2024年1月8日发(作者：巨天蓝)

2.1 数 列

2.1.1 数 列

[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数列与函数的关系，会依据数列的前几项写出它的通项公式．

[学问链接]

下列四个结论正确的有________．

(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数．

(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；

(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；

(4)对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)

答案 (3)

解析 函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)明显正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．

[预习导引]

1．数列的概念

依据肯定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的表示

数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，….其中an是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式的数列简记作{an}．

3．数列的通项

假如数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

4．数列与函数的关系

数列可以看作一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．数列的通项公式也就是相应函数的解析式．它的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．

5．数列的分类

(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摇摆数列．

(3)从其次项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从其次项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列.

要点一 数列的概念及通项

例1 依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)－1,7，－13,19，…；

(2)12，2，92，8，252，…；

(3)0.8,0.88,0.888，…；

(4)12，14，－58，13296116，－32，64，…；

(5)32，1，710，917，….

解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的确定值的排列规律为：后面的数的确定值总比前面数的确定值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．

(2)统一分母为2，则有12，42，92，162，252，…，

因而有an2n＝2.

(3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a81n＝9(1－10n)．

(4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，至21此原数列已化为－－322－323－324－321，22，－23，24，…，

2n∴a－3n＝(－1)n·2n.

(5)将数列统一为32，55，7910，17，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝

2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a2n＋1n＝n2＋1.

规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观看(观看规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和确定值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或查找分子、分母之间的关系．

跟踪演练1 写出下列数列的一个通项公式：

(1)3,5,9,17,33，…；

(2)13715312，4，8，16，32，…；

(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….

解 (1)中3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，….

所以an＝2n＋1.

24，…，所以a2n(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为21,22,23,－1n＝2n.

(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观看各项确定值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，依据这样的规律，第1,2两项可分别改写为12＋122＋12＋1，－2×2＋1，所以an＝(－1)n＋1n2＋12n＋1.

要点二 数列通项公式的应用

例2 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.

(1)写出数列的第4项和第6项；

(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．

解 (1)依据an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.

(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，∴n＝7或n＝73(舍)．

∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.

令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，

∴n＝－2或n＝343.

∵－2∉N＋，343∉N＋，∴68不是该数列的项．

规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．

(2)推断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．

跟踪演练2 已知数列{a11n}的通项公式为an＝nn＋2(n∈N＋)，那么120是这个数列的第________项．

答案 10

解析 ∵1nn＋2＝1120，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.

要点三 推断数列的单调性

例3 已知数列{an2n}的通项公式为an＝n2＋1，试推断该数列的单调性．

∵a＝n＋12n2解n＋1－ann＋12＋1－n2＋1

n＋12n2＋1－n2[n＋12＝＋1][n＋12＋1]n2＋1

＝2n＋1[n＋12＋1]n2＋1，

由n∈N＋，得an＋1－an>0，即an＋1>an.

∴数列{an}是递增数列．

规律方法 单调性是数列的一个重要性质．推断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法推断an＋1与an(n∈N＋)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1

跟踪演练3 推断数列n3n＋1的增减性．

解 ∵ann＋1n＋1n＝3n＋1，∴an＋1＝3n＋1＋1＝3n＋4.

方法一 a－an＋1nn＋1n＝3n＋4－3n＋1

＝n＋13n＋1－n3n＋43n＋43n＋1＝13n＋43n＋1，

∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，

∴数列n3n＋1为递增数列．

方法二 ∵n∈N＋，∴an>0.

n＋1∵an＋13n＋4n＋13n＋13n2＋4n＋an＝n＝3n＋4n＝13n2＋4n＝1＋13n2＋4n>1，

3n＋1∴a数列nn＋1>an，∴3n＋1为递增数列．

方法三 令f(x)＝x3x＋1(x≥1)，则

f(x)＝13x＋1－1131－13x＋1＝33x＋1，

∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

∴数列n3n＋1是递增数列．

要点四 求数列的最大(小)项

例4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.

(1)数列中有多少项是负数？

(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．

解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1

∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．

(2)方法一 ∵{a)＝x2－5x＋4＝(x－595n}的相应函数为f(x2)2－4，可知对称轴方程为x＝2＝2.5.又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.

设第n项最小，由an≤an＋1，方法二

a

得

n≤an－1n2－5n＋4≤n＋12－5n＋1＋4，n2－5n＋4≤n－12－5n－1＋4.

解这个不等式组，得2≤n≤3，

又∵n∈N＋，∴n＝2,3.

∴a2＝a3且最小．

∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.

规律方法 求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由an≤an＋1，

a来确定n，求最大项可由an≥an＋1，a

来确定n.n≤n－1.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大an≥an－1.或最小项．

跟踪演练4 已知数列{a的通项公式a10n}n＝(n＋1)(11)n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．

解 假设数列{an}中存在最大项．

∵a＋2)(1010n＋1－an＝(n11)n＋1－(n＋1)(11)n

＝(1011)n·9－n11，

当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1

故a1a11>a12>…，

所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a10109＝a10＝119.

1．下列叙述正确的是( )

A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列

B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}

C．数列0,2,0,2，…是常数列

D．数列{nn＋1}是递增数列

答案 D

解析 由数列的通项annnn＝n＋1知，当n的值渐渐增大时，n＋1的值越来越接近1，即数列{n＋1}是递增数列，故选D.

2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )

A．an＝n B．an＝n＋1

C．an＝n＋2 D．an＝2n

答案 B

解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1.

3．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)1，－3,5，－7,9，…；

(2)9,99,999,9 999，…；

(3)0,1,0,1，….

解 (1)数列各项的确定值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)，n∈N＋.

(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.

＝0n为奇数，(3)a

1＋－1n1＋cosn或a)或aπnn＝(n∈N＋n＝ (n∈N＋1n为偶数22)．

4．已知数列{an}的通项为an＝－2n2＋29n＋3，求数列{an}中的最大项．

解 由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n－294)2＋10818.由于n∈N＋，故当n取距离294最近的正整数7时，an取得最大值108.

∴数列{an}中的最大项为a7＝108.

1．数列的概念的理解

(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必需是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．

(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.

(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三共性质：

①确定性；②可重复性；③有序性．

2．数列的通项公式

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式；

(2)假如知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以推断某数是不是数列中的项，假如是的话，是第几项；

(3)像全部的函数关系不肯定都有解析式一样，并不是全部的数列都有通项公式．

(4)有的数列的通项公式，形式上不肯定唯一．

(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．

一、基础达标

＋{a1＋－1n11．已知数列n}的通项公式为an＝2，则该数列的前4项依次为( )

A．1,0,1,0 B．0,1,0,1

C.12，0，12，0 D．2,0,2,0

答案 A

解析 当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.

2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )

A．第5项 B．第6项

C．第7项 D．非任何一项

答案 C

解析 n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．

3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )

A．an＝n2－n＋1 B．ann－1n＝2

C．ann＋1n＝2 D．an＝n2＋1

答案 C

解析 令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排解A、B、D，从而选C.

4．数列23，45，67，89，…的第10项是( )

A.16182017 B.19 C.21 D.2223

答案 C

解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a2n2×1020n＝2n＋1，当n＝10时，a10＝2×10＋1＝21.

5．观看下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5， 7，________，11，….

答案 3

解析 由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3.

6．写出下列数列的一个通项公式(可以不写过程)：

(1)1,3,7,15,31，…；

(2)23，415，635，863，…；

(3)1,0，－13，0，115，0，－7，0，….

解 (1)an＝2n－1.

(2)a2nn＝2n－12n＋1.

(3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性消灭，sinnπ因此，我们可以用sinnπ2表示，故a2n＝n.

7．已知数列{n(n＋2)}：

(1)写出这个数列的第8项和第20项；

(2)323是不是这个数列中的项？假如是，是第几项？

解 (1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，∴a8＝80，a20＝440.

(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.

∴323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．

二、力量提升

8．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式an等于( )

A.19(10n－1) B.13(10n－1)

C.13(1－110n) D.310(10n－1)

答案 C

解析 代入n＝1检验，排解A、B、D，故选C.

9．设a111n＋1n＋2n＋3＋…＋1n＝＋＋2n (n∈N＋)，那么an＋1－an等于(

A.12n＋1 B.12n＋2

C.112n＋1＋2n＋2 D.12n＋1－12n＋2

答案 D

解析 ∵a1111n＝n＋1＋n＋2＋n＋3＋…＋2n

∴a11111n＋1＝n＋2＋n＋3＋…＋2n＋2n＋1＋2n＋2，

∴aa11111n＋1－n＝2n＋1＋2n＋2－n＋1＝2n＋1－2n＋2.

10．已知数列{a－1nn＋1n}的通项公式an＝2n－12n＋1.

(1)写出它的第10项；

(2)推断233是不是该数列中的项．

－110解 (1)a×111110＝19×21＝399.

(2)令n＋1＝2，化简得：8n22n－12n＋133－33n－35＝0，

解得n＝5.当n＝5时，a2225＝－33≠33.∴33不是该数列中的项．

11．写出下列数列的一个通项公式：

)

(1)4,6,10,18,34，…；

(2)112，223，3344，45，…；

(3)7,77,777,7 777，….

解 (1)数列的前几项可记为21＋2,22＋2,23＋2,24＋2,25＋2，…，故所求的数列的一个通项公式为an＝2n＋2.

(2)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为nn＋1，故所求的数列的一个通项公式为a＝n＋nn2＋n＋1＝2nnn＋1.

(3)将原数列改写为79×9，779×99，9×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为an＝10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a7n＝9(10n－1)．

12．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an的相应函数是一次函数．

(1)求{an}的通项公式；

(2)88是不是数列{an}中的项？

解 (1)设an＝kn＋b，则

a1＝k＋b＝2，

解得k＝4，2.

a17＝17k＋b＝66，b＝－∴an＝4n－2(n∈N＋)．

(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5∉N＋.

∴88不是数列{an}中的项．

三、探究与创新

13．已知数列9n2－9n＋29n2－1：

(1)求这个数列的第10项；

(2)98101是不是该数列中的项，为什么？

(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；

(4)在区间(13，23)内有很多列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．

(1)解 设f(n)＝9n2－9n＋23n－13n－23n－29n2－1＝3n－13n＋1＝3n＋1.令n＝10，得第10项a＝f(10)＝281031.

(2)解 令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．

(3)证明 ∵a3n－23n＋1－333n＝3n＋1＝3n＋1＝1－3n＋1，又n∈N＋，∴0<3n＋1<1，∴0

∴数列中的各项都在区间(0,1)内．

(4)解 令13n－223

3n＋1<9n－6，∴9n－6<6n＋2，

n>7∴6，∴n86

<3.

7故区间(1243，3)上有数列中的项，且只有一项为a2＝7.

2024年1月8日发(作者：巨天蓝)

2.1 数 列

2.1.1 数 列

[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数列与函数的关系，会依据数列的前几项写出它的通项公式．

[学问链接]

下列四个结论正确的有________．

(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数．

(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；

(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；

(4)对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)

答案 (3)

解析 函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)明显正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．

[预习导引]

1．数列的概念

依据肯定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的表示

数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，….其中an是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式的数列简记作{an}．

3．数列的通项

假如数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

4．数列与函数的关系

数列可以看作一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．数列的通项公式也就是相应函数的解析式．它的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．

5．数列的分类

(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摇摆数列．

(3)从其次项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从其次项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列.

要点一 数列的概念及通项

例1 依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)－1,7，－13,19，…；

(2)12，2，92，8，252，…；

(3)0.8,0.88,0.888，…；

(4)12，14，－58，13296116，－32，64，…；

(5)32，1，710，917，….

解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的确定值的排列规律为：后面的数的确定值总比前面数的确定值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．

(2)统一分母为2，则有12，42，92，162，252，…，

因而有an2n＝2.

(3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a81n＝9(1－10n)．

(4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，至21此原数列已化为－－322－323－324－321，22，－23，24，…，

2n∴a－3n＝(－1)n·2n.

(5)将数列统一为32，55，7910，17，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝

2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a2n＋1n＝n2＋1.

规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观看(观看规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和确定值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或查找分子、分母之间的关系．

跟踪演练1 写出下列数列的一个通项公式：

(1)3,5,9,17,33，…；

(2)13715312，4，8，16，32，…；

(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….

解 (1)中3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，….

所以an＝2n＋1.

24，…，所以a2n(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为21,22,23,－1n＝2n.

(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观看各项确定值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，依据这样的规律，第1,2两项可分别改写为12＋122＋12＋1，－2×2＋1，所以an＝(－1)n＋1n2＋12n＋1.

要点二 数列通项公式的应用

例2 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.

(1)写出数列的第4项和第6项；

(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．

解 (1)依据an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.

(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，∴n＝7或n＝73(舍)．

∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.

令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，

∴n＝－2或n＝343.

∵－2∉N＋，343∉N＋，∴68不是该数列的项．

规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．

(2)推断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．

跟踪演练2 已知数列{a11n}的通项公式为an＝nn＋2(n∈N＋)，那么120是这个数列的第________项．

答案 10

解析 ∵1nn＋2＝1120，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.

要点三 推断数列的单调性

例3 已知数列{an2n}的通项公式为an＝n2＋1，试推断该数列的单调性．

∵a＝n＋12n2解n＋1－ann＋12＋1－n2＋1

n＋12n2＋1－n2[n＋12＝＋1][n＋12＋1]n2＋1

＝2n＋1[n＋12＋1]n2＋1，

由n∈N＋，得an＋1－an>0，即an＋1>an.

∴数列{an}是递增数列．

规律方法 单调性是数列的一个重要性质．推断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法推断an＋1与an(n∈N＋)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1

跟踪演练3 推断数列n3n＋1的增减性．

解 ∵ann＋1n＋1n＝3n＋1，∴an＋1＝3n＋1＋1＝3n＋4.

方法一 a－an＋1nn＋1n＝3n＋4－3n＋1

＝n＋13n＋1－n3n＋43n＋43n＋1＝13n＋43n＋1，

∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，

∴数列n3n＋1为递增数列．

方法二 ∵n∈N＋，∴an>0.

n＋1∵an＋13n＋4n＋13n＋13n2＋4n＋an＝n＝3n＋4n＝13n2＋4n＝1＋13n2＋4n>1，

3n＋1∴a数列nn＋1>an，∴3n＋1为递增数列．

方法三 令f(x)＝x3x＋1(x≥1)，则

f(x)＝13x＋1－1131－13x＋1＝33x＋1，

∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

∴数列n3n＋1是递增数列．

要点四 求数列的最大(小)项

例4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.

(1)数列中有多少项是负数？

(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．

解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1

∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．

(2)方法一 ∵{a)＝x2－5x＋4＝(x－595n}的相应函数为f(x2)2－4，可知对称轴方程为x＝2＝2.5.又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.

设第n项最小，由an≤an＋1，方法二

a

得

n≤an－1n2－5n＋4≤n＋12－5n＋1＋4，n2－5n＋4≤n－12－5n－1＋4.

解这个不等式组，得2≤n≤3，

又∵n∈N＋，∴n＝2,3.

∴a2＝a3且最小．

∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.

规律方法 求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由an≤an＋1，

a来确定n，求最大项可由an≥an＋1，a

来确定n.n≤n－1.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大an≥an－1.或最小项．

跟踪演练4 已知数列{a的通项公式a10n}n＝(n＋1)(11)n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．

解 假设数列{an}中存在最大项．

∵a＋2)(1010n＋1－an＝(n11)n＋1－(n＋1)(11)n

＝(1011)n·9－n11，

当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1

故a1a11>a12>…，

所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a10109＝a10＝119.

1．下列叙述正确的是( )

A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列

B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}

C．数列0,2,0,2，…是常数列

D．数列{nn＋1}是递增数列

答案 D

解析 由数列的通项annnn＝n＋1知，当n的值渐渐增大时，n＋1的值越来越接近1，即数列{n＋1}是递增数列，故选D.

2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )

A．an＝n B．an＝n＋1

C．an＝n＋2 D．an＝2n

答案 B

解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1.

3．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)1，－3,5，－7,9，…；

(2)9,99,999,9 999，…；

(3)0,1,0,1，….

解 (1)数列各项的确定值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)，n∈N＋.

(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.

＝0n为奇数，(3)a

1＋－1n1＋cosn或a)或aπnn＝(n∈N＋n＝ (n∈N＋1n为偶数22)．

4．已知数列{an}的通项为an＝－2n2＋29n＋3，求数列{an}中的最大项．

解 由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n－294)2＋10818.由于n∈N＋，故当n取距离294最近的正整数7时，an取得最大值108.

∴数列{an}中的最大项为a7＝108.

1．数列的概念的理解

(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必需是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．

(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.

(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三共性质：

①确定性；②可重复性；③有序性．

2．数列的通项公式

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式；

(2)假如知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以推断某数是不是数列中的项，假如是的话，是第几项；

(3)像全部的函数关系不肯定都有解析式一样，并不是全部的数列都有通项公式．

(4)有的数列的通项公式，形式上不肯定唯一．

(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．

一、基础达标

＋{a1＋－1n11．已知数列n}的通项公式为an＝2，则该数列的前4项依次为( )

A．1,0,1,0 B．0,1,0,1

C.12，0，12，0 D．2,0,2,0

答案 A

解析 当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.

2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )

A．第5项 B．第6项

C．第7项 D．非任何一项

答案 C

解析 n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．

3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )

A．an＝n2－n＋1 B．ann－1n＝2

C．ann＋1n＝2 D．an＝n2＋1

答案 C

解析 令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排解A、B、D，从而选C.

4．数列23，45，67，89，…的第10项是( )

A.16182017 B.19 C.21 D.2223

答案 C

解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a2n2×1020n＝2n＋1，当n＝10时，a10＝2×10＋1＝21.

5．观看下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5， 7，________，11，….

答案 3

解析 由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3.

6．写出下列数列的一个通项公式(可以不写过程)：

(1)1,3,7,15,31，…；

(2)23，415，635，863，…；

(3)1,0，－13，0，115，0，－7，0，….

解 (1)an＝2n－1.

(2)a2nn＝2n－12n＋1.

(3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性消灭，sinnπ因此，我们可以用sinnπ2表示，故a2n＝n.

7．已知数列{n(n＋2)}：

(1)写出这个数列的第8项和第20项；

(2)323是不是这个数列中的项？假如是，是第几项？

解 (1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，∴a8＝80，a20＝440.

(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.

∴323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．

二、力量提升

8．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式an等于( )

A.19(10n－1) B.13(10n－1)

C.13(1－110n) D.310(10n－1)

答案 C

解析 代入n＝1检验，排解A、B、D，故选C.

9．设a111n＋1n＋2n＋3＋…＋1n＝＋＋2n (n∈N＋)，那么an＋1－an等于(

A.12n＋1 B.12n＋2

C.112n＋1＋2n＋2 D.12n＋1－12n＋2

答案 D

解析 ∵a1111n＝n＋1＋n＋2＋n＋3＋…＋2n

∴a11111n＋1＝n＋2＋n＋3＋…＋2n＋2n＋1＋2n＋2，

∴aa11111n＋1－n＝2n＋1＋2n＋2－n＋1＝2n＋1－2n＋2.

10．已知数列{a－1nn＋1n}的通项公式an＝2n－12n＋1.

(1)写出它的第10项；

(2)推断233是不是该数列中的项．

－110解 (1)a×111110＝19×21＝399.

(2)令n＋1＝2，化简得：8n22n－12n＋133－33n－35＝0，

解得n＝5.当n＝5时，a2225＝－33≠33.∴33不是该数列中的项．

11．写出下列数列的一个通项公式：

)

(1)4,6,10,18,34，…；

(2)112，223，3344，45，…；

(3)7,77,777,7 777，….

解 (1)数列的前几项可记为21＋2,22＋2,23＋2,24＋2,25＋2，…，故所求的数列的一个通项公式为an＝2n＋2.

(2)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为nn＋1，故所求的数列的一个通项公式为a＝n＋nn2＋n＋1＝2nnn＋1.

(3)将原数列改写为79×9，779×99，9×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为an＝10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a7n＝9(10n－1)．

12．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an的相应函数是一次函数．

(1)求{an}的通项公式；

(2)88是不是数列{an}中的项？

解 (1)设an＝kn＋b，则

a1＝k＋b＝2，

解得k＝4，2.

a17＝17k＋b＝66，b＝－∴an＝4n－2(n∈N＋)．

(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5∉N＋.

∴88不是数列{an}中的项．

三、探究与创新

13．已知数列9n2－9n＋29n2－1：

(1)求这个数列的第10项；

(2)98101是不是该数列中的项，为什么？

(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；

(4)在区间(13，23)内有很多列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．

(1)解 设f(n)＝9n2－9n＋23n－13n－23n－29n2－1＝3n－13n＋1＝3n＋1.令n＝10，得第10项a＝f(10)＝281031.

(2)解 令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．

(3)证明 ∵a3n－23n＋1－333n＝3n＋1＝3n＋1＝1－3n＋1，又n∈N＋，∴0<3n＋1<1，∴0

∴数列中的各项都在区间(0,1)内．

(4)解 令13n－223

3n＋1<9n－6，∴9n－6<6n＋2，

n>7∴6，∴n86

<3.

7故区间(1243，3)上有数列中的项，且只有一项为a2＝7.