2024年4月26日发(作者：虢梅红)
最优自留额和最优再保险
孟生旺
中国人民大学统计学院
最优自留额
确定自留额需要考虑的因素：
利润
偿付能力
财务稳定性
竞争
本节只讨论理想化的模型：
仅考虑财务稳定性：减少盈余的波动
3
符号：
Z，Z
N
，Z
R
分别表示总损失额，原保险人的自留额和再保
险人的承担额
X，X
N
，X
R
分别表示个体损失额，原保险人的自留额和再
保险人的承担额
P，P
N
，P
R
分别表示总保险费，原保险人的自留保费和再
保险的保费
Y＝P－Z, Y
N
= P
N
－Z
N
, Y
R
=P
R
－
Z
R
表示盈余，原保险人的
盈余和再保险的盈余
P
*
表示风险全部转移给再保险人时的再保费；Y
*
表示风险
全部转移给再保险人时的再保险人的盈余
5
自留额
含义：原保险人再保后承担的风险额度
衡量指标：随再保形式不同而不同
成数再保险：
α
溢额再保险：m
超赔再保险（险位超赔，事故超赔）：r
停止损失再保险（赔付率超赔）：
ρ
P
2
假设
假设原保险人对一个由n 类风险组成的风险组合进行再保
险：
类与类之间相互独立
每一类风险的总损失是一个集体风险模型：
Z=X
(i)
+"+X
(i)
i1N(i)
其中
N (i) 为损失次数；X
j
(i)
为每次损失额
X
1
(i)
, X
2
(i)
, …X
n
(i)
独立分布，且与N (i) 独立
4
相对自留额
相对自留额：对不同类的风险单位采用不同的自留额。
自留额的决定往往是一个两难的决定。
最大收益－最小方差原理：
流出一定利润，使再保险后的风险达到最小
例：在
Σ
n(i)
i=1
E(Y
R
)=c
（c为常数）的条件下，求
α
1
,……
α
n
使
Σ
n
Y
(i)
i=1
var(
N
)
达到最小值。
注：在流向再保险人的盈余一定的条件下，使原保险人的
风险最小。
6
1
拉格朗日方法：
n
φ
(
λ
)
=
∑
var(Y
(i)
)
+
2
λ
⎡
n
⎢
∑
E(Y
(i)
⎤
NR
)
−
c
i=1
⎣
i=1
⎥
⎦
考虑成数再保险：
Y
(i)
N
=
α
(P
*
i
−Z
i
)
Y
(i)
R
=(1−
α
i
)(P
*
i
−Z
i
)=(1−
α
i
)Y
*
i
n
φ
(
α
=
∑
α
2
var(Z
⎡
n
*
⎤
1
,
"
,
α
n
;
λ
)
ii
)+2
λ
⎢
∑
(1−
α
i
)E(Y
i
)−c
i
=1
⎣
i
=1
⎥
⎦
7
如何确定c
c 的确定取决于保险人对风险的态度、对利润的态度，以
及对再保险人的态度。
自留额的确定是一个决策问题，自留额（自留利润）越
高，风险越大。
e
利润
σ
2
风险
期望自留利润与方差（风险）关系
9
利润
e
效
用
增
加
σ
2
风险
无差异曲线：风险给定时，不同曲线上的效用不同
11
模型求解：
∂
φ
=2
α
*
∂
α
i
var(Z
i
)−2
λ
E(Y
i
)=0,(i=1,2,
"
,n)
i
∂
φ
n
∂
λ
=
∑
(1−
α
i
)E(Y
*
i
)−c=0
i=1
解得（请练习，求出自留额比例）：
α
E(Y
*
i
)
i
=
λ
var(Z
,i=1,2,",n
将此式代入第2式，即得：
i
)
n
λ
=
Σ
i=1
E(Y
*
i
)−c
Σ
n
i
=
1
[E
2
(Y
*
i
)/var(Z
i
)]
8
利润
e
效
用
增
加
σ
2
风险
无差异曲线：同一曲线上的效用相等
10
利润
e
效
用
增
加
σ
2
风险
无差异曲线：利润给定时，不同曲线上的效用不同
12
2
2024年4月26日发(作者：虢梅红)
最优自留额和最优再保险
孟生旺
中国人民大学统计学院
最优自留额
确定自留额需要考虑的因素：
利润
偿付能力
财务稳定性
竞争
本节只讨论理想化的模型：
仅考虑财务稳定性：减少盈余的波动
3
符号：
Z，Z
N
，Z
R
分别表示总损失额，原保险人的自留额和再保
险人的承担额
X，X
N
，X
R
分别表示个体损失额，原保险人的自留额和再
保险人的承担额
P，P
N
，P
R
分别表示总保险费，原保险人的自留保费和再
保险的保费
Y＝P－Z, Y
N
= P
N
－Z
N
, Y
R
=P
R
－
Z
R
表示盈余，原保险人的
盈余和再保险的盈余
P
*
表示风险全部转移给再保险人时的再保费；Y
*
表示风险
全部转移给再保险人时的再保险人的盈余
5
自留额
含义：原保险人再保后承担的风险额度
衡量指标：随再保形式不同而不同
成数再保险：
α
溢额再保险：m
超赔再保险（险位超赔，事故超赔）：r
停止损失再保险（赔付率超赔）：
ρ
P
2
假设
假设原保险人对一个由n 类风险组成的风险组合进行再保
险：
类与类之间相互独立
每一类风险的总损失是一个集体风险模型：
Z=X
(i)
+"+X
(i)
i1N(i)
其中
N (i) 为损失次数；X
j
(i)
为每次损失额
X
1
(i)
, X
2
(i)
, …X
n
(i)
独立分布，且与N (i) 独立
4
相对自留额
相对自留额：对不同类的风险单位采用不同的自留额。
自留额的决定往往是一个两难的决定。
最大收益－最小方差原理：
流出一定利润，使再保险后的风险达到最小
例：在
Σ
n(i)
i=1
E(Y
R
)=c
（c为常数）的条件下，求
α
1
,……
α
n
使
Σ
n
Y
(i)
i=1
var(
N
)
达到最小值。
注：在流向再保险人的盈余一定的条件下，使原保险人的
风险最小。
6
1
拉格朗日方法：
n
φ
(
λ
)
=
∑
var(Y
(i)
)
+
2
λ
⎡
n
⎢
∑
E(Y
(i)
⎤
NR
)
−
c
i=1
⎣
i=1
⎥
⎦
考虑成数再保险：
Y
(i)
N
=
α
(P
*
i
−Z
i
)
Y
(i)
R
=(1−
α
i
)(P
*
i
−Z
i
)=(1−
α
i
)Y
*
i
n
φ
(
α
=
∑
α
2
var(Z
⎡
n
*
⎤
1
,
"
,
α
n
;
λ
)
ii
)+2
λ
⎢
∑
(1−
α
i
)E(Y
i
)−c
i
=1
⎣
i
=1
⎥
⎦
7
如何确定c
c 的确定取决于保险人对风险的态度、对利润的态度，以
及对再保险人的态度。
自留额的确定是一个决策问题，自留额（自留利润）越
高，风险越大。
e
利润
σ
2
风险
期望自留利润与方差（风险）关系
9
利润
e
效
用
增
加
σ
2
风险
无差异曲线：风险给定时，不同曲线上的效用不同
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模型求解：
∂
φ
=2
α
*
∂
α
i
var(Z
i
)−2
λ
E(Y
i
)=0,(i=1,2,
"
,n)
i
∂
φ
n
∂
λ
=
∑
(1−
α
i
)E(Y
*
i
)−c=0
i=1
解得（请练习，求出自留额比例）：
α
E(Y
*
i
)
i
=
λ
var(Z
,i=1,2,",n
将此式代入第2式，即得：
i
)
n
λ
=
Σ
i=1
E(Y
*
i
)−c
Σ
n
i
=
1
[E
2
(Y
*
i
)/var(Z
i
)]
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利润
e
效
用
增
加
σ
2
风险
无差异曲线：同一曲线上的效用相等
10
利润
e
效
用
增
加
σ
2
风险
无差异曲线：利润给定时，不同曲线上的效用不同
12
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