶排列 D、当n4m或n4m1时是偶排列当n4m2或n4m3时奇排列 2.35、以
下乘积是5级行列式的项且符号为正的是 A、a31 a45 a12 a24 a53 B、a45 a54 a42 a12
a23 C、a53 a21 a45 a34 a12 D、a13 a34 a22 a45 a51 2.36、以下乘积是的一项是符号
为负的是43221ddddccccbbbbaaaa A、a3 b2 c1 d3 B、a3 b4 d1 c2 C、c2
b1 d3 c4 D、a1 b2 c3 d4 2.47、设dnnnnnnaaaaaaaaa2则
2nnnnnnaaaaaaaaa A、d B、-d C、-1nd D、-1n-1d 2.48、设d如上则
nmnnnnaaaaaaaaa1 A、-1nd B、-1n-1d C、d D、-d 2.49、设d如上则
221121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa A、d B、-d C、dnn211 D、-1n-1d 2.610、
321215021中5的代数余子式是 A、5 B、-5 C、-6 D、6 2.611、321215021中-2的
代数余子式是 A、 2 B、-2 C、4 D、-4 2.412、1111112223则设 A、-3 B、0 C、
3 D、1 2.413、111112223则设 A、1 B、0 C、-1 D、 2.314、nn0001000
A、n B、121nnn C、1221nnnn D、-1n n 4.215、设A为n级方阵且A2则-3A A、-6 B、
6 C、2 -3n D、2n-3n 4.216、设A为n级方程且A3则-2A A、-6 B、6 C、-23n D、-2n3
4.217、设A为n级方阵A2则-A A、-2 B、-1n2 C、2 D、-2 4.418、设A为n级方阵A
是A的伴随矩阵则当A -2时A A、2 B、-2 C、-2n D、-2n-1 2.419、设14131232xxx0
则x A、1 B、0 C、1或0 D、-1 2.420、设32111132xxx0则 x A、1或0 B、1 C、0
D、-1 2.321、fx2xxxxx中x3的系数是 A、4 B、2 C、-1 D、1 2.522、
Dnaaaa A、an-1 B、an1 C、an-2-1 D、an-an-2 2.423、设
D10000abcacbbcacba 2222abacbc则D1与D2的关系为 A、D1 D2 B、
D2abcD1 C、121DabcD D、1221DabcD 2.624、abaaba A、a4a4-b2 B、
a4a4b2 C、a4a2-b2 D、a2a2-b2 2.625、fedcba A、abcdef B、-abdf C、
abdf D、edf 答案 1、B 2、C 3、C 4、D 5、A 6、B 7、D 8、B 9、C 10、C 11、D 12、
A 13、B 14、C 15、C 16、D 17、B 18、D 19、C 20、A 21、D 22、A 23、 24、D 25、
B 计算题 2.51、d32321 解各列行加到第一列行后各行列减去第一行列
d160 2.52、dyyxx11111 解按第一列.