2024年3月7日发(作者：位书南)

S .. . ..

一、 单项选择题

1.

limxx1x=（ ）

A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在

2．设函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数f(x2)的定义域为（ ）

A.[0，2] B.[0，16]

C.[-16，16] D.[-2，2]

3．设yf(x0x)f(x0),且函数f(x)在xx0处可导，则必有（ ）

A．limx0y0 B．y0

C．dy0 D．ydy

4．设f(x)为可微函数，且n为自然数，则nlimf(x)f(x1n)=（ ）

A. 0 B.f(x) C. -f(x) D.不存在

5．要使无穷级aqn（a为常数，a≠0）收敛，则q=（ ）

n0A.0.5 B.1

C.1.5 D.2

x6．设f(x)是连续函数，且f(0)=1，则lim0tf(t)dtx0x2（ ）

A. 0 B.

12 C. 1 D. 2

7．函数f(x)2x3x1x1在x=1处的导数为（ ）

3xA. 1 B. 2 C. 3 D.不存在

8．函数y=x2-ln(1+x2)的极小值为（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

9．已知某商品的产量为x时，边际成本为ex(4x100)，则使成本最小的产量是（

A. 23 B. 24 C. 25 D. 26

10．下列反常积分收敛的是（ ）

A.11x2dx B.11xdx

C.1 lnx dx D.lnx1xdx

1.A 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D 9.B 10.A

. . . 资 料. .

）

S .. . ..

11. 极限limtan2x（ ）

x06x11A．0 B． C． D．3

3212．下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ ）

A.(-1，1111) B.(-,5) C.(0,) D.(,+)

555513．函数f(x)=lnx- ln(x-1)的定义域是（ ）

A．(-1,+∞) B．(0,+∞) C．(1,+∞) D．(0,1)

14．设函数g (x)在x = a连续而f (x) = (x-a)g(x),则f'(a) =（ ）

A. ０ B.

g(a) C. f (a) D. g (a)

15．x=0是函数f(x)=ex2x的（ ）

D．非极值点 A．零点 B．驻点 C．极值点

16．设函数f

(x)定义在开区间Ｉ上，x0I,且点(x0, f

(x0) )是曲线y= f (x)的拐点,则必有（ ）

A. 在点(x0,f

(x0))两侧,曲线y=f (x)均为凹弧或均为凸弧.

B. 当xx0时,曲线y=f (x)是凸弧(或凹弧).

C. xx0时,f(x)>f(x0).

D. xf(x0) 而x>x0时,f(x)

17．设f(x)=arccos(x2)，则f＇(x)=（ ）

A．11x2 B．2x1x2 C．11x4 D．2x1x4

18．设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P2,则当P = 5时的需求价格弹性为（ ）

A.0.25 B.-0.25 C.100 D.-100

19．无穷限积分0xe-xdx =（ ）

1

2D.A. -1 B. 1 C. -1

2xdxydy020．初值问题的隐式特解为（ ）

y|3x2A．x2+y2=13 B．x2+y2=6

C．x2-y2=-5 D．x2-y2=10

11.B 12.C 13.C 14.D 15.D 16.B 17.D 18.A 1 9.B 20.A

. . . 资 料. .

S .. . ..

21. 设0asinx，则lim（ ）

xax2D.A.0 B.1 C.不存在

sina

a22．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（ ）

A．[a,3a] B．[a,2a] C．[-a,4a] D．[0,2a]

x2sin23．limx0sinx1x（ ）

D．0 A．1 B． C．不存在

24．函数y=1-cosx的值域是（ ）

A.[-1,1] B.[0,1] C.[0,2]

25．下列各式中，正确的是（ ）

D.(-∞,+∞)

(1)xe

x(1)xe

xx26．(1x01x)xe

(1)xe1

xx0xcos2tdtxx0（ ）

D． A．0 B．1 C．-1

27．下列广义积分中，发散的是（ ）

dxdxexdx D.A. B. C.21111xxdxx(lnx)21

28．设D=D（p）是市场对某一商品的需求函数，其中p是商品价格，D是市场需求量，则需求价格弹性是（ ）

A．DDppD'(p) B．D'(p) C．p'(D) D．p'(D)

ppDD29．x2y22dxdy（ ）

A．π B．4 C．2π D．2

130．已知边际成本为100，且固定成本为50，则成本函数是（ ）

xA.100x+2x B.100x+2x+50 C.100+2x D.100+2x+50

21.D 22.B 23.D 24.C 25.D 26.C 27.A 28.B 2 9.C 30.B

. . . 资 料. .

S .. . ..

x11,x031. 设f(x),则x=0是f(x)的（ ）

x0,x0A．可去间断点 B．跳跃间断点 C．无穷间断点 D．连续点

3sinmx2，则m= （ ）

x02x32349A． B． C． D．

329432．如果lim33．已知某商品的成本函数为C(Q)2Q30Q500，则当产量Q=100时的边际成本为

（ ）

A．5 B．3 C．3.5 D．1.5

34．在区间(-1,0)内，下列函数中单调增加的是（ ）

A．y4x1 B．y5x3 C．yx21 D．y|x|2

35．函数f(x)在点x=x0处连续是f(x)在x=x0处可导的（ ）

A．必要条件

B．充分条件

D．既非充分条件又非必要条件 C．充分必要条件

36．设函数y=f(x)在点x0的邻域V(x0)内可导，如果x∈V(x0)有f(x)≥f(x0)，则有（ ）

A．f'(x)f'(x0) B．f'(x)f(x0)

C．f'(x0)0 D．f'(x0)0

37．微分方程exy10的通解是（ ）

A．

yexC B．yexC C．yexC D．yeC

38．无穷限积分x0xexdx（ ）

2A．1 B．0 C．1

2 D．1

239．下列广义积分中，收敛的是（ ）

1dxdx1dxdxA． B． C． D．

01xe01xex1x140．函数y=ln(311)的定义域是（ ）

xA．(,0)(0,) B．(,0)(1,) C．(0,1] D．(0,1)

31.A 32.C 33.C 34.B 35.A 36.C 37.B 38.D 39.C 40.D

41.

函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ ）

. . . 资 料. .

S .. . ..

A. (-1,1) B. [-1,1] C. [-1,0] D.[0,1]

42. 设f(t)=t2+1，则f(t2+1)=（ ）

A. t2+1 B. t4+2 C. t4+t2+1 D. t4+2t2+2

43．函数y=2+ln(x+3)的反函数是（ ）

A．y=ex+3-2 B．y=ex+3+2 C．y=ex-2-3 D．y=ex-2+3

44．函数f(x)xsin1在点x=0处（ ）

xA．有定义但无极限 B．有定义且有极限 C．既无定义又无极限 D．无定义但有极限

45．设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y=（ ）

A.

f(x) B.

f(x) C. -f(x) D.-f(x)

46．设函数f(x)可导，且limA．0 B．Δx0f(x04Δx)f(x0)1，则f(x0)( )

ΔxD．4

1 C．1

447．设I=2xsinx2dx，则I=( )

A.-cosx2

2

C.-cosx2

48．数列0，2+C

1234，，，，…的极限是（ ）

3456n2A. 0 B. C. 1 D. 不存在

nexdx（ ） 49．广义积分1e2xA.

 B. C.

42D.0

50．若cos2x是g(x)的一个原函数，则（ ）

A．g(x)dxcos2xC

B．cos2xdxg(x)C

D．(cos2x)dxg(x)C

C．g(x)dxcos2xC



41.D 42.D 43.C 44.D 45.D 46.B 47.C 48.C 49.B 50.A

351. 极限lim(1)x=（ ）

xxA.e-3

B.e-2

C.e-1 D.e3

52．函数y=ln(1x21x2)的定义域是（ ）

. . . 资 料. .

S .. . ..

A．|x|≤1 B．|x|<1

C．0<|x|≤1 D．0<|x|<1

53．若f(x)为奇函数,且对任意实数x恒有f(x+3)-f(x-1)=0,则f(2)=（ ）

A. -1 B.0 C.1 D.2

54．设△y=f(x0+△x)-f(x0)且函数f(x)在x=x0处可导，则必有（ ）

A．limx0△y=0 B．△y=0

C．dy=0 D．△y=dy

55．若曲线y=f(x)在x=x0处有切线,则导数f＇(x0)（ ）

A.等于0 B.存在

C.不存在 D.不一定存在

56．设函数y=(sinx4)2,则导数dydx=（ ）

A. 4x3cos(2x4) B. 4x3sin(2x4)

C. 2x3cos(2x4) D. 2x3sin(2x4)

57．limx0x2sin1x2=（ ）

A．0 B．1 C．-1 D．不存在

58．若f＇(x2)=1x(x>0),则f(x)=（ ）

A. 2x+C B.

1x+C

C. 2x+C D.

x2+C

59．设xf(x)dxex2C,则f(x)=（ ）

A．xex2 B．-xex2

C．2ex2 D．-2ex2

60．设产品的利润函数为L（x）,则生产xo个单位时的边际利润为（ ）

A．L(x0)dL(x)x B．dL(x)dx C．dx D．ddx(L(x)dx)

0xx051.A 52.C 53.B 54.A 55.D 56.B 57.A 58.C 59.D 60.C

61. 函数f(x)=x33-x的极大值点为（ ）

A.

x=-3 B.

x=-1 C. x=1 D. x=3

62．设f(x)x2,(x)2x，则f[(x)]（ ）

. . . 资 料. .

S .. . ..

A.2x

2B.x2

2sinx2x C.x2x D.22x

63．函数f(x)=1xA.奇函数 B.偶函数 C.有界函数

是（ ）

D.周期函数

64．设函数y=2x2，已知其在点x0处自变量增量x0.3时，对应函数增量y的线性主部为-0.6，则x0=（ ）

A. 0 B. 1 C. -0.5

65．设函数f(x)在点a可导，且limA.

D. -4

f(a5h)f(a5h)1，则f(a)（ ）

h02h D.

1 B. 5 C. 2

566．下列反常积分收敛的是（ ）

A.1

2dxx1 B.1dx

xC.1dx

1xxexdx

x2exdx

D.1dx

21x67．下列无穷限积分中，发散的是（ ）

A.C.1

B.D.1dx

exlnxdxexlnx2

68．设f(x)=2x,则f″(x)=（ ）

A. 2x·ln22

C. 2x·2

B. 2x·ln4

D. 2x·4

69．设某商品的需求函数为Q=a-bp，其中p表示商品价格，Q为需求量，a、b为正常数，则需求量对价格的弹性A.

C.

b

abpbp

abpEQ（ ）

EP

B.

D.

b

abpbp

abp

70．正弦曲线的一段y=sin

x(0xπ)与x轴所围平面图形的面积为（ ）

A. 1 B.2 C.3

71.

设函数yf(x)的定义域为(1，2)，则f(ax)

a0的定义域是( )

D.4

61.B 62.D 63.C 64.C 65.A 66.D 67.B 68.A 69.D 70.B

. . . 资 料. .

S .. . ..

212aaaf(xx)f(x)72. 设f(x)=ln4,则lim（ ）

x0xA．4 B．A.

(,) B.

(,)

C.

(a,2a) D.

(,a)

12aa1 C．0 D．

473．设f(x)x|x|，则f'(0) ( )

A. 1 B. -1 C. 0

2 D. 不存在

74．设函数f(x1)xx,则f(x)=（ ）

A．x(x1) B．x(x1) C．(x1)(x2)

75．下列极限中不能应用洛必达法则的是( )

D．(x1)(x2)

A.

limlnxcos2xlnx B.

lim

C.

lim

xxxx1x1x153(16) D.

limexlnx

x76．设f(x)x3xx1,则f(1)（ ）

A．16! B．15! C．14! D．0

77．设f (x)是连续函数，且x0f(t)dtxcosx，则f (x)=( )

A.

cosxxsinx B.

cosxxsinx

C.

sinxxcosx D.

sinxxcosx

78．(2x1)100dx（ ）

A.11(2x1)101C B.(2x1)101C

10120299C.100(2x1)C D.200(2x1)99C

79．设某商品的需求函数为Q=a-bp，其中p表示商品价格，Q为需求量，a、b为正常EQ（ ）

EPbpbbA. B.

C.



abpabpabp数，则需求量对价格的弹性D.

bp

abp80．已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（ ）

A．302x B．30x C．30x2x D．30xx

71.B 72.C 73.C 74.B 75.B 76.D 77.A 78.B 79.D 80.D

二、 填空题

2222ln(1n)= _______。

nlnn12．lim(xa)sin= _______。

xaax1．lim. . . 资 料. .

S .. . ..

3．设f(x)x，则f(f(x)) _____________。

1xx4．曲线ye在点（0，1）处的切线方程是 。

5．设f(0)1，则limx0f(3t)f(t)= 。

2t6．设函数yxklnx在[1，e]上满足罗尔定理的条件，则k=_______。

7．设z(1x),则8．1212xyz_________________。

y21x2dx___________。

9．曲线yln3x的竖直渐近线为_______________。

10．微分方程xy'ylny0的通解是______________。

1. 1 2.0

3.

5. 2 6. 1-e

7.

x(1x) 8.

xyx 4.

yx1

12x2

3cx9.

x=0 10.

ye

11．limarctanx_______。

nxn111112．无穷级数1的和为_________。

248213．设y=cos1x2，则y=_____。

14．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______。

x215．dx 。

61x16．曲线y=xe-x的拐点是________。

g217．已知某产品的产量为g时，总成本是C(g)=9+，则生产100件产品时的边际成本800MC|g=100=________。

18．微分方程y〃+x(y＇)3+sin

y=0的阶数为_________。

1x2,|x|119．设f(x)=,则f(1)=_____。

|x|10,. . . 资 料. .

S .. . ..

20．微分方程（xlnx）y=y的通解是________________。

11. 0 12.

13.

15.

2

3x1xcos1x21x2 14.

ye2

1arctanx3C 16.

(2,2e2)

317. 0.25 18. 2

19. -2 20.

yClnx

21．函数f(x)5的定义域是 。

ln(x2)22．limn3n26n5 ___________。

3n223．limn0xlnx ___________。

324．函数f(x)xx的单调增加区间为 。

25．若f(x)的一个原函数为lnx,则f(x) 。

26．设直线l与x轴平行，且与曲线y=x-lnx相切，则切点是___________。

27．已知某工厂生产x个单位产品的总成本函数C(x)=1100+产品时的边际成本是___________。

28．12x，则生产900个单位1200x1x2dx ___________。

29．微分方程y=2x(1+y)的通解是___________。

2z30．设z=2x+3xy-y,则=___________。

xy2221. (2,3)∪(3,+∞) 22.

3

323. 0 24. (-∞,+∞)

25.

1 26.

(1,1)

x2. . . 资 料. .

S .. . ..

27.

3 28.

1x2C

2229.

ycex1 30. 3

(xh)3x331．极限lim=______________。

h03h32．函数y =33．极限lim1x的定义域是________________。

1xx01cos2x=__________。

2x34．抛物线y = x2上点(2,4)处的切线方程是___________。

35．已知某商品的成本函数为C(q )=20 -10q+q2(万元),则q =15 时的边际成本为_________。

36．设z = arctan (xy),则37．不定积分38．定积分1z=_______________。

xdx____________。

x(1x)3dxxx31=_______________。

39．0dxx212xxydy =_______________。

240．微分方程2xydx

1xdy = 0的通解是_______________。

31.

x 32. [-1,1)

33. 2 34.

4xy4

35. 20(万元) 36.

2y

221xy37.

lnxC 38.

1x611x2139. 40.

ye212

41．limn[ln (n+2)-ln

n]=_______________。

n42．设f(x)1x0，g(x)=x2+1,则f[g(x)]=_______________。

1x0. . . 资 料. .

S .. . ..

43．函数f(x)44．limarctanxx12kx0x1在x=1处连续，则k=_______________。

xee1x2x=_______________。

45．曲线ylnx的水平渐近线为_______________。

x46．设函数y=ln sin

x,则y″=_______________。

47．设函数y=x2e-x,则其弹性函数48．设z=e2x23yEy=_______________。

Ex2z,则=_______________。

xydx2x249．不定积分=_______________。

50．微分方程（1+x2）dy-(1+y2)dx=0的通解是_______________。

41. 2 42. 1

43. 1 44. 0

45.

x0 46.

csc2x

x2ex(2x)2x23y47. 48.

12xe

y49.

arcsinxC 50.

arctanyarctanxC

22x51．极限lim(12x)x0=________________。

52．设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________。

1间断点的个数为_______________。

32xxxdx54．不定积分=__________________。

2x353．函数f(x)=55．函数f(x)在点x0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x0可导的___________条件。

56．设f(x)连续且x0f(t)dtx2cos2x，则f(x)=________________。

57．函数y=lnx在[1，2]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是___________。

58．微分方程xdy-ydx=2dy的通解为____________________。

59．曲线y=x+ln

x在点（1，1）处的切线方程为________________。

2z60．设z=xe,则=______________________。

xyxy. . . 资 料. .

S .. . ..

51.

e 52. [-1,1]

53. 1 54.

1ln|2x3|C

2455. 充要 56.

2xsin2x

57.

1 58.

yC(x2)

ln2xy259.

y2x1 60.

e(2xxy)

(1n)3____________。 61．lim3xn5n21siny2z则__________。

62．设z=xy63．若f(x+1)=x+cosx则f(1)=__________。

64．曲线y=x3-5x2+3x+5的拐点是__________。

65．若f(x)在x=x0处可导，且lim66．曲线yx2x12h0f(x0)f(x05h)3,则f'(x0)__________。

h的水平渐近线为___________。

67．lnxdx__________。

68．69．13dx__________。

x2x1|2x|dx__________。

70．微分方程exy10的通解是______________。

2ycosy2

x52063. 1 64.

(,)

327365.

 66.

y1

567.

xlnxxC 68.

ln2

61. -1 62.

69. 5 70.

yeC

x

71．微分方程xy'yx3的通解是y=______________。

x3x2ax472．已知极限lim存在且有限，则a=______________。

x1x173．设f(x)x2,g(x)2x,则f[g(x)]______________。

. . . 资 料. .

S .. . ..

ex74．不定积分dx______________。

1ex75．设y=x2ex，则y(0)= 。

76．极限limx02xsinx=______________。

x377．设zxln(xy)，则z"xy______________。

78．设某商品的供给函数为S(p)0.53p，则供给价格弹性函数1,0x179．设f(x)=，则2,1x2ES

______________。Epf(x)dx 。

0280．dy01y3yxdx______________。

71.

13xcx 72. 4

2x73.

4 74.

ln(1ex)C

75. 2 76.

77.

1

6y6p 78.

6p1(xy)279. 3 80. 6

三、 计算题（每小题 5分，共 40分）

x01. 求极限limxxcosx

xsinx1cosxxsinx

1cosx解：原式limx0

3

limx02sinxxcosx

sinxlimx02cosxcosxxsinxcosx2. 设y'解：ytanx,求y

xx4(tanx)'xtanx(x)'

x2xsec2xtanx

x2. . . 资 料. .

S .. . ..

y'|48(2)2

3. 求曲线y=x-2arctan

x的凹凸区间

解：y'12

21x

y//4x(1x2)2

令y''0 得

x0

x

(,0)

0

(0,)

y''

-

+

y





(,0)为凸区间，(0,)为凹区间。

4. 计算定积分1dx09x26x1

解： 原式110(13x)2dx

11130(13x)2d(13x)

113[13x]10dx

14

5. 已知函数f(x)满足f(x)xdxexC，求f(x)dx

解：[f(x)xdx]'(exC)

得：

f(x)xex

f(x)dxxexdx

. . . 资 料. .

S .. . ..

xxde



xexexdx

xexexC

zz,

xy6. 方程xyz-ln(xyz)=1确定了隐函数z=z(x,y),求解：设F(x,y,z)xyzln(xyz)1

Fx(x,y,z)yz111，Fy(x,y,z)xz，Fz(x,y,z)xy

yzxFxzz所以：

xFzxFyzz

yFzy7. 计算定积分I=1xln(x1)dx

01解：

x2Iln(x1)d02

21x1x2ln(x1)|d(ln(x1))

0022

11121ln2xdx

022x11111ln2(x1)dx

022x111112ln2[xxln(x1)]

022214

8. 计算二重积分I=解：Idx12xD2yeydxdy，其中D是由y=x,x=1,x=2及x轴所围成的闭区域.

20yeydy

. . . 资 料. .

S .. . ..

21xy2e]0dx

1[212x(e1)dx

2121xex[]1

2

12(e2e1)

9. 求极限limexex2x01cosx

解：原式=exexlim

x0sinx=limexex

x0cosx

=2

10. 求a的值，使得函数f(x)=sin3(x1)x1x1在x=1处连续

ax1解：f(1)a

limsin3(x1)=3

x1x1a3

11. 计算定积分I=230( sinx-sinx)dx

解：I20sinx(1sin2x)dx



20sinxcos2xdx

20cos2xdcosx

12. 求曲线y=x4-6x3+12x2+4x-1的凹凸区间

解：

y4x318x224x4

y12x236x24

12(x1)(x2)

. . . 资 料.

13

.

S .. . ..

令y=0，得：x1,x2

x

(-∞,1) (1,2) (2,+∞)

y

+ _ +

y

凹 凸 凹

所以(-∞,1)，(2,+∞)为凹区间，(1,2)为凸区间。

13. 设z = z (x,y)是由方程x2-z2+lnyz=0确定的函数,求dz

解：设F(x,y,z)x2z2lnyz

F)zx(x,y,z)2x，Fy(x,y,zy1z，F(x,y,z)2z1zz

所以：zxFxF2x

z2z1z1zFyyyF

z

2z1z 所以

dz2xz2z21dxzy(2z21)dy

14. 求不定积分Ixx22dx

解：I121x22d(x22)

x22c

15. 设y = x2x,求y

解：设

ye2xlnx

ye2xlnx(2xlnx)

. . . 资 料.

.

S .. . ..

e2xlnx(2lnx2)

y(e2xlnx)(2lnx2)e2xlnx(2lnx2)

e2xlnx(2lnx2)(2lnx2)e2xlnxx2x1[12x(lnx1)2]

16. 计算二重积分I =2

xDx2d,其中D是由直线x = 2,y = x和双曲线xy = 1围城的区域。

2y2解：

Ixdx112xx1dy

2yx

211x22dx

y1x(x3x)dx

1214122xx|1

4212

417. 求极限lim(xx3x)

2x解：原式1

lim23xx(1)x1

x2[(1)2]6xlimxe6

18. 设yarcsin'解：yx132xx2,求y

21x1'1()(32xx2)'

2x122232xx1()2. . . 资 料. .

S .. . ..

11x4(x1)232xx2

x32xx2

19. 设z=f(xy),且f可微,求dz

解：设uxy，则zf(u)

zxf'(u)1y1yf'(u)

zyf'(u)xxy2y2f'(u)

故dz1yf'(u)dxxy2f'(u)dy

320. 设y=（1x31x3）求y

解：等式两端取对数得：

lny13[ln1x3ln1x3]

两端求导得12'13x3x2yy3(1x31x3)

x2x21x31x3

故y'y(x2x2

1x31x3)

31x3221x3(x1x3x1x3)

21. 计算不定积分e2x1dx

2x1t解：原式tetdt

. . . 资 料. .

S .. . ..

tettetdt

tetetC

(2x11)e22. 计算定积分xt12x1C

dx

10xx解：原式2t201tdt

11

t2112dt

01t12(t1)dt

01t1tt22[tln(1t)]|

0212(ln2)

2ln21

223. 设y=x2(lnx-1)-(1-x2)lnx,求解：

[x2dy

dxxe(lnx1)]'2xlnxx

21x2'

[(1x)lnx]2xlnxx

2xlnxx1

x1 则y2xlnxx(2xlnxx)

x'

4xlnx1

x

1y|4e

xee'. . . 资 料. .

S .. . ..

24. 设D是由x轴，y=x-4和y=2x所围成的闭区域.试求解：平面如右图

xydxdy

D原式ydyy2xdx （1分）

024y4

142y4y(xy2)dy （2分）

|2021240(y38y16yy524)dy

1164832y2(4y3y8y24)|40

96

25. 求极限exexlim2xx0x3

limexex解：原式=2

x03x2

=limexex

x06x

limexex=

x06=13

126. 计算定积分12x21x2dx

解：Isinxcosx4dx

6cosx



4sinxdx

6(cosx)|4

612(32)

. . . 资 料.

.

S .. . ..

27. 设y=2x1x2arctanx，求y

解：y'2(1x2)4x2(1x2)211x2

22x2(1x2)211x2

3x2(1x2)2

28. 设z=z(x,y)是由方程xyz=a3所确定的隐函数，求dz

解：设F(x,y,z)xyza3，则

zxyzxyzx

zyxzxyzy

故dzz(dxxdyy)

29. 求不定积分arcsinxdx

解：原式xarcsinxxdarcsinx

xarcsinxx1x2dx

xarcsinx1211x2d(1x2)

xarcsinx1x2c

30. 计算定积分0xsin2xdx.

解：

I0x(1cos2x)dx

xdx00xcos2xdx

1220x1cos2x2dx

. . . 资 料. .

S .. . ..

142140xdsin2x

14214xsin2x|0140sin2xdx

142

31. 设y1x21，求y"(2)

解：y'2x(x21)2

y''2(3x21)(x21)3

y''(2)2627

32. 计算定积分I20|1x|dx

解：I1(1x)dx201(x1)dx

x21x2

x2|02x|21

1

33. 求极限lncotxnlim0lnx.

1解：原式=(cosx)limcotx2x

x01xxsinxcosx

xlim0x1sinxlim

xlim0x0cosx1

34. 设y=y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)所确定的隐函数,求微分dy

解：方程两边对x求导得：

. . . 资 料. .

S .. . ..

exeyy'cos(xy)(yxy')

y'exycos(xy)eyxcos(xy)

dyexycos(xy)eyxcos(xy)dx

35. 设y=arctanex-lnex,求y.

1e2x解：原式arctanexx12ln(1e2x)

y'exe2x1e2x11e2x

ex11e2x

36. 计算无穷限反常积分I1x2x1dx

解：

I413dx

1(2x1

)23

213d(2x1)

1(2x1

)233

23arctan2x13|

23(22)

23

37. 设z=x2arctanyxy2arctanxzy,求x

解：zx2xarctanyxx21y111(y(x)y22x2y

x)1(y). . . 资 料. .

S .. . ..

yx2yy3

2xarctan2

xxy2x2y2y2xarctany

x38. 设f(x)的一个原函数为ex,求不定积分

xf＇(x)dx

解：令

2f(x)(ex)2xex22

xf(x)dxxdf(x)

xf(x)f(x)dx

x(2xeex(2x21)c

39. 计算定积分2x2)ex2c

0xsin2xdx

解：

Ix(1cos2x)dx

0

xdxxcos2xdx

00121cos2xxdx

022121xdsin2x

4401211xsin2x|0sin2xdx

444012

4140. 设D是xoy平面上由曲线y=x2，直线y=x和x=所围成的区域，求2解：原式eDyxdxdy

dx121xx2edy

yx. . . 资 料. .

S .. . ..

1(xe)|xdx

x221yx1x(eex)dx

21

13e1xexdx

823e(xexex)|11

8231ee

8241. 求极限limln　sinx

2x（2x）2解：原式=cosx

limsinx(4)(2x)x2=1cosx()

lim42xx2=1sinx

lim4x22=1

8ex42. 求函数f(x)=+x arctanx的导数

sin2x22. 解：exsin2x(sin2x)'ex'f(x)(x)arctanxx(arctanx)'

4sinx'

exsin2x2sinxcosxex11arctanxx

42sinx1(x)2xex(sinx2cosx)xarctanxx

3sinx2x43. 设y=x5x，求dy

解：lny5xlnx

. . . 资 料. .

S .. . ..

两端微分

1ydy5[1lnx]dx

故

dy5x5x[1lnx]dx

44. 求不定积分1x1x2dx

解：原式11x2dxx1x2dx

arctanx12ln(1x2)C

45. 设函数f(x)=kexx03x1x0在x=0处连续，试求常数k

解：因为limf(x)(kex)k1

x0limx0

limf(x)lim(3x1)1

x0x0

f(0)1

又f(x)在x0处连续，所以limf(x)f(0)1

x0 故k11，即

k2

46. 设方程x2+y2+z2=yez确定隐函数z=z(x,y)，求z′，zy′

解：令

Fx2y2z2yez

F'x2x,F'y2yez,F'z2zyez

Z'2xx2zyez2xx2y2z22z

Z'2yyezx2y2z22z

247. 计算定积分20sin2xdx

u2x解：原式0usinudu

. . . 资 料. .

S .. . ..

0udcosu

ucosu|00cosudu



48. 计算二重积分x2ydxdy，其中D是由直线y=x,

x=1以及x轴所围的区域

D解：原式1x0dx0x2ydy

1x2y2x02|0dx (3分)

1210x4dx

110

49.

求极限lim4x22x01cos2x

解：原式=lim(4x22)(4x22)

x02sin2x(4x22)

limx2

x02sin2

x4x2218

50. 设z=arc tanxyxy,求dz

解：

Zyxx2y2

Zxyx2y2

dzyxx2y2dxx2y2dy

xdyydxx2y2

. . . 资 料. .

S .. . ..

51.

设yearccotx，求y′

解：

yearccotx(arccotx)

earccotx1x1(x)

earccotx1x112x

earccotx2xx1

52. 设yx(arcsinx)221x2arcsinx2x,

|x|1，求y′

解：yx(arcsinx)2x[(arcsinx)2]

(21x2)arcsinx21x2(arcsinx)2

(arcsinx)22xarcsinx11x2

2x1x2arcsinx21x211x22

(arcsinx)2

53.

求不定积分dx82xx2

解：dx9(1x)2

dxd(1x)

1(1x233)arcsin1x3C

54. 求1ln(1x)0(2x)2dx的值

. . . 资 料. .

S .. . ..

原式=10ln(1x)d1

2x

111ln(1x)|1dln(1x)

002x2xln21

0(2x)(1x)111x1ln2ln|0

32x1ln2

355.

计算二重积分I解：原式=yedxdy，其中D是由x=0，y=1及y=x所围成的区域

D210eydydx

02y =10eyydy

211y22 =ed(y)

201y21e|0 =2=1(1e1)

256. 设D是xoy平面上由曲线xy=1,直线y=2,x=1和x=2所围成的区域，试求I2xeDxydxdy

解：原式1dx1xexydy

x222dx1exydxy

1xexy|21dx

1x2(e2xe)dx

12. . . 资 料. .

S .. . ..

1412eee

221x1

sinx57. 求极限limx0x解：原式=lim2

x0x1

21x21b,x02x58. 设函数f(x)试确定常数a和b的值，使得f(x)在x=01,x0，sinax,x0x处连续

解：f(0)1

1x211f(x)(b)b

limlim22xx0x0limf(x)limx0x0sinaxa

x1ba 从而：2

a11b即：2

a159. 设yearctan解：

x求y

yearctanx(arctanx)

earctanx1(x)

1xearctanx

2x1x. . . 资 料. .

S .. . ..

60. 设ylntanxcosxlntanx, 求y

2xtancosxlntanxcosx(lntanx) 解：yx2tan21

1xsec2x11sinxlntanxcosxsec2x

tan22tanx2

sinxlntanx

61. 求不定积分

dx1xx2

解：原式=5212dx

12x15

1d2x1

12x125

5arcsin2x15C

262. 设函数z=z(x,y)是由方程x+y+z=ez所确定的隐函数，求zx2

解：方程两边分别对x求导得：

1zxeZzx

zx1(eZ1)2eZzx

eZ1(eZ1)2(eZ1)

eZ(eZ1)3

. . . 资 料. .

S .. . ..

63. 计算二重积分Ixydxdy，其中D是由直线y=x,

y=5x,

x=1所围成的平面区域

D解：

I10xdx5xxydy

1012x3dx

3x4|10

3

64. 求定积分20xcos2xdx。

解：原式20xd12sin2x

12x2sin2x|0120sin2xdx2

0xsin2xdx

120xdcos2x

12xcos2x|0120cos2xdx

2140cos2xd2x

2

四、 应用题（每小题5分，共10 分）

1. 已知某产品的产量为q件时总成本为：C(q)150011200q2（百元）。

求q900件时的边际成本。

解：

C'(q)q600

故C'(900)900600

321.5

. . . 资 料.

.

S .. . ..

即MC1.5，当q从900件变化1件时成本要变化150元。

2. 设D为xoy平面上由x=0，y,y及xy2所围成的平面区域，试求2Dsinxdxdy

yxIdysin20ydx 解：y2xy2

[ycosy]0dy

2(ycosyy)dy

2321

28

3. 某石油公司所经营的一块油田的边际收益为R′(t)=9C(t)113t31t3(百万元/年)，边际成本为（百万元/年），且固定成本为4百万元，求该油田的最佳经营时间？

解：设L(t)为总利润函数，则

L(t)R(t)C(t)

'''(9t)(13t)

84t

令L(t)0，解得t'131313，

8（年）又因L(t)''1|t830，故该油田的最佳经营时间为8年。

4. 将一长为l的铁丝截成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问这两段铁丝的长应各为多少？

解：设正方形边长为x，圆形半径为r；

则4x2rl,rl4x

2 令正方形与圆形面积和为S (2分)

则Sx2r2

. . . 资 料. .

S .. . ..

(l4x)(l28lx16x2)22xx

244(8l32x)

48x

2

S'2x2l

2x 令S0 得

x'l，

4l时获得极小值。

4 且S''280,故S在x4ll 所以两端铁丝分别长和

44（注：先消去x，用圆形半径r带入同样得分）

x5. 设生产某种产品x（百台）时的边际成本C(x)4（万元/百台），边际收益R(x)8x4（万元/百台），试求：产量为多大时，利润最大？

解：边际利润L(x)R(x)C(x)

'''x(8x)(4)

4

45x

4163.2；

5' 令L(x)0，解得x又因L(x)''50，故产量为3.2百台（320台）时利润最大。

46. 将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒，问截去的小正方形边长为多大时所得方盒的容积最大？

解：设小正方形边长为x，则

方盒的容积为Vax(a2x)2,x(0,) (1分)

2. . . 资 料. .

S .. . ..

V(a2x)(a6x) ，令V0 (2分)

'' 即(a2x)(a6x)0

解得x1aa,x2 (3分)

62aa 在

(0,) 内，切实际问题必有最大值，

62因为只有点x1所以V在xaa处取最大值，故截掉的小正方向边长为时容积最大。

66

7. 欲做一个容积100米3 的无盖圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？并求此时所用材料的面积。

2解：rh100,h100

r2200，r0

r 设所用材料面积为A，则

Ar22rhr2

A'2r200

r2100

A'0 得唯一实驻点

r03故当r03100（米），h01003100（米）时所用材料最省。

r2此时

Ar0220030310（米2）

r08. 求曲线y=ex，y=e-x和直线x=1所围成平面图形的面积A以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx

。

解：平面图形如右图

故Axx(ee)dx (1分)

0xx1

(ee)

0|1

ee12 (2分)

. . . 资 料. .

S .. . ..

Vx(e12x0e2x)dx

12(e2xe2x)|

02(e2e22)

9. 欲做一个底面为长方形的带盖长方体盒子，其底边长成1∶2的关系且体积为72cm3，问其长、宽、高各为多少时，才能使此长方体盒子的表面积最小？

解：设底边长分别为x和2x

则方盒的表面积为：S2x2216

x 令S'4x2160

x2 得驻点：x32

因为实际问题必有最小值，且驻点唯一，

故当x32是S取得最小值。

此时方盒长、宽、高分别为62,32,2

10. 设某产品总产量的变化率是t的函数量。

解：Q(t)2(3x6x)dx

0tdQ，求从第3天到第7天的产3t26t（件/天）dt

t3t

Q(7)Q(2)470(件)

11. 设某产品的需求函数为Q402P，求Q10时的边际收入。

解：收益函数R(Q)QP

3211Q(20Q)20QQ2

22R(Q)20Q

所以当Q=10时的边际收益为R(10)201010

. . . 资 料. .

S .. . ..

12.

由yx,x2及y0所围成的图形绕x轴旋转，计算该旋转体的体积。

3解：

Vx20(x3)2dx

172x|0

7

128

7213.

求由抛物线yx和y2x所围成图形的面积。

2 解：

A11[x2(2x2)]dx

12

2(x1)dx

1

12(x3x)|11

3822 29.

求由抛物线yx和y2x所围成图形的面积。

3

14. 欲做一个容积100米3 的无盖圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？并求此时所用材料的面积。

解：因为r2h100，所以h 设所用材料面积为A，则

100，

r2200,(r0)

rAr22rhr2A2r200,

2r3A0得唯一实驻点r03100，

3故r0100100（米），h02r0100（米）时所用材料最省。此时

Ar02320030(10)（米2）

r015. 设区域D由曲线y=ex，y=x2与直线x=0，x=1围成.

. . . 资 料. .

S .. . ..

求D的面积A；

x2 解：

A(ex)dx

01

1(exx3)|10

34

3

e

16. 求内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的各边边长

解：设A点位内接矩形的顶点，坐标为（x,y），

则周长L4x4R2x2

4x22dL4令：dx 得驻点xRx0

R

2实际问题必有最大值，且驻点唯一，

所以L在x

五、

R处取最大值，此时矩形的各边长均为2R。

2综合题

1. 经过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D；求：

D的面积。

解：设切点为(x0,y0)

kx0lnx0 由题意知：k1

x0x0e解得：k1

ey01

D(eyey)dy

01

e

(y2ey)|1

02. . . 资 料. .

S .. . ..

e2

e1

22.

设f (x)在[0，1]上连续，且当x[0，1]时，恒有f (x)<1.证明方程2xx0f(t)dt1在（0，1）内至少存在一个根。

证：设g(x)2xx0f(t)dt1，又

10g(0)10，g(1)2f(t)dt10

g(0)•g(1)0

由介值定理f(x)在（0,1）内至少存在一个根

3. 设函数f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且f(2)0，F(x)(x1)f(x)，证明至少存在一点(1,2)使得F()0。

证：因为f(x)在[1,2]上连续，在（1,2）上可导，则

F(x)(x1)f(x)在[1,2]上连续，在（1,2）上可导。

又F(1)=F(2)=0

由罗尔定理知，至少存在一点∈（1,2）

使得：F()0

4. 已知过曲线yf(x)上任意一点（x,y）处的切线斜率为e2x，且曲线经过点（0，求该曲线方程

解：由题意知：

3），2ye2x

ye2xdx

1e2xc

2又因为曲线过（0， 所以：3）

231c

22即：c1

12x该曲线方程为：ye1

2. . . 资 料. .

S .. . ..

5. 方程sin(x-y+z)=x-y+z确定了二元隐函数z=z(x,y)，证明：设：F(x,y,z)sin(xzz0

xyyz)xyz

Fx(x,y,z)cos(xyz)1，

Fy(x,y,z)cos(xyz)1，

Fz(x,y,z)cos(xyz)1

所以：zxFxFcos(xyz)1yz)11

zcos(xzyFyFcos(xyz)1xyz)11

zcos( 所以

zxzy0

6. 求函数f(x)2x33x212x13的单调区间和极值。

证：设f(x)6x26x126(x1)(x2)

驻点x11,x22

x

(-∞,-1) -1 (-1,2) 2 (2,+∞)

y

+ 0 _ 0 +

y

单增 极大值 单减 极小值 单增

(-∞,-1)，(2,+∞)为单调递增区间，(-1,2)为单调递减区间

f(1)20为极大值，f(2)7为极小值。

7. 证明：当x>0时，1+12x1x

证：设f(x)112x1x （2分）

f'(x)12121x1x121x （4分）

x0

f'(x)0

f(x)在(0,)为增函数；

. . . 资 料.

.

S .. . ..

又f(0)0

f(x)f(0)0

故

1即：11x1x0

21x1x

28. 过抛物线y=x2+1上的点（1，2）作切线，该切线与抛物线及y轴所围成的平面图形为D.

(1)求切线方程； (2)求D的面积A；

解：（1）y'|(1,2)2x|(1,2)2，

切线方程为y22(x1)

即：y2x

2（2）D的面积A0[(x1)2x]dx，

2

2

3eax9. 设f(x){x0sin2xb

x0 可导，求a，b

解：f(x)可导，则f(x)在定义域内必连续，

limf(x)f(0)

x0即：limsin(2xb)ea0，得b1

x0当x0时，f(x)sin2x1

又f(x)可导，f'(0)f'(0)，且f(0)1

eax1(sin2x1)1

limlimx0x0x0x0得：a2

10. 证明方程x5+x-1=0至少有一个正根。

证：取函数f(x)xx1,x[0,1]

5f(x)在[0,1]上连续，且f(0)10,f(1)10,

由连续函数介值定理知：

存在(0,1),使f()0,即为原方程的一个正根。

. . . 资 料. .

S .. . ..

11. 求曲线y=ln

x及其在点(e,1)的切线与x轴所围成的平面图形的面积A

解：y1

x1

e1切线方程为：y1(xe)

e1 即：yx

e

k面积A(eyey)dy

01

ey



e21y|0

2e1

2

12. 证明：当x0时，

xln(x1x2)1x21。

证：设f(x)xln(x1x2)1x21，则f(0)0 .又

f(x)ln(x1x2)x1x2x1x2

ln(x1x2)0，x0

故x0时f(x)单调增加，从而f(x)>f(x)=0,即

xln(x1x2)1x21

. . . 资 料. .

S .. . ..

x11,　x0x13. 证明函数f(x)，在点x=0连续且可导。

1　,　　x02证：limf(x)limx0x0x11

x

lim11f(0)

x0x112故

f(x)在x0连续。

x11又limf(x)f(0)x12x0xlimx

x0

lim2x12x

x02x2

1limx111x11x04xlim

x04x8

故f(x)在x0可导。

14. 设z=y+F(u),u=x2-y2,其中F是可微函数.证明：yzxxzyx。

证：因为zx2xF'(u)

zy12yF'(u)

所以yzxz2xyF'xy(u)x[12yF'(u)]x

15.求函数f(x,y)4(xy)x2y2的极值。

'x42x0解：令{ff'y42y0 求出驻点为（2,2）

. . . 资 料.

.

S .. . ..

又

fxx2,''''''fxy0,fyy2, 因此，''''''Afxx(2,2)2,Bfxy(2,2)0,Cfyy(2,2)2

B2AC40，而A0

所以，f(2,2)8为极大值。

16. 设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存在一点（0，1），使f()=1-。

证：设g(x)f(x)x1

f(x)在[0,1]上连续，

g(x)必在[0,1]上连续；

又g(0)f(0)011

(f(0)0)

g(1)f(1)111

(f(1)1)

从而

g(0).g(1)0

由零点定理，至少存在一点 使得

g()f()10

从而

f()1

. . . 资 料.

.

2024年3月7日发(作者：位书南)

S .. . ..

一、 单项选择题

1.

limxx1x=（ ）

A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在

2．设函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数f(x2)的定义域为（ ）

A.[0，2] B.[0，16]

C.[-16，16] D.[-2，2]

3．设yf(x0x)f(x0),且函数f(x)在xx0处可导，则必有（ ）

A．limx0y0 B．y0

C．dy0 D．ydy

4．设f(x)为可微函数，且n为自然数，则nlimf(x)f(x1n)=（ ）

A. 0 B.f(x) C. -f(x) D.不存在

5．要使无穷级aqn（a为常数，a≠0）收敛，则q=（ ）

n0A.0.5 B.1

C.1.5 D.2

x6．设f(x)是连续函数，且f(0)=1，则lim0tf(t)dtx0x2（ ）

A. 0 B.

12 C. 1 D. 2

7．函数f(x)2x3x1x1在x=1处的导数为（ ）

3xA. 1 B. 2 C. 3 D.不存在

8．函数y=x2-ln(1+x2)的极小值为（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

9．已知某商品的产量为x时，边际成本为ex(4x100)，则使成本最小的产量是（

A. 23 B. 24 C. 25 D. 26

10．下列反常积分收敛的是（ ）

A.11x2dx B.11xdx

C.1 lnx dx D.lnx1xdx

1.A 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D 9.B 10.A

. . . 资 料. .

）

S .. . ..

11. 极限limtan2x（ ）

x06x11A．0 B． C． D．3

3212．下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ ）

A.(-1，1111) B.(-,5) C.(0,) D.(,+)

555513．函数f(x)=lnx- ln(x-1)的定义域是（ ）

A．(-1,+∞) B．(0,+∞) C．(1,+∞) D．(0,1)

14．设函数g (x)在x = a连续而f (x) = (x-a)g(x),则f'(a) =（ ）

A. ０ B.

g(a) C. f (a) D. g (a)

15．x=0是函数f(x)=ex2x的（ ）

D．非极值点 A．零点 B．驻点 C．极值点

16．设函数f

(x)定义在开区间Ｉ上，x0I,且点(x0, f

(x0) )是曲线y= f (x)的拐点,则必有（ ）

A. 在点(x0,f

(x0))两侧,曲线y=f (x)均为凹弧或均为凸弧.

B. 当xx0时,曲线y=f (x)是凸弧(或凹弧).

C. xx0时,f(x)>f(x0).

D. xf(x0) 而x>x0时,f(x)

17．设f(x)=arccos(x2)，则f＇(x)=（ ）

A．11x2 B．2x1x2 C．11x4 D．2x1x4

18．设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P2,则当P = 5时的需求价格弹性为（ ）

A.0.25 B.-0.25 C.100 D.-100

19．无穷限积分0xe-xdx =（ ）

1

2D.A. -1 B. 1 C. -1

2xdxydy020．初值问题的隐式特解为（ ）

y|3x2A．x2+y2=13 B．x2+y2=6

C．x2-y2=-5 D．x2-y2=10

11.B 12.C 13.C 14.D 15.D 16.B 17.D 18.A 1 9.B 20.A

. . . 资 料. .

S .. . ..

21. 设0asinx，则lim（ ）

xax2D.A.0 B.1 C.不存在

sina

a22．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（ ）

A．[a,3a] B．[a,2a] C．[-a,4a] D．[0,2a]

x2sin23．limx0sinx1x（ ）

D．0 A．1 B． C．不存在

24．函数y=1-cosx的值域是（ ）

A.[-1,1] B.[0,1] C.[0,2]

25．下列各式中，正确的是（ ）

D.(-∞,+∞)

(1)xe

x(1)xe

xx26．(1x01x)xe

(1)xe1

xx0xcos2tdtxx0（ ）

D． A．0 B．1 C．-1

27．下列广义积分中，发散的是（ ）

dxdxexdx D.A. B. C.21111xxdxx(lnx)21

28．设D=D（p）是市场对某一商品的需求函数，其中p是商品价格，D是市场需求量，则需求价格弹性是（ ）

A．DDppD'(p) B．D'(p) C．p'(D) D．p'(D)

ppDD29．x2y22dxdy（ ）

A．π B．4 C．2π D．2

130．已知边际成本为100，且固定成本为50，则成本函数是（ ）

xA.100x+2x B.100x+2x+50 C.100+2x D.100+2x+50

21.D 22.B 23.D 24.C 25.D 26.C 27.A 28.B 2 9.C 30.B

. . . 资 料. .

S .. . ..

x11,x031. 设f(x),则x=0是f(x)的（ ）

x0,x0A．可去间断点 B．跳跃间断点 C．无穷间断点 D．连续点

3sinmx2，则m= （ ）

x02x32349A． B． C． D．

329432．如果lim33．已知某商品的成本函数为C(Q)2Q30Q500，则当产量Q=100时的边际成本为

（ ）

A．5 B．3 C．3.5 D．1.5

34．在区间(-1,0)内，下列函数中单调增加的是（ ）

A．y4x1 B．y5x3 C．yx21 D．y|x|2

35．函数f(x)在点x=x0处连续是f(x)在x=x0处可导的（ ）

A．必要条件

B．充分条件

D．既非充分条件又非必要条件 C．充分必要条件

36．设函数y=f(x)在点x0的邻域V(x0)内可导，如果x∈V(x0)有f(x)≥f(x0)，则有（ ）

A．f'(x)f'(x0) B．f'(x)f(x0)

C．f'(x0)0 D．f'(x0)0

37．微分方程exy10的通解是（ ）

A．

yexC B．yexC C．yexC D．yeC

38．无穷限积分x0xexdx（ ）

2A．1 B．0 C．1

2 D．1

239．下列广义积分中，收敛的是（ ）

1dxdx1dxdxA． B． C． D．

01xe01xex1x140．函数y=ln(311)的定义域是（ ）

xA．(,0)(0,) B．(,0)(1,) C．(0,1] D．(0,1)

31.A 32.C 33.C 34.B 35.A 36.C 37.B 38.D 39.C 40.D

41.

函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ ）

. . . 资 料. .

S .. . ..

A. (-1,1) B. [-1,1] C. [-1,0] D.[0,1]

42. 设f(t)=t2+1，则f(t2+1)=（ ）

A. t2+1 B. t4+2 C. t4+t2+1 D. t4+2t2+2

43．函数y=2+ln(x+3)的反函数是（ ）

A．y=ex+3-2 B．y=ex+3+2 C．y=ex-2-3 D．y=ex-2+3

44．函数f(x)xsin1在点x=0处（ ）

xA．有定义但无极限 B．有定义且有极限 C．既无定义又无极限 D．无定义但有极限

45．设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y=（ ）

A.

f(x) B.

f(x) C. -f(x) D.-f(x)

46．设函数f(x)可导，且limA．0 B．Δx0f(x04Δx)f(x0)1，则f(x0)( )

ΔxD．4

1 C．1

447．设I=2xsinx2dx，则I=( )

A.-cosx2

2

C.-cosx2

48．数列0，2+C

1234，，，，…的极限是（ ）

3456n2A. 0 B. C. 1 D. 不存在

nexdx（ ） 49．广义积分1e2xA.

 B. C.

42D.0

50．若cos2x是g(x)的一个原函数，则（ ）

A．g(x)dxcos2xC

B．cos2xdxg(x)C

D．(cos2x)dxg(x)C

C．g(x)dxcos2xC



41.D 42.D 43.C 44.D 45.D 46.B 47.C 48.C 49.B 50.A

351. 极限lim(1)x=（ ）

xxA.e-3

B.e-2

C.e-1 D.e3

52．函数y=ln(1x21x2)的定义域是（ ）

. . . 资 料. .

S .. . ..

A．|x|≤1 B．|x|<1

C．0<|x|≤1 D．0<|x|<1

53．若f(x)为奇函数,且对任意实数x恒有f(x+3)-f(x-1)=0,则f(2)=（ ）

A. -1 B.0 C.1 D.2

54．设△y=f(x0+△x)-f(x0)且函数f(x)在x=x0处可导，则必有（ ）

A．limx0△y=0 B．△y=0

C．dy=0 D．△y=dy

55．若曲线y=f(x)在x=x0处有切线,则导数f＇(x0)（ ）

A.等于0 B.存在

C.不存在 D.不一定存在

56．设函数y=(sinx4)2,则导数dydx=（ ）

A. 4x3cos(2x4) B. 4x3sin(2x4)

C. 2x3cos(2x4) D. 2x3sin(2x4)

57．limx0x2sin1x2=（ ）

A．0 B．1 C．-1 D．不存在

58．若f＇(x2)=1x(x>0),则f(x)=（ ）

A. 2x+C B.

1x+C

C. 2x+C D.

x2+C

59．设xf(x)dxex2C,则f(x)=（ ）

A．xex2 B．-xex2

C．2ex2 D．-2ex2

60．设产品的利润函数为L（x）,则生产xo个单位时的边际利润为（ ）

A．L(x0)dL(x)x B．dL(x)dx C．dx D．ddx(L(x)dx)

0xx051.A 52.C 53.B 54.A 55.D 56.B 57.A 58.C 59.D 60.C

61. 函数f(x)=x33-x的极大值点为（ ）

A.

x=-3 B.

x=-1 C. x=1 D. x=3

62．设f(x)x2,(x)2x，则f[(x)]（ ）

. . . 资 料. .

S .. . ..

A.2x

2B.x2

2sinx2x C.x2x D.22x

63．函数f(x)=1xA.奇函数 B.偶函数 C.有界函数

是（ ）

D.周期函数

64．设函数y=2x2，已知其在点x0处自变量增量x0.3时，对应函数增量y的线性主部为-0.6，则x0=（ ）

A. 0 B. 1 C. -0.5

65．设函数f(x)在点a可导，且limA.

D. -4

f(a5h)f(a5h)1，则f(a)（ ）

h02h D.

1 B. 5 C. 2

566．下列反常积分收敛的是（ ）

A.1

2dxx1 B.1dx

xC.1dx

1xxexdx

x2exdx

D.1dx

21x67．下列无穷限积分中，发散的是（ ）

A.C.1

B.D.1dx

exlnxdxexlnx2

68．设f(x)=2x,则f″(x)=（ ）

A. 2x·ln22

C. 2x·2

B. 2x·ln4

D. 2x·4

69．设某商品的需求函数为Q=a-bp，其中p表示商品价格，Q为需求量，a、b为正常数，则需求量对价格的弹性A.

C.

b

abpbp

abpEQ（ ）

EP

B.

D.

b

abpbp

abp

70．正弦曲线的一段y=sin

x(0xπ)与x轴所围平面图形的面积为（ ）

A. 1 B.2 C.3

71.

设函数yf(x)的定义域为(1，2)，则f(ax)

a0的定义域是( )

D.4

61.B 62.D 63.C 64.C 65.A 66.D 67.B 68.A 69.D 70.B

. . . 资 料. .

S .. . ..

212aaaf(xx)f(x)72. 设f(x)=ln4,则lim（ ）

x0xA．4 B．A.

(,) B.

(,)

C.

(a,2a) D.

(,a)

12aa1 C．0 D．

473．设f(x)x|x|，则f'(0) ( )

A. 1 B. -1 C. 0

2 D. 不存在

74．设函数f(x1)xx,则f(x)=（ ）

A．x(x1) B．x(x1) C．(x1)(x2)

75．下列极限中不能应用洛必达法则的是( )

D．(x1)(x2)

A.

limlnxcos2xlnx B.

lim

C.

lim

xxxx1x1x153(16) D.

limexlnx

x76．设f(x)x3xx1,则f(1)（ ）

A．16! B．15! C．14! D．0

77．设f (x)是连续函数，且x0f(t)dtxcosx，则f (x)=( )

A.

cosxxsinx B.

cosxxsinx

C.

sinxxcosx D.

sinxxcosx

78．(2x1)100dx（ ）

A.11(2x1)101C B.(2x1)101C

10120299C.100(2x1)C D.200(2x1)99C

79．设某商品的需求函数为Q=a-bp，其中p表示商品价格，Q为需求量，a、b为正常EQ（ ）

EPbpbbA. B.

C.



abpabpabp数，则需求量对价格的弹性D.

bp

abp80．已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（ ）

A．302x B．30x C．30x2x D．30xx

71.B 72.C 73.C 74.B 75.B 76.D 77.A 78.B 79.D 80.D

二、 填空题

2222ln(1n)= _______。

nlnn12．lim(xa)sin= _______。

xaax1．lim. . . 资 料. .

S .. . ..

3．设f(x)x，则f(f(x)) _____________。

1xx4．曲线ye在点（0，1）处的切线方程是 。

5．设f(0)1，则limx0f(3t)f(t)= 。

2t6．设函数yxklnx在[1，e]上满足罗尔定理的条件，则k=_______。

7．设z(1x),则8．1212xyz_________________。

y21x2dx___________。

9．曲线yln3x的竖直渐近线为_______________。

10．微分方程xy'ylny0的通解是______________。

1. 1 2.0

3.

5. 2 6. 1-e

7.

x(1x) 8.

xyx 4.

yx1

12x2

3cx9.

x=0 10.

ye

11．limarctanx_______。

nxn111112．无穷级数1的和为_________。

248213．设y=cos1x2，则y=_____。

14．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______。

x215．dx 。

61x16．曲线y=xe-x的拐点是________。

g217．已知某产品的产量为g时，总成本是C(g)=9+，则生产100件产品时的边际成本800MC|g=100=________。

18．微分方程y〃+x(y＇)3+sin

y=0的阶数为_________。

1x2,|x|119．设f(x)=,则f(1)=_____。

|x|10,. . . 资 料. .

S .. . ..

20．微分方程（xlnx）y=y的通解是________________。

11. 0 12.

13.

15.

2

3x1xcos1x21x2 14.

ye2

1arctanx3C 16.

(2,2e2)

317. 0.25 18. 2

19. -2 20.

yClnx

21．函数f(x)5的定义域是 。

ln(x2)22．limn3n26n5 ___________。

3n223．limn0xlnx ___________。

324．函数f(x)xx的单调增加区间为 。

25．若f(x)的一个原函数为lnx,则f(x) 。

26．设直线l与x轴平行，且与曲线y=x-lnx相切，则切点是___________。

27．已知某工厂生产x个单位产品的总成本函数C(x)=1100+产品时的边际成本是___________。

28．12x，则生产900个单位1200x1x2dx ___________。

29．微分方程y=2x(1+y)的通解是___________。

2z30．设z=2x+3xy-y,则=___________。

xy2221. (2,3)∪(3,+∞) 22.

3

323. 0 24. (-∞,+∞)

25.

1 26.

(1,1)

x2. . . 资 料. .

S .. . ..

27.

3 28.

1x2C

2229.

ycex1 30. 3

(xh)3x331．极限lim=______________。

h03h32．函数y =33．极限lim1x的定义域是________________。

1xx01cos2x=__________。

2x34．抛物线y = x2上点(2,4)处的切线方程是___________。

35．已知某商品的成本函数为C(q )=20 -10q+q2(万元),则q =15 时的边际成本为_________。

36．设z = arctan (xy),则37．不定积分38．定积分1z=_______________。

xdx____________。

x(1x)3dxxx31=_______________。

39．0dxx212xxydy =_______________。

240．微分方程2xydx

1xdy = 0的通解是_______________。

31.

x 32. [-1,1)

33. 2 34.

4xy4

35. 20(万元) 36.

2y

221xy37.

lnxC 38.

1x611x2139. 40.

ye212

41．limn[ln (n+2)-ln

n]=_______________。

n42．设f(x)1x0，g(x)=x2+1,则f[g(x)]=_______________。

1x0. . . 资 料. .

S .. . ..

43．函数f(x)44．limarctanxx12kx0x1在x=1处连续，则k=_______________。

xee1x2x=_______________。

45．曲线ylnx的水平渐近线为_______________。

x46．设函数y=ln sin

x,则y″=_______________。

47．设函数y=x2e-x,则其弹性函数48．设z=e2x23yEy=_______________。

Ex2z,则=_______________。

xydx2x249．不定积分=_______________。

50．微分方程（1+x2）dy-(1+y2)dx=0的通解是_______________。

41. 2 42. 1

43. 1 44. 0

45.

x0 46.

csc2x

x2ex(2x)2x23y47. 48.

12xe

y49.

arcsinxC 50.

arctanyarctanxC

22x51．极限lim(12x)x0=________________。

52．设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________。

1间断点的个数为_______________。

32xxxdx54．不定积分=__________________。

2x353．函数f(x)=55．函数f(x)在点x0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x0可导的___________条件。

56．设f(x)连续且x0f(t)dtx2cos2x，则f(x)=________________。

57．函数y=lnx在[1，2]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是___________。

58．微分方程xdy-ydx=2dy的通解为____________________。

59．曲线y=x+ln

x在点（1，1）处的切线方程为________________。

2z60．设z=xe,则=______________________。

xyxy. . . 资 料. .

S .. . ..

51.

e 52. [-1,1]

53. 1 54.

1ln|2x3|C

2455. 充要 56.

2xsin2x

57.

1 58.

yC(x2)

ln2xy259.

y2x1 60.

e(2xxy)

(1n)3____________。 61．lim3xn5n21siny2z则__________。

62．设z=xy63．若f(x+1)=x+cosx则f(1)=__________。

64．曲线y=x3-5x2+3x+5的拐点是__________。

65．若f(x)在x=x0处可导，且lim66．曲线yx2x12h0f(x0)f(x05h)3,则f'(x0)__________。

h的水平渐近线为___________。

67．lnxdx__________。

68．69．13dx__________。

x2x1|2x|dx__________。

70．微分方程exy10的通解是______________。

2ycosy2

x52063. 1 64.

(,)

327365.

 66.

y1

567.

xlnxxC 68.

ln2

61. -1 62.

69. 5 70.

yeC

x

71．微分方程xy'yx3的通解是y=______________。

x3x2ax472．已知极限lim存在且有限，则a=______________。

x1x173．设f(x)x2,g(x)2x,则f[g(x)]______________。

. . . 资 料. .

S .. . ..

ex74．不定积分dx______________。

1ex75．设y=x2ex，则y(0)= 。

76．极限limx02xsinx=______________。

x377．设zxln(xy)，则z"xy______________。

78．设某商品的供给函数为S(p)0.53p，则供给价格弹性函数1,0x179．设f(x)=，则2,1x2ES

______________。Epf(x)dx 。

0280．dy01y3yxdx______________。

71.

13xcx 72. 4

2x73.

4 74.

ln(1ex)C

75. 2 76.

77.

1

6y6p 78.

6p1(xy)279. 3 80. 6

三、 计算题（每小题 5分，共 40分）

x01. 求极限limxxcosx

xsinx1cosxxsinx

1cosx解：原式limx0

3

limx02sinxxcosx

sinxlimx02cosxcosxxsinxcosx2. 设y'解：ytanx,求y

xx4(tanx)'xtanx(x)'

x2xsec2xtanx

x2. . . 资 料. .

S .. . ..

y'|48(2)2

3. 求曲线y=x-2arctan

x的凹凸区间

解：y'12

21x

y//4x(1x2)2

令y''0 得

x0

x

(,0)

0

(0,)

y''

-

+

y





(,0)为凸区间，(0,)为凹区间。

4. 计算定积分1dx09x26x1

解： 原式110(13x)2dx

11130(13x)2d(13x)

113[13x]10dx

14

5. 已知函数f(x)满足f(x)xdxexC，求f(x)dx

解：[f(x)xdx]'(exC)

得：

f(x)xex

f(x)dxxexdx

. . . 资 料. .

S .. . ..

xxde



xexexdx

xexexC

zz,

xy6. 方程xyz-ln(xyz)=1确定了隐函数z=z(x,y),求解：设F(x,y,z)xyzln(xyz)1

Fx(x,y,z)yz111，Fy(x,y,z)xz，Fz(x,y,z)xy

yzxFxzz所以：

xFzxFyzz

yFzy7. 计算定积分I=1xln(x1)dx

01解：

x2Iln(x1)d02

21x1x2ln(x1)|d(ln(x1))

0022

11121ln2xdx

022x11111ln2(x1)dx

022x111112ln2[xxln(x1)]

022214

8. 计算二重积分I=解：Idx12xD2yeydxdy，其中D是由y=x,x=1,x=2及x轴所围成的闭区域.

20yeydy

. . . 资 料. .

S .. . ..

21xy2e]0dx

1[212x(e1)dx

2121xex[]1

2

12(e2e1)

9. 求极限limexex2x01cosx

解：原式=exexlim

x0sinx=limexex

x0cosx

=2

10. 求a的值，使得函数f(x)=sin3(x1)x1x1在x=1处连续

ax1解：f(1)a

limsin3(x1)=3

x1x1a3

11. 计算定积分I=230( sinx-sinx)dx

解：I20sinx(1sin2x)dx



20sinxcos2xdx

20cos2xdcosx

12. 求曲线y=x4-6x3+12x2+4x-1的凹凸区间

解：

y4x318x224x4

y12x236x24

12(x1)(x2)

. . . 资 料.

13

.

S .. . ..

令y=0，得：x1,x2

x

(-∞,1) (1,2) (2,+∞)

y

+ _ +

y

凹 凸 凹

所以(-∞,1)，(2,+∞)为凹区间，(1,2)为凸区间。

13. 设z = z (x,y)是由方程x2-z2+lnyz=0确定的函数,求dz

解：设F(x,y,z)x2z2lnyz

F)zx(x,y,z)2x，Fy(x,y,zy1z，F(x,y,z)2z1zz

所以：zxFxF2x

z2z1z1zFyyyF

z

2z1z 所以

dz2xz2z21dxzy(2z21)dy

14. 求不定积分Ixx22dx

解：I121x22d(x22)

x22c

15. 设y = x2x,求y

解：设

ye2xlnx

ye2xlnx(2xlnx)

. . . 资 料.

.

S .. . ..

e2xlnx(2lnx2)

y(e2xlnx)(2lnx2)e2xlnx(2lnx2)

e2xlnx(2lnx2)(2lnx2)e2xlnxx2x1[12x(lnx1)2]

16. 计算二重积分I =2

xDx2d,其中D是由直线x = 2,y = x和双曲线xy = 1围城的区域。

2y2解：

Ixdx112xx1dy

2yx

211x22dx

y1x(x3x)dx

1214122xx|1

4212

417. 求极限lim(xx3x)

2x解：原式1

lim23xx(1)x1

x2[(1)2]6xlimxe6

18. 设yarcsin'解：yx132xx2,求y

21x1'1()(32xx2)'

2x122232xx1()2. . . 资 料. .

S .. . ..

11x4(x1)232xx2

x32xx2

19. 设z=f(xy),且f可微,求dz

解：设uxy，则zf(u)

zxf'(u)1y1yf'(u)

zyf'(u)xxy2y2f'(u)

故dz1yf'(u)dxxy2f'(u)dy

320. 设y=（1x31x3）求y

解：等式两端取对数得：

lny13[ln1x3ln1x3]

两端求导得12'13x3x2yy3(1x31x3)

x2x21x31x3

故y'y(x2x2

1x31x3)

31x3221x3(x1x3x1x3)

21. 计算不定积分e2x1dx

2x1t解：原式tetdt

. . . 资 料. .

S .. . ..

tettetdt

tetetC

(2x11)e22. 计算定积分xt12x1C

dx

10xx解：原式2t201tdt

11

t2112dt

01t12(t1)dt

01t1tt22[tln(1t)]|

0212(ln2)

2ln21

223. 设y=x2(lnx-1)-(1-x2)lnx,求解：

[x2dy

dxxe(lnx1)]'2xlnxx

21x2'

[(1x)lnx]2xlnxx

2xlnxx1

x1 则y2xlnxx(2xlnxx)

x'

4xlnx1

x

1y|4e

xee'. . . 资 料. .

S .. . ..

24. 设D是由x轴，y=x-4和y=2x所围成的闭区域.试求解：平面如右图

xydxdy

D原式ydyy2xdx （1分）

024y4

142y4y(xy2)dy （2分）

|2021240(y38y16yy524)dy

1164832y2(4y3y8y24)|40

96

25. 求极限exexlim2xx0x3

limexex解：原式=2

x03x2

=limexex

x06x

limexex=

x06=13

126. 计算定积分12x21x2dx

解：Isinxcosx4dx

6cosx



4sinxdx

6(cosx)|4

612(32)

. . . 资 料.

.

S .. . ..

27. 设y=2x1x2arctanx，求y

解：y'2(1x2)4x2(1x2)211x2

22x2(1x2)211x2

3x2(1x2)2

28. 设z=z(x,y)是由方程xyz=a3所确定的隐函数，求dz

解：设F(x,y,z)xyza3，则

zxyzxyzx

zyxzxyzy

故dzz(dxxdyy)

29. 求不定积分arcsinxdx

解：原式xarcsinxxdarcsinx

xarcsinxx1x2dx

xarcsinx1211x2d(1x2)

xarcsinx1x2c

30. 计算定积分0xsin2xdx.

解：

I0x(1cos2x)dx

xdx00xcos2xdx

1220x1cos2x2dx

. . . 资 料. .

S .. . ..

142140xdsin2x

14214xsin2x|0140sin2xdx

142

31. 设y1x21，求y"(2)

解：y'2x(x21)2

y''2(3x21)(x21)3

y''(2)2627

32. 计算定积分I20|1x|dx

解：I1(1x)dx201(x1)dx

x21x2

x2|02x|21

1

33. 求极限lncotxnlim0lnx.

1解：原式=(cosx)limcotx2x

x01xxsinxcosx

xlim0x1sinxlim

xlim0x0cosx1

34. 设y=y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)所确定的隐函数,求微分dy

解：方程两边对x求导得：

. . . 资 料. .

S .. . ..

exeyy'cos(xy)(yxy')

y'exycos(xy)eyxcos(xy)

dyexycos(xy)eyxcos(xy)dx

35. 设y=arctanex-lnex,求y.

1e2x解：原式arctanexx12ln(1e2x)

y'exe2x1e2x11e2x

ex11e2x

36. 计算无穷限反常积分I1x2x1dx

解：

I413dx

1(2x1

)23

213d(2x1)

1(2x1

)233

23arctan2x13|

23(22)

23

37. 设z=x2arctanyxy2arctanxzy,求x

解：zx2xarctanyxx21y111(y(x)y22x2y

x)1(y). . . 资 料. .

S .. . ..

yx2yy3

2xarctan2

xxy2x2y2y2xarctany

x38. 设f(x)的一个原函数为ex,求不定积分

xf＇(x)dx

解：令

2f(x)(ex)2xex22

xf(x)dxxdf(x)

xf(x)f(x)dx

x(2xeex(2x21)c

39. 计算定积分2x2)ex2c

0xsin2xdx

解：

Ix(1cos2x)dx

0

xdxxcos2xdx

00121cos2xxdx

022121xdsin2x

4401211xsin2x|0sin2xdx

444012

4140. 设D是xoy平面上由曲线y=x2，直线y=x和x=所围成的区域，求2解：原式eDyxdxdy

dx121xx2edy

yx. . . 资 料. .

S .. . ..

1(xe)|xdx

x221yx1x(eex)dx

21

13e1xexdx

823e(xexex)|11

8231ee

8241. 求极限limln　sinx

2x（2x）2解：原式=cosx

limsinx(4)(2x)x2=1cosx()

lim42xx2=1sinx

lim4x22=1

8ex42. 求函数f(x)=+x arctanx的导数

sin2x22. 解：exsin2x(sin2x)'ex'f(x)(x)arctanxx(arctanx)'

4sinx'

exsin2x2sinxcosxex11arctanxx

42sinx1(x)2xex(sinx2cosx)xarctanxx

3sinx2x43. 设y=x5x，求dy

解：lny5xlnx

. . . 资 料. .

S .. . ..

两端微分

1ydy5[1lnx]dx

故

dy5x5x[1lnx]dx

44. 求不定积分1x1x2dx

解：原式11x2dxx1x2dx

arctanx12ln(1x2)C

45. 设函数f(x)=kexx03x1x0在x=0处连续，试求常数k

解：因为limf(x)(kex)k1

x0limx0

limf(x)lim(3x1)1

x0x0

f(0)1

又f(x)在x0处连续，所以limf(x)f(0)1

x0 故k11，即

k2

46. 设方程x2+y2+z2=yez确定隐函数z=z(x,y)，求z′，zy′

解：令

Fx2y2z2yez

F'x2x,F'y2yez,F'z2zyez

Z'2xx2zyez2xx2y2z22z

Z'2yyezx2y2z22z

247. 计算定积分20sin2xdx

u2x解：原式0usinudu

. . . 资 料. .

S .. . ..

0udcosu

ucosu|00cosudu



48. 计算二重积分x2ydxdy，其中D是由直线y=x,

x=1以及x轴所围的区域

D解：原式1x0dx0x2ydy

1x2y2x02|0dx (3分)

1210x4dx

110

49.

求极限lim4x22x01cos2x

解：原式=lim(4x22)(4x22)

x02sin2x(4x22)

limx2

x02sin2

x4x2218

50. 设z=arc tanxyxy,求dz

解：

Zyxx2y2

Zxyx2y2

dzyxx2y2dxx2y2dy

xdyydxx2y2

. . . 资 料. .

S .. . ..

51.

设yearccotx，求y′

解：

yearccotx(arccotx)

earccotx1x1(x)

earccotx1x112x

earccotx2xx1

52. 设yx(arcsinx)221x2arcsinx2x,

|x|1，求y′

解：yx(arcsinx)2x[(arcsinx)2]

(21x2)arcsinx21x2(arcsinx)2

(arcsinx)22xarcsinx11x2

2x1x2arcsinx21x211x22

(arcsinx)2

53.

求不定积分dx82xx2

解：dx9(1x)2

dxd(1x)

1(1x233)arcsin1x3C

54. 求1ln(1x)0(2x)2dx的值

. . . 资 料. .

S .. . ..

原式=10ln(1x)d1

2x

111ln(1x)|1dln(1x)

002x2xln21

0(2x)(1x)111x1ln2ln|0

32x1ln2

355.

计算二重积分I解：原式=yedxdy，其中D是由x=0，y=1及y=x所围成的区域

D210eydydx

02y =10eyydy

211y22 =ed(y)

201y21e|0 =2=1(1e1)

256. 设D是xoy平面上由曲线xy=1,直线y=2,x=1和x=2所围成的区域，试求I2xeDxydxdy

解：原式1dx1xexydy

x222dx1exydxy

1xexy|21dx

1x2(e2xe)dx

12. . . 资 料. .

S .. . ..

1412eee

221x1

sinx57. 求极限limx0x解：原式=lim2

x0x1

21x21b,x02x58. 设函数f(x)试确定常数a和b的值，使得f(x)在x=01,x0，sinax,x0x处连续

解：f(0)1

1x211f(x)(b)b

limlim22xx0x0limf(x)limx0x0sinaxa

x1ba 从而：2

a11b即：2

a159. 设yearctan解：

x求y

yearctanx(arctanx)

earctanx1(x)

1xearctanx

2x1x. . . 资 料. .

S .. . ..

60. 设ylntanxcosxlntanx, 求y

2xtancosxlntanxcosx(lntanx) 解：yx2tan21

1xsec2x11sinxlntanxcosxsec2x

tan22tanx2

sinxlntanx

61. 求不定积分

dx1xx2

解：原式=5212dx

12x15

1d2x1

12x125

5arcsin2x15C

262. 设函数z=z(x,y)是由方程x+y+z=ez所确定的隐函数，求zx2

解：方程两边分别对x求导得：

1zxeZzx

zx1(eZ1)2eZzx

eZ1(eZ1)2(eZ1)

eZ(eZ1)3

. . . 资 料. .

S .. . ..

63. 计算二重积分Ixydxdy，其中D是由直线y=x,

y=5x,

x=1所围成的平面区域

D解：

I10xdx5xxydy

1012x3dx

3x4|10

3

64. 求定积分20xcos2xdx。

解：原式20xd12sin2x

12x2sin2x|0120sin2xdx2

0xsin2xdx

120xdcos2x

12xcos2x|0120cos2xdx

2140cos2xd2x

2

四、 应用题（每小题5分，共10 分）

1. 已知某产品的产量为q件时总成本为：C(q)150011200q2（百元）。

求q900件时的边际成本。

解：

C'(q)q600

故C'(900)900600

321.5

. . . 资 料.

.

S .. . ..

即MC1.5，当q从900件变化1件时成本要变化150元。

2. 设D为xoy平面上由x=0，y,y及xy2所围成的平面区域，试求2Dsinxdxdy

yxIdysin20ydx 解：y2xy2

[ycosy]0dy

2(ycosyy)dy

2321

28

3. 某石油公司所经营的一块油田的边际收益为R′(t)=9C(t)113t31t3(百万元/年)，边际成本为（百万元/年），且固定成本为4百万元，求该油田的最佳经营时间？

解：设L(t)为总利润函数，则

L(t)R(t)C(t)

'''(9t)(13t)

84t

令L(t)0，解得t'131313，

8（年）又因L(t)''1|t830，故该油田的最佳经营时间为8年。

4. 将一长为l的铁丝截成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问这两段铁丝的长应各为多少？

解：设正方形边长为x，圆形半径为r；

则4x2rl,rl4x

2 令正方形与圆形面积和为S (2分)

则Sx2r2

. . . 资 料. .

S .. . ..

(l4x)(l28lx16x2)22xx

244(8l32x)

48x

2

S'2x2l

2x 令S0 得

x'l，

4l时获得极小值。

4 且S''280,故S在x4ll 所以两端铁丝分别长和

44（注：先消去x，用圆形半径r带入同样得分）

x5. 设生产某种产品x（百台）时的边际成本C(x)4（万元/百台），边际收益R(x)8x4（万元/百台），试求：产量为多大时，利润最大？

解：边际利润L(x)R(x)C(x)

'''x(8x)(4)

4

45x

4163.2；

5' 令L(x)0，解得x又因L(x)''50，故产量为3.2百台（320台）时利润最大。

46. 将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒，问截去的小正方形边长为多大时所得方盒的容积最大？

解：设小正方形边长为x，则

方盒的容积为Vax(a2x)2,x(0,) (1分)

2. . . 资 料. .

S .. . ..

V(a2x)(a6x) ，令V0 (2分)

'' 即(a2x)(a6x)0

解得x1aa,x2 (3分)

62aa 在

(0,) 内，切实际问题必有最大值，

62因为只有点x1所以V在xaa处取最大值，故截掉的小正方向边长为时容积最大。

66

7. 欲做一个容积100米3 的无盖圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？并求此时所用材料的面积。

2解：rh100,h100

r2200，r0

r 设所用材料面积为A，则

Ar22rhr2

A'2r200

r2100

A'0 得唯一实驻点

r03故当r03100（米），h01003100（米）时所用材料最省。

r2此时

Ar0220030310（米2）

r08. 求曲线y=ex，y=e-x和直线x=1所围成平面图形的面积A以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx

。

解：平面图形如右图

故Axx(ee)dx (1分)

0xx1

(ee)

0|1

ee12 (2分)

. . . 资 料. .

S .. . ..

Vx(e12x0e2x)dx

12(e2xe2x)|

02(e2e22)

9. 欲做一个底面为长方形的带盖长方体盒子，其底边长成1∶2的关系且体积为72cm3，问其长、宽、高各为多少时，才能使此长方体盒子的表面积最小？

解：设底边长分别为x和2x

则方盒的表面积为：S2x2216

x 令S'4x2160

x2 得驻点：x32

因为实际问题必有最小值，且驻点唯一，

故当x32是S取得最小值。

此时方盒长、宽、高分别为62,32,2

10. 设某产品总产量的变化率是t的函数量。

解：Q(t)2(3x6x)dx

0tdQ，求从第3天到第7天的产3t26t（件/天）dt

t3t

Q(7)Q(2)470(件)

11. 设某产品的需求函数为Q402P，求Q10时的边际收入。

解：收益函数R(Q)QP

3211Q(20Q)20QQ2

22R(Q)20Q

所以当Q=10时的边际收益为R(10)201010

. . . 资 料. .

S .. . ..

12.

由yx,x2及y0所围成的图形绕x轴旋转，计算该旋转体的体积。

3解：

Vx20(x3)2dx

172x|0

7

128

7213.

求由抛物线yx和y2x所围成图形的面积。

2 解：

A11[x2(2x2)]dx

12

2(x1)dx

1

12(x3x)|11

3822 29.

求由抛物线yx和y2x所围成图形的面积。

3

14. 欲做一个容积100米3 的无盖圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？并求此时所用材料的面积。

解：因为r2h100，所以h 设所用材料面积为A，则

100，

r2200,(r0)

rAr22rhr2A2r200,

2r3A0得唯一实驻点r03100，

3故r0100100（米），h02r0100（米）时所用材料最省。此时

Ar02320030(10)（米2）

r015. 设区域D由曲线y=ex，y=x2与直线x=0，x=1围成.

. . . 资 料. .

S .. . ..

求D的面积A；

x2 解：

A(ex)dx

01

1(exx3)|10

34

3

e

16. 求内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的各边边长

解：设A点位内接矩形的顶点，坐标为（x,y），

则周长L4x4R2x2

4x22dL4令：dx 得驻点xRx0

R

2实际问题必有最大值，且驻点唯一，

所以L在x

五、

R处取最大值，此时矩形的各边长均为2R。

2综合题

1. 经过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D；求：

D的面积。

解：设切点为(x0,y0)

kx0lnx0 由题意知：k1

x0x0e解得：k1

ey01

D(eyey)dy

01

e

(y2ey)|1

02. . . 资 料. .

S .. . ..

e2

e1

22.

设f (x)在[0，1]上连续，且当x[0，1]时，恒有f (x)<1.证明方程2xx0f(t)dt1在（0，1）内至少存在一个根。

证：设g(x)2xx0f(t)dt1，又

10g(0)10，g(1)2f(t)dt10

g(0)•g(1)0

由介值定理f(x)在（0,1）内至少存在一个根

3. 设函数f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且f(2)0，F(x)(x1)f(x)，证明至少存在一点(1,2)使得F()0。

证：因为f(x)在[1,2]上连续，在（1,2）上可导，则

F(x)(x1)f(x)在[1,2]上连续，在（1,2）上可导。

又F(1)=F(2)=0

由罗尔定理知，至少存在一点∈（1,2）

使得：F()0

4. 已知过曲线yf(x)上任意一点（x,y）处的切线斜率为e2x，且曲线经过点（0，求该曲线方程

解：由题意知：

3），2ye2x

ye2xdx

1e2xc

2又因为曲线过（0， 所以：3）

231c

22即：c1

12x该曲线方程为：ye1

2. . . 资 料. .

S .. . ..

5. 方程sin(x-y+z)=x-y+z确定了二元隐函数z=z(x,y)，证明：设：F(x,y,z)sin(xzz0

xyyz)xyz

Fx(x,y,z)cos(xyz)1，

Fy(x,y,z)cos(xyz)1，

Fz(x,y,z)cos(xyz)1

所以：zxFxFcos(xyz)1yz)11

zcos(xzyFyFcos(xyz)1xyz)11

zcos( 所以

zxzy0

6. 求函数f(x)2x33x212x13的单调区间和极值。

证：设f(x)6x26x126(x1)(x2)

驻点x11,x22

x

(-∞,-1) -1 (-1,2) 2 (2,+∞)

y

+ 0 _ 0 +

y

单增 极大值 单减 极小值 单增

(-∞,-1)，(2,+∞)为单调递增区间，(-1,2)为单调递减区间

f(1)20为极大值，f(2)7为极小值。

7. 证明：当x>0时，1+12x1x

证：设f(x)112x1x （2分）

f'(x)12121x1x121x （4分）

x0

f'(x)0

f(x)在(0,)为增函数；

. . . 资 料.

.

S .. . ..

又f(0)0

f(x)f(0)0

故

1即：11x1x0

21x1x

28. 过抛物线y=x2+1上的点（1，2）作切线，该切线与抛物线及y轴所围成的平面图形为D.

(1)求切线方程； (2)求D的面积A；

解：（1）y'|(1,2)2x|(1,2)2，

切线方程为y22(x1)

即：y2x

2（2）D的面积A0[(x1)2x]dx，

2

2

3eax9. 设f(x){x0sin2xb

x0 可导，求a，b

解：f(x)可导，则f(x)在定义域内必连续，

limf(x)f(0)

x0即：limsin(2xb)ea0，得b1

x0当x0时，f(x)sin2x1

又f(x)可导，f'(0)f'(0)，且f(0)1

eax1(sin2x1)1

limlimx0x0x0x0得：a2

10. 证明方程x5+x-1=0至少有一个正根。

证：取函数f(x)xx1,x[0,1]

5f(x)在[0,1]上连续，且f(0)10,f(1)10,

由连续函数介值定理知：

存在(0,1),使f()0,即为原方程的一个正根。

. . . 资 料. .

S .. . ..

11. 求曲线y=ln

x及其在点(e,1)的切线与x轴所围成的平面图形的面积A

解：y1

x1

e1切线方程为：y1(xe)

e1 即：yx

e

k面积A(eyey)dy

01

ey



e21y|0

2e1

2

12. 证明：当x0时，

xln(x1x2)1x21。

证：设f(x)xln(x1x2)1x21，则f(0)0 .又

f(x)ln(x1x2)x1x2x1x2

ln(x1x2)0，x0

故x0时f(x)单调增加，从而f(x)>f(x)=0,即

xln(x1x2)1x21

. . . 资 料. .

S .. . ..

x11,　x0x13. 证明函数f(x)，在点x=0连续且可导。

1　,　　x02证：limf(x)limx0x0x11

x

lim11f(0)

x0x112故

f(x)在x0连续。

x11又limf(x)f(0)x12x0xlimx

x0

lim2x12x

x02x2

1limx111x11x04xlim

x04x8

故f(x)在x0可导。

14. 设z=y+F(u),u=x2-y2,其中F是可微函数.证明：yzxxzyx。

证：因为zx2xF'(u)

zy12yF'(u)

所以yzxz2xyF'xy(u)x[12yF'(u)]x

15.求函数f(x,y)4(xy)x2y2的极值。

'x42x0解：令{ff'y42y0 求出驻点为（2,2）

. . . 资 料.

.

S .. . ..

又

fxx2,''''''fxy0,fyy2, 因此，''''''Afxx(2,2)2,Bfxy(2,2)0,Cfyy(2,2)2

B2AC40，而A0

所以，f(2,2)8为极大值。

16. 设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存在一点（0，1），使f()=1-。

证：设g(x)f(x)x1

f(x)在[0,1]上连续，

g(x)必在[0,1]上连续；

又g(0)f(0)011

(f(0)0)

g(1)f(1)111

(f(1)1)

从而

g(0).g(1)0

由零点定理，至少存在一点 使得

g()f()10

从而

f()1

. . . 资 料.

.