2024年2月11日发(作者：邰梓)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解

专题11 一次函数

【知识要点】

考点知识一变量与函数

变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。

常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。

【注意】

1、 变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。

2、 区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。

函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

【函数概念的解读】

1、有两个变量。

2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。

3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。

函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

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（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。

函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

画函数图像的一般步骤：1、列表 2、描点 3、连线

函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：

1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。

2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。

函数的三种表示法及其优缺点

1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。

缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。

3、 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。

缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。

3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。

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缺：图像中只能得到近似的数量关系。

考点知识二一次函数的图形与性质

正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。

一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。

注意：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。

待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。

待定系数法求函数解析式的一般步骤：

1、 设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中

2、解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中

正比例函数图像与一次函数图像特征

b>0

经过第一、二、三象限

b<0

经过第一、三、四象限

b=0

经过第一、三象限

k>0

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

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图象从左到右下降，y随x的增大而减小

总结如下：

k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。

k>0，b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）

k>0，b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）

k>0，b=0时, 函数的图象经过一、三象限。（正比例函数）

k<0时, y随x增大而减小，必过二、四象限。

k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）

k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）

k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。（正比例函数）

直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：

1、当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．

2、当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y2=kx＋b的图象．

k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系

正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。

一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和的一条直线。

1、当,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴

2、当,则b=0，直线过原点

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3、当,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴

在两个一次函数表达式中：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系

k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；

k相同， b不相同时，两一次函数图像平行；

k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；

k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

特殊位置关系：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2

两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等。即：k1k2且b1b2

两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）。即:k1•k21

直线l1与坐标原点构成的三角形面积为s=考点知识三一次函数与方程（组）、不等式

一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=0（k≠0 ）的形式.求方程kx+b=0(k≠0)的解，就是求函数y=kx+b(k≠0)函数值为0时，自变量x的值.

一次函数与二元一次方程组的关系：一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。

由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，5 / 15

解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解

一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。

【考点题型】

考点题型一正比例函数的定义

【解题思路】正比例函数的定义

x+m2﹣1是正比例函数，典例1．（2021·天津中考模拟）已知函数y＝（m﹣1）则m＝_____．

变式1-1．（2021·吉林中考模拟）若y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为_____.

变式1-2．（2021·柳州市龙城中学中考模拟）若一次函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．

考点题型二正比例函数的图像与性质

【解题思路】熟知函数图象上点的坐标满足其解析式是解决此题的关键．

2典例2．（2021·陕西模拟）下列四个点，在正比例函数y=x的图象上的点是（

）

5A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）

变式2-1．（2021·陕西模拟）若一个正比例函数的图象经过A(3，m﹣1)，B(4，2m﹣1)两点，则m的值为（）

A．﹣0.5 B．0.5 C．2 D．﹣2

1x经过两点（1，y1）和（2，y2），则2变式2-2．（2021·西安市模拟）若正比例函数yy1和y2的大小关系为（）

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A．y1y2 B．y1y2 C．y1y2 D．无法确定

yk2x，变式2-3．（2021·湖南株洲市一模）如图，在同一直角坐标系中，正比例函数yk1x，yk3x，yk4x的图象分别为l1，l2，l3，l4，则下列关系中正确的是（）

A．k1k2k3k4

C．k1k2k4k3

B．k2k1k4k3

D．k2k1k3k4

考点题型三根据一次函数的定义求参数

【解题思路】熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．

典例3（2021·海口市模拟）一次函数y＝（k﹣1）x+3的图象经过点（﹣2，1），则k的值是（ ）

A．﹣1 B．2 C．1 D．0

变式3-1．（2021·安徽中考真题）已知一次函数ykx3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）

A．1,2 B．1,2 C．2,3 D．3,4

变式3-2．（2021·浙江杭州市·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）

A． B．

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C． D．

考点题型四一次函数的图像

【解题思路】解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

典例4（2021·四川广安市·中考真题）一次函数yx7的图象不经过的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式4-1．（2021·山东济南市·中考真题）若m﹣2，则一次函数ym1x1m的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

变式4-2．（2021·山东日照市·中考真题）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ）

A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2（x+3） D．y＝2（x﹣3）

变式4-3．（2021·辽宁沈阳市·中考真题）一次函数ykxb(k0)的图象经过点A(3,0)，点B(0,2)，那么该图象不经过的象限是（ ）

A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

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变式4-4．（2021·湖南益阳市·中考真题）一次函数ykxb的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．k0

C．y随x的增大而减小

考点题型五一次函数的性质

B．b1

D．当x2时，kxb0

【解题思路】解题的关键是熟知一次函数的性质特点．

典例5（2021·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数yx2，下列说法不正确的是（）

A．图象经过点1,3

C．图象不经过第四象限

B．图象与x轴交于点2,0

D．当x2时，y4

变式5-1．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y

=（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（）

A．m>-1

2B．m<3 C．-1

2D．-1

2变式5-2．（2021·浙江九年级二模）设k0，关于x的一次函数ykx2，当1x2时的最大值是（）

A．k2 B．2k2 C．2k2 D．k2

变式5-3．（2021·河南安阳市模拟）点A(x1，y1)、B(x2，y2)都在直线y＝kx+2（k＜0）上，且x1＜x2则y1、y2的大小关系是（）

A．y1

＝y2 B．y1

＜y2 C．y1

＞y2

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D．y1

≥y2

考点题型六求一次函数解析式

【解题思路】一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．

典例6（2021·广西中考真题）直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

变式6-1．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知正比例函数ykx(k0)的图象过点2,3，把正比例函数ykx(k0)的图象平移，使它过点1,1，则平移后的函数图象大致是（）

A． B． C． D．

变式6-2．（2021·四川乐山市·中考真题）直线ykxb在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kxb2的解集是（）

A．x≤2 B．x4 C．x2 D．x4

考点题型七一次函数与一元一次方程

【解题思路】考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0

（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．

典例7（2021·山东济宁市·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（）

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A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15

变式7-1．（2021·陕西渭南市模拟一次函数ykx3（k为常数且k0）的图像经过点（－2，0），则关于x的方程kx530的解为（）

A．x5 B．x3 C．x3 D．x5

变式7-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，直线ykxb(k0)过点A(0，5)，B(－4，0)，则关于x的方程kxb0的解是( )

A．x4 B．x5

5C．x

44D．x

5变式7-3．（2021·河北九年级其他模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数y2x5的图象l1与正比例函数的图象l2交于点M(m,3)，一次函数ykx2的图象为l3，且l1，l2，l3能围成三角形，则在下列四个数中，k的值能取的是（ ）

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A．﹣2 B．1 C．2 D．3

考点题型八一次函数与一元一次不等式

典例8（2021·湖南湘潭市·中考真题）如图，直线ykxb(k0)经过点P(1,1)，当kxbx时，则x的取值范围为（）

A．x1 B．x1 C．x1 D．x1

2）变式8-1．（2021·陕西模拟）如图，函数y1＝﹣2x

与y2＝ax+3

的图象相交于点A（m，，则关于x

的不等式﹣2x＞ax+3

的解集是（）

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1

变式8-2．（2021·山西模拟）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3),则不等式2x

A．x>

32B．x>3 C．x<

32D．x<3

考点题型九一次函数与二元一次方程（组）

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典例9（2021·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

变式9-1．（2021·河北承德市·九年级二模）如图，点A，B，C在一次函数y2xb的图象上，它们的横坐标依次为1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（）

A．1 B．3 C．3(b1)

3D．(b2)

2变式9-2．（2021·西安市铁一中学九年级其他模拟）若直线y＝3x+m和y＝nx﹣4相交于y3xm点P（﹣3，﹣2），则方程组的解为（ ）

ynx4x3A．

y2x3B．

y2x3C．

y2x3D．

y2变式9-3．（2021·陕西西安市·高新一中九年级其他模拟）若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（ ）

A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3）

考点题型十一次函数的实际应用

典例10（2021·四川广安市·中考真题）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不13 / 15

变）

（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？

（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．

5G时代的到来，变式10-1．（2021·山东济南市·中考真题）将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格

A

B

进价（元/部）

3000

3500

售价（元/部）

3400

4000

B两种型号手机共花费32000元，某营业厅购进A、手机销售完成后共获得利润4400元．

（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？

（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

变式10-2．（2021·浙江宁波市·中考真题）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）

（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．

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（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？

变式10-3．（2021·江苏南通市·中考真题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．

（1）求直线l2的解析式；

（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

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2024年2月11日发(作者：邰梓)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解

专题11 一次函数

【知识要点】

考点知识一变量与函数

变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。

常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。

【注意】

1、 变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。

2、 区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。

函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

【函数概念的解读】

1、有两个变量。

2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。

3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。

函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

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（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。

函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

画函数图像的一般步骤：1、列表 2、描点 3、连线

函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：

1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。

2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。

函数的三种表示法及其优缺点

1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。

缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。

3、 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。

缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。

3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。

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缺：图像中只能得到近似的数量关系。

考点知识二一次函数的图形与性质

正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。

一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。

注意：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。

待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。

待定系数法求函数解析式的一般步骤：

1、 设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中

2、解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中

正比例函数图像与一次函数图像特征

b>0

经过第一、二、三象限

b<0

经过第一、三、四象限

b=0

经过第一、三象限

k>0

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

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图象从左到右下降，y随x的增大而减小

总结如下：

k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。

k>0，b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）

k>0，b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）

k>0，b=0时, 函数的图象经过一、三象限。（正比例函数）

k<0时, y随x增大而减小，必过二、四象限。

k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）

k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）

k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。（正比例函数）

直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：

1、当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．

2、当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y2=kx＋b的图象．

k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系

正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。

一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和的一条直线。

1、当,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴

2、当,则b=0，直线过原点

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3、当,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴

在两个一次函数表达式中：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系

k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；

k相同， b不相同时，两一次函数图像平行；

k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；

k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

特殊位置关系：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2

两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等。即：k1k2且b1b2

两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）。即:k1•k21

直线l1与坐标原点构成的三角形面积为s=考点知识三一次函数与方程（组）、不等式

一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=0（k≠0 ）的形式.求方程kx+b=0(k≠0)的解，就是求函数y=kx+b(k≠0)函数值为0时，自变量x的值.

一次函数与二元一次方程组的关系：一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。

由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，5 / 15

解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解

一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。

【考点题型】

考点题型一正比例函数的定义

【解题思路】正比例函数的定义

x+m2﹣1是正比例函数，典例1．（2021·天津中考模拟）已知函数y＝（m﹣1）则m＝_____．

变式1-1．（2021·吉林中考模拟）若y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为_____.

变式1-2．（2021·柳州市龙城中学中考模拟）若一次函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．

考点题型二正比例函数的图像与性质

【解题思路】熟知函数图象上点的坐标满足其解析式是解决此题的关键．

2典例2．（2021·陕西模拟）下列四个点，在正比例函数y=x的图象上的点是（

）

5A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）

变式2-1．（2021·陕西模拟）若一个正比例函数的图象经过A(3，m﹣1)，B(4，2m﹣1)两点，则m的值为（）

A．﹣0.5 B．0.5 C．2 D．﹣2

1x经过两点（1，y1）和（2，y2），则2变式2-2．（2021·西安市模拟）若正比例函数yy1和y2的大小关系为（）

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A．y1y2 B．y1y2 C．y1y2 D．无法确定

yk2x，变式2-3．（2021·湖南株洲市一模）如图，在同一直角坐标系中，正比例函数yk1x，yk3x，yk4x的图象分别为l1，l2，l3，l4，则下列关系中正确的是（）

A．k1k2k3k4

C．k1k2k4k3

B．k2k1k4k3

D．k2k1k3k4

考点题型三根据一次函数的定义求参数

【解题思路】熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．

典例3（2021·海口市模拟）一次函数y＝（k﹣1）x+3的图象经过点（﹣2，1），则k的值是（ ）

A．﹣1 B．2 C．1 D．0

变式3-1．（2021·安徽中考真题）已知一次函数ykx3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）

A．1,2 B．1,2 C．2,3 D．3,4

变式3-2．（2021·浙江杭州市·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）

A． B．

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C． D．

考点题型四一次函数的图像

【解题思路】解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

典例4（2021·四川广安市·中考真题）一次函数yx7的图象不经过的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式4-1．（2021·山东济南市·中考真题）若m﹣2，则一次函数ym1x1m的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

变式4-2．（2021·山东日照市·中考真题）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ）

A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2（x+3） D．y＝2（x﹣3）

变式4-3．（2021·辽宁沈阳市·中考真题）一次函数ykxb(k0)的图象经过点A(3,0)，点B(0,2)，那么该图象不经过的象限是（ ）

A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

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变式4-4．（2021·湖南益阳市·中考真题）一次函数ykxb的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．k0

C．y随x的增大而减小

考点题型五一次函数的性质

B．b1

D．当x2时，kxb0

【解题思路】解题的关键是熟知一次函数的性质特点．

典例5（2021·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数yx2，下列说法不正确的是（）

A．图象经过点1,3

C．图象不经过第四象限

B．图象与x轴交于点2,0

D．当x2时，y4

变式5-1．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y

=（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（）

A．m>-1

2B．m<3 C．-1

2D．-1

2变式5-2．（2021·浙江九年级二模）设k0，关于x的一次函数ykx2，当1x2时的最大值是（）

A．k2 B．2k2 C．2k2 D．k2

变式5-3．（2021·河南安阳市模拟）点A(x1，y1)、B(x2，y2)都在直线y＝kx+2（k＜0）上，且x1＜x2则y1、y2的大小关系是（）

A．y1

＝y2 B．y1

＜y2 C．y1

＞y2

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D．y1

≥y2

考点题型六求一次函数解析式

【解题思路】一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．

典例6（2021·广西中考真题）直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

变式6-1．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知正比例函数ykx(k0)的图象过点2,3，把正比例函数ykx(k0)的图象平移，使它过点1,1，则平移后的函数图象大致是（）

A． B． C． D．

变式6-2．（2021·四川乐山市·中考真题）直线ykxb在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kxb2的解集是（）

A．x≤2 B．x4 C．x2 D．x4

考点题型七一次函数与一元一次方程

【解题思路】考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0

（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．

典例7（2021·山东济宁市·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（）

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A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15

变式7-1．（2021·陕西渭南市模拟一次函数ykx3（k为常数且k0）的图像经过点（－2，0），则关于x的方程kx530的解为（）

A．x5 B．x3 C．x3 D．x5

变式7-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，直线ykxb(k0)过点A(0，5)，B(－4，0)，则关于x的方程kxb0的解是( )

A．x4 B．x5

5C．x

44D．x

5变式7-3．（2021·河北九年级其他模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数y2x5的图象l1与正比例函数的图象l2交于点M(m,3)，一次函数ykx2的图象为l3，且l1，l2，l3能围成三角形，则在下列四个数中，k的值能取的是（ ）

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A．﹣2 B．1 C．2 D．3

考点题型八一次函数与一元一次不等式

典例8（2021·湖南湘潭市·中考真题）如图，直线ykxb(k0)经过点P(1,1)，当kxbx时，则x的取值范围为（）

A．x1 B．x1 C．x1 D．x1

2）变式8-1．（2021·陕西模拟）如图，函数y1＝﹣2x

与y2＝ax+3

的图象相交于点A（m，，则关于x

的不等式﹣2x＞ax+3

的解集是（）

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1

变式8-2．（2021·山西模拟）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3),则不等式2x

A．x>

32B．x>3 C．x<

32D．x<3

考点题型九一次函数与二元一次方程（组）

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典例9（2021·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

变式9-1．（2021·河北承德市·九年级二模）如图，点A，B，C在一次函数y2xb的图象上，它们的横坐标依次为1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（）

A．1 B．3 C．3(b1)

3D．(b2)

2变式9-2．（2021·西安市铁一中学九年级其他模拟）若直线y＝3x+m和y＝nx﹣4相交于y3xm点P（﹣3，﹣2），则方程组的解为（ ）

ynx4x3A．

y2x3B．

y2x3C．

y2x3D．

y2变式9-3．（2021·陕西西安市·高新一中九年级其他模拟）若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（ ）

A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3）

考点题型十一次函数的实际应用

典例10（2021·四川广安市·中考真题）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不13 / 15

变）

（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？

（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．

5G时代的到来，变式10-1．（2021·山东济南市·中考真题）将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格

A

B

进价（元/部）

3000

3500

售价（元/部）

3400

4000

B两种型号手机共花费32000元，某营业厅购进A、手机销售完成后共获得利润4400元．

（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？

（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

变式10-2．（2021·浙江宁波市·中考真题）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）

（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．

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（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？

变式10-3．（2021·江苏南通市·中考真题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．

（1）求直线l2的解析式；

（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

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