2024年4月25日发(作者：饶远悦)

无忧教育加油站

2004年全国硕士研究生入学考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线

ylnx

上与直线

xy1

垂直的切线方程为__________ .

(2)已知

f



(e

x

)xe

x

,且

f(1)0

,则

f(x)

=__________ .

(3)设

L

为正向圆周

x

2

y

2

2

在第一象限中的部分,则曲线积分



L

xdy2ydx

的值

为__________.

d

2

ydy

4x2y0(x0)

的通解为__________ . (4)欧拉方程

x

2

dx

dx

2



210





,矩阵满足

ABA

*

2BA

*

E

,其中

A

*

为的伴随矩阵,

120

(5)设矩阵

A



A

BE







001





是单位矩阵,则

B

=__________ .

(6)设随机变量

X

服从参数为



的指数分布,则

P{XDX}

= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,

只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把

x0

时的无穷小量







0

costdt,







0

tantdt,







0

sint

3

dt

,使排在后面的



x

2

x

2

x

是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)



,



,



(B)



,



,



(C)



,



,



(D)



,



,



(8)设函数

f(x)

连续,且

f



(0)0,

则存在



0

,使得

(A)

f(x)

在(0,



)

内单调增加 (B)

f(x)

在

(



,0)

内单调减少

(C)对任意的

x(0,



)

有

f(x)f(0)

(D)对任意的

x(



,0)

有

f(x)f(0)

1

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(9)设



a

n

为正项级数,下列结论中正确的是

n1



(A)若

limna

n

=0,则级数



a

n

收敛

n

n1



(B)若存在非零常数



,使得

limna

n





,则级数



a

n

发散

n

n1



n

2

a

n

0

(C)若级数



a

n

收敛,则

lim

n

n1



(D)若级数



a

n

发散, 则存在非零常数



,使得

limna

n





n

n1



(10)设

f(x)

为连续函数,

F(t)



1

dy



y

f(x)dx

,则

F



(2)

等于

(A)

2f(2)

(B)

f(2)

(C)

f(2)

(D) 0

(11)设

A

是3阶方阵,将

A

的第1列与第2列交换得

B

,再把

B

的第2列加到第3

列得

C

,则满足

AQC

的可逆矩阵

Q

为



010





100

(A)









101







010





100

(C)









011





tt



010





101

(B)









001







011





100

(D)









001





(12)设

A,B

为满足

ABO

的任意两个非零矩阵,则必有

(A)

A

的列向量组线性相关

,B

的行向量组线性相关

(B)

A

的列向量组线性相关

,B

的列向量组线性相关

(C)

A

的行向量组线性相关

,B

的行向量组线性相关

(D)

A

的行向量组线性相关

,B

的列向量组线性相关

(13)设随机变量

X

服从正态分布

N(0,1),

对给定的



(0



1)

,数

u



满足

P{Xu



}



,若

P{Xx}



,则

x

等于

2

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(A)

u



(B)

u

2

2

1



2

(C)

u

1



(D)

u

1



1

n

(14)设随机变量

X

1

,X

2

,



,X

n

(n1)

独立同分布,且其方差为





0.

令

Y



X

i

,

n

i1

2

则

(A)

Cov(X

1

,Y)

(C)

D(X

1

Y)

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤)

(15)(本题满分12分)

设

eabe

2

,证明

ln

2

bln

2

a

4

(ba)

.

e

2



2

n

(B)

Cov(X

1

,Y)



2

(D)

D(X

1

Y)

n1

2



n

n2

2



n

3

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(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速

伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打

开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为

k6.010

6

).

问从着陆点

算起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)

4

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(17)(本题满分12分)

计算曲面积分

I



2x

3

dydz2y

3

dzdx3(z

2

1)dxdy,

其中



是曲面

z1x

2

y

2

(z0)



的上侧.

5

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(18)(本题满分11分)

设有方程

x

n

nx10

,其中

n

为正整数.证明此方程存在惟一正实根

x

n

,并证明



当



1

时,级数



x

n

收敛.

n1



6

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(19)(本题满分12分)

设

zz(x,y)

是由

x

2

6xy10y

2

2yzz

2

180

确定的函数,求

zz(x,y)

的极值点和

极值.

7

无忧教育加油站

(20)(本题满分9分)





(1a)x

1

x

2

x

n

0,

设有齐次线性方程组





2x

1

(2a)x

2

2x

n

0,







nx

1

nx

2

(na)x

n

0,

试问

a

取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

8

(n2),

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(21)(本题满分9分)



123





的特征方程有一个二重根,求

a

的值,并讨论是否可相似

143

设矩阵

A



A







1a5





对角化.

9

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10

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(22)(本题满分9分)

设

A,B

为随机事件,且

P(A),P(B|A),P(A|B)

,令



1,

A发生,



1,

B发生,

Y



X



0,0,

A不发生;B不发生.



1

4

1

3

1

2

求:(1)二维随机变量

(X,Y)

的概率分布. (2)

X

和

Y

的相关系数



XY

.

11

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(23)(本题满分9分)

设总体

X

的分布函数为

1





1



,

x1,

F(x,



)



x

x1,





0,

其中未知参数





1,X

1

,X

2

,



,X

n

为来自总体

X

的简单随机样本,

求:(1)



的矩估计量. (2)



的最大似然估计量

12

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2004年数学一试题分析、详解和评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线

xy1

垂直的切线方程为

yx1

.

【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由

y



(lnx)





1

1

，得x=1, 可见切点为

(1,0)

，于是所求的切线方程为

x

y01(x1)

， 即

yx1

.

【评注】 本题也可先设切点为

(x

0

,lnx

0

)

，曲线y=lnx过此切点的导数为

y



由此可知所求切线方程为

y01(x1)

， 即

yx1

.

本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.

（2）已知

f



(e)xe

xx

xx

0



1

1

，得

x

0

1

，

x

0

，且f(1)=0, 则f(x)=

1

(lnx)

2

.

2

【分析】 先求出

f



(x)

的表达式，再积分即可。

【详解】 令

et

，则

xlnt

，于是有

x

lntlnx

， 即

f



(x).

tx

lnx11

2

积分得

f(x)



故所求函数为f(x)=

(lnx)

.

dx(lnx)

2

C

. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，

x22

f



(t)

【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。

完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.

（3）设

L

为正向圆周

xy2

在第一象限中的部分，则曲线积分

22



L

xdy2ydx

的值为

3



.

2

【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

【详解】 正向圆周

xy2

在第一象限中的部分，可表示为

22



x2cos



,





y2sin



,





:0



2

.

于是



xdy2ydx



L

2

0

[2co



s2co



s22sin



2sin



]d





=







2

0

2sin

2



d





3



.

2

【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法

化为定积分计算即可.

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 .

13

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c

1

c

2

d

2

ydy

4x2y0(x0)

（4）欧拉方程

x

的通解为 .

y

dx

x

x

2

dx

2

2

【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换

xe

化为常系数线性齐次微分方程即可。

【详解】 令

xe

，则

t

t

dydydtdy1dy

，

e

t



dxdtdxdtxdt

d

2

y1dy1d

2

ydt1d

2

ydy



2



2

[

2

]

，

22

dt

dxx

dtx

dt

dx

xdt

代入原方程，整理得

d

2

ydy

32y0

，

dt

dt

2

解此方程，得通解为

yc

1

e

t

c

2

e

2t



c

1

c

2



2

.

x

x

t

【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令

xe

，则欧拉方程

d

2

ydy

bxcyf(x)

，

ax

2

dx

dx

2

d

2

ydydy

]bcyf(e

t

).

可化为

a[

2



dtdt

dt

完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数

学大串讲》P75例12.



210





***

（5）设矩阵

A120

，矩阵B满足

ABA2BAE

，其中

A

为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，







001





则

B

1

.

9

*

【分析】 可先用公式

AAAE

进行化简

【详解】 已知等式两边同时右乘A，得

ABA

*

A2BA

*

AA

， 而

A3

，于是有

3AB6BA

， 即

(3A6E)BA

，

再两边取行列式，有

3A6EBA3

，

1

.

9

14

而

3A6E27

，故所求行列式为

B

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【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵

A

*

，一般均应先利用公式

A

*

AAA

*

AE

进行化简。

完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2，P118例9

（6）设随机变量X服从参数为



的指数分布，则

P{XDX}

=

1

.

e

【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。

【详解】 由题设，知

DX

P{X

1



2

，于是

DX}

=

P{X}



1



e





x

dx

1







=

e





x



1



1

.

e

【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。

完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把

所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）把

x0

时的无穷小量





的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A)



,



,



. (B)



,



,



. (C)



,



,



. (D)



,



,



. [ B ]

【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.





x

0

costdt,







tantdt,







sint

3

dt

，使排在后面的是前一个

00

2

x

2

x



【详解】

limlim

x0



x0







0



x

2

x

tantdt

cost

2

dt

x

3

lim



x0

tanx2x

0

，可排除(C),(D)选项，

2

cosx

sinx

3

2

0



lim

又

lim

x0



x0







0

x

2

sintdt

1

0

tantdt

lim



x0

2x

2xtanx

=

1x

lim



2



，可见



是比



低阶的无穷小量，故应选(B).

4

x0

x

n

【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将



,



,



分别与

x

进行比较，再确定相互的高低次序.

完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题.

（8）设函数f(x)连续，且

f



(0)0,

则存在



0

，使得

(A) f(x)在（0，



)

内单调增加. （B）f(x)在

(



,0)

内单调减少.

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2004年全国硕士研究生入学考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线

ylnx

上与直线

xy1

垂直的切线方程为__________ .

(2)已知

f



(e

x

)xe

x

,且

f(1)0

,则

f(x)

=__________ .

(3)设

L

为正向圆周

x

2

y

2

2

在第一象限中的部分,则曲线积分



L

xdy2ydx

的值

为__________.

d

2

ydy

4x2y0(x0)

的通解为__________ . (4)欧拉方程

x

2

dx

dx

2



210





,矩阵满足

ABA

*

2BA

*

E

,其中

A

*

为的伴随矩阵,

120

(5)设矩阵

A



A

BE







001





是单位矩阵,则

B

=__________ .

(6)设随机变量

X

服从参数为



的指数分布,则

P{XDX}

= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,

只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把

x0

时的无穷小量







0

costdt,







0

tantdt,







0

sint

3

dt

,使排在后面的



x

2

x

2

x

是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)



,



,



(B)



,



,



(C)



,



,



(D)



,



,



(8)设函数

f(x)

连续,且

f



(0)0,

则存在



0

,使得

(A)

f(x)

在(0,



)

内单调增加 (B)

f(x)

在

(



,0)

内单调减少

(C)对任意的

x(0,



)

有

f(x)f(0)

(D)对任意的

x(



,0)

有

f(x)f(0)

1

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(9)设



a

n

为正项级数,下列结论中正确的是

n1



(A)若

limna

n

=0,则级数



a

n

收敛

n

n1



(B)若存在非零常数



,使得

limna

n





,则级数



a

n

发散

n

n1



n

2

a

n

0

(C)若级数



a

n

收敛,则

lim

n

n1



(D)若级数



a

n

发散, 则存在非零常数



,使得

limna

n





n

n1



(10)设

f(x)

为连续函数,

F(t)



1

dy



y

f(x)dx

,则

F



(2)

等于

(A)

2f(2)

(B)

f(2)

(C)

f(2)

(D) 0

(11)设

A

是3阶方阵,将

A

的第1列与第2列交换得

B

,再把

B

的第2列加到第3

列得

C

,则满足

AQC

的可逆矩阵

Q

为



010





100

(A)









101







010





100

(C)









011





tt



010





101

(B)









001







011





100

(D)









001





(12)设

A,B

为满足

ABO

的任意两个非零矩阵,则必有

(A)

A

的列向量组线性相关

,B

的行向量组线性相关

(B)

A

的列向量组线性相关

,B

的列向量组线性相关

(C)

A

的行向量组线性相关

,B

的行向量组线性相关

(D)

A

的行向量组线性相关

,B

的列向量组线性相关

(13)设随机变量

X

服从正态分布

N(0,1),

对给定的



(0



1)

,数

u



满足

P{Xu



}



,若

P{Xx}



,则

x

等于

2

无忧教育加油站

(A)

u



(B)

u

2

2

1



2

(C)

u

1



(D)

u

1



1

n

(14)设随机变量

X

1

,X

2

,



,X

n

(n1)

独立同分布,且其方差为





0.

令

Y



X

i

,

n

i1

2

则

(A)

Cov(X

1

,Y)

(C)

D(X

1

Y)

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤)

(15)(本题满分12分)

设

eabe

2

,证明

ln

2

bln

2

a

4

(ba)

.

e

2



2

n

(B)

Cov(X

1

,Y)



2

(D)

D(X

1

Y)

n1

2



n

n2

2



n

3

无忧教育加油站

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速

伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打

开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为

k6.010

6

).

问从着陆点

算起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)

4

无忧教育加油站

(17)(本题满分12分)

计算曲面积分

I



2x

3

dydz2y

3

dzdx3(z

2

1)dxdy,

其中



是曲面

z1x

2

y

2

(z0)



的上侧.

5

无忧教育加油站

(18)(本题满分11分)

设有方程

x

n

nx10

,其中

n

为正整数.证明此方程存在惟一正实根

x

n

,并证明



当



1

时,级数



x

n

收敛.

n1



6

无忧教育加油站

(19)(本题满分12分)

设

zz(x,y)

是由

x

2

6xy10y

2

2yzz

2

180

确定的函数,求

zz(x,y)

的极值点和

极值.

7

无忧教育加油站

(20)(本题满分9分)





(1a)x

1

x

2

x

n

0,

设有齐次线性方程组





2x

1

(2a)x

2

2x

n

0,







nx

1

nx

2

(na)x

n

0,

试问

a

取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

8

(n2),

无忧教育加油站

(21)(本题满分9分)



123





的特征方程有一个二重根,求

a

的值,并讨论是否可相似

143

设矩阵

A



A







1a5





对角化.

9

无忧教育加油站

10

无忧教育加油站

(22)(本题满分9分)

设

A,B

为随机事件,且

P(A),P(B|A),P(A|B)

,令



1,

A发生,



1,

B发生,

Y



X



0,0,

A不发生;B不发生.



1

4

1

3

1

2

求:(1)二维随机变量

(X,Y)

的概率分布. (2)

X

和

Y

的相关系数



XY

.

11

无忧教育加油站

(23)(本题满分9分)

设总体

X

的分布函数为

1





1



,

x1,

F(x,



)



x

x1,





0,

其中未知参数





1,X

1

,X

2

,



,X

n

为来自总体

X

的简单随机样本,

求:(1)



的矩估计量. (2)



的最大似然估计量

12

无忧教育加油站

2004年数学一试题分析、详解和评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线

xy1

垂直的切线方程为

yx1

.

【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由

y



(lnx)





1

1

，得x=1, 可见切点为

(1,0)

，于是所求的切线方程为

x

y01(x1)

， 即

yx1

.

【评注】 本题也可先设切点为

(x

0

,lnx

0

)

，曲线y=lnx过此切点的导数为

y



由此可知所求切线方程为

y01(x1)

， 即

yx1

.

本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.

（2）已知

f



(e)xe

xx

xx

0



1

1

，得

x

0

1

，

x

0

，且f(1)=0, 则f(x)=

1

(lnx)

2

.

2

【分析】 先求出

f



(x)

的表达式，再积分即可。

【详解】 令

et

，则

xlnt

，于是有

x

lntlnx

， 即

f



(x).

tx

lnx11

2

积分得

f(x)



故所求函数为f(x)=

(lnx)

.

dx(lnx)

2

C

. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，

x22

f



(t)

【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。

完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.

（3）设

L

为正向圆周

xy2

在第一象限中的部分，则曲线积分

22



L

xdy2ydx

的值为

3



.

2

【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

【详解】 正向圆周

xy2

在第一象限中的部分，可表示为

22



x2cos



,





y2sin



,





:0



2

.

于是



xdy2ydx



L

2

0

[2co



s2co



s22sin



2sin



]d





=







2

0

2sin

2



d





3



.

2

【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法

化为定积分计算即可.

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 .

13

无忧教育加油站

c

1

c

2

d

2

ydy

4x2y0(x0)

（4）欧拉方程

x

的通解为 .

y

dx

x

x

2

dx

2

2

【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换

xe

化为常系数线性齐次微分方程即可。

【详解】 令

xe

，则

t

t

dydydtdy1dy

，

e

t



dxdtdxdtxdt

d

2

y1dy1d

2

ydt1d

2

ydy



2



2

[

2

]

，

22

dt

dxx

dtx

dt

dx

xdt

代入原方程，整理得

d

2

ydy

32y0

，

dt

dt

2

解此方程，得通解为

yc

1

e

t

c

2

e

2t



c

1

c

2



2

.

x

x

t

【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令

xe

，则欧拉方程

d

2

ydy

bxcyf(x)

，

ax

2

dx

dx

2

d

2

ydydy

]bcyf(e

t

).

可化为

a[

2



dtdt

dt

完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数

学大串讲》P75例12.



210





***

（5）设矩阵

A120

，矩阵B满足

ABA2BAE

，其中

A

为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，







001





则

B

1

.

9

*

【分析】 可先用公式

AAAE

进行化简

【详解】 已知等式两边同时右乘A，得

ABA

*

A2BA

*

AA

， 而

A3

，于是有

3AB6BA

， 即

(3A6E)BA

，

再两边取行列式，有

3A6EBA3

，

1

.

9

14

而

3A6E27

，故所求行列式为

B

无忧教育加油站

【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵

A

*

，一般均应先利用公式

A

*

AAA

*

AE

进行化简。

完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2，P118例9

（6）设随机变量X服从参数为



的指数分布，则

P{XDX}

=

1

.

e

【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。

【详解】 由题设，知

DX

P{X

1



2

，于是

DX}

=

P{X}



1



e





x

dx

1







=

e





x



1



1

.

e

【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。

完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把

所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）把

x0

时的无穷小量





的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A)



,



,



. (B)



,



,



. (C)



,



,



. (D)



,



,



. [ B ]

【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.





x

0

costdt,







tantdt,







sint

3

dt

，使排在后面的是前一个

00

2

x

2

x



【详解】

limlim

x0



x0







0



x

2

x

tantdt

cost

2

dt

x

3

lim



x0

tanx2x

0

，可排除(C),(D)选项，

2

cosx

sinx

3

2

0



lim

又

lim

x0



x0







0

x

2

sintdt

1

0

tantdt

lim



x0

2x

2xtanx

=

1x

lim



2



，可见



是比



低阶的无穷小量，故应选(B).

4

x0

x

n

【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将



,



,



分别与

x

进行比较，再确定相互的高低次序.

完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题.

（8）设函数f(x)连续，且

f



(0)0,

则存在



0

，使得

(A) f(x)在（0，



)

内单调增加. （B）f(x)在

(



,0)

内单调减少.

15