2024年5月8日发(作者：军水悦)

2018-2019学年四川省南充市高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．若

i

为虚数单位，则

ii

2

i

3

i

4

的值为（ ）

A．

1

B．

i

C．

0

D．

1

【答案】C

【解析】试题分析：

ii

2

i

3

i

4

i1i10

,选C

【考点】复数的运算

2．双曲线的渐近线方程是（ ）

A． B． C．

【答案】D

【解析】依据双曲线性质，即可求出。

【详解】

由双曲线得， ，即 ，

所以双曲线的渐近线方程是，故选D。

【点睛】

本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地

双曲线的渐近线方程是；

双曲线的渐近线方程是。

3．若离散型随机变量

X

的分布列为

X

0

1

a

a

2

P

2

2

则

X

的数学期望

E



X





（ ）

A．

2

B．

2

或

1

2

C．

1

2

【答案】C

第 1 页 共 16 页

D．

D．

1

【解析】由离散型随机变量

X

的分布列，列出方程组，能求出实数

a

，由此能求出

X

的数学期望.

【详解】

解：由离散型随机变量

X

的分布列，知：

a



01



2



a

2



1

，解得

a1

，



0

2





aa

2

1





22



∴

X

的数学期望

E(X)0

故选：C.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量

X

的分布列等基础

知识，是基础题.

4．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意

一面下山的走法最多,应

A．从东边上山

【答案】D

【解析】

从东边上山共

21020

种;从西边上山共

3927

种;从南边上山共

B．从西边上山 C．从南边上山 D．从北边上山

111

1

.

222

3927

种;从北边上山共

4832

种;所以应从北边上山.故选D.



2

2



5．二项式



x



的展开式中的常数项是

x



A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项

【答案】B

【解析】展开式的通项公式T

r＋1

＝

C2x

数项是第9项.选B.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第

r1

项，再由特定项的特点求出

r

值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第

r1

项，由特定项得出

r

值，最后求出其参数.

r

10

r

5

20r

2

10

，令

20

5

r

＝0，得r＝8.展开式中常

2

第 2 页 共 16 页

6．若

390

角的终边上有一点

P



a,3



，则

a

的值是（ ）

A．

33

B．

3

C．

33

D．

3

【答案】A

【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出

a

的值.

【详解】

解：若

390

角的终边上有一点

P



a,3



，

则

tan390



tan30





∴

a33

.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

7．分配

4

名工人去

3

个不同的居民家里检查管道，要求

4

名工人都分配出去，并且每

名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）

A．

A

4

种

【答案】C

【解析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先

从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分

别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，

且每个居民家都要有人去检查；

则必有2名水暖工去同一居民家检查，

即要先从4名水暖工中抽取2人，有

C

4

2

种方法，

再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，

有

A

3

种情况，

由分步计数原理，可得共

C

4

A

3

种不同分配方案，

故选：C.

【点睛】

第 3 页 共 16 页

23

33



，

3a

3

B．

A

3

A

4

种

31

C．

C

4

A

3

种

23

D．

C

4

C

3

A

3

种

113

3

本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档

题.

8．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2＋2x＋b(b为常数)，则f(－

1)＝( )

A．3

【答案】D

【解析】【详解】

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

当x≥0时，f（x）=2

x

+2x+b（b为常数），

∴f（0）=1+b=0，

解得b=-1

∴f（1）=2+2-1=3．

∴f（-1）=-f（1）=-3．

故选D．

9．已知直线

l:xym0

经过抛物线

C:y2px(p0)

的焦点，与

C

交于

A,B

两

点，若

|AB|6

，则

p

的值为（ ）

A．

2

x

B．1 C．－1 D．－3

13

B． C．1 D．2

22

pp

,0)

，则由题意，得

m

①．又由

22

【答案】B

【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为

(



xym0

22

，得

x2(pm)xm0

，所以

|AB|2[2(pm)]

2

4m

2

6



2



y2px

②，由①②得

p

3

，故选B．

2

【考点】1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．

10．已知

P

是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为

1

，则

P

到这个四面体各面的

距离之和为（ ）

A．

6

3

B．

6

2

C．

3

2

D．

3

3

【答案】A

【解析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离.

第 4 页 共 16 页

【详解】

解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，

设它到四个面的距离分别为

a,b,c,d

，

由于棱长为1的正四面体，四个面的面积都是

13

；

11sin60





24

又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的

2

，

3

又高为

1sin60





3

，

2

3

；

3

2

所以底面中心到底面顶点的距离都是



3



6

由此知顶点到底面的距离是

1

2





；







3



3



此正四面体的体积是



1

3

362

.



4312

所以：

213

(abcd)

，

1234

6

.

3

解得

abcd

故选：A.

【点睛】

本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力.

11．已知向量

a



1,x1



，

b



y,2



，其中

x0

，

y0

．若

ab

，则

xy

的最

大值为（ ）

A．1

【答案】D

【解析】已知向量

a



1,x1



，

b



y,2



， 根据

ab

，得到

y2



x1



0

，即

B．2 C．

1

4

D．

1

2

2xy



2xy2

，再利用基本不等式

xy

1

2xy

1





求解.

22



2



【详解】

已知向量

a



1,x1



，

b



y,2



，

第 5 页 共 16 页

2

因为

ab

，

所以

y2



x1



0

，

即

2xy2

，

又因为

x0

，

y0

，

11



2xy



1

所以

xy2xy





，

22



2



2

当且仅当

2xy2

，

2xy

，即

x

所以

xy

的最大值为

故选：D

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，

属于中档题.

12．设函数

2

1

,y1

时，取等号，

2

1

.

2

f'(x)

是奇函数

f(x)

（

xR

）的导函数，

f(1)0

，当

x0

时，

xf'(x)f(x)0

，则使得

f(x)0

成立的

x

的取值范围是（ ）

A．

(,1)(0,1)

C．

(,1)(1,0)

【答案】A

【解析】【详解】

B．

(1,0)(1,)

D．

(0,1)(1,)

xf





x



f



x



f



x



构造新函数

g



x





,

'

，当

x0

时

g'



x



0

.

g



x





x

2

x

所以在



0,





上

g



x





f



x



单减，又

f



1



0

，即

g



1



0

.

x

所以

g



x





f



x



0

可得

0x1

,此时

f



x



0

，

x

又

f



x



为奇函数，所以

f



x



0

在



,0







0,



上的解集为：



,1







0,1



.

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如

xf





x



f



x



，

第 6 页 共 16 页

想到构造

g



x





f



x



x

.一般：（1）条件含有

f



x



f





x



，就构造

g



x



ef



x



,

x

（2）若

f



x



f





x



，就构造

g



x





f



x



，（3）

2f



x



f





x



，就构造

x

e

f



x



，等便于给出导数时联想

e

2x

g



x



e

2x

f



x



，（4）

2f



x



f





x



就构造

g



x





构造函数.

二、填空题

13．已知

a



3,2,5



，

b



1,5,1



，则

ab

______.

【答案】

2

【解析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可．

【详解】

解：

a



3,2,5



，

b



1,5,1



ab31255



1



2

故答案为：

2

【点睛】

本题考查了空间向量的数量积运算问题，属于基础题．

14．在数列



a

n



中，若

a

1

1

，

a

n1

a

n

2

，则该数列的通项

a

n



________.

【答案】

2n1

【解析】根据条件先判断数列类型，然后利用定义求解数列通项公式.

【详解】

因为

a

n1

a

n

2

，所以

a

n1

a

n

2

，所以



a

n



是等差数列且公差

d2

，又

a

1

1

，

所以

a

n

12



n1



，所以

a

n

2n1

，

故答案为：

2n1

.

【点睛】

本题考查等差数列的判断及通项求解，难度较易.常见的等差数列的判断方法有两种：

定义法、等差中项法.

15．已知

e

为自然对数的底数，曲线

yaex

在点



1,ae1



处的切线与直线

x

第 7 页 共 16 页

2exy10

平行，则实数

a

______.

【答案】

2e1

e

xx

【解析】由

yaex

，求导

y



ae1

，再根据点



1,ae1



处的切线与直线

2exy10

平行，有

y



|

x1

ae12e

求解.

【详解】

因为

yaex

，

所以

y



ae1

，

因为点



1,ae1



处的切线与直线

2exy10

平行，

所以

y



|

x1

ae12e

，

解得

a

x

x

2e1

.

e

故答案为：

【点睛】

2e1

e

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

y

2

16．已知

F

是双曲线

C:x1

的右焦点，

C

的右支上一点

P

到一条渐近线的距

4

2

离为2，在另一条渐近线上有一点

Q

满足

FP



PQ

，则





________________．

【答案】4

【解析】试题分析：双曲线的右焦点F（，0），渐近线方程为，点P到渐

近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行

的直线上，不妨设P在直线上，由方程组得

，所以，由方程组得，所以

，所以

第 8 页 共 16 页

由于

FP



PQ

，

2024年5月8日发(作者：军水悦)

2018-2019学年四川省南充市高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．若

i

为虚数单位，则

ii

2

i

3

i

4

的值为（ ）

A．

1

B．

i

C．

0

D．

1

【答案】C

【解析】试题分析：

ii

2

i

3

i

4

i1i10

,选C

【考点】复数的运算

2．双曲线的渐近线方程是（ ）

A． B． C．

【答案】D

【解析】依据双曲线性质，即可求出。

【详解】

由双曲线得， ，即 ，

所以双曲线的渐近线方程是，故选D。

【点睛】

本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地

双曲线的渐近线方程是；

双曲线的渐近线方程是。

3．若离散型随机变量

X

的分布列为

X

0

1

a

a

2

P

2

2

则

X

的数学期望

E



X





（ ）

A．

2

B．

2

或

1

2

C．

1

2

【答案】C

第 1 页 共 16 页

D．

D．

1

【解析】由离散型随机变量

X

的分布列，列出方程组，能求出实数

a

，由此能求出

X

的数学期望.

【详解】

解：由离散型随机变量

X

的分布列，知：

a



01



2



a

2



1

，解得

a1

，



0

2





aa

2

1





22



∴

X

的数学期望

E(X)0

故选：C.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量

X

的分布列等基础

知识，是基础题.

4．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意

一面下山的走法最多,应

A．从东边上山

【答案】D

【解析】

从东边上山共

21020

种;从西边上山共

3927

种;从南边上山共

B．从西边上山 C．从南边上山 D．从北边上山

111

1

.

222

3927

种;从北边上山共

4832

种;所以应从北边上山.故选D.



2

2



5．二项式



x



的展开式中的常数项是

x



A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项

【答案】B

【解析】展开式的通项公式T

r＋1

＝

C2x

数项是第9项.选B.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第

r1

项，再由特定项的特点求出

r

值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第

r1

项，由特定项得出

r

值，最后求出其参数.

r

10

r

5

20r

2

10

，令

20

5

r

＝0，得r＝8.展开式中常

2

第 2 页 共 16 页

6．若

390

角的终边上有一点

P



a,3



，则

a

的值是（ ）

A．

33

B．

3

C．

33

D．

3

【答案】A

【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出

a

的值.

【详解】

解：若

390

角的终边上有一点

P



a,3



，

则

tan390



tan30





∴

a33

.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

7．分配

4

名工人去

3

个不同的居民家里检查管道，要求

4

名工人都分配出去，并且每

名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）

A．

A

4

种

【答案】C

【解析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先

从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分

别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，

且每个居民家都要有人去检查；

则必有2名水暖工去同一居民家检查，

即要先从4名水暖工中抽取2人，有

C

4

2

种方法，

再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，

有

A

3

种情况，

由分步计数原理，可得共

C

4

A

3

种不同分配方案，

故选：C.

【点睛】

第 3 页 共 16 页

23

33



，

3a

3

B．

A

3

A

4

种

31

C．

C

4

A

3

种

23

D．

C

4

C

3

A

3

种

113

3

本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档

题.

8．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2＋2x＋b(b为常数)，则f(－

1)＝( )

A．3

【答案】D

【解析】【详解】

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

当x≥0时，f（x）=2

x

+2x+b（b为常数），

∴f（0）=1+b=0，

解得b=-1

∴f（1）=2+2-1=3．

∴f（-1）=-f（1）=-3．

故选D．

9．已知直线

l:xym0

经过抛物线

C:y2px(p0)

的焦点，与

C

交于

A,B

两

点，若

|AB|6

，则

p

的值为（ ）

A．

2

x

B．1 C．－1 D．－3

13

B． C．1 D．2

22

pp

,0)

，则由题意，得

m

①．又由

22

【答案】B

【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为

(



xym0

22

，得

x2(pm)xm0

，所以

|AB|2[2(pm)]

2

4m

2

6



2



y2px

②，由①②得

p

3

，故选B．

2

【考点】1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．

10．已知

P

是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为

1

，则

P

到这个四面体各面的

距离之和为（ ）

A．

6

3

B．

6

2

C．

3

2

D．

3

3

【答案】A

【解析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离.

第 4 页 共 16 页

【详解】

解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，

设它到四个面的距离分别为

a,b,c,d

，

由于棱长为1的正四面体，四个面的面积都是

13

；

11sin60





24

又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的

2

，

3

又高为

1sin60





3

，

2

3

；

3

2

所以底面中心到底面顶点的距离都是



3



6

由此知顶点到底面的距离是

1

2





；







3



3



此正四面体的体积是



1

3

362

.



4312

所以：

213

(abcd)

，

1234

6

.

3

解得

abcd

故选：A.

【点睛】

本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力.

11．已知向量

a



1,x1



，

b



y,2



，其中

x0

，

y0

．若

ab

，则

xy

的最

大值为（ ）

A．1

【答案】D

【解析】已知向量

a



1,x1



，

b



y,2



， 根据

ab

，得到

y2



x1



0

，即

B．2 C．

1

4

D．

1

2

2xy



2xy2

，再利用基本不等式

xy

1

2xy

1





求解.

22



2



【详解】

已知向量

a



1,x1



，

b



y,2



，

第 5 页 共 16 页

2

因为

ab

，

所以

y2



x1



0

，

即

2xy2

，

又因为

x0

，

y0

，

11



2xy



1

所以

xy2xy





，

22



2



2

当且仅当

2xy2

，

2xy

，即

x

所以

xy

的最大值为

故选：D

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，

属于中档题.

12．设函数

2

1

,y1

时，取等号，

2

1

.

2

f'(x)

是奇函数

f(x)

（

xR

）的导函数，

f(1)0

，当

x0

时，

xf'(x)f(x)0

，则使得

f(x)0

成立的

x

的取值范围是（ ）

A．

(,1)(0,1)

C．

(,1)(1,0)

【答案】A

【解析】【详解】

B．

(1,0)(1,)

D．

(0,1)(1,)

xf





x



f



x



f



x



构造新函数

g



x





,

'

，当

x0

时

g'



x



0

.

g



x





x

2

x

所以在



0,





上

g



x





f



x



单减，又

f



1



0

，即

g



1



0

.

x

所以

g



x





f



x



0

可得

0x1

,此时

f



x



0

，

x

又

f



x



为奇函数，所以

f



x



0

在



,0







0,



上的解集为：



,1







0,1



.

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如

xf





x



f



x



，

第 6 页 共 16 页

想到构造

g



x





f



x



x

.一般：（1）条件含有

f



x



f





x



，就构造

g



x



ef



x



,

x

（2）若

f



x



f





x



，就构造

g



x





f



x



，（3）

2f



x



f





x



，就构造

x

e

f



x



，等便于给出导数时联想

e

2x

g



x



e

2x

f



x



，（4）

2f



x



f





x



就构造

g



x





构造函数.

二、填空题

13．已知

a



3,2,5



，

b



1,5,1



，则

ab

______.

【答案】

2

【解析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可．

【详解】

解：

a



3,2,5



，

b



1,5,1



ab31255



1



2

故答案为：

2

【点睛】

本题考查了空间向量的数量积运算问题，属于基础题．

14．在数列



a

n



中，若

a

1

1

，

a

n1

a

n

2

，则该数列的通项

a

n



________.

【答案】

2n1

【解析】根据条件先判断数列类型，然后利用定义求解数列通项公式.

【详解】

因为

a

n1

a

n

2

，所以

a

n1

a

n

2

，所以



a

n



是等差数列且公差

d2

，又

a

1

1

，

所以

a

n

12



n1



，所以

a

n

2n1

，

故答案为：

2n1

.

【点睛】

本题考查等差数列的判断及通项求解，难度较易.常见的等差数列的判断方法有两种：

定义法、等差中项法.

15．已知

e

为自然对数的底数，曲线

yaex

在点



1,ae1



处的切线与直线

x

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2exy10

平行，则实数

a

______.

【答案】

2e1

e

xx

【解析】由

yaex

，求导

y



ae1

，再根据点



1,ae1



处的切线与直线

2exy10

平行，有

y



|

x1

ae12e

求解.

【详解】

因为

yaex

，

所以

y



ae1

，

因为点



1,ae1



处的切线与直线

2exy10

平行，

所以

y



|

x1

ae12e

，

解得

a

x

x

2e1

.

e

故答案为：

【点睛】

2e1

e

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

y

2

16．已知

F

是双曲线

C:x1

的右焦点，

C

的右支上一点

P

到一条渐近线的距

4

2

离为2，在另一条渐近线上有一点

Q

满足

FP



PQ

，则





________________．

【答案】4

【解析】试题分析：双曲线的右焦点F（，0），渐近线方程为，点P到渐

近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行

的直线上，不妨设P在直线上，由方程组得

，所以，由方程组得，所以

，所以

第 8 页 共 16 页

由于

FP



PQ

，