2024年5月17日发(作者：道巧蕊)
四阶行列式的一种展开法正文
四阶行列式的一种展开法
笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对
四阶行列式展开而言。
四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免
计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体方法如下：
四阶行列式：
a
11
D
4
a
12
a
13
a
23
a
33
a
43
a
14
a
24
a
34
a
44
a
21
a
22
a
31
a
32
a
41
a
42
第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，
然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)：
a
11
a
12
a
32
a
13
a
23
a
33
a
43
a
14
a
11
a
24
a
34
a
44
a
31
a
12
a
32
a
13
a
23
a
33
a
43
a
21
a
22
a
31
a
41
a
42
a
21
a
22
a
41
a
42
（图表一）
作乘积关系，可得如下八项：
a
11
a
22
a
33
a
44
,a
12
a
23
a
34
a
41
,a
13
a
24
a
31
a
42
,a
14
a
21
a
32
a
43
,a
41
a
32
a
23
a
14
,a
42
a
33
a
24
a
11
,a
43
a
34
a
21
a
12
,a
44
a
31
a
22
a
13
,
这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间
的。
a
11
a
31
a
12
a
32
a
13
a
23
a
33
a
43
a
14
a
24
a
34
a
44
a
11
a
31
a
12
a
32
a
13
a
23
a
33
a
43
a
21
a
22
a
41
a
42
a
21
a
22
a
41
a
42
（图表二）
同前理可得如下八项：
a
11
a
23
a
34
a
42
,a
13
a
24
a
32
a
41
,a
14
a
22
a
31
a
43
,a
12
a
21
a
33
a
44
,a
41
a
33
a
24
a
12
,a
43
a
34
a
22
a
11
,a
14
a
32
a
21
a
13
,a
42
a
31
a
23
a
14
,
这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。
第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变
到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的
作法，可得图表三：
a
11
a
31
a
12
a
32
a
13
a
23
a
33
a
43
a
14
a
24
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34
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44
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11
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31
a
12
a
32
a
13
a
23
a
33
a
43
a
21
a
22
a
41
a
42
a
21
a
22
a
41
a
42
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四阶行列式的一种展开法正文
（图表三）
同前理可得如下八项：
a
11
a
24
a
32
a
43
,a
14
a
22
a
33
a
41
,a
12
a
23
a
31
a
44
,a
13
a
21
a
34
a
42
,a
41
a
34
a
22
a
13
,a
44
a
32
a
23
a
11
,a
42
a
33
a
21
a
14
,a
43
a
31
a
24
a
12
,
这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。
综合三次变形，其符号确定方法，可得四阶行列式的及展开如下：
D
4
=a
11
a
22
a
33
a
44
-a
12
a
23
a
34
a
41
+a
13
a
24
a
31
a
42
-a
14
a
21
a
32
a
43
+a
41
a
32
a
23
a
14
-a
42
a
33
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24
a
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+a
43
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34
a
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a
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-a
44
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+a
11
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42
-a
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24
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32
a
41
+a
14
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-a
12
a
21
a
33
a
44
+a
41
a
33
a
24
a
12
-a
43
a
34
a
22
a
11
+a
14
a
32
a
21
a
13
-a
42
a
31
a
23
a
14
+a
11
a
24
a
32
a
43
-a
14
a
22
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33
a
41
+a
12
a
23
a
31
a
44
-a
13
a
21
a
34
a
42
+a
41
a
34
a
22
a
13
-a
44
a
32
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23
a
11
+a
42
a
33
a
21
a
14
-a
43
a
31
a
24
a
12
四阶行列式的展开式共有24项，全如上面所述结论式。
下面将从三个方面进行证明。
证明：
一、前述展开四阶行列式的结论中的每一项，均由四阶行列式中的元素组成，而且四个
元素取自不同的排列。由于每次排列的各列中，相邻4列始终没有相同的列，所以，组成每
项的元素绝对不会相同。即满足行列式的展开项的特征。
二、由所作出的对角线关系可知，在每一次所得的乘积中，每一个元素只能有两条线经
过，所以，一个元素只能在两个乘积中出现，共作三次图表。所以只能得六项含有该元素，
在n阶行列式中，当首选某一个元素为某一展开项中的元素时，其余元素的选择只能从余下
的n-1阶子式中去选择n-1个元素组成该项，方法有(n-1)!种。对于四阶行列式而言，且有(4-1)!=6
种，所以该展开法符合上述原则。
三、按上述三次所作的展开项中，每一项的行标的排列应为1234或4321，此二排列的逆
序数为0和6，均为偶数，所以每一项的符号全由列标排列的逆序数确定，第一次所得的第一
项的列标为1234，其逆序数为零，所以，该项前应冠以正号。而第二项恰为将1234作一次向
前的轮换而得的2341，由于是4个元素参与轮换，相当于作3次置换，逆序数发生改变，并
由前偶数变为现今的奇数，所以，第二项前应冠以负号。第三项又是对第二项的列标作一轮
换而得到的列标，因此，就在该项前冠以正号，依此类推，前八项的符号为+,-,+,-,+,-,+,-,由于
第二次与第二次所作的图表是在前一次的基础之上将234列作一轮换，而3个元素作一轮换
相当于向前置换两次，逆序数的奇偶特性未发生改变，所以它们所得八项的符号仍与第一次
一样为正负相间的。因此，展开式的第一项为正，第二项为负，第三项为正，第四项为负，
依此下去，各项符号是正负相间的。
下面举例说明。
例1：计算四阶行列式：
2
2024年5月17日发(作者：道巧蕊)
四阶行列式的一种展开法正文
四阶行列式的一种展开法
笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对
四阶行列式展开而言。
四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免
计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体方法如下：
四阶行列式：
a
11
D
4
a
12
a
13
a
23
a
33
a
43
a
14
a
24
a
34
a
44
a
21
a
22
a
31
a
32
a
41
a
42
第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，
然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)：
a
11
a
12
a
32
a
13
a
23
a
33
a
43
a
14
a
11
a
24
a
34
a
44
a
31
a
12
a
32
a
13
a
23
a
33
a
43
a
21
a
22
a
31
a
41
a
42
a
21
a
22
a
41
a
42
（图表一）
作乘积关系，可得如下八项：
a
11
a
22
a
33
a
44
,a
12
a
23
a
34
a
41
,a
13
a
24
a
31
a
42
,a
14
a
21
a
32
a
43
,a
41
a
32
a
23
a
14
,a
42
a
33
a
24
a
11
,a
43
a
34
a
21
a
12
,a
44
a
31
a
22
a
13
,
这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间
的。
a
11
a
31
a
12
a
32
a
13
a
23
a
33
a
43
a
14
a
24
a
34
a
44
a
11
a
31
a
12
a
32
a
13
a
23
a
33
a
43
a
21
a
22
a
41
a
42
a
21
a
22
a
41
a
42
（图表二）
同前理可得如下八项：
a
11
a
23
a
34
a
42
,a
13
a
24
a
32
a
41
,a
14
a
22
a
31
a
43
,a
12
a
21
a
33
a
44
,a
41
a
33
a
24
a
12
,a
43
a
34
a
22
a
11
,a
14
a
32
a
21
a
13
,a
42
a
31
a
23
a
14
,
这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。
第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变
到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的
作法，可得图表三：
a
11
a
31
a
12
a
32
a
13
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23
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33
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43
a
14
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34
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44
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12
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13
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23
a
33
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43
a
21
a
22
a
41
a
42
a
21
a
22
a
41
a
42
1
四阶行列式的一种展开法正文
（图表三）
同前理可得如下八项：
a
11
a
24
a
32
a
43
,a
14
a
22
a
33
a
41
,a
12
a
23
a
31
a
44
,a
13
a
21
a
34
a
42
,a
41
a
34
a
22
a
13
,a
44
a
32
a
23
a
11
,a
42
a
33
a
21
a
14
,a
43
a
31
a
24
a
12
,
这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。
综合三次变形，其符号确定方法，可得四阶行列式的及展开如下：
D
4
=a
11
a
22
a
33
a
44
-a
12
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+a
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+a
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11
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42
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41
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a
13
-a
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32
a
23
a
11
+a
42
a
33
a
21
a
14
-a
43
a
31
a
24
a
12
四阶行列式的展开式共有24项，全如上面所述结论式。
下面将从三个方面进行证明。
证明：
一、前述展开四阶行列式的结论中的每一项，均由四阶行列式中的元素组成，而且四个
元素取自不同的排列。由于每次排列的各列中，相邻4列始终没有相同的列，所以，组成每
项的元素绝对不会相同。即满足行列式的展开项的特征。
二、由所作出的对角线关系可知，在每一次所得的乘积中，每一个元素只能有两条线经
过，所以，一个元素只能在两个乘积中出现，共作三次图表。所以只能得六项含有该元素，
在n阶行列式中，当首选某一个元素为某一展开项中的元素时，其余元素的选择只能从余下
的n-1阶子式中去选择n-1个元素组成该项，方法有(n-1)!种。对于四阶行列式而言，且有(4-1)!=6
种，所以该展开法符合上述原则。
三、按上述三次所作的展开项中，每一项的行标的排列应为1234或4321，此二排列的逆
序数为0和6，均为偶数，所以每一项的符号全由列标排列的逆序数确定，第一次所得的第一
项的列标为1234，其逆序数为零，所以，该项前应冠以正号。而第二项恰为将1234作一次向
前的轮换而得的2341，由于是4个元素参与轮换，相当于作3次置换，逆序数发生改变，并
由前偶数变为现今的奇数，所以，第二项前应冠以负号。第三项又是对第二项的列标作一轮
换而得到的列标，因此，就在该项前冠以正号，依此类推，前八项的符号为+,-,+,-,+,-,+,-,由于
第二次与第二次所作的图表是在前一次的基础之上将234列作一轮换，而3个元素作一轮换
相当于向前置换两次，逆序数的奇偶特性未发生改变，所以它们所得八项的符号仍与第一次
一样为正负相间的。因此，展开式的第一项为正，第二项为负，第三项为正，第四项为负，
依此下去，各项符号是正负相间的。
下面举例说明。
例1：计算四阶行列式：
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