2024年6月10日发(作者：燕清舒)
等差数列的概念及其通项公式
一、基础知识
1. 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数,
这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)
将条件概括地说，就是a
n
=a
n-1
=d(n≥2)
2.通项公式：
a
n
a
1
(n1)d
3.等差中项：如果在 a与b之间插入一个数 A,
a与b的等差中项。
使a、
A
、b成等差数列，那么
A
叫做
A
ab
，即 2
A
=a+b
2
任何两个数都存在等差中项且唯一。
4. 等差数列的性质
（1） 若｛a
n
｝是等差数列，则a
n
=an+b ,特别地，若a=0, 则｛a
n
｝是常数列。
（2）若｛a
n
｝是等差数列，则 a
m
＝a
n
＋(m－n)d，m，n∈N*，
即
（3）若
a
n
是等差数列，且
m,n,p,qN
,mnpq
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
二、典型例题分析
【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项;
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：a
1
=8,d=5-8=2-5=-3.
又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得
a
20
=8+(20-1)×(-3)=-49.
（2）a
1
=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为a
n
=-5-4(n-1).
令-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，
即-401是这个数列的第100项.
【例2】．已知等差数列{a
n
}中，
（1）a
7
＋a
9
＝16，a
4
＝1，求a
12
的值;
（2）已知a
2
＋a
3
＋a
23
＋a
24
＝48，求a
13
.
解：（1）方法一
由a
7
＋a
9
＝16，得
a
1
6da
1
8d16,
即
2a
1
14d16
，
a
1
7d8
又 a
4
＝1，∴
a
1
3d1
17
a
a
1
7d8
1
4
解方程组
，得
a3d1
7
1
d
4
所以
a
12
177
1115
44
1
方法二 由于a
8
是a
7
和a
9
的等差中项，则
a
8
a
7
a
9
8
，
2
∵ a
12
+a
4
＝a
8
＋a
8
＝2 a
8
=15.
∴
a
12
＝2a
8
－a
4
＝15.
（2）由m＋n＝p＋q⇒a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
，得
a
2
＋a
24
＝a
3
＋a
23
＝2a
13
.
∵ a
2
＋a
3
＋a
23
＋a
24
＝48，
∴ 4a
13
＝48，∴a
13
＝12.
【例3】在-1与7之间插入三个数a,b,c，使这五个数成等差数列，求此数列。
解：方法一
由已知，a
1
=-1
，
a
5
=7
∴ 7=-1+（5-1）d，即d=2。
∴所求数列为-1，1，3，5，7.
方法二 -1，a，b，c，7.成等差数列。
∴ b是-1，7的等差中项，则 b=
17
3
。
2
又∵a是-1，3的等差中项，c是3，7的等差中项，
∴ a=1,c=5.
∴所求数列为-1，1，3，5，7.
〖例4〗在数列｛a
n
｝中，a
1
=4，递推公式a
n
=a
n-1
+2,数列｛a
n
｝是不是等差数列？如果
是，求其通项公式。
解：∵ a
n
=a
n-1
+2,（n≥2）, ∴ a
n
— a
n-1
= 2
故｛a
n
｝是公差为2的等差数列。
∵ a
1
=4，d=2，
∴ a
n
=5+4（n-1）,即a
n
=4n+1。
〖例5〗(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解 (1)法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d
2
＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d
2
＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.
(2)解法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
2
2024年6月10日发(作者：燕清舒)
等差数列的概念及其通项公式
一、基础知识
1. 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数,
这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)
将条件概括地说，就是a
n
=a
n-1
=d(n≥2)
2.通项公式：
a
n
a
1
(n1)d
3.等差中项：如果在 a与b之间插入一个数 A,
a与b的等差中项。
使a、
A
、b成等差数列，那么
A
叫做
A
ab
，即 2
A
=a+b
2
任何两个数都存在等差中项且唯一。
4. 等差数列的性质
（1） 若｛a
n
｝是等差数列，则a
n
=an+b ,特别地，若a=0, 则｛a
n
｝是常数列。
（2）若｛a
n
｝是等差数列，则 a
m
＝a
n
＋(m－n)d，m，n∈N*，
即
（3）若
a
n
是等差数列，且
m,n,p,qN
,mnpq
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
二、典型例题分析
【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项;
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：a
1
=8,d=5-8=2-5=-3.
又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得
a
20
=8+(20-1)×(-3)=-49.
（2）a
1
=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为a
n
=-5-4(n-1).
令-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，
即-401是这个数列的第100项.
【例2】．已知等差数列{a
n
}中，
（1）a
7
＋a
9
＝16，a
4
＝1，求a
12
的值;
（2）已知a
2
＋a
3
＋a
23
＋a
24
＝48，求a
13
.
解：（1）方法一
由a
7
＋a
9
＝16，得
a
1
6da
1
8d16,
即
2a
1
14d16
，
a
1
7d8
又 a
4
＝1，∴
a
1
3d1
17
a
a
1
7d8
1
4
解方程组
，得
a3d1
7
1
d
4
所以
a
12
177
1115
44
1
方法二 由于a
8
是a
7
和a
9
的等差中项，则
a
8
a
7
a
9
8
，
2
∵ a
12
+a
4
＝a
8
＋a
8
＝2 a
8
=15.
∴
a
12
＝2a
8
－a
4
＝15.
（2）由m＋n＝p＋q⇒a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
，得
a
2
＋a
24
＝a
3
＋a
23
＝2a
13
.
∵ a
2
＋a
3
＋a
23
＋a
24
＝48，
∴ 4a
13
＝48，∴a
13
＝12.
【例3】在-1与7之间插入三个数a,b,c，使这五个数成等差数列，求此数列。
解：方法一
由已知，a
1
=-1
，
a
5
=7
∴ 7=-1+（5-1）d，即d=2。
∴所求数列为-1，1，3，5，7.
方法二 -1，a，b，c，7.成等差数列。
∴ b是-1，7的等差中项，则 b=
17
3
。
2
又∵a是-1，3的等差中项，c是3，7的等差中项，
∴ a=1,c=5.
∴所求数列为-1，1，3，5，7.
〖例4〗在数列｛a
n
｝中，a
1
=4，递推公式a
n
=a
n-1
+2,数列｛a
n
｝是不是等差数列？如果
是，求其通项公式。
解：∵ a
n
=a
n-1
+2,（n≥2）, ∴ a
n
— a
n-1
= 2
故｛a
n
｝是公差为2的等差数列。
∵ a
1
=4，d=2，
∴ a
n
=5+4（n-1）,即a
n
=4n+1。
〖例5〗(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解 (1)法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d
2
＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d
2
＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.
(2)解法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
2