2024年9月6日发(作者：生元瑶)

第六讲 常用分布（二）

一、 考试要求

1. 了解均匀分布及其均值、方差与标准差

2. 熟悉指数分布及其均值、方差和标准差

3. 了解对数正态分布及其均值、方差和标准差

4. 熟悉中心极限定理，样本均值的(近似)分布

二、内容讲解

(三)其他连续分布

正态分布是实际中最常用的分布，但在实际中还有很多非正态的连续分布也很有

用，在质量管理中最常用的是均匀分布、对数正态分布与指数分布，现分别介绍如下。

1．均匀分布

均匀分布在两端点a与b之间有一个恒定的概率密度函数，即在(a, b )上概率密

度函数是一个常数，见图l.2-25(a)，它的全称是"在区间 (a, b)上的均匀分布"，常记

为U（a,b)。这里"均匀"是指随机点落在区间(a, b)内任一点的机会是均等的，从而在

相等的小区间上的概率相等。



1

,axb



p(x)



ba

（1.2-10）



0,其他



图1.2-25（a）即是U（a,b)的概率密度函数的图形。

比如，若一随机变量X服从均匀分布U（10,15)，它的概率密度函数为：

10x15



0.2 ,

p(x)



0 , 其他



其图形U（10,15)（见图1.2-25（b）），则X在小区间（11，12）与小区间（12.5，

13.5）上的面积相等，即：

11X12)P(12.5X13.5)10.20.2

P（

均匀分布U（a,b)的均值、方差与标准差分别为:

1

ab

2

(ba)

2

Var(X)

（1.2-11）

12

E(X)

(ba)

2



(X)

12

如图1.2-25（b）上所示的均匀分布U（10,15)，它的均值、方差与标准差分别为：

1015

12.5

2

(1510)

2

25

Var(X)2.08

1212

E(X)

(1510)

2



(X)2.081.44

12

2．对数正态分布

对数正态分布可用来描述很多随机变量的分布，如化学反应时间、绝缘材料被击穿

的时间、产品维修时间等都是服从对数正态分布的随机变量。它们有如下共同特点:

(1)这些随机变量都在正半轴 (0,



)上取值。

(2)这些随机变量的大量取值在左边，少量取值在右边，并且很分散，这样的分布

又称为 "右偏分布"(见图1.2-26(a))。如机床维修中，大量机床在短时间内都可修好，

只有少量机床需要较长时间维修，个别机床可能需要相当长的修理时间。

(3)最重要的特征是:若随机变量 X服从对数正态分布，则经过对数变换Y=lnX (ln

是自然对数)后，随机变量Y服从正态分布。

(4)若记正态分布的均值为



Y

，方差为



Y

，则相应的对数正态分布的均值



X

与

2

方差



X

分别为

2







2



Y



E(X)exp{



Y

}e

2

X



X

2

Var(X)



X

2

{exp(



Y

2

)1}



X

2

e



1

Y

Y

2

2



Y

2



(1.2-12)

（5）为求对数正态变量X的有关事件的概率，经过对数变换后可转化为求相应正

态变量Y=lnX的相应事件的概率，如：

lna



Y

)

P(Xa)P(lnXlna)P(Ylna)(



Y

见图 1.2-26(a)与1.2-26(b)上的两块阴影面积。

2

[例1.2-16]，略，见书第45页

3. 指数分布

用以下指数函数





e





x

,x0

p(x)



0,x0



表示的概率密度函数称为指数分布。其中的



称为指数分布函数的参数，常记为

Exp(



)

。其概率密度函数的图形如图1.2-27所示。

事件 "X在区间 (a, b)上取值"的概率为图1.2-27上阴影的面积，它的计算公式为:

P(aXb)



p(x)dxF(b)F(a)

a

b

指数分布的参数

Exp(



)

的均值、方差与标准差分别为：

1

E(X)



Var(X)

1



2



(X)

1



[例1.2-17] 某种热水器首次发生故障的时间T（单位：小时）服从参数



=0.002

的指数分布，它的概率密度函数与分布函数分别为：



0.002e

0.002t

,t0



1e

0.002t

,t0

p(x)



F(x)





0,t0



0,t0

则该种热水器在300到500小时内需要维修的概率为：

P(300T500)F(500)F(300)e

0.002300

e

0.002500

e

0.6

e

1

0.1809

该种热水器首次发生故障的时间的均值与方差分别为:

1

E(T)500(小时），

0.002

1

2

Var(X)250000（小时）。

2

0.002

现将上述常用分布总结在表1.2-1

常用分布表

3

五、中心极限定理

中心极限定理叙述了统计中的一个重要结论:多个相互独立随机变量的平均值

(仍然是一个随机变量)服从或近似服从正态分布。为介绍这个定理先要作一项准备。

(一) 随机变量的独立性

两个随机变量X

1

与X

2

相互独立是指其中一个的取值不影响另一个的取值，或者说是

指两个随机变量独立地取值。比如，抛两颗骰子出现的点数记为X

1

与X

2

，则X

1

与X

2

是

相互独立的随机变量。

随机变量的相互独立性可以推广到三个或更多个随机变量上去。

以下要用到一个假定:"

X

1

,X

2

,



,X

n

几是n个相互独立且服从相同分布的随机变

量"。这个假定有两个含义:

(1)

X

1

,X

2

,



,X

n

是n个相互独立的随机变量，如在生产线上随机取n个产品，它

们的质量特性用

X

1

,X

2

,



,X

n

表示，那么可认为

X

1

,X

2

,



,X

n

是n个相互独立的随机

变量。

(2)

X

1

,X

2

,



,X

n

有相同的分布，且分布中所含的参数也都相同，比如，都为正态

分布，且都有相同均值



和相同方差



2

。又如，若都为指数分布，那么其中的参数



也

4

都相同。

今后，把n个相互独立且服从相同分布的随机变量

X

1

,X

2

,



,X

n

的均值称为样本均

值，并记为

X

，即:

X

1

X

2

X

n

1

n





X

i

X

nn

i1

(二)正态样本均值的分布

定理1 设

X

1

,X

2

,



,X

n

是n个相互独立同分布的随机变量，假如其共同分布为

正态分布

N(



,



)

，则样本均值

X

仍为正态分布，其均值不变仍为



，方差



X



这个定理表明:在定理1的条件下，正态样本均值

X

服从正态分布

N(



,

2

2



2

n

。

)

。

n

[例1.2-18] 设

X

1

,X

2

,,X

9

是相互独立同分布的随机变量，共同分布为正态分



2

布N(10，5

2

)，则其样本均值:

XX

2





X

9

X

1

n

5

服从

N(10,()

2

)

。这表明:

X

的均值仍为10，

X

方差为25/9=2.78，

X

的标准差

3

为：



X

259531.67

。

(三)非正态样本均值的分布

定理2(中心极限定理) 设

X

1

,X

2

,



,X

n

为n个相互独立同分布的随机变量，其共

同分布不为正态或未知，但其均值



和方差



2

都存在，则在n相当大时，样本均值

X

近

似服从正态分布

N(



,



2

n

这个定理表明:无论共同的分布是什么 (离散分布或连续分布，正态分布或非正态

分布),只要独立同分布随机变量的个数n相当大时，

X

的分布总近似于正态分布，这一

结论是深刻的，也是重要的，这说明平均值运算常可从非正态分布获得正态分布。

[例1.2-19} 图1.2-28中我们选了三个不同的共同分布:

Ⅰ 均匀分布(无峰)

Ⅱ 双单分布

Ⅲ 指数分布(高度偏斜)

假如，n=2，那么在Ⅰ的场合，2个均匀分布的变量之均值

X

的分布呈三角形，在

Ⅱ的场合，

X

的分布出现中间高，在Ⅲ的场合

X

的分布的峰开始偏离原点。在n=5时，

三种场合都呈现单峰状，并且前两个还有很好的对称性。在n=30时，三种场合下

X

的

分布几乎完全相同，只在位置上有些差别，这个差别是由原始共同分布的均值不同而引

起的，另外，这时正态分布的峰都很高，那是因为平均后的标准差为：

)

。

5.48

n30

图1.2-28有很强的直观性和说服力，这就是中心极限定理的魅力。



X













5

n30

5.48

图1.2-28有很强的直观性和说服力，这就是中心极限定理的魅力。

在统计中一个统计量的标准差，称为标准误差，或简称为标准误。特别地，样本均

值

X

的标准误



X

，无论是正态样本均值或非正态样本均值都有或近似有:



X















X





n

它随着n的增加而减少。图1.2-29表明这种关系，注意到在n<10时，



X

下降较

快，而当n>10时，



X

下降渐趋缓慢。

6

[例1.2-20] 我们常常对一个零件的质量特性只测一次读数，并用这个读数去估

计过程输出的质量特性，一个很容易减少测量系统误差的方法是:对同一个零件的质量

特性作两次或更多次重复测量，并用其均值去估计过程输出的质量特性，这就可以减少

标准差，从而测量系统的精度就自动增加。当然这不是回避使用更精密量具的理由，而

是提高现有量具精度的简易方法，多次测量的平均值要比单次测量值更具有稳定性。

习题二

1．设随机变量Z的分布列为

X： 0 1 2 3 4

P： 0.5 0.2 0.1 0.1 0.1 则

（1）E(X)为（ ）。

A．1.1 B．2.0 C．1.6 D．1.0

（2）P(0≤X<3)为（ ）。

A．0.9 B．0.8 C．0.4 D．0.7

2．设随机变量X服从[-3,3]上的均匀分布，则

（1）P(0

A． B． C． D．1

（2）Var(X)为（ ）。

A．3 B．

3

C．9 D．18

3．设X为[a.b]上的连续型随机变量，已知a

论成立的有（ ）。

A．P(a

B．P(c

1

C．P(a≤X

3

D．P(X=a)=P(X=b)

4．设X

i

(i=1,2,……,n)为n个相互独立的随机变量，则下列结论成立的有（ ）。

A．若X

i

(i=1,2,……,n)服从正态分布，且分布参数相同，则

X

服从正态分布；

B．若X

i

(i=1,2,……,n)服从指数分布，且

2

3

1

2

3

4



相同，则

X

服从正态分布；

C．若X

i

(i=1,2,……,n)服从[a,b]上的均匀分布，则

X

服从正态分布；

D．无论X

i

(i=1,2,……,n)服从何种相同的分布，其均值

X

都服从正态分布。

5．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值

X

的样本标准差S皆为正数，如果

每个观测值扩大到2倍，则下列说法正确的是（ ）。

A．

X

和S都扩大2倍；

B．

X

和S都不变；

C．

X

扩大2倍，S扩大4倍；

D．

X

扩大4倍，S扩大2倍。

6．设X~N（1，4），则P（0≤X<2）可表示为（ ）。

A．2φ(0.5)-1 B．1-2φ(0.5) C．2u

0.5

-1 D．1-2u

0.5

7．设X~N（1，4），

X

为样本容量n=16的样本均值，则P（0<

X

≤2）为（ ）。

7

A．2φ(0.5-1) B．2φ(2)-1 C．2u

0.5

-1 D．1-2φ(2)

8．设X~N(80,20

2

)，

x

为样本容量n=100的样本均值，则

P(x803)

为（ ）。

A．2φ(1,5)-1 B．1-2φ(3) C．2-2φ(1,5) D．2-2φ(3)

9．从某灯炮厂生产的一批灯泡中随机抽取100个样品组成一个样本。已知灯炮的

寿命均值为2100h，标准为30h，则作为随机变量的样本均值的标准差为（ ）。

A．30h B．300h C．9h D．3h

10．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值

x

和样本标准差S皆为正数，且

有一个观测值等于样本均值

x

，如果把该观测值从原样中去掉，则下列说法正确的是

（ ）。

A．

x

和S都不变 B．

x

和S都变 C．

x

不变，S变大 D．

x

变小，S不

变

11．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值

x

和样本标准差皆为正数，如果每

个观测值增加常数a(>0)，则下列说法正确的是（ ）。

A．

x

和S都增加常数a B．

x

和S都不变

C．

x

增加a，S减少a D．

x

增加a，S不变

12．已知一批电阻的电阻值服从正态分布，其电阻的规格限为T

L

=7.79，T

u

=8.21。

从该批电阻中随机抽取8个样品，测得

x8.05,S0.125

，则该批电阻的电阻值低于下

规格限的概率约为（ ）。

A．φ(2.08) B．1-φ(2.08) C．φ(16.64) D．1-φ

(16.64)

二、多项选择（每题2分。每题的被选项中，有2个获2个以上符合题意，至少有

一个错项。错选，本题不得分；少选，所选的每个选项的0.5分）

1．离散随机变量X的概率分布的含义包括（ ）。

A．X可能取哪些值。

B．X取这些值的概率各是多少。

C．P（X=0）=0

D．P（Ω）=0

2．二项分布的随机现象，它满足的条件包括（ ）。

A．重复进行n次随机试验。

B．n次试验间相互独立。

C．每次试验仅有两个可能结果，且成功的概率为p，失败的概率为1-p.

D．每次试验前的结果是已知的。

3．设X~N（0，1），则下列各式成立的有（ ）。

A．P(X>a)=P(X≥a)=1-φ(a)

B．P(a≤X≤b)= φ(b)- φ(a)

C．P(|X|≤a)=2φ(a-1)

D．φ(-a)= -φ(a)

4．x的分布列为：

X 0 1 2 3 4

p P

1

P

2

P

3

P

4

P

5

其中



p

i

1

，有关P(1≤x<4)的下列说法中，正确的是（ ）。

i1

5

A．P(1≤x<4)=p

2

+p

3

+p

4

B．P(1≤x<4)=1-p(x<1)-p(x=4)

8

C．P(1≤x<4)=1-p

1

-p

5

D．P(1≤x<4)=p(1

5．设随机变量X~b（n-p），则下列表述正确的有（ ）。



n



xnx

A．

P(Xx)





x





p(1p),x0,1,2,,n



(np)

np

e,x0,1,2,,n

B．

P(Xx)

x!

C．E(X)=np

D．Var (X)=np(1-p)

6．下列属于连续随机变量的分布有（ ）。

A．正态分布 B．指数分布

C．均匀分布 D．超几何分布

7．设X、Y为随机变量，a为常数，则下列各式成立的有（ ）。

A．E(a)=0 B．E(a·X)=a·E(X)

C．

E(XY)E(X)E(Y)

D．E（X·Y）=E（X）·E（Y）

三、综合选择（每题2分。由单选和多选组成。错选，本题不得分；少选，所选的

每个选项的0.5分）

1．某种茶叶用机械装袋，每袋净重为随机变量，且服从正态分布，均值为100g，

标准差为5g。已知一大箱内装20多袋茶叶，则：

（1）一大箱内茶叶净重服从的分布为（ ）。

A．N(100,5

2

) B．N(2000,500) C．t（19） D．



2

(20)

（2）一大箱茶叶净重小于1960g的概率约为（ ）。

A．0.0367 B．0.9633 C．0.5319 D．0.4681

附：φ（1.79）=0.9633; φ(0.08)=0.5319。

习题答案：

一、单项选择题

1.(1)A;(2)B；2.(1)B;(2)A；3.D ；4.D ；5.A；6.A；7.B；8.C；9.D；10.C；

11.D；12.B；

二、多项选择题

1.A.B.D ；2.A.B.C；3.A.B.C；4.A.B.C；5.A.C.D；6.A.B.C；7.B.C；

三、综合分析题

1.(1)B;(2)A

9

2024年9月6日发(作者：生元瑶)

第六讲 常用分布（二）

一、 考试要求

1. 了解均匀分布及其均值、方差与标准差

2. 熟悉指数分布及其均值、方差和标准差

3. 了解对数正态分布及其均值、方差和标准差

4. 熟悉中心极限定理，样本均值的(近似)分布

二、内容讲解

(三)其他连续分布

正态分布是实际中最常用的分布，但在实际中还有很多非正态的连续分布也很有

用，在质量管理中最常用的是均匀分布、对数正态分布与指数分布，现分别介绍如下。

1．均匀分布

均匀分布在两端点a与b之间有一个恒定的概率密度函数，即在(a, b )上概率密

度函数是一个常数，见图l.2-25(a)，它的全称是"在区间 (a, b)上的均匀分布"，常记

为U（a,b)。这里"均匀"是指随机点落在区间(a, b)内任一点的机会是均等的，从而在

相等的小区间上的概率相等。



1

,axb



p(x)



ba

（1.2-10）



0,其他



图1.2-25（a）即是U（a,b)的概率密度函数的图形。

比如，若一随机变量X服从均匀分布U（10,15)，它的概率密度函数为：

10x15



0.2 ,

p(x)



0 , 其他



其图形U（10,15)（见图1.2-25（b）），则X在小区间（11，12）与小区间（12.5，

13.5）上的面积相等，即：

11X12)P(12.5X13.5)10.20.2

P（

均匀分布U（a,b)的均值、方差与标准差分别为:

1

ab

2

(ba)

2

Var(X)

（1.2-11）

12

E(X)

(ba)

2



(X)

12

如图1.2-25（b）上所示的均匀分布U（10,15)，它的均值、方差与标准差分别为：

1015

12.5

2

(1510)

2

25

Var(X)2.08

1212

E(X)

(1510)

2



(X)2.081.44

12

2．对数正态分布

对数正态分布可用来描述很多随机变量的分布，如化学反应时间、绝缘材料被击穿

的时间、产品维修时间等都是服从对数正态分布的随机变量。它们有如下共同特点:

(1)这些随机变量都在正半轴 (0,



)上取值。

(2)这些随机变量的大量取值在左边，少量取值在右边，并且很分散，这样的分布

又称为 "右偏分布"(见图1.2-26(a))。如机床维修中，大量机床在短时间内都可修好，

只有少量机床需要较长时间维修，个别机床可能需要相当长的修理时间。

(3)最重要的特征是:若随机变量 X服从对数正态分布，则经过对数变换Y=lnX (ln

是自然对数)后，随机变量Y服从正态分布。

(4)若记正态分布的均值为



Y

，方差为



Y

，则相应的对数正态分布的均值



X

与

2

方差



X

分别为

2







2



Y



E(X)exp{



Y

}e

2

X



X

2

Var(X)



X

2

{exp(



Y

2

)1}



X

2

e



1

Y

Y

2

2



Y

2



(1.2-12)

（5）为求对数正态变量X的有关事件的概率，经过对数变换后可转化为求相应正

态变量Y=lnX的相应事件的概率，如：

lna



Y

)

P(Xa)P(lnXlna)P(Ylna)(



Y

见图 1.2-26(a)与1.2-26(b)上的两块阴影面积。

2

[例1.2-16]，略，见书第45页

3. 指数分布

用以下指数函数





e





x

,x0

p(x)



0,x0



表示的概率密度函数称为指数分布。其中的



称为指数分布函数的参数，常记为

Exp(



)

。其概率密度函数的图形如图1.2-27所示。

事件 "X在区间 (a, b)上取值"的概率为图1.2-27上阴影的面积，它的计算公式为:

P(aXb)



p(x)dxF(b)F(a)

a

b

指数分布的参数

Exp(



)

的均值、方差与标准差分别为：

1

E(X)



Var(X)

1



2



(X)

1



[例1.2-17] 某种热水器首次发生故障的时间T（单位：小时）服从参数



=0.002

的指数分布，它的概率密度函数与分布函数分别为：



0.002e

0.002t

,t0



1e

0.002t

,t0

p(x)



F(x)





0,t0



0,t0

则该种热水器在300到500小时内需要维修的概率为：

P(300T500)F(500)F(300)e

0.002300

e

0.002500

e

0.6

e

1

0.1809

该种热水器首次发生故障的时间的均值与方差分别为:

1

E(T)500(小时），

0.002

1

2

Var(X)250000（小时）。

2

0.002

现将上述常用分布总结在表1.2-1

常用分布表

3

五、中心极限定理

中心极限定理叙述了统计中的一个重要结论:多个相互独立随机变量的平均值

(仍然是一个随机变量)服从或近似服从正态分布。为介绍这个定理先要作一项准备。

(一) 随机变量的独立性

两个随机变量X

1

与X

2

相互独立是指其中一个的取值不影响另一个的取值，或者说是

指两个随机变量独立地取值。比如，抛两颗骰子出现的点数记为X

1

与X

2

，则X

1

与X

2

是

相互独立的随机变量。

随机变量的相互独立性可以推广到三个或更多个随机变量上去。

以下要用到一个假定:"

X

1

,X

2

,



,X

n

几是n个相互独立且服从相同分布的随机变

量"。这个假定有两个含义:

(1)

X

1

,X

2

,



,X

n

是n个相互独立的随机变量，如在生产线上随机取n个产品，它

们的质量特性用

X

1

,X

2

,



,X

n

表示，那么可认为

X

1

,X

2

,



,X

n

是n个相互独立的随机

变量。

(2)

X

1

,X

2

,



,X

n

有相同的分布，且分布中所含的参数也都相同，比如，都为正态

分布，且都有相同均值



和相同方差



2

。又如，若都为指数分布，那么其中的参数



也

4

都相同。

今后，把n个相互独立且服从相同分布的随机变量

X

1

,X

2

,



,X

n

的均值称为样本均

值，并记为

X

，即:

X

1

X

2

X

n

1

n





X

i

X

nn

i1

(二)正态样本均值的分布

定理1 设

X

1

,X

2

,



,X

n

是n个相互独立同分布的随机变量，假如其共同分布为

正态分布

N(



,



)

，则样本均值

X

仍为正态分布，其均值不变仍为



，方差



X



这个定理表明:在定理1的条件下，正态样本均值

X

服从正态分布

N(



,

2

2



2

n

。

)

。

n

[例1.2-18] 设

X

1

,X

2

,,X

9

是相互独立同分布的随机变量，共同分布为正态分



2

布N(10，5

2

)，则其样本均值:

XX

2





X

9

X

1

n

5

服从

N(10,()

2

)

。这表明:

X

的均值仍为10，

X

方差为25/9=2.78，

X

的标准差

3

为：



X

259531.67

。

(三)非正态样本均值的分布

定理2(中心极限定理) 设

X

1

,X

2

,



,X

n

为n个相互独立同分布的随机变量，其共

同分布不为正态或未知，但其均值



和方差



2

都存在，则在n相当大时，样本均值

X

近

似服从正态分布

N(



,



2

n

这个定理表明:无论共同的分布是什么 (离散分布或连续分布，正态分布或非正态

分布),只要独立同分布随机变量的个数n相当大时，

X

的分布总近似于正态分布，这一

结论是深刻的，也是重要的，这说明平均值运算常可从非正态分布获得正态分布。

[例1.2-19} 图1.2-28中我们选了三个不同的共同分布:

Ⅰ 均匀分布(无峰)

Ⅱ 双单分布

Ⅲ 指数分布(高度偏斜)

假如，n=2，那么在Ⅰ的场合，2个均匀分布的变量之均值

X

的分布呈三角形，在

Ⅱ的场合，

X

的分布出现中间高，在Ⅲ的场合

X

的分布的峰开始偏离原点。在n=5时，

三种场合都呈现单峰状，并且前两个还有很好的对称性。在n=30时，三种场合下

X

的

分布几乎完全相同，只在位置上有些差别，这个差别是由原始共同分布的均值不同而引

起的，另外，这时正态分布的峰都很高，那是因为平均后的标准差为：

)

。

5.48

n30

图1.2-28有很强的直观性和说服力，这就是中心极限定理的魅力。



X













5

n30

5.48

图1.2-28有很强的直观性和说服力，这就是中心极限定理的魅力。

在统计中一个统计量的标准差，称为标准误差，或简称为标准误。特别地，样本均

值

X

的标准误



X

，无论是正态样本均值或非正态样本均值都有或近似有:



X















X





n

它随着n的增加而减少。图1.2-29表明这种关系，注意到在n<10时，



X

下降较

快，而当n>10时，



X

下降渐趋缓慢。

6

[例1.2-20] 我们常常对一个零件的质量特性只测一次读数，并用这个读数去估

计过程输出的质量特性，一个很容易减少测量系统误差的方法是:对同一个零件的质量

特性作两次或更多次重复测量，并用其均值去估计过程输出的质量特性，这就可以减少

标准差，从而测量系统的精度就自动增加。当然这不是回避使用更精密量具的理由，而

是提高现有量具精度的简易方法，多次测量的平均值要比单次测量值更具有稳定性。

习题二

1．设随机变量Z的分布列为

X： 0 1 2 3 4

P： 0.5 0.2 0.1 0.1 0.1 则

（1）E(X)为（ ）。

A．1.1 B．2.0 C．1.6 D．1.0

（2）P(0≤X<3)为（ ）。

A．0.9 B．0.8 C．0.4 D．0.7

2．设随机变量X服从[-3,3]上的均匀分布，则

（1）P(0

A． B． C． D．1

（2）Var(X)为（ ）。

A．3 B．

3

C．9 D．18

3．设X为[a.b]上的连续型随机变量，已知a

论成立的有（ ）。

A．P(a

B．P(c

1

C．P(a≤X

3

D．P(X=a)=P(X=b)

4．设X

i

(i=1,2,……,n)为n个相互独立的随机变量，则下列结论成立的有（ ）。

A．若X

i

(i=1,2,……,n)服从正态分布，且分布参数相同，则

X

服从正态分布；

B．若X

i

(i=1,2,……,n)服从指数分布，且

2

3

1

2

3

4



相同，则

X

服从正态分布；

C．若X

i

(i=1,2,……,n)服从[a,b]上的均匀分布，则

X

服从正态分布；

D．无论X

i

(i=1,2,……,n)服从何种相同的分布，其均值

X

都服从正态分布。

5．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值

X

的样本标准差S皆为正数，如果

每个观测值扩大到2倍，则下列说法正确的是（ ）。

A．

X

和S都扩大2倍；

B．

X

和S都不变；

C．

X

扩大2倍，S扩大4倍；

D．

X

扩大4倍，S扩大2倍。

6．设X~N（1，4），则P（0≤X<2）可表示为（ ）。

A．2φ(0.5)-1 B．1-2φ(0.5) C．2u

0.5

-1 D．1-2u

0.5

7．设X~N（1，4），

X

为样本容量n=16的样本均值，则P（0<

X

≤2）为（ ）。

7

A．2φ(0.5-1) B．2φ(2)-1 C．2u

0.5

-1 D．1-2φ(2)

8．设X~N(80,20

2

)，

x

为样本容量n=100的样本均值，则

P(x803)

为（ ）。

A．2φ(1,5)-1 B．1-2φ(3) C．2-2φ(1,5) D．2-2φ(3)

9．从某灯炮厂生产的一批灯泡中随机抽取100个样品组成一个样本。已知灯炮的

寿命均值为2100h，标准为30h，则作为随机变量的样本均值的标准差为（ ）。

A．30h B．300h C．9h D．3h

10．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值

x

和样本标准差S皆为正数，且

有一个观测值等于样本均值

x

，如果把该观测值从原样中去掉，则下列说法正确的是

（ ）。

A．

x

和S都不变 B．

x

和S都变 C．

x

不变，S变大 D．

x

变小，S不

变

11．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值

x

和样本标准差皆为正数，如果每

个观测值增加常数a(>0)，则下列说法正确的是（ ）。

A．

x

和S都增加常数a B．

x

和S都不变

C．

x

增加a，S减少a D．

x

增加a，S不变

12．已知一批电阻的电阻值服从正态分布，其电阻的规格限为T

L

=7.79，T

u

=8.21。

从该批电阻中随机抽取8个样品，测得

x8.05,S0.125

，则该批电阻的电阻值低于下

规格限的概率约为（ ）。

A．φ(2.08) B．1-φ(2.08) C．φ(16.64) D．1-φ

(16.64)

二、多项选择（每题2分。每题的被选项中，有2个获2个以上符合题意，至少有

一个错项。错选，本题不得分；少选，所选的每个选项的0.5分）

1．离散随机变量X的概率分布的含义包括（ ）。

A．X可能取哪些值。

B．X取这些值的概率各是多少。

C．P（X=0）=0

D．P（Ω）=0

2．二项分布的随机现象，它满足的条件包括（ ）。

A．重复进行n次随机试验。

B．n次试验间相互独立。

C．每次试验仅有两个可能结果，且成功的概率为p，失败的概率为1-p.

D．每次试验前的结果是已知的。

3．设X~N（0，1），则下列各式成立的有（ ）。

A．P(X>a)=P(X≥a)=1-φ(a)

B．P(a≤X≤b)= φ(b)- φ(a)

C．P(|X|≤a)=2φ(a-1)

D．φ(-a)= -φ(a)

4．x的分布列为：

X 0 1 2 3 4

p P

1

P

2

P

3

P

4

P

5

其中



p

i

1

，有关P(1≤x<4)的下列说法中，正确的是（ ）。

i1

5

A．P(1≤x<4)=p

2

+p

3

+p

4

B．P(1≤x<4)=1-p(x<1)-p(x=4)

8

C．P(1≤x<4)=1-p

1

-p

5

D．P(1≤x<4)=p(1

5．设随机变量X~b（n-p），则下列表述正确的有（ ）。



n



xnx

A．

P(Xx)





x





p(1p),x0,1,2,,n



(np)

np

e,x0,1,2,,n

B．

P(Xx)

x!

C．E(X)=np

D．Var (X)=np(1-p)

6．下列属于连续随机变量的分布有（ ）。

A．正态分布 B．指数分布

C．均匀分布 D．超几何分布

7．设X、Y为随机变量，a为常数，则下列各式成立的有（ ）。

A．E(a)=0 B．E(a·X)=a·E(X)

C．

E(XY)E(X)E(Y)

D．E（X·Y）=E（X）·E（Y）

三、综合选择（每题2分。由单选和多选组成。错选，本题不得分；少选，所选的

每个选项的0.5分）

1．某种茶叶用机械装袋，每袋净重为随机变量，且服从正态分布，均值为100g，

标准差为5g。已知一大箱内装20多袋茶叶，则：

（1）一大箱内茶叶净重服从的分布为（ ）。

A．N(100,5

2

) B．N(2000,500) C．t（19） D．



2

(20)

（2）一大箱茶叶净重小于1960g的概率约为（ ）。

A．0.0367 B．0.9633 C．0.5319 D．0.4681

附：φ（1.79）=0.9633; φ(0.08)=0.5319。

习题答案：

一、单项选择题

1.(1)A;(2)B；2.(1)B;(2)A；3.D ；4.D ；5.A；6.A；7.B；8.C；9.D；10.C；

11.D；12.B；

二、多项选择题

1.A.B.D ；2.A.B.C；3.A.B.C；4.A.B.C；5.A.C.D；6.A.B.C；7.B.C；

三、综合分析题

1.(1)B;(2)A

9