2024年5月18日发(作者：宜欢悦)
思考与练习
2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。
2.2 设随机向量
X=(X
1
,X
2
)
′
服从二元正态分布，写出其联合分布密度
函数和
X
1
、
X
2
各自的边缘密度函数。
2.3 已知随机向量
X=(X
1
,X
2
)
′
的联合分布密度函数为：
f
(
x
1
,x
2
)
=
2⎡
⎣
(
d
−
c
)(
x
1
−
a
)
+
(
b
−
a
)(
x
2
−
c
)
−
2
(
x
1
−
a
)(
x
2
−
c
)
⎤
⎦
(
b
−
a
)(
d
−
c
)
22
其中，
a≤x
1
≤b,c≤x
2
≤d
。求：
⑴ 随机变量
X
1
和
X
2
各自的边缘密度函数、均值与方差。
⑵ 随机变量
X
1
和
X
2
的协方差和相关系数。
⑶ 判断
X
1
和
X
2
是否相互独立。
2.4 设随机向量
X=(X
1
,X
2
,L,X
p
)
′
服从正态分布，已知其协差阵
Σ
为对角阵，证明
X
的分量是相互独立的随机变量。
2.5 从某企业全部职工中随机抽取一个容量为6的样本，该样本中各职
工的目前工资、受教育年限、初始工资和工作经验资料如下表所示：
职工编号
目前工资
（美元）
受教育年限
（年）
初始工资
（美元）
工作经验
（月）
1
1
2
3
4
5
6
57,000
40,200
21,450
21,900
45,000
28,350
15
16
12
8
15
8
27,000
18,750
12,000
13,200
21,000
12,000
144
36
381
190
138
26
设职工总体的以上变量服从多元正态分布，根据样本资料求出均值向量和协
差阵的最大似然估计。
2.6 均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？
2.7 试证多元正态总体
N
p
(μ,Σ)
的样本均值向量
X
~
N
p
(
μ
,
1
Σ)
。
n
2.8 试证多元正态总体
N
p
(μ,Σ)
的样本协差阵
S
为
Σ
的无偏估计。
2.9 设
x
(
1
)
、
x
(
2
)
、…、
x
(
n
)
是从多元正态总体
N
p
(μ,Σ)
中独立抽取的一
个随机样本，试求样本协差阵
S
的分布。
2.10 设
X
i
(
n
i
×p
)
是来自
N
p
(
μ
i
,Σ
i
)
的数据阵，
i=1,
L
,k
，
⑴ 已知
μ
1
=
L
=
μ
k
=
μ
且
Σ
1
=
L
=
Σ
k
=
Σ
，求
μ
和
Σ
的估计。
⑵ 已知
Σ
1
=
L
=
Σ
k
=
Σ
，求
μ
1
,
L
,
μ
k
和
Σ
的估计。
2
2024年5月18日发(作者：宜欢悦)
思考与练习
2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。
2.2 设随机向量
X=(X
1
,X
2
)
′
服从二元正态分布，写出其联合分布密度
函数和
X
1
、
X
2
各自的边缘密度函数。
2.3 已知随机向量
X=(X
1
,X
2
)
′
的联合分布密度函数为：
f
(
x
1
,x
2
)
=
2⎡
⎣
(
d
−
c
)(
x
1
−
a
)
+
(
b
−
a
)(
x
2
−
c
)
−
2
(
x
1
−
a
)(
x
2
−
c
)
⎤
⎦
(
b
−
a
)(
d
−
c
)
22
其中，
a≤x
1
≤b,c≤x
2
≤d
。求：
⑴ 随机变量
X
1
和
X
2
各自的边缘密度函数、均值与方差。
⑵ 随机变量
X
1
和
X
2
的协方差和相关系数。
⑶ 判断
X
1
和
X
2
是否相互独立。
2.4 设随机向量
X=(X
1
,X
2
,L,X
p
)
′
服从正态分布，已知其协差阵
Σ
为对角阵，证明
X
的分量是相互独立的随机变量。
2.5 从某企业全部职工中随机抽取一个容量为6的样本，该样本中各职
工的目前工资、受教育年限、初始工资和工作经验资料如下表所示：
职工编号
目前工资
（美元）
受教育年限
（年）
初始工资
（美元）
工作经验
（月）
1
1
2
3
4
5
6
57,000
40,200
21,450
21,900
45,000
28,350
15
16
12
8
15
8
27,000
18,750
12,000
13,200
21,000
12,000
144
36
381
190
138
26
设职工总体的以上变量服从多元正态分布，根据样本资料求出均值向量和协
差阵的最大似然估计。
2.6 均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？
2.7 试证多元正态总体
N
p
(μ,Σ)
的样本均值向量
X
~
N
p
(
μ
,
1
Σ)
。
n
2.8 试证多元正态总体
N
p
(μ,Σ)
的样本协差阵
S
为
Σ
的无偏估计。
2.9 设
x
(
1
)
、
x
(
2
)
、…、
x
(
n
)
是从多元正态总体
N
p
(μ,Σ)
中独立抽取的一
个随机样本，试求样本协差阵
S
的分布。
2.10 设
X
i
(
n
i
×p
)
是来自
N
p
(
μ
i
,Σ
i
)
的数据阵，
i=1,
L
,k
，
⑴ 已知
μ
1
=
L
=
μ
k
=
μ
且
Σ
1
=
L
=
Σ
k
=
Σ
，求
μ
和
Σ
的估计。
⑵ 已知
Σ
1
=
L
=
Σ
k
=
Σ
，求
μ
1
,
L
,
μ
k
和
Σ
的估计。
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