2024年5月25日发(作者：祭海瑶)
考研数学（数学三）模拟试卷360
(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． =
A．1．
B．．
C．．
D．一1．
正确答案：B
解析：
2． 函数f(x)=cosx+xsinx在(一2π，2π)内的零点个数为
A．1个．
B．2个．
C．3个．
D．4个．
正确答案：D
解析：
3． 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)+f(1一x)≠0，则=
A．0．
B．．
C．．
D．1．
正确答案：B
解析：该积分不可能直接计算，需作变量替换得出一个类似的积分，二者合
并后消去f(x)． 令1一x=t，x=1一t则
4． 设函数f(r)当r＞0时具有二阶连续导数，令，则当x，y，z与t不全为
零时=
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
5． 已知，则代数余子式A21+A22=
A．3．
B．6．
C．9．
D．12．
正确答案：B
解析：
6． 已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是
A．如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．
B．如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α
2，α4也线性相关．
C．如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则
α1可以由α2，α3，α4线性表出．
D．如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α
4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．
正确答案：B
解析：例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，
1)T，可知(B)不正确．应选(B)． 关于(A)：如果α1，α2，α3线性无关，
又因α1，α2，α3，α4是4个3维向量，它们必线性相关，而知α4必可由α
1，α2，α3线性表出． 关于(C)：由已知条件，有 (I)r(α1，α2)≠r(α
1，α2，α3)，(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)． 若r(α2，α3)=1，则
必有r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)，与条件(I)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那
么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，从而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以
由α2，α3，α4线性表出． 关于(D)：经初等变换有 (α1，α1+α2，
α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)， (α4，α1+α4，α2+α4，
α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)， 从而 r(α1，
α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)． 因而α4可以由α1，α2，α3线性表
出．
7． 在区间(一1，1)上任意投一质点，以X表示该质点的坐标．设该质点
落在(一1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则
A．X与｜X｜相关，且相关系数｜ρ｜=1．
B．X与｜X｜相关，但｜ρ｜＜1．
C．X与｜X｜不相关，且也不独立．
D．X与｜X｜相互独立．
正确答案：C
解析：
8． 设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，，则当n→∞时Yn以正态
分布为极限分布，只要X1，…，Xn，…
A．服从同一离散型分布．
B．服从同一连续型分布．
C．服从同参数的超几何分布．
D．满足切比雪夫大数定律．
正确答案：C
解析：根据林德伯格一列维中心极限定理，如果X1，X2，…Xn，…相互独
立同分布且期望、方差都存在，只有(C)满足该定理条件，因此应选(C)．
填空题
9． 与曲线(y一2)2=x相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直，则此直线
方程为__________．
正确答案：
解析：
10． 设，g(x)在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则
F’(0)=____________．
正确答案：4e
解析：
11． 累次积分=____________．
正确答案：
解析：
12． 设，其中f(u，v)是连续函数，则dz=___________·
正确答案：
解析：
13． 已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵A的特征向量是
__________.
正确答案：k(一1，1，1)T，k≠0为任意常数
解析：“特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵A只有一个线性无关的
特征向量，故特征值λ0必是3重根，且秩r(λ0E—A)=2． 由∑λi=∑aii
知3λ0=4+(一2)+1，得特征值λ=1(3重).又因为秩r(E一A)=2，因此有a=-2．此
时(E一A)x=0的基础解系是(一1，1，1)T．故A的特征向量为k(一1，1，1)T，
k≠0为任意常数．
14． 一学徒工用同一台机床连续独立生产3个同种机器零件，且第i个零
件是不合格品的概率Pi=(i=1，2，3)．则三个零件中合格品零件的期望值为
__________·
正确答案：
解析：
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． ，求n及a的值。
正确答案：
16． 求由曲线y=3一x2与圆x2+(y一1)2=4所围图形中含坐标原点那一部
分的面积．
正确答案：先求抛物线与圆的交点． 由y=3一x2与x2+(y一1)2=4可
得 x2+(2一x2)2=4，即x2(x2—3)=0，
17． 设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有.(I)求f(1)及；(1I)求f’(1)，若
又设f”(1)存在，求f”(1)．
正确答案：(I)(Ⅱ)
18． 计算二重积分，其中D是由x2+y2=1的上半圆与x2+y2=2y的下半圆
围成的区域．
正确答案：
19． 求证f(x)=πx(1一x)cosπx一(1—2x)sinπx＞0当x∈时成立。
正确答案：
20． 已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，(I)
求a的值；(Ⅱ)求齐次方程组(i)的解；(Ⅲ)求齐次方程(ii)的解．
正确答案：(Ⅰ) (Ⅱ)(Ⅲ)由于x1+x2+x3=0的基础解系为η1=(一1，1，0，0)T，
η2=(一1，0，1，0)T，η3=(0，0，0，1)T，则通解是k1η1+k2η2+k3η3，其
中k1，k2，k3是任意实数．
21． 已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设α=(1，2，一1)T且满
足Aα=2α．(I)求该二次型表达式；(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，
并写出所用坐标变换．
正确答案：(I)据已知条件，有(Ⅱ)
22． 设有甲、乙两种不同材质而外观和手感极为相似的布料各4块，从中
挑选4块，若同属于甲种布料，则被视为试验成功．(I)某人随机地去挑，求他成
功的概率α；(Ⅱ)某人称有判断甲、乙两种布料的能力，他连续做了8次试验，
成功3次，试判断他是否确有辨别两种布料的能力(假设各次试验相互独立)．
正确答案：(I)(Ⅱ)
23． 设总体X的概率函数为又X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随
机样本，求未知参数θ的矩估计量．
正确答案：
2024年5月25日发(作者：祭海瑶)
考研数学（数学三）模拟试卷360
(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． =
A．1．
B．．
C．．
D．一1．
正确答案：B
解析：
2． 函数f(x)=cosx+xsinx在(一2π，2π)内的零点个数为
A．1个．
B．2个．
C．3个．
D．4个．
正确答案：D
解析：
3． 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)+f(1一x)≠0，则=
A．0．
B．．
C．．
D．1．
正确答案：B
解析：该积分不可能直接计算，需作变量替换得出一个类似的积分，二者合
并后消去f(x)． 令1一x=t，x=1一t则
4． 设函数f(r)当r＞0时具有二阶连续导数，令，则当x，y，z与t不全为
零时=
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
5． 已知，则代数余子式A21+A22=
A．3．
B．6．
C．9．
D．12．
正确答案：B
解析：
6． 已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是
A．如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．
B．如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α
2，α4也线性相关．
C．如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则
α1可以由α2，α3，α4线性表出．
D．如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α
4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．
正确答案：B
解析：例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，
1)T，可知(B)不正确．应选(B)． 关于(A)：如果α1，α2，α3线性无关，
又因α1，α2，α3，α4是4个3维向量，它们必线性相关，而知α4必可由α
1，α2，α3线性表出． 关于(C)：由已知条件，有 (I)r(α1，α2)≠r(α
1，α2，α3)，(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)． 若r(α2，α3)=1，则
必有r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)，与条件(I)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那
么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，从而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以
由α2，α3，α4线性表出． 关于(D)：经初等变换有 (α1，α1+α2，
α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)， (α4，α1+α4，α2+α4，
α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)， 从而 r(α1，
α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)． 因而α4可以由α1，α2，α3线性表
出．
7． 在区间(一1，1)上任意投一质点，以X表示该质点的坐标．设该质点
落在(一1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则
A．X与｜X｜相关，且相关系数｜ρ｜=1．
B．X与｜X｜相关，但｜ρ｜＜1．
C．X与｜X｜不相关，且也不独立．
D．X与｜X｜相互独立．
正确答案：C
解析：
8． 设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，，则当n→∞时Yn以正态
分布为极限分布，只要X1，…，Xn，…
A．服从同一离散型分布．
B．服从同一连续型分布．
C．服从同参数的超几何分布．
D．满足切比雪夫大数定律．
正确答案：C
解析：根据林德伯格一列维中心极限定理，如果X1，X2，…Xn，…相互独
立同分布且期望、方差都存在，只有(C)满足该定理条件，因此应选(C)．
填空题
9． 与曲线(y一2)2=x相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直，则此直线
方程为__________．
正确答案：
解析：
10． 设，g(x)在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则
F’(0)=____________．
正确答案：4e
解析：
11． 累次积分=____________．
正确答案：
解析：
12． 设，其中f(u，v)是连续函数，则dz=___________·
正确答案：
解析：
13． 已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵A的特征向量是
__________.
正确答案：k(一1，1，1)T，k≠0为任意常数
解析：“特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵A只有一个线性无关的
特征向量，故特征值λ0必是3重根，且秩r(λ0E—A)=2． 由∑λi=∑aii
知3λ0=4+(一2)+1，得特征值λ=1(3重).又因为秩r(E一A)=2，因此有a=-2．此
时(E一A)x=0的基础解系是(一1，1，1)T．故A的特征向量为k(一1，1，1)T，
k≠0为任意常数．
14． 一学徒工用同一台机床连续独立生产3个同种机器零件，且第i个零
件是不合格品的概率Pi=(i=1，2，3)．则三个零件中合格品零件的期望值为
__________·
正确答案：
解析：
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． ，求n及a的值。
正确答案：
16． 求由曲线y=3一x2与圆x2+(y一1)2=4所围图形中含坐标原点那一部
分的面积．
正确答案：先求抛物线与圆的交点． 由y=3一x2与x2+(y一1)2=4可
得 x2+(2一x2)2=4，即x2(x2—3)=0，
17． 设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有.(I)求f(1)及；(1I)求f’(1)，若
又设f”(1)存在，求f”(1)．
正确答案：(I)(Ⅱ)
18． 计算二重积分，其中D是由x2+y2=1的上半圆与x2+y2=2y的下半圆
围成的区域．
正确答案：
19． 求证f(x)=πx(1一x)cosπx一(1—2x)sinπx＞0当x∈时成立。
正确答案：
20． 已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，(I)
求a的值；(Ⅱ)求齐次方程组(i)的解；(Ⅲ)求齐次方程(ii)的解．
正确答案：(Ⅰ) (Ⅱ)(Ⅲ)由于x1+x2+x3=0的基础解系为η1=(一1，1，0，0)T，
η2=(一1，0，1，0)T，η3=(0，0，0，1)T，则通解是k1η1+k2η2+k3η3，其
中k1，k2，k3是任意实数．
21． 已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设α=(1，2，一1)T且满
足Aα=2α．(I)求该二次型表达式；(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，
并写出所用坐标变换．
正确答案：(I)据已知条件，有(Ⅱ)
22． 设有甲、乙两种不同材质而外观和手感极为相似的布料各4块，从中
挑选4块，若同属于甲种布料，则被视为试验成功．(I)某人随机地去挑，求他成
功的概率α；(Ⅱ)某人称有判断甲、乙两种布料的能力，他连续做了8次试验，
成功3次，试判断他是否确有辨别两种布料的能力(假设各次试验相互独立)．
正确答案：(I)(Ⅱ)
23． 设总体X的概率函数为又X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随
机样本，求未知参数θ的矩估计量．
正确答案：