2024年2月26日发(作者：张婉然)
2022-2023天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充而分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．不存在
3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（ ）
A．6 B． C． D．
5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（ ）
A．y= B．y= C．x= D．x=
6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为方程为（ ）
A． B．
，则椭圆的标准C． D．
7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为A．l1⊥l2 B．l1∥l2
D．l1与l2重合
， D．，，则（ ）
C．l1与l2相交不平行
8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，A． B． C．，
，则=（ ）
9．（3分）已知F1，F2是双曲线1 / 14
的两个焦点，PQ是经过
F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的任意一点，则A．2
B．3 C．6
的最大值为（ ）
D．8
的中心和左焦点，点P为椭圆上二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是 ．
12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是 ．
13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为 ．
14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ则λ= ．
三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在y轴上，c=6，（2）经过点（2，0），．
；
与的夹角为120°，16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）求直线AB的方程．
2 / 14
17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．
（Ⅰ）证明：BM⊥AN；
（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．
18．（10分）已知椭圆倾斜角为+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线．
，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．
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2022-2023天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充而分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，
即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，
当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，
即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，
故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，
故选：C．
2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．不存在
【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，
因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．
故选：B．
3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），
∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，
故选B．
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4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（ ）
A．6 B． C． D．
【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），
则线段AB的长度为
|AB|=故选：A．
5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（ ）
A．y= B．y= C．x= D．x=
【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=
∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=
故选D．
6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为方程为（ ）
A． B．
=6．
，则椭圆的标准C． D．
【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为可得a+b=10，2c=4解得a2=36，b2=16，
所求椭圆方程为：故选：C．
7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，．
，c=2，即a2﹣b2=20，
，
，则（ ）
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A．l1⊥l2 B．l1∥l2
D．l1与l2重合
，，
C．l1与l2相交不平行
【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，
∴l1⊥l2．
故选A．
8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，A． B． C．
，D．，，，，则
=（ ）
【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，∴=（===（）﹣
．
）﹣
，
故选：B．
9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
6 / 14
【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，
∴|PF1|=|F1F2|
∴=2c，
∴e2﹣2e﹣1=0，
∵e＞1，
∴e=1+．
故选：D．
10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的任意一点，则A．2 B．3 C．6
的最大值为（ ）
D．8
，解得的中心和左焦点，点P为椭圆上【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，
因为，，
所以=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，
因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，故选C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是 x2=±24y ．
【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，
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取得最大值，
所求抛物线方程为：x2=±24y．
故答案为：x2=±24y．
12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是 ．
【解答】解：双曲线与椭圆轴，双曲线的一条渐近线为，
有相同的焦点（，0），焦点坐标在x可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．
所求双曲线方程为：．
故答案为：
13．（5分）已知椭圆．
的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b）， ．
A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为
【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，
可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，
可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），
解得e=故答案为：
．
．
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14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ则λ= ．
+λ与的夹角为120°，【解答】解：∵+λ与=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．
的夹角为120°，
=，
∴cos120°=化为∴λ=，∵λ＜0，
．
．
故答案为：
三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在y轴上，c=6，（2）经过点（2，0），【解答】（1）解：由．
得，，解得，a=9，
；
∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，
∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为（2）解：由e=则b=，设a=2k，c=，
；
（k＞0），
由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，
若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，
此时2k=2，∴k=1，得b=1，
则椭圆的标准方程为．
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若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，
则椭圆的标准方程为
16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）求直线AB的方程．
【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）
∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2
∴抛物线E的方程：y2=4x
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，
两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）
∵线段AB恰被M（2，1）所平分
∴y1+y2=2
∴=2
．
∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．
17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．
（Ⅰ）证明：BM⊥AN；
（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】（本题满分12分）
解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空10 / 14
间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），…（3分）
（Ⅰ）∵∴∴•⊥=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…（4分）
=0…（5分）
，即AN⊥BM…（6分）
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）
∵由解得：=（2，4，﹣2），，可得，
=（0，4，﹣2），
，…（9分）
取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）
设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==（﹣1，1，1），…（11分）
=…（12分）
18．（10分）已知椭圆倾斜角为+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线．
，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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【解答】解：（1）∵椭圆线倾斜角为，
+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直原点到该直线的距离为∴解得a=，，b=1，
，
，
∴椭圆方程是（2）将y=kx+2代入．
，
得（3k2+1）x2+12kx+9=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0）
则PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，
又y1=kx1+2，y2=kx2+2，
得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，
又代上式，得k=，，
，
∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．
∴存在k=﹣满足题意．
19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．
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【解答】（本题满分10分）
（1）证明：如图，以B1为原点，分别以轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）
依题意，
因为所以所以，
，
，…（3分）
，的方向为x轴，y又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（4分）
（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），
则分）
设由得为平面ABC的一个法向量，
解得
，…（5不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，
所以设由得．…（7分）
为平面ACA1的一个法向量，
解得
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不妨设y2=1，则x2=1，
所以因为，于是，
．…（9分）
，
所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）
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2024年2月26日发(作者：张婉然)
2022-2023天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充而分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．不存在
3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（ ）
A．6 B． C． D．
5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（ ）
A．y= B．y= C．x= D．x=
6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为方程为（ ）
A． B．
，则椭圆的标准C． D．
7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为A．l1⊥l2 B．l1∥l2
D．l1与l2重合
， D．，，则（ ）
C．l1与l2相交不平行
8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，A． B． C．，
，则=（ ）
9．（3分）已知F1，F2是双曲线1 / 14
的两个焦点，PQ是经过
F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的任意一点，则A．2
B．3 C．6
的最大值为（ ）
D．8
的中心和左焦点，点P为椭圆上二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是 ．
12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是 ．
13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为 ．
14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ则λ= ．
三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在y轴上，c=6，（2）经过点（2，0），．
；
与的夹角为120°，16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）求直线AB的方程．
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17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．
（Ⅰ）证明：BM⊥AN；
（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．
18．（10分）已知椭圆倾斜角为+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线．
，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．
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2022-2023天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充而分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，
即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，
当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，
即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，
故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，
故选：C．
2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．不存在
【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，
因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．
故选：B．
3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），
∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，
故选B．
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4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（ ）
A．6 B． C． D．
【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），
则线段AB的长度为
|AB|=故选：A．
5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（ ）
A．y= B．y= C．x= D．x=
【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=
∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=
故选D．
6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为方程为（ ）
A． B．
=6．
，则椭圆的标准C． D．
【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为可得a+b=10，2c=4解得a2=36，b2=16，
所求椭圆方程为：故选：C．
7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，．
，c=2，即a2﹣b2=20，
，
，则（ ）
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A．l1⊥l2 B．l1∥l2
D．l1与l2重合
，，
C．l1与l2相交不平行
【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，
∴l1⊥l2．
故选A．
8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，A． B． C．
，D．，，，，则
=（ ）
【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，∴=（===（）﹣
．
）﹣
，
故选：B．
9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
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【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，
∴|PF1|=|F1F2|
∴=2c，
∴e2﹣2e﹣1=0，
∵e＞1，
∴e=1+．
故选：D．
10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的任意一点，则A．2 B．3 C．6
的最大值为（ ）
D．8
，解得的中心和左焦点，点P为椭圆上【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，
因为，，
所以=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，
因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，故选C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是 x2=±24y ．
【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，
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取得最大值，
所求抛物线方程为：x2=±24y．
故答案为：x2=±24y．
12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是 ．
【解答】解：双曲线与椭圆轴，双曲线的一条渐近线为，
有相同的焦点（，0），焦点坐标在x可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．
所求双曲线方程为：．
故答案为：
13．（5分）已知椭圆．
的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b）， ．
A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为
【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，
可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，
可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），
解得e=故答案为：
．
．
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14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ则λ= ．
+λ与的夹角为120°，【解答】解：∵+λ与=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．
的夹角为120°，
=，
∴cos120°=化为∴λ=，∵λ＜0，
．
．
故答案为：
三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在y轴上，c=6，（2）经过点（2，0），【解答】（1）解：由．
得，，解得，a=9，
；
∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，
∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为（2）解：由e=则b=，设a=2k，c=，
；
（k＞0），
由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，
若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，
此时2k=2，∴k=1，得b=1，
则椭圆的标准方程为．
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若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，
则椭圆的标准方程为
16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）求直线AB的方程．
【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）
∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2
∴抛物线E的方程：y2=4x
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，
两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）
∵线段AB恰被M（2，1）所平分
∴y1+y2=2
∴=2
．
∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．
17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．
（Ⅰ）证明：BM⊥AN；
（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】（本题满分12分）
解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空10 / 14
间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），…（3分）
（Ⅰ）∵∴∴•⊥=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…（4分）
=0…（5分）
，即AN⊥BM…（6分）
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）
∵由解得：=（2，4，﹣2），，可得，
=（0，4，﹣2），
，…（9分）
取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）
设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==（﹣1，1，1），…（11分）
=…（12分）
18．（10分）已知椭圆倾斜角为+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线．
，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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【解答】解：（1）∵椭圆线倾斜角为，
+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直原点到该直线的距离为∴解得a=，，b=1，
，
，
∴椭圆方程是（2）将y=kx+2代入．
，
得（3k2+1）x2+12kx+9=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0）
则PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，
又y1=kx1+2，y2=kx2+2，
得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，
又代上式，得k=，，
，
∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．
∴存在k=﹣满足题意．
19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．
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【解答】（本题满分10分）
（1）证明：如图，以B1为原点，分别以轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）
依题意，
因为所以所以，
，
，…（3分）
，的方向为x轴，y又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（4分）
（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），
则分）
设由得为平面ABC的一个法向量，
解得
，…（5不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，
所以设由得．…（7分）
为平面ACA1的一个法向量，
解得
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不妨设y2=1，则x2=1，
所以因为，于是，
．…（9分）
，
所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）
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