2024年2月18日发(作者：梁丘凝阳)

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广东省湛江市雷州东里第二中学2022年高二数学文模拟试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知分别是双曲线的两个焦点，和是以(为坐标原点)为圆心，为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为( )

A. B. C.

D.

参考答案：

D

2. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（ ）

A． B． C． D．

参考答案：

C

【考点】F3：类比推理．

【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论．

【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，

如图，设正四面体的棱长为a，则AE=，DE=

设OA=R，OE=r，则

∴R=，r=

∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1

故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于

故选C

【点评】本题考查类比推理，考查学生的计算能力，正确计算是关键．

3. 如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( )

A．3年 B．4年 C．6年 D． 5年

参考答案：

D

略

4. 函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是 （ ）

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参考答案：

A

5. 已知点共面，且若记到中点的距离的最大值为，最小值为，则

A. B. C. D.

参考答案：

B

6. 若，则下列不等式：①；②；③；④ 中

正确的不等式是 ( )

A.①② B. ②③ C．①④ D．③④

参考答案：

C

7. 设函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中a，b，c，d互不相等，则对于命题p：abcd∈（0，1）和命题q：a+b+c+d∈[e+e﹣1﹣2，e2+e﹣2﹣2）真假的判断，正确的是（ ）

A．p假q真 B．p假q假 C．p真q真 D．p真q假

参考答案：

C

【考点】2K：命题的真假判断与应用．

【分析】画出函数f（x）=的图象，根据a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），令a＜b＜c＜d，根据对数的运算性质，及c，d的取值范围得到abcd的取值范围，再利用对勾函数的单调性求出a+b+c+d的范围得答案．

【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图，

不妨设a＜b＜c＜d，图中实线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈（﹣2，﹣1]，

则a，b是x2+2x﹣m﹣1=0的两根，∴a+b=﹣2，ab=﹣m﹣1，

∴ab∈[0，1），且lnc=m，lnd=﹣m，

∴ln（cd）=0，

∴cd=1，

∴abcd∈[0，1），故①正确；

由图可知，c∈（]，

又∵cd=1，a+b=﹣2，

∴a+b+c+d=c+﹣2，在（，]是递减函数，

∴a+b+c+d∈[e+﹣2，e2+﹣2），故②正确．

∴p真q真．

故选：C．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，是中档题．

8. 已知表示不超过实数的最大整数（），如，，。定义，求（ ）。

A: B: C: D:

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参考答案：

B

本题主要考查等差数列的求和。

由题意，，，，，。

所以。故本题正确答案为B。

9.

等比数列中，，则数列的前8项和等于

（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

参考答案：

C

略

10. 设,则下列不等式中恒成立的是 ( )

A． B． C． D．

参考答案：

A

略

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则角A= ．

参考答案：

60°或120°

【考点】正弦定理．

【分析】在△ABC中，由正弦定理可求得∠A．

【解答】解：∵在△ABC中，a=，b=，B=45°，

∴由正弦定理得： =，即=，

∴sinA=．又a＞b，

∴A＞B，

∴A=60°或A=120°．

故答案为：60°或120°．

12. 已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝an－n，计算数列{an}的第20项．现已给出该问题算法的程序框图(如图所示)．

为使之能完成上述的算法功能，则在右图判断框中(A)处应填上合适的语句是 ；在处理框中(B)处应填上合适的语句是 ．

参考答案：

n≤19?(或n＜20?)；S＝S－n．

13. 三段论式推理是演推理的主要形式，“函数的图像是一条直线”这个推理所省略的大前提是

参考答案：

一次函数图象是一条直线

14. 某人５次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，，估计此人每次上班途中平均花费的时间为 分钟．

参考答案：

10

15. 直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为 ．

参考答案：

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【考点】异面直线及其所成的角．

【专题】空间角．

【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．

【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，

M，N分别是A1B1，A1C1的中点，

如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，

∴MNOB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，

∵BC=CA=CC1，

设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，

MB==，

在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO=

==．

故答案为：．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

16. 已知向量，，，若∥，则= ．

参考答案：

略

17. y=的定义域是 ．

参考答案：

（]

【考点】33：函数的定义域及其求法．

【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案．

【解答】解：由，得0＜3x﹣2≤1，

∴，

∴y=的定义域是（]．

故答案为：（]．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知x，y满足约束条件，求z=x+3y的最小值．

参考答案：

【考点】简单线性规划．

【分析】作出其平面区域，在平面区域内找到最小值时的点，代入即可．

【解答】解：其平面区域如图：

则由z=x+3y可化为y=﹣x+，

则y=﹣x+过点B时有最小值，

由x+y﹣1=0与y=x联立解得，

x=y=0.5，

则z=x+3y的最小值为0.5+3×0.5=2．

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19. （本小题12分） 设函数定义在上，对于任意实数，恒有

，且当时，

（1）求证： 且当时，

（2）求证： 在上是减函数；

（3）设集合，，

且， 求实数的取值范围。

参考答案：

（1）证明：，为任意实数，

取，则有

当时，，，……2分

当时， ，则

取 则

则

…………4分

（2）证明：由（1）及题设可知，在上

，

…………6分

所以在上是减函数 …………8分

（3）解：在集合中

由已知条件，有

，即 …………9分

在集合中，有

，则抛物线与直线无交点

，，

即的取值范围是 …………12分

略

20. （本题满分12分）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点设两点的坐标分别是，

(Ⅰ)证明：;

(Ⅱ)求抛物线方程.

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参考答案：

（Ⅰ）由抛物线的光学性质及题意知光线必过抛物线的焦点，………………2分

设，代入抛物线方程得：，………4分………6分

（Ⅱ）由题意知，设点M关于直线的对称点为，则有：

，…………………8分

由共线且平行于轴得，…………………9分

又三点共线，即．抛物线方程为．…12分

21. 已知A、B、C是椭圆M： =1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且．

（1）求椭圆M的方程；

（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围．

参考答案：

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【分析】（1）根据点A的坐标求出a，然后根据求出b，综合即可求出椭圆M的方程．

（2）根据题意设出直线方程，与（1）中M的方程联立，然后运用设而不求韦达定理进行计算，求出实数t的取值范围．

【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，）

∴，椭圆方程为①

又∵．，且BC过椭圆M的中心O（0，0），

∴．

又∵，

∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，

易得C点坐标为（，）

将（，）代入①式得b2=4

∴椭圆M的方程为

（2）当直线l的斜率k=0，直线l的方程为y=t

则满足题意的t的取值范围为﹣2＜t＜2

当直线l的斜率k≠0时，设直线l的方程为y=kx+t

由

得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣12=0

∵直线l与椭圆M交于两点P、Q，

∴△=（6kt）2﹣4（3k2+1）（3t2﹣12）＞0

即t2＜4+12k2

②

设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1+x2=﹣，x1x2=，

PQ中点H（x0，y0），

则H的横坐标，

纵坐标，

D点的坐标为（0，﹣2）

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由，

得DH⊥PQ，kDH?kPQ=﹣1，

即，

即t=1+3k2．

∴k2＞0，∴t＞1．

由②③得0＜t＜4，

结合④得到1＜t＜4．

综上所述，﹣2＜t＜4．

22. 如图，在平面四边形ABCD中，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求CD.

.

参考答案：

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）在中利用余弦定理即可求得结果；（Ⅱ）在中利用正弦定理构造方程即可求得结果.

③

【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理可得：

④

（Ⅱ） ，

在中，由正弦定理可得：，即：

解得：

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，考查公式的简单应用，属于基础题.

2024年2月18日发(作者：梁丘凝阳)

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广东省湛江市雷州东里第二中学2022年高二数学文模拟试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知分别是双曲线的两个焦点，和是以(为坐标原点)为圆心，为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为( )

A. B. C.

D.

参考答案：

D

2. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（ ）

A． B． C． D．

参考答案：

C

【考点】F3：类比推理．

【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论．

【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，

如图，设正四面体的棱长为a，则AE=，DE=

设OA=R，OE=r，则

∴R=，r=

∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1

故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于

故选C

【点评】本题考查类比推理，考查学生的计算能力，正确计算是关键．

3. 如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( )

A．3年 B．4年 C．6年 D． 5年

参考答案：

D

略

4. 函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是 （ ）

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参考答案：

A

5. 已知点共面，且若记到中点的距离的最大值为，最小值为，则

A. B. C. D.

参考答案：

B

6. 若，则下列不等式：①；②；③；④ 中

正确的不等式是 ( )

A.①② B. ②③ C．①④ D．③④

参考答案：

C

7. 设函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中a，b，c，d互不相等，则对于命题p：abcd∈（0，1）和命题q：a+b+c+d∈[e+e﹣1﹣2，e2+e﹣2﹣2）真假的判断，正确的是（ ）

A．p假q真 B．p假q假 C．p真q真 D．p真q假

参考答案：

C

【考点】2K：命题的真假判断与应用．

【分析】画出函数f（x）=的图象，根据a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），令a＜b＜c＜d，根据对数的运算性质，及c，d的取值范围得到abcd的取值范围，再利用对勾函数的单调性求出a+b+c+d的范围得答案．

【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图，

不妨设a＜b＜c＜d，图中实线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈（﹣2，﹣1]，

则a，b是x2+2x﹣m﹣1=0的两根，∴a+b=﹣2，ab=﹣m﹣1，

∴ab∈[0，1），且lnc=m，lnd=﹣m，

∴ln（cd）=0，

∴cd=1，

∴abcd∈[0，1），故①正确；

由图可知，c∈（]，

又∵cd=1，a+b=﹣2，

∴a+b+c+d=c+﹣2，在（，]是递减函数，

∴a+b+c+d∈[e+﹣2，e2+﹣2），故②正确．

∴p真q真．

故选：C．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，是中档题．

8. 已知表示不超过实数的最大整数（），如，，。定义，求（ ）。

A: B: C: D:

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参考答案：

B

本题主要考查等差数列的求和。

由题意，，，，，。

所以。故本题正确答案为B。

9.

等比数列中，，则数列的前8项和等于

（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

参考答案：

C

略

10. 设,则下列不等式中恒成立的是 ( )

A． B． C． D．

参考答案：

A

略

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则角A= ．

参考答案：

60°或120°

【考点】正弦定理．

【分析】在△ABC中，由正弦定理可求得∠A．

【解答】解：∵在△ABC中，a=，b=，B=45°，

∴由正弦定理得： =，即=，

∴sinA=．又a＞b，

∴A＞B，

∴A=60°或A=120°．

故答案为：60°或120°．

12. 已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝an－n，计算数列{an}的第20项．现已给出该问题算法的程序框图(如图所示)．

为使之能完成上述的算法功能，则在右图判断框中(A)处应填上合适的语句是 ；在处理框中(B)处应填上合适的语句是 ．

参考答案：

n≤19?(或n＜20?)；S＝S－n．

13. 三段论式推理是演推理的主要形式，“函数的图像是一条直线”这个推理所省略的大前提是

参考答案：

一次函数图象是一条直线

14. 某人５次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，，估计此人每次上班途中平均花费的时间为 分钟．

参考答案：

10

15. 直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为 ．

参考答案：

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【考点】异面直线及其所成的角．

【专题】空间角．

【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．

【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，

M，N分别是A1B1，A1C1的中点，

如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，

∴MNOB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，

∵BC=CA=CC1，

设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，

MB==，

在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO=

==．

故答案为：．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

16. 已知向量，，，若∥，则= ．

参考答案：

略

17. y=的定义域是 ．

参考答案：

（]

【考点】33：函数的定义域及其求法．

【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案．

【解答】解：由，得0＜3x﹣2≤1，

∴，

∴y=的定义域是（]．

故答案为：（]．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知x，y满足约束条件，求z=x+3y的最小值．

参考答案：

【考点】简单线性规划．

【分析】作出其平面区域，在平面区域内找到最小值时的点，代入即可．

【解答】解：其平面区域如图：

则由z=x+3y可化为y=﹣x+，

则y=﹣x+过点B时有最小值，

由x+y﹣1=0与y=x联立解得，

x=y=0.5，

则z=x+3y的最小值为0.5+3×0.5=2．

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19. （本小题12分） 设函数定义在上，对于任意实数，恒有

，且当时，

（1）求证： 且当时，

（2）求证： 在上是减函数；

（3）设集合，，

且， 求实数的取值范围。

参考答案：

（1）证明：，为任意实数，

取，则有

当时，，，……2分

当时， ，则

取 则

则

…………4分

（2）证明：由（1）及题设可知，在上

，

…………6分

所以在上是减函数 …………8分

（3）解：在集合中

由已知条件，有

，即 …………9分

在集合中，有

，则抛物线与直线无交点

，，

即的取值范围是 …………12分

略

20. （本题满分12分）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点设两点的坐标分别是，

(Ⅰ)证明：;

(Ⅱ)求抛物线方程.

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参考答案：

（Ⅰ）由抛物线的光学性质及题意知光线必过抛物线的焦点，………………2分

设，代入抛物线方程得：，………4分………6分

（Ⅱ）由题意知，设点M关于直线的对称点为，则有：

，…………………8分

由共线且平行于轴得，…………………9分

又三点共线，即．抛物线方程为．…12分

21. 已知A、B、C是椭圆M： =1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且．

（1）求椭圆M的方程；

（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围．

参考答案：

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【分析】（1）根据点A的坐标求出a，然后根据求出b，综合即可求出椭圆M的方程．

（2）根据题意设出直线方程，与（1）中M的方程联立，然后运用设而不求韦达定理进行计算，求出实数t的取值范围．

【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，）

∴，椭圆方程为①

又∵．，且BC过椭圆M的中心O（0，0），

∴．

又∵，

∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，

易得C点坐标为（，）

将（，）代入①式得b2=4

∴椭圆M的方程为

（2）当直线l的斜率k=0，直线l的方程为y=t

则满足题意的t的取值范围为﹣2＜t＜2

当直线l的斜率k≠0时，设直线l的方程为y=kx+t

由

得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣12=0

∵直线l与椭圆M交于两点P、Q，

∴△=（6kt）2﹣4（3k2+1）（3t2﹣12）＞0

即t2＜4+12k2

②

设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1+x2=﹣，x1x2=，

PQ中点H（x0，y0），

则H的横坐标，

纵坐标，

D点的坐标为（0，﹣2）

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由，

得DH⊥PQ，kDH?kPQ=﹣1，

即，

即t=1+3k2．

∴k2＞0，∴t＞1．

由②③得0＜t＜4，

结合④得到1＜t＜4．

综上所述，﹣2＜t＜4．

22. 如图，在平面四边形ABCD中，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求CD.

.

参考答案：

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）在中利用余弦定理即可求得结果；（Ⅱ）在中利用正弦定理构造方程即可求得结果.

③

【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理可得：

④

（Ⅱ） ，

在中，由正弦定理可得：，即：

解得：

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，考查公式的简单应用，属于基础题.