(完整)[2018年最新整理]弹性力学简明教程(第四版)-课后习题解答-USB迷|专注于互联网分享

2024年3月6日发(作者：矫婉容)

【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？

【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。

【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。

【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。

【3-3】如果某一应力边界问题中有m个主要边界和n个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？

【解答】在m个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m个；在n个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n个。

【3-4】试考察应力函数ay在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?

【解答】⑴相容条件:

不论系数a取何值，应力函数ay总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得

33Oxhyl图3-8x6ay,y0,xyyx0

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.

左右边界上；

当a>0时，考察x分布情况，注意到xy0，故y向无面力

左端:fx(x)x06ay

0yh

fyxyx00

右端:fxxxl6ay

(0yh)

fy(xy)xl0

应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

xfxy偏心距e：

因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。

eePP(x)Appe20eh/6

bhbh/6同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。

【3-5】取满足相容方程的应力函数为：⑴ax2y,⑵bxy2,⑶cxy3,试求出应力O分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。

【解答】（1）由应力函数axy，得应力分量表达式

2h/2h/2xyl图3-9(l?h)x0,y2ay,xyyx2ax

(lxmyx)sfx(s)考察边界条件，由公式（2-15）

(mylxy)sfy(s)h①主要边界，上边界y上，面力为

2hhfx(y)2ax

fy(y)ah

22h②主要边界，下边界y，面力为

2hhfx(y)2ax,

fy(y)ah

③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为

x向主矢：Fxy向主矢：Fy主矩：Mh/2h/2h/2(x)x0dy0

(xy)x0dy0

h/2h/2h/2(x)x0ydy0

yxahxyOx次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为

x向主矢：Fxy向主矢：Fy主矩：Mh/2h/2h/2(x)xldy0

(xy)xldyh/2h/2h/2(2al)dy2alh

yah2alh/2h/2(x)xlydy0

2al弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示

⑵bxy

将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

2x2bx，y0，xyyx2by

考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得

在yhhh主要边界，上边界上，面力为fxybh,fyy0

222在yhhh，下边界上，面力为fxybh,fyy0

222在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：

在左边界x=0，面力分布为fxx00,fyx02by

面力的主矢、主矩为

x向主矢：Fxh2h2h2h2xx0dy0

h2h2y向主矢：Fy主矩；Mh/2xyx0dy2byx0dy0

h/2(x)x0ydy0

在右边界x=l上，面力分布为

fxxl2bl,fyxl2by

面力的主矢、主矩为

x向主矢：Fxy向主矢：Fy'主矩：M'h/2h/2h/2h/2xxldyh/2h/2h/22bldy2blh

xyxldyh/22bydy0

h/2h/2xxlydyahOh/2h/22blydy0

弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示

2alahxxy（3）cxy

3yxy

将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x6cxy,y0,xyyx3cy2

考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15）

①上边界y上，面力为

h2h3hfxych2,fyy0

242② 下边界y=h上，面力为

2h3hfxych2,fyy0

242次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：

③左边界x=0上，面力分布为

fxx00,fyx03cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：Fxy向主矢：Fy主矩：Mh/2-h/2h/2h/2h/2xx0dy0

h/2xyx0dy1323cydy4chh/2h/2xx0ydy0④右边界xl上，面力分布为

fxxl6cly,fyxl3cy2

面力的主矢、主矩为

x向主矢Fxh/2h/2xxldyh/2h/26clydy0

y向主矢：Fy主矩：Mh/2h/2h/2yxldyh/2xxl1323cydych

h/24h/21ydy6cly2dyclh3

h/22h/2弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示

【3-6】试考察应力函数Fxy(3h24y2)，32h能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

Oh/2h/2xyl图3-9(l?h)44422240，显然满足

4xxyy（2）将代入式（2-24），得应力分量表达式

3F4y212Fxy(12)

x,y0,xyyx32hhh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：

①在主要边界上（上下边界）上，yh，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力2yyh/20,yxyh/20

因此，在主要边界yhhh上，无任何面力，即fxy0,fyy0

222②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：

3F4y2x0:fx0,fy1-2

2hh

xl:fx12Flyh33F4y2,fy12

2hh因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l上

x向主矢：FN1=y向主矢：FS1=主矩：M1=h/2-h/2h/2h/2h/2fxdy0, FN2fydyF, FS2h/2h/2h/2fxdy0fydyFfxydyFl

h/2h/2h/2fxydy0, M2h/2因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：

(a) (b)

因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。

qx2y3yqy2y3y(4331)(23)能满足相容方程，并考察它在【3-7】试证4hh10hh图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l，深度为h，体力不计）。

【解答】(1)将应力函数代入式（2-25）

h/2h/2xOyl图3-9(l?h)4424qy0，43，4yhx412qy24qy2222

xyh3h3代入（2-25），可知应力函数满足相容方程。

（2）将代入公式（2-24），求应力分量表达式:

26qx2y4qy33qyx2fxx33

yhh5h2q4y33yy2fyy(31)

x2hhxyyx26qxh23(y2)

xyh4(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：

①在主要边界yh（上面），应精确满足应力边界条件（2-15）

2hhfxyyx0,fyyyqyh/2yh/222h在主要边界y下面，也应该满足2152

fxyh/2yx0,fyyh/2y0yh/2yh/2在次要边界x0上，分布面力为fxx0xx03qy4qy33,fyx0xy0x05hh应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

FNFSMh/2h/2h/23qy4qy3fxdy3dy0h/25hhh/2h/2h/2fydy03qy4qy3fxydy3ydy0h/25hhh/2

h/2④在次要边界xl上，分布面力为

fxxlxxl6ql2y4qy33qy33

hh5hfyxlxyxl6qlh23y2

h4应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

236qly4qy3qyFNfx(xl)dy33dy0h/2h/2hh5h2h/2h/26qlhFsfy(xl)dy3y2dyqlh/2h/2h4h/2h/2

M'h/2h/26ql2y4qy33qy12fx(xl)ydy33ydyqlh/2hh5h2h/2综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩，如图

qqqloyx12ql2

(a) (b)

因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q的问题。

【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。

【解答】采用半逆法求解。

由材料力学解答假设应力分量的函数形式。

(1)假定应力分量的函数形式。

根据材料力学，弯曲应力y主要与截面的弯矩有关，剪应力xy主要与hobxqgy(h?b)图3-10截面的剪力有关，而挤压应力x主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则x0

(2)推求应力函数的形式

将x0，体力fx0,fyg，代入公式（2-24）有

2x2fxx0

y对y积分，得

fx （a）

yyfxf1x （b）

其中fx,f1x都是x的待定函数。

（3）由相容方程求解应力函数。

将（b）式代入相容方程（2-25），得

d4fxd4f1xy0 （c）

44dxdx在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即

d4fxd4f1x0,0

dx4dx两个方程要求

fxAx3Bx2Cx,f1xDx3Ex2 （d）

fx中的常数项，f1x中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数

yAx3Bx2CxDx3Ex2 （e）

（4）由应力函数求应力分量

2x2fxx0 （f）

y2y2fyy6Axy2By6Dx2Egy (g)

xxy23Ax22BxC (h)

xy

(5)考察边界条件

利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。

主要边界x0上（左）：

xx00,(xy)x00

将（f），（h）代入

xx00，自然满足

(xy)x0C0

主要边界xb上，

xxb0，自然满足

(xy)xbq，将（h）式代入，得

(xy)xb3Ab22BbCq

在次要边界y0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

bb0(y)y0dx06Dx2Edx3Db22Eb0

b0(b2y)y0xdx06Dx2Exdx2Db3Eb0

b0(byx)y0dx03Ax22BxCdxAb3Bb2Cb0由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得

Aqb2, Bqb, CDE0

代入公式（g），(h)得应力分量

qxb13xx0,

y2bgy,

q3xybxbx2

（i）（j）k）（l）m）

（

【3-9】图3-11所示的墙，高度为h，宽度为b，h?b，在两侧面上受到均布剪力q的作用，试应用应力函数oqb/2b/2xAxyBxy求解应力分量。

【解答】按半逆解法求解。

⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。

3qhy(h?b)⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有

图3-112y0，22x2yx26Bxy，xyyxxyA3Bx2

⑶考察边界条件：

在主要边界xb2上，精确满足公式（2-15）

xxb/20,(xy)xb/2q

第一式自然满足，第二式为

A34Bb2q

②在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)

xxb/20,xyxb/2q

第一式自然满足，第二式为

A34Bb2q

③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:

b/2b/2yy0dx0 满足

b/2b/2yy0xdx0 满足

3b/2dxb/2b/2yxy0b/2A3Bx2dxAb14Bb0

联立（a）（c）得系数

Aq2,B2qb2

代入应力分量表达式，得

12qqx2x0,yb2xy,xy2112b2

(a)

(b)

（c）

【3-10】设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l?h（图3-12），试用应力函数AxyByCyDxy求解应力分量。

【解答】采用半逆解法求解

（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足

（2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)

2332B6By6Dxyx0y (a)

2A3Dyyxxy(3)考察边界条件

①主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件

yyh/20，满足

xyyh/20, 得ADh20 （b）

②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件

34FN

2hh/2h/22M

ydyM2B6CyydyMC3h/2xx0h/2hh/2h/2132dyFA3DydyFAhDhFs （c）

ssh/2xyx0h/24h/2xx0dyFNh/22B6CydyFNBh/2h/2联立方程（b）（c）得

A3Fs2F,D3s

2hh最后一个次要边界xl上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。

将系数A、B、C、D代入公式（a），得应力分量

xFN12My12Fsxyhh3h3

y023FS14y2xy2hh【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的

密度为，试用纯三次式的应力函数求解。

【解答】采用半逆解法求解

(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）

设应力函数=AxBxyCxyDy，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）

(2) 由式（2-24）求应力分量

由体力分量fx0,fyg，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：

32232x2fxx2Cx6Dy （a）

y2y2fyy6Ax2Bygy （b）

yxy22Bx2Cy （c）

xy（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。

①对于主要边界y0，其应力边界条件为：

(y)y00将式（d）代入式（b），（c），可得

，(yx)y00 （d）

A0，B=0 （e）

②对于主要边界yxtan（斜面上），应力边界条件：

在斜面上没有面力作用，即fxfy0，该斜面外法线方向余弦为，lsin，mcos.由公式（2-15），得应力边界条件

sin(x)yxtancos(yx)yxtan0 （f）

sin(xy)yxtancos(y)yxtan0将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得

Cg2cot,Dg3cot2 （g）

将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：

xgxcot2gycot2

ygyxygycot【分析】本题题目已经给定应力函数的函数形式，事实上，也可通过量纲分析法确定应

力函数的形式。

按量纲分析法确定应力函数的形式：三角形悬臂梁内任何一点的应力与，x，y和g有关。由于应力分量的量纲是L1MT2，而x,y的量纲是L，g的量纲是L1MT2，又是量纲—的数量，因此，应力分量的表达式只可能是x和y的纯一项式，即应力分量的表达式只可能是Agx,Bgy这两种项的结合，其中A，B是量纲一的量，只与有关。应力函数又比应力分量的长度量纲高二次，即为x和y的纯三次式，故可假设应力函数的形式为Ax3Bx2yCxy2Dy3。

【3-12】设图3-5中简支梁只受重力作用，而梁的密度为，试用§3-4中的应力函数（e）求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。

【分析】与§3-4节例题相比，本题多了体力分量fx0,fyg。去除了上边界的面力。依据§3-4，应力分量的函数形式是由材料力学解答假设的。

【解答】按半逆解法求解。

（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为ABx2(Ay3By2CyD)x(Ey3Fy2Gy)y5y4Hy3Ky2，由§3-4可2106

知，必然满足相容方程（2-25）。

（2）应力分量的表达式：

x2x(6Ay2B)x(6Ey2F)2Ay32By26Hy2K （a）

2yAy3By2CyDgy （b）

xyx(3Ay22ByC)(3Ey22FyG) （c）

【注】y项多了-gy

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。因此，如果能够适当选择常数、（b）、（c）就是正确的解A、B、、K，使所有的边界条件都被满足，则应力分量式（a）答。

（3）考虑对称性

因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样x和y是x的

偶函数，而xy是x的奇函数，于是由式（a）和式（c）可见

EFG0 （d）

（4）考察边界条件：

①在主要边界yh2上，应精确满足应力边界条件（2-15），

(y)yh20,(yx)yh20

将应力分量式（b）、（c）代入，并注意到EFG0，可得：

h3h2hgABCDh084223h2hghABCDh08422

32x(AhhBC)043x(Ah2hBC)04联立此四个方程，得：

A2g3,B0,Cg,D0 （e）

h22将式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c）

x6g24g3xyy6Hy2K （f）

22hh2ggy2y3y （g）

h26g3gxy2xy2x （h）

h2②考察次要边界条件

由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，如右边。右边界xl上，fx0，不论y取任何值(h2yh2)，都有x0。由（f）式可见，这是不可能的，除非,H,K均为零。因此，只能用应力x的主矢、主矩为零，即

将（f）式代入式（i）得

h/2h/2h/2h/2(x)xldy0 （i）

(x)xlydy0 （j）

h/24g36g2xyy6Hy2Kdy0

22h/2hh积分后得 K=0 （k）

将式（f）代入式（i），得

4g36g2lyy6Hy2Kydy0

2h/2h2hh/2积分后得

l21Hg(2) （l）

h10将（k）、（l）代入式（f），得

6g24g3l21x2xy2y6g(2)y （m）

hhh10考察右边界上切应力分量xy的边界条件：

右边界上fyglh，则xy的主矢为

h/2h/2xyxldy6g23gxyh/2h22h/2xdyglhfy

xl可知满足应力边界条件。

将式（g），（h），（m）略加整理，得应力分量的最后解答：

6g24g3l21Xh2xyh2y6g(h210)y2g3g (n)

yy2yh26g23gxyxxy2h2（5）应力分量及应力分布图

h3h2y2梁截面的宽度取为1个单位，则惯性矩I，静矩是S。

1282根据材料力学截面法可求得截面的内力，可知梁横截面上的弯矩方程和剪力方程分别为l2x2Mxgh,Fsxghx

2则式（n）可写成：

Mx4y23ygy(2)xIh5gy2

y(142)y2hFsxSxybI【分析】比较弹性力学解答与材料力学解答，可知，只有切应力xy完全相同，正应力x中的第一项与材料力学结果相同，第二项为弹性力学提出的修正项；y表示纵向纤维间的挤压应力，而材料力学假设为零。对于l>>h的浅梁，修正项很小，可忽略不计。

【3-13】图3-14所示的悬臂梁，长度为l，高度为h，l?h，在上边界受均布荷载q，试检验应力函数AyBxyCyDxExy能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。

【解答】用半逆解法求解。

（1）相容条件：

将应力函数代入相容方程式（2-25），得

523322120Ay24By0

要使满足相容方程，应使

1AB （a）

5（2）求应力分量，代入式（2-24）

x20Ay36Bx2y6Cy20Ay330Ax2y6Cy33 （b）

y2By2D2Ey10Ay2D2Ey226Bxy2Ex30Axy2Exxy（3）考察边界条件

①在主要边界yh2上，应精确到满足应力边界条件

103Ah2DEh0 （c）

810(y)yh2q,即Ah32DEhq （d）

830(yx)yh20,即Axh22Ex0 （e）

4(y)yh20,即-联立式（a）、（c）、（d）、（e），可得：

Aqq3qq （f）

,D,E,B5h344hh3 ②在次要边界x0上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

h/2h/2h/2(x)x0dy0 满足条件

h/23Ah53()ydy(20Ay6Cy)ydy0Ch0 （g）

h/2xx0h/22h/2h/2(xy)x0dy0 满足

将A的值带入（g），得

C=q10h

将各系数代入应力分量表达式（b），得

y(4y23x2xqhh256h2)qyy3y(1342hh3)

3qxy2xy2h(14h2)【3-14】矩形截面的柱体受到顶部的集中力2F和力矩M的作用（图3-15），不计体力，试用应力函数Ay2BxyCxy3Dy3求解其应力分量。

【解答】采用半逆解法求解。

(1) 相容条件：

将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。

(2) 求应力分量：将代入（2-24）

x2A6Cxy6Dyy0

xyB3Cy2(3) 考察边界条件。

①在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件

yyb/20 满足

（h）

（a）

xyyb/23q,BCb2q （b）

42b/2b/2②在次要边界x=0上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件

b/2b/2(x)x0dyF

(2Ay3Dy)F （c）

123()ydyM

Ay2DyM （d）

xx0b/22b/2b/2b/2b/2xyb/2xodyF

ByCy3b/2b/2F （e）

联立（b）、（c）、（d）、（e）式得

A13F2FF2MCq，Bq，，（f）

D232bbb2bb将各系数据（f）代入式（a），得应力分量解答

F12F12Mx2qxy3ybbbb

y01q3F6qFy2xy2bb2b【分析】本题题目中原教材给出的坐标轴有误，无法计算。x，y坐标互换后可以计算，但计算结果与题目提示解答几乎完全不同，又将y轴调为水平向左为正方向，才得到提示结果。可见，在求解问题时，坐标轴的方向及原点的位置与解答关系密切，坐标轴不同可得到完全不同的结果。

【3-15】挡水墙的密度为1，厚度为b(图3-16)，水的密度为2，试求应力分量。

【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在yb/2边界上，y0；yb/2边界上，y2gx，所以可以假设在区域内y为

yxfy

（2）推求应力函数的形式。由y推求的形式

2y2xfyx

x2fyf1y

x2

x3fyxf1yf2y

6（3）由相容方程求应力函数。将代入0，得

4d4f1d4f2x3d4fd2fx42x20

6dy4dydy4dy要使上式在任意的x处都成立，必须

d4f320f(y)AyByCyD;4dyd4f1d2fA5B420f(y)yyGy3Hy2Iy;

142dydy106d4f20f2(y)Ey3Fy24dy代入即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得应力函数为：x3Ay5By432(AyByCyD)x(Gy3Hy2Iy)(Ey3Fy2)

6106（4）由应力函数求应力分量，将代入公式（2-24），注意体力fx1g,fy0，求得应力分量表达式

2Bx2fxxx3Ayx2Ay32By26Cy2Hy3

6Ey2F1gx2y2fyyxAy3By2CyDx2x22B3Axy3Ay22ByCy4y3Gy22HyIxy232

（5）考察边界条件

在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件

yyb/2yyb/2b3b2b2gxxABCD2gx428b3b2b0 xABCD0842b4x23b2b33b20 ABbCABGmHbI02412432

xyyb/2

由上式得到

3b2ABbC0

4b4b33b2ABGmHbI0

32124求解各系数，得

A231g,B0,Cg,D2g,H0

22b32b2b3b2I2gG (a)

164在次要边界x0上，列出三个积分的应力边界条件

b/2b/2xx0dy0  F0xx0b/2b/2b/2

ydy0  E0bb2b/2xyx0dy0  I802g4G (b)

由式(a)、(b)解出

Ib12g,G2g

8010b将各系数代入应力分量的表达式，得

22g33g42g3x3xy2xy3xy1gxb5bb2y33y1

y2gx32b2b2y33y3b23yxy2gx22gy3b4bb10b80y

【3-16】试分析简支梁受均布荷载时，平截面假设是否成立？

【解答】弹性力学解答和材料力学解答的差别是由于各自的解法不同。简言之，弹性力学的解法是严格考虑区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方程。以及在边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答较精确。而在材料力学的解法中，没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似的解答。例如，材料力学引用了平面截面假设而简化了几何关系，但这个假设对于一般的梁是近似的。所以，严格地说，平截面假设不成立。

【3-17】试证明刚体位移u0,v0和0实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量，并应用§3-3的解答加以验证（注：微分体的转动分量1vu）

2xy【解答】为了区分原点的转动分量与任意点处的转动分量，定义原点的转动分量为0，任意点处的转动分量为。

由§3-3可知，任意点处的平动分量为：

Muxy0yu0EI

vMy2Mx2xv002EI2EI则任意点处的转动分量为

MM11Mx0x0

x0EIEI2xy2EI因此，原点的平动和转动分量，即x=y=0时

uu0,vv0,0

得证。

2024年3月6日发(作者：矫婉容)

【3-3】如果某一应力边界问题中有m个主要边界和n个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？

【3-4】试考察应力函数ay在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?

【解答】⑴相容条件:

不论系数a取何值，应力函数ay总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得

33Oxhyl图3-8x6ay,y0,xyyx0

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.

左右边界上；

当a>0时，考察x分布情况，注意到xy0，故y向无面力

左端:fx(x)x06ay

0yh

fyxyx00

右端:fxxxl6ay

(0yh)

fy(xy)xl0

应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

xfxy偏心距e：

因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。

eePP(x)Appe20eh/6

bhbh/6同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。

【解答】（1）由应力函数axy，得应力分量表达式

2h/2h/2xyl图3-9(l?h)x0,y2ay,xyyx2ax

(lxmyx)sfx(s)考察边界条件，由公式（2-15）

(mylxy)sfy(s)h①主要边界，上边界y上，面力为

2hhfx(y)2ax

fy(y)ah

22h②主要边界，下边界y，面力为

2hhfx(y)2ax,

fy(y)ah

③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为

x向主矢：Fxy向主矢：Fy主矩：Mh/2h/2h/2(x)x0dy0

(xy)x0dy0

h/2h/2h/2(x)x0ydy0

yxahxyOx次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为

x向主矢：Fxy向主矢：Fy主矩：Mh/2h/2h/2(x)xldy0

(xy)xldyh/2h/2h/2(2al)dy2alh

yah2alh/2h/2(x)xlydy0

2al弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示

⑵bxy

将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

2x2bx，y0，xyyx2by

考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得

在yhhh主要边界，上边界上，面力为fxybh,fyy0

222在yhhh，下边界上，面力为fxybh,fyy0

222在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：

在左边界x=0，面力分布为fxx00,fyx02by

面力的主矢、主矩为

x向主矢：Fxh2h2h2h2xx0dy0

h2h2y向主矢：Fy主矩；Mh/2xyx0dy2byx0dy0

h/2(x)x0ydy0

在右边界x=l上，面力分布为

fxxl2bl,fyxl2by

面力的主矢、主矩为

x向主矢：Fxy向主矢：Fy'主矩：M'h/2h/2h/2h/2xxldyh/2h/2h/22bldy2blh

xyxldyh/22bydy0

h/2h/2xxlydyahOh/2h/22blydy0

弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示

2alahxxy（3）cxy

3yxy

将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x6cxy,y0,xyyx3cy2

考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15）

①上边界y上，面力为

h2h3hfxych2,fyy0

242② 下边界y=h上，面力为

2h3hfxych2,fyy0

242次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：

③左边界x=0上，面力分布为

fxx00,fyx03cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：Fxy向主矢：Fy主矩：Mh/2-h/2h/2h/2h/2xx0dy0

h/2xyx0dy1323cydy4chh/2h/2xx0ydy0④右边界xl上，面力分布为

fxxl6cly,fyxl3cy2

面力的主矢、主矩为

x向主矢Fxh/2h/2xxldyh/2h/26clydy0

y向主矢：Fy主矩：Mh/2h/2h/2yxldyh/2xxl1323cydych

h/24h/21ydy6cly2dyclh3

h/22h/2弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

Oh/2h/2xyl图3-9(l?h)44422240，显然满足

4xxyy（2）将代入式（2-24），得应力分量表达式

3F4y212Fxy(12)

x,y0,xyyx32hhh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：

①在主要边界上（上下边界）上，yh，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力2yyh/20,yxyh/20

因此，在主要边界yhhh上，无任何面力，即fxy0,fyy0

222②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：

3F4y2x0:fx0,fy1-2

2hh

xl:fx12Flyh33F4y2,fy12

2hh因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l上

x向主矢：FN1=y向主矢：FS1=主矩：M1=h/2-h/2h/2h/2h/2fxdy0, FN2fydyF, FS2h/2h/2h/2fxdy0fydyFfxydyFl

h/2h/2h/2fxydy0, M2h/2因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：

(a) (b)

因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。

【解答】(1)将应力函数代入式（2-25）

h/2h/2xOyl图3-9(l?h)4424qy0，43，4yhx412qy24qy2222

xyh3h3代入（2-25），可知应力函数满足相容方程。

（2）将代入公式（2-24），求应力分量表达式:

26qx2y4qy33qyx2fxx33

yhh5h2q4y33yy2fyy(31)

x2hhxyyx26qxh23(y2)

xyh4(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：

①在主要边界yh（上面），应精确满足应力边界条件（2-15）

2hhfxyyx0,fyyyqyh/2yh/222h在主要边界y下面，也应该满足2152

FNFSMh/2h/2h/23qy4qy3fxdy3dy0h/25hhh/2h/2h/2fydy03qy4qy3fxydy3ydy0h/25hhh/2

h/2④在次要边界xl上，分布面力为

fxxlxxl6ql2y4qy33qy33

hh5hfyxlxyxl6qlh23y2

h4应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

qqqloyx12ql2

(a) (b)

因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q的问题。

【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。

【解答】采用半逆法求解。

由材料力学解答假设应力分量的函数形式。

(1)假定应力分量的函数形式。

(2)推求应力函数的形式

将x0，体力fx0,fyg，代入公式（2-24）有

2x2fxx0

y对y积分，得

fx （a）

yyfxf1x （b）

其中fx,f1x都是x的待定函数。

（3）由相容方程求解应力函数。

将（b）式代入相容方程（2-25），得

d4fxd4f1xy0 （c）

d4fxd4f1x0,0

dx4dx两个方程要求

fxAx3Bx2Cx,f1xDx3Ex2 （d）

yAx3Bx2CxDx3Ex2 （e）

（4）由应力函数求应力分量

2x2fxx0 （f）

y2y2fyy6Axy2By6Dx2Egy (g)

xxy23Ax22BxC (h)

xy

(5)考察边界条件

利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。

主要边界x0上（左）：

xx00,(xy)x00

将（f），（h）代入

xx00，自然满足

(xy)x0C0

主要边界xb上，

xxb0，自然满足

(xy)xbq，将（h）式代入，得

(xy)xb3Ab22BbCq

在次要边界y0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

bb0(y)y0dx06Dx2Edx3Db22Eb0

b0(b2y)y0xdx06Dx2Exdx2Db3Eb0

b0(byx)y0dx03Ax22BxCdxAb3Bb2Cb0由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得

Aqb2, Bqb, CDE0

代入公式（g），(h)得应力分量

qxb13xx0,

y2bgy,

q3xybxbx2

（i）（j）k）（l）m）

（

【3-9】图3-11所示的墙，高度为h，宽度为b，h?b，在两侧面上受到均布剪力q的作用，试应用应力函数oqb/2b/2xAxyBxy求解应力分量。

【解答】按半逆解法求解。

⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。

3qhy(h?b)⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有

图3-112y0，22x2yx26Bxy，xyyxxyA3Bx2

⑶考察边界条件：

在主要边界xb2上，精确满足公式（2-15）

xxb/20,(xy)xb/2q

第一式自然满足，第二式为

A34Bb2q

②在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)

xxb/20,xyxb/2q

第一式自然满足，第二式为

A34Bb2q

③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:

b/2b/2yy0dx0 满足

b/2b/2yy0xdx0 满足

3b/2dxb/2b/2yxy0b/2A3Bx2dxAb14Bb0

联立（a）（c）得系数

Aq2,B2qb2

代入应力分量表达式，得

12qqx2x0,yb2xy,xy2112b2

(a)

(b)

（c）

【3-10】设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l?h（图3-12），试用应力函数AxyByCyDxy求解应力分量。

【解答】采用半逆解法求解

（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足

（2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)

2332B6By6Dxyx0y (a)

2A3Dyyxxy(3)考察边界条件

①主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件

yyh/20，满足

xyyh/20, 得ADh20 （b）

②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件

34FN

2hh/2h/22M

ydyM2B6CyydyMC3h/2xx0h/2hh/2h/2132dyFA3DydyFAhDhFs （c）

ssh/2xyx0h/24h/2xx0dyFNh/22B6CydyFNBh/2h/2联立方程（b）（c）得

A3Fs2F,D3s

2hh最后一个次要边界xl上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。

将系数A、B、C、D代入公式（a），得应力分量

xFN12My12Fsxyhh3h3

y023FS14y2xy2hh【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的

密度为，试用纯三次式的应力函数求解。

【解答】采用半逆解法求解

(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）

设应力函数=AxBxyCxyDy，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）

(2) 由式（2-24）求应力分量

由体力分量fx0,fyg，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：

32232x2fxx2Cx6Dy （a）

y2y2fyy6Ax2Bygy （b）

yxy22Bx2Cy （c）

xy（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。

①对于主要边界y0，其应力边界条件为：

(y)y00将式（d）代入式（b），（c），可得

，(yx)y00 （d）

A0，B=0 （e）

②对于主要边界yxtan（斜面上），应力边界条件：

在斜面上没有面力作用，即fxfy0，该斜面外法线方向余弦为，lsin，mcos.由公式（2-15），得应力边界条件

sin(x)yxtancos(yx)yxtan0 （f）

sin(xy)yxtancos(y)yxtan0将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得

Cg2cot,Dg3cot2 （g）

将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：

xgxcot2gycot2

ygyxygycot【分析】本题题目已经给定应力函数的函数形式，事实上，也可通过量纲分析法确定应

力函数的形式。

【3-12】设图3-5中简支梁只受重力作用，而梁的密度为，试用§3-4中的应力函数（e）求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。

【分析】与§3-4节例题相比，本题多了体力分量fx0,fyg。去除了上边界的面力。依据§3-4，应力分量的函数形式是由材料力学解答假设的。

【解答】按半逆解法求解。

（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为ABx2(Ay3By2CyD)x(Ey3Fy2Gy)y5y4Hy3Ky2，由§3-4可2106

知，必然满足相容方程（2-25）。

（2）应力分量的表达式：

x2x(6Ay2B)x(6Ey2F)2Ay32By26Hy2K （a）

2yAy3By2CyDgy （b）

xyx(3Ay22ByC)(3Ey22FyG) （c）

【注】y项多了-gy

（3）考虑对称性

因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样x和y是x的

偶函数，而xy是x的奇函数，于是由式（a）和式（c）可见

EFG0 （d）

（4）考察边界条件：

①在主要边界yh2上，应精确满足应力边界条件（2-15），

(y)yh20,(yx)yh20

将应力分量式（b）、（c）代入，并注意到EFG0，可得：

h3h2hgABCDh084223h2hghABCDh08422

32x(AhhBC)043x(Ah2hBC)04联立此四个方程，得：

A2g3,B0,Cg,D0 （e）

h22将式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c）

x6g24g3xyy6Hy2K （f）

22hh2ggy2y3y （g）

h26g3gxy2xy2x （h）

h2②考察次要边界条件

将（f）式代入式（i）得

h/2h/2h/2h/2(x)xldy0 （i）

(x)xlydy0 （j）

h/24g36g2xyy6Hy2Kdy0

22h/2hh积分后得 K=0 （k）

将式（f）代入式（i），得

4g36g2lyy6Hy2Kydy0

2h/2h2hh/2积分后得

l21Hg(2) （l）

h10将（k）、（l）代入式（f），得

6g24g3l21x2xy2y6g(2)y （m）

hhh10考察右边界上切应力分量xy的边界条件：

右边界上fyglh，则xy的主矢为

h/2h/2xyxldy6g23gxyh/2h22h/2xdyglhfy

xl可知满足应力边界条件。

将式（g），（h），（m）略加整理，得应力分量的最后解答：

6g24g3l21Xh2xyh2y6g(h210)y2g3g (n)

yy2yh26g23gxyxxy2h2（5）应力分量及应力分布图

h3h2y2梁截面的宽度取为1个单位，则惯性矩I，静矩是S。

1282根据材料力学截面法可求得截面的内力，可知梁横截面上的弯矩方程和剪力方程分别为l2x2Mxgh,Fsxghx

2则式（n）可写成：

Mx4y23ygy(2)xIh5gy2

【解答】用半逆解法求解。

（1）相容条件：

将应力函数代入相容方程式（2-25），得

523322120Ay24By0

要使满足相容方程，应使

1AB （a）

5（2）求应力分量，代入式（2-24）

x20Ay36Bx2y6Cy20Ay330Ax2y6Cy33 （b）

y2By2D2Ey10Ay2D2Ey226Bxy2Ex30Axy2Exxy（3）考察边界条件

①在主要边界yh2上，应精确到满足应力边界条件

103Ah2DEh0 （c）

810(y)yh2q,即Ah32DEhq （d）

830(yx)yh20,即Axh22Ex0 （e）

4(y)yh20,即-联立式（a）、（c）、（d）、（e），可得：

Aqq3qq （f）

,D,E,B5h344hh3 ②在次要边界x0上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

h/2h/2h/2(x)x0dy0 满足条件

h/23Ah53()ydy(20Ay6Cy)ydy0Ch0 （g）

h/2xx0h/22h/2h/2(xy)x0dy0 满足

将A的值带入（g），得

C=q10h

将各系数代入应力分量表达式（b），得

y(4y23x2xqhh256h2)qyy3y(1342hh3)

【解答】采用半逆解法求解。

(1) 相容条件：

将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。

(2) 求应力分量：将代入（2-24）

x2A6Cxy6Dyy0

xyB3Cy2(3) 考察边界条件。

①在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件

yyb/20 满足

（h）

（a）

xyyb/23q,BCb2q （b）

42b/2b/2②在次要边界x=0上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件

b/2b/2(x)x0dyF

(2Ay3Dy)F （c）

123()ydyM

Ay2DyM （d）

xx0b/22b/2b/2b/2b/2xyb/2xodyF

ByCy3b/2b/2F （e）

联立（b）、（c）、（d）、（e）式得

A13F2FF2MCq，Bq，，（f）

D232bbb2bb将各系数据（f）代入式（a），得应力分量解答

F12F12Mx2qxy3ybbbb

【3-15】挡水墙的密度为1，厚度为b(图3-16)，水的密度为2，试求应力分量。

【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在yb/2边界上，y0；yb/2边界上，y2gx，所以可以假设在区域内y为

yxfy

（2）推求应力函数的形式。由y推求的形式

2y2xfyx

x2fyf1y

x2

x3fyxf1yf2y

6（3）由相容方程求应力函数。将代入0，得

4d4f1d4f2x3d4fd2fx42x20

6dy4dydy4dy要使上式在任意的x处都成立，必须

d4f320f(y)AyByCyD;4dyd4f1d2fA5B420f(y)yyGy3Hy2Iy;

6106（4）由应力函数求应力分量，将代入公式（2-24），注意体力fx1g,fy0，求得应力分量表达式

2Bx2fxxx3Ayx2Ay32By26Cy2Hy3

6Ey2F1gx2y2fyyxAy3By2CyDx2x22B3Axy3Ay22ByCy4y3Gy22HyIxy232

（5）考察边界条件

在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件

xyyb/2

由上式得到

3b2ABbC0

4b4b33b2ABGmHbI0

32124求解各系数，得

A231g,B0,Cg,D2g,H0

22b32b2b3b2I2gG (a)

164在次要边界x0上，列出三个积分的应力边界条件

b/2b/2xx0dy0  F0xx0b/2b/2b/2

ydy0  E0bb2b/2xyx0dy0  I802g4G (b)

由式(a)、(b)解出

Ib12g,G2g

8010b将各系数代入应力分量的表达式，得

22g33g42g3x3xy2xy3xy1gxb5bb2y33y1

y2gx32b2b2y33y3b23yxy2gx22gy3b4bb10b80y

【3-16】试分析简支梁受均布荷载时，平截面假设是否成立？

2xy【解答】为了区分原点的转动分量与任意点处的转动分量，定义原点的转动分量为0，任意点处的转动分量为。

由§3-3可知，任意点处的平动分量为：

Muxy0yu0EI

vMy2Mx2xv002EI2EI则任意点处的转动分量为

MM11Mx0x0

x0EIEI2xy2EI因此，原点的平动和转动分量，即x=y=0时

uu0,vv0,0

得证。

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