2024年3月29日发(作者：恭幼白)

第1章引 言 题 解

1. 用定义验证下列各集合是凸集：

（1） S={（x1,x2）|x1+2x2≥1,x1-x2≥1}； （2） S={（x1,x2）|x2≥|x1|}；

（3） S={（x1,x2）|x21+x22≤10}.

证（1） 对集合S中任意两点x（1）=x（1）1x（1）2,x（2）=x（2）1x（2）2及

每个数λ∈［0，1］，有

λx（1）+（1-λ）x（2）=

λx（1）1+（1-λ）x（2）1

λx（1）2+（1-λ）x（2）2

.

由题设，有

［λx（1）1+（1-λ）x（2）1］+2［λx（1）2+（1-λ）x（2）2］

=λ（x（1）1+2x（1）2）+（1-λ）（x（2）1+2x（2）2）≥λ+（1-λ）=1，

［λx（1）1+（1-λ）x（2）1］-［λx（1）2+（1-λ）x（2）2］

=λ（x（1）1-x（1）2）+（1-λ）（x（2）1-x（2）2）≥λ+（1-λ）=1，

因此，λx（1）+（1-λ）x（2）∈S,故S是凸集.

（2） 对集合S中任意两点x（1）=x（1）1x（1）2和x（2）=x（2）1x（2）2及

每个数λ∈［0，1］，有

λx（1）+（1-λ）x（2）=

λx（1）1+（1-λ）x（2）1

λx（1）2+（1-λ）x（2）2

.

由题设，有

λx（1）2+

（1-λ）x（2）2

≥λ|x（1）1|+

（1-λ）|x（2）1|

≥|λx（1）1+

2024年3月29日发(作者：恭幼白)

第1章引 言 题 解

1. 用定义验证下列各集合是凸集：

（1） S={（x1,x2）|x1+2x2≥1,x1-x2≥1}； （2） S={（x1,x2）|x2≥|x1|}；

（3） S={（x1,x2）|x21+x22≤10}.

证（1） 对集合S中任意两点x（1）=x（1）1x（1）2,x（2）=x（2）1x（2）2及

每个数λ∈［0，1］，有

λx（1）+（1-λ）x（2）=

λx（1）1+（1-λ）x（2）1

λx（1）2+（1-λ）x（2）2

.

由题设，有

［λx（1）1+（1-λ）x（2）1］+2［λx（1）2+（1-λ）x（2）2］

=λ（x（1）1+2x（1）2）+（1-λ）（x（2）1+2x（2）2）≥λ+（1-λ）=1，

［λx（1）1+（1-λ）x（2）1］-［λx（1）2+（1-λ）x（2）2］

=λ（x（1）1-x（1）2）+（1-λ）（x（2）1-x（2）2）≥λ+（1-λ）=1，

因此，λx（1）+（1-λ）x（2）∈S,故S是凸集.

（2） 对集合S中任意两点x（1）=x（1）1x（1）2和x（2）=x（2）1x（2）2及

每个数λ∈［0，1］，有

λx（1）+（1-λ）x（2）=

λx（1）1+（1-λ）x（2）1

λx（1）2+（1-λ）x（2）2

.

由题设，有

λx（1）2+

（1-λ）x（2）2

≥λ|x（1）1|+

（1-λ）|x（2）1|

≥|λx（1）1+