2024年5月27日发(作者：郯嘉年)
三角函数拆分公式
三角函数拆分公式，也叫和差公式，是指将三角函数表达式中两个角
的和或差拆分成两个角的三角函数的和或差的公式。这些公式是解决三角
函数表达式中的复杂度的重要工具。在这篇文章中，我们将详细介绍一些
常见的三角函数拆分公式和它们的证明。
1.正弦和差公式
sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB
这个公式表明，两个角的正弦的和等于两个角的正弦的乘积之和的正
弦，两个角的正弦的差等于两个角的正弦的乘积之差的正弦。
证明：
我们可以利用三角函数的定义来证明这个公式。根据正弦函数的定义，
有
sin(A ± B) = √(1-cos²(A ± B))
= √(1 - cos²Acos²B ± 2cosAcosBsinAsinB + cos²Asin²B)
= √(cos²A(1 - sin²B) ± sin²B(1 - cos²A))
= √(cos²A - cos²Asin²B ± sin²B - sin²Bcos²A)
= √(cos²A(1 - sin²B)) ± √(sin²B(1 - cos²A))
= cosA√(1 - sin²B) ± sinB√(1 - cos²A)
= cosAcosB ± sinBsinA
2.正弦倍角公式
sin2A = 2sinA*cosA
这个公式表明，一个角的正弦的平方等于这个角的两倍角的正弦的乘
积。
证明：
我们可以利用正弦和差公式来证明这个公式。将A和A相加，得到
sin(A + A) = sin2A = sinAcosA + cosAsinA = 2sinA*cosA
3.正弦半角公式
sin(A/2) = ±√((1-cosA)/2)
这个公式表明，一个角的正弦的一半等于这个角的余弦减1之后的一
半的平方根。
证明：
我们可以利用正弦和差公式来证明这个公式。将A除以2，得到
sin(A/2) = sin(A/2)cos(A/2) + cos(A/2)sin(A/2)
= 2sin(A/2)cos²(A/2)
将sin(A/2)提到等式左边，得到
sin(A/2)(1 - 2cos²(A/2)) = 0
sin(A/2) = 0或1 - 2cos²(A/2) = 0
sin(A/2) = 0 或 cos²(A/2) = 1/2
所以sin(A/2) = ±√((1-cosA)/2)
2024年5月27日发(作者：郯嘉年)
三角函数拆分公式
三角函数拆分公式，也叫和差公式，是指将三角函数表达式中两个角
的和或差拆分成两个角的三角函数的和或差的公式。这些公式是解决三角
函数表达式中的复杂度的重要工具。在这篇文章中，我们将详细介绍一些
常见的三角函数拆分公式和它们的证明。
1.正弦和差公式
sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB
这个公式表明，两个角的正弦的和等于两个角的正弦的乘积之和的正
弦，两个角的正弦的差等于两个角的正弦的乘积之差的正弦。
证明：
我们可以利用三角函数的定义来证明这个公式。根据正弦函数的定义，
有
sin(A ± B) = √(1-cos²(A ± B))
= √(1 - cos²Acos²B ± 2cosAcosBsinAsinB + cos²Asin²B)
= √(cos²A(1 - sin²B) ± sin²B(1 - cos²A))
= √(cos²A - cos²Asin²B ± sin²B - sin²Bcos²A)
= √(cos²A(1 - sin²B)) ± √(sin²B(1 - cos²A))
= cosA√(1 - sin²B) ± sinB√(1 - cos²A)
= cosAcosB ± sinBsinA
2.正弦倍角公式
sin2A = 2sinA*cosA
这个公式表明，一个角的正弦的平方等于这个角的两倍角的正弦的乘
积。
证明：
我们可以利用正弦和差公式来证明这个公式。将A和A相加，得到
sin(A + A) = sin2A = sinAcosA + cosAsinA = 2sinA*cosA
3.正弦半角公式
sin(A/2) = ±√((1-cosA)/2)
这个公式表明，一个角的正弦的一半等于这个角的余弦减1之后的一
半的平方根。
证明：
我们可以利用正弦和差公式来证明这个公式。将A除以2，得到
sin(A/2) = sin(A/2)cos(A/2) + cos(A/2)sin(A/2)
= 2sin(A/2)cos²(A/2)
将sin(A/2)提到等式左边，得到
sin(A/2)(1 - 2cos²(A/2)) = 0
sin(A/2) = 0或1 - 2cos²(A/2) = 0
sin(A/2) = 0 或 cos²(A/2) = 1/2
所以sin(A/2) = ±√((1-cosA)/2)