2024年3月11日发(作者：辜念蕾)
18
中等数学
竞赛之窗
I
第
61
届
IMO
试题解答
中图分类号
:6424.79
文献标识码
：
A
1.
考虑凸四边形
4BCD,
设
P
为其内部
一点
，
且以下比例等式成立
：
/
PAD
:
Z
PBA
:
Z
DPA
=
1
：
2
：
3
=
z
CBP
:
z
BAP
:
z
BPC.
证
明
：
ZADP
、
ZPCB
的内角平分线和
线段
AB
的垂直平分线三线共点.
2.
设实数
a
、
b
、
c
、
d
满足
aMbMcMd
>0
,
且
a
+
b+
c+
d
=
l.
证明:
(a
+2b
+3c
+4d)a
a
b
b
c
c
d
d
<1.
3.
有
4n
颗小石子
，
重量分别为
1,2
,
•••
,
4n.
每一颗小石子都染了
n
种颜色之一
，
使得
每种颜色的小石子恰有四颗•证明
：
可以把这
些小石子分成两堆
，
同时满足以下两个条件:
(
1
)
两堆小石子有相同的总重量
；
(2)
每一堆恰有每种颜色的小石子各
两颗.
4.
给定整数
«>1.
在一座山上有
n
个高
度互不相同的缆车车站•有两家缆车公司
4
、
B,
各运营
k
辆缆车;每辆从一个车站运行到
某个更高的车站(中间不停留其他车站)•公
司
4
的丘辆缆车的
k
个起点互不相同上个终
点也互不相同
，
并且起点较高的缆车它的终
点也较高.公司
B
的缆车也满足相同的条
件.称两个车站被某个公司
“
连接
”
，
当且仅
当可以从其中较低的车站通过该公司的一辆
或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在
车站之间有其他移动
)•
求最小的正整数
k,
使得一定有两个车站被两个公司同时连接.
5.
有一叠
n(n>l)
张卡片•在每张卡片
上写有一个正整数•这叠卡片具有如下性质
：
其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等
于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几
文章编号
：
1005
-
6416(2020)11
-0018
-
04
何平均值•求所有的口,使得可以推出所有卡
片上的数均相等.
6.
证明:存在正常数
c
具有如下性质:对
任意整数
«>1,
以及平面上
n
个点的集合
S,
若
S
中任意两点之间的距离不小于
1,
则存
在一条分离
S的直线
Z,
使得
S
中的每个点到
直线
I
的距离不小于
cn-t
称直线
I
分离点
集
S
当且仅当某条以
S
中两点为端点的线段
与/相交.
注:若证明了比
cn
弓弱的估计
cn
勺
，
会根
据
a
>*
的值
，
适当给分.
参考答案
1
.如图
1.
c
设
ZPAD=a,/CBP=0.
由条件知
ZPBA=2a,ZDPA=3a,
Z
BAP
=
2/3,/
BPC
=3/3.
设点
X
在线段仙上
，
满足
ZXPA=a.
则
Z
PXD
=
Z
PAX
+
Z
XPA
=2a
=/
DPA
-
/
XPA
=
/
DPX
2020
年第
11
期
19
连一条边•这样,
G
共有
2n
条边
，
可能含环边
(当
。
与必
“
+一同色时)或重边
，
由于每种颜
A
DPX
为等腰三角形
=>
DX
=
DP
=
ZADP
的内角平分线也为
XP
的中
垂线.
色的小石子恰有四颗
，
于是,G
为
4
—
正则图
类似地
，
若点
Y
在线段
BC
上
，
满足
Z
BPY=p,
则
Z
PCB
的内角平分线也为
PY
的中垂线.
于是
，
问题转化为证明
XP^PY^AB
的中垂
线三线共点.
注意到
，
(注意
，
一条环边在顶点处需计入度数
2
)
•
引理任何一个
4
—
正则图均有一个
2
—
正则生成子图.
证明
只需对连通图来证明
，
一般情况
对每个连通分支取
2
—
正则生成子图即可.
假设
G=(V,E)
为一个连通的
4
—
正则
图
,V
=
n,E
=
2n.
/
AXP
=
180°
-
Z
PXD
=
Z
180
。
-2a
=
180°
-
Z
PBA
由于每个顶点处的度数均为偶数
，
由欧
拉一笔画定理
，
知
G
中存在一个欧拉闭迹
L.
将厶中的边交替地分到集合
Ei
、
坊中
,
则
=
4
、
X
、
P
、
B
四点共圆
=>
点
X
在的外接圆上.
类似地
，
点
Y
在
AAPB
的外接圆上.
故
4
、
B
、
Y
、
P
、
X
五点共圆
IE*!
I
=
E
2
=
n
9
且
(
匕血)
、
(
v
,
e
2
)
均为
2
—
正则生成子图.
nAP
、
PY
、
AB
的中垂线均经过该圆的
圆心.
2
.
由
a+
b+c
+
d
=
l
，
结合加权均值不輕得
a
a
b
b
cd
d
Waa
+
bb
+
cc
+
dd
事实上
，
考虑一个顶点
”
，
若
。
处没有环
边
，
则厶经过
。
两次
，
每次进入
。
和走出
。
的
两条厶上相邻边分别属于耳和
e
2
.
于是
，
。
处
恰有两条血中的边
，
。
在(匕血)中的度为
2.
若
。
处恰有一条环边
，
则
L
中有连续三
条边勺弋弋?
，
其中,
e
为
。
处的环边,
ei
心
为
u
处的另两条(非环)边.于是心
0
同属于某个
E,
,e
属于禺
」
从而在
(
匕妨
)
中的度也为
2.
若
v
处恰有两条环边
，
由图的连通性
,
知
=a
2
+
b
2
+
c
2
+
护.
于是
，
只需证明
(a
+
26
+
3c
+4J)
(a
2
+
b
2
+
c
2
+
J
2
)
<
1
.
由
aMbMcMd
>0,
得
(a
+
b+
c+d)
3
>
a
2
(
a
+
36
+3c
+3d)
+
Z>2(3a
+
b
+
3c
+3d)
+
c
2
(3a
+
3b
+
c
+3d)
+
d
2
(3a
+3b
+3c
+
d)
“
=1.
此时
，
两条环边分别属于
E^E
2
,
v
在
(V,E
l
)
中的度为
2.
引理得证.
作出的图
G
=
(V,E)
为
4
一正则图
，
由引
理结论
，
可将
E
分为两组血
、
民
，
1
血
1=
週
1
=
□
，
且
(
V,EJ
和
(
V,E
2
)
均为
2
—
正则生成子图.
由
G
的边集的定义
，
每一条边对应于一
对小石子
(p
,p
4n
+
1-,)-
现将恥
=
1,2)
中
n
条边对应的
n
对小
M
(
a
+
2b
+
3c
+
4d)
(
/
+
b
2
+
c
2
+
J
2
),
再由
a
+b
+c
+
d
=
l
，
从而
，
结论成立.
3
.
设
n
种颜色为
C[
,C2,
…
,
c
”
,
小石子集
合记为
,P2,
—
,P4n
,Pi
表示重量为
i
的小
石子•下面构造图
G
=
(V,E),
其中
，
顶点集
石子作为第
i
堆小石子.
由于每对小石子的重量之和均为
4n
+
1
,
于是,两堆小石子有相同的总重量
n(4n
+
1).
又
(
匕血
)
和
(
匕坊
)
均为
2
—
正则生成子图
，
因此
，
每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.
V=
{g,
…
,
C
”
}
，
边集的定义如下:对每个
1
W2/1
，
若必的颜色为
U,P4
”
+
1_
；
的颜色为
0,
则对应于小石子对(必
,p
4n
+
i-i
)
在
u
、
0
之间
20
【
注
】
题中所证引理是下面定理的一个
特殊情况:对图
G=(V,E),
若每个顶点的度
均为仁则称
G
为厶一正则图•对
G
的生成子
图
H=(
V,EJ
,E'QE,
若
H
为
r
—
正则图
，
则
称
H
为
G
的一个
r
—
因子
.
1
—
因子也称为完
美匹配
Petersen
2
—
因子定理
设
G
为
一个
2
佥一正则图(可有环边或重边)
，
则
G
有
2
—
因子.
4.
答案:
n
—
n
+1.
首先
，
对
k*
-
",
存在一种缆车的运
行路线
，
使得不存在两个车站同时被两家公
司连接.
显然只需对
k=n
2
-n
举例
，
对更小的
k
,
从中删去一些缆车即可.
设
S
*2
，
…
,
S
”
2
为高度依次递增的
n
2
个
车站•考虑公司
4
的
n
-n
辆缆车
，
从
S,
到
S
：
+
i
(
1
WiWz?
)
,
且
口
j
；
公司
B
的
n
-n
辆
缆车
，
从
S,
到
S+
(l
WtWr?
_口).从而◎
、
尊
被公司
4
连接当且仅当被公司
n
n
B
连接当且仅当
i
=j(
mod
n)
，
其中
，
「
刃表示
不小于实数％的最小整数•显然
，
这两个条件
不能同时成立
，
故没有两个车站同时被公司
A
、
B
连接.
下面证明
：
当
+
1
时
，
一定有两
个车站被两家公司同时连接.
定义有向图顶点集为
n
2
个车站
{S
】
,
S2,
“
・
,S
”
2}
，
对于
1
Wi 『 , 当且仅当 公司 A 有一辆缆车从 S, 运行到 Sj 时,连一条 有向边 S ： — > Sj. 由条件 ， 知 G A 中每个顶点至多一条出 边 , 也至多一条入边 , 且由于有向边只能从下 标较小的顶点指向下标较大的顶点•从而, G a 也不含有向圈 • 易知 ， G a 为若干条有向链的并(一个 孤立的顶点也视为一条有向链 ). 每条有 向链上的两个车站是被公司 A 连通的.由于 中等数学 有 rT -n+1 条边 ， 有 n 2 - n + 1 个顶点有入 边 ， 恰有 n-1 个顶点没有入边 ， 于是 ， G 。 有 n-1 条有向链.由抽屉原理,知其中有一条 有向链至少含有 - -¼ 2 — n-1 =n+2 个顶点 ， 设这 条有向链上的顶点集为 x, IXI Mn +2. 类似定义有向图 G b , 可得 G b 也有 n - 1 条有向链,从而, X 中有两个顶点 S ：、 Sj 在 G b 的同一条有向链上.因此, S, 、 Sj 同时被公司 4 、 B 连接. 5. 对所有 n > 1 , 都能推出卡片上的数均 相等. 等价地 ， 证明如下命题:若 © Wo? W … Wa “ 为不全相等的正整数 , 则存在其中两个数 , 它 们的算术平均值不等于其中任何一部分数的 几何平均值. 设 gcd ( 5 ,a n )=d. 若 d > 1 , 可将 a l ,a 2 ,---,a n 换成牛 ， 号, … ， 牛 ， 此时 ， 所有算术平均值和几何平均值 都除以d, 所证结论与原 n 个数时的等价•从 而,不妨设 5 ， 血 ， … ， a ” 互素. 由于如 <2, … ， a ” 不全相等,于是 ， a ” M2. 设 P 为 a ” 的素因子 ， 由 © 宀 ， … ， a ” 互 素,知存在 WkWn- 1 , 使得 p } a k . 取这样 的毁 ， 且心最大. 下面证明空尹不能表示为 ai ,a 2 ,-, a ” 中一部分数的几何平均值. 反证法. 假设存在 1 使得 即 = (a k+a n )m . ① 若 i m>k, 则 pl® ” , 但 p 卜仏 +a ” ) ， 从而, 2020 年第 11 期 21 式①左边被 P 整除 ， 右边不被 P 整除,矛盾. 由于 d, W2(i - 1 )5( 1 Wi V") , 则必 ， 心 , 若 订赵, 由于 a k … ,必中至少有聞个数属于区间 ［ 0,* ］ , 即 m 一 一 一 a ” + a ” 也矛盾. 因此 ， 结论得证. 对于任意的 1 WjWk, 由 c=0. 6. 1 满足要求. a - di I IE 3 = cn ~ 3 . 对平面上有限点集 S 以及直线 Z, 记 8(S,l) 为 S 中的点到 I 距离的最小值. 则 1 力 -y 心卑, 即 y x ,y 2 , … ， 九中任意两数 反证法. 假设结论不成立 ,则存在平面上 n ( n 工 之差的绝对值不小于孕 • 从而 ， 2) 个点的集合 S, 使得对于任意分离 S 的直 线 2, 均有 WiWk max y- - lWiWk min y&(k -1 ① 3(S,Z)<3. 取 S 中距离最大的两点 A 、 B, 设 d = AB, 而带状区域 0 与圆盘 D b 的交 显然 ,dl. 集为一个弓形区域 ， 最高点 、 最低点是直线 以 4 为原点 、 為为力轴正方向 ， 建立直 x = * 与圆周 (% - 2 + y = d 2 的交点 ， 即 角坐标系. 设 S 中各点的横坐标从小到大依次为 血" 0 •••€/” • 由于 S 中所有点落在下面 两个闭圆盘 6 、 D b 的交集中 ， 即 D A = P 疋 1 IPAI Wd ］ , DB = {PE R 2 I IPBI ^d , 结合不等式① 、 ② ， 及 心丄 >2, 得 又 s 中所有点的横坐标均在区间 ［ 0,d ］ 中 ， 于是 Ml =0,d ” =d. 2 施 >(11) 弊％ M 看. 若存在 1 WiWn-l, 使得 上式两边平方 ， 再利用 ^i+i ~di^28, d = J n ^2(n - 1 )3 <2n8 ， 则直线 I ： J 补 空分 离 S, 且 3(S,/>5, 与 得睑皿 〉 嚴 反证法假设矛盾. => 2 048 冏彳 > 3. 从而 ， 对于任意的 1 Wn-1, 均有 代入 8=c n ^, 有 必 + 1 - 必 v 20. 2 048 冏彳 =2 048? >3. 现考虑条形区域 o 中 S 的点 ， 设 但对于 c=0. 1, < 2 048c 3 <3, 矛盾. 故假设不成立. 这些点为 P 』 ， … , Pk, 其中 ， 匕(必,咒)(心 因此 ,c=0. 1 满足题目要求. 1,2,-/). (熊斌瞿振华提供)
2024年3月11日发(作者：辜念蕾)
18
中等数学
竞赛之窗
I
第
61
届
IMO
试题解答
中图分类号
:6424.79
文献标识码
：
A
1.
考虑凸四边形
4BCD,
设
P
为其内部
一点
，
且以下比例等式成立
：
/
PAD
:
Z
PBA
:
Z
DPA
=
1
：
2
：
3
=
z
CBP
:
z
BAP
:
z
BPC.
证
明
：
ZADP
、
ZPCB
的内角平分线和
线段
AB
的垂直平分线三线共点.
2.
设实数
a
、
b
、
c
、
d
满足
aMbMcMd
>0
,
且
a
+
b+
c+
d
=
l.
证明:
(a
+2b
+3c
+4d)a
a
b
b
c
c
d
d
<1.
3.
有
4n
颗小石子
，
重量分别为
1,2
,
•••
,
4n.
每一颗小石子都染了
n
种颜色之一
，
使得
每种颜色的小石子恰有四颗•证明
：
可以把这
些小石子分成两堆
，
同时满足以下两个条件:
(
1
)
两堆小石子有相同的总重量
；
(2)
每一堆恰有每种颜色的小石子各
两颗.
4.
给定整数
«>1.
在一座山上有
n
个高
度互不相同的缆车车站•有两家缆车公司
4
、
B,
各运营
k
辆缆车;每辆从一个车站运行到
某个更高的车站(中间不停留其他车站)•公
司
4
的丘辆缆车的
k
个起点互不相同上个终
点也互不相同
，
并且起点较高的缆车它的终
点也较高.公司
B
的缆车也满足相同的条
件.称两个车站被某个公司
“
连接
”
，
当且仅
当可以从其中较低的车站通过该公司的一辆
或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在
车站之间有其他移动
)•
求最小的正整数
k,
使得一定有两个车站被两个公司同时连接.
5.
有一叠
n(n>l)
张卡片•在每张卡片
上写有一个正整数•这叠卡片具有如下性质
：
其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等
于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几
文章编号
：
1005
-
6416(2020)11
-0018
-
04
何平均值•求所有的口,使得可以推出所有卡
片上的数均相等.
6.
证明:存在正常数
c
具有如下性质:对
任意整数
«>1,
以及平面上
n
个点的集合
S,
若
S
中任意两点之间的距离不小于
1,
则存
在一条分离
S的直线
Z,
使得
S
中的每个点到
直线
I
的距离不小于
cn-t
称直线
I
分离点
集
S
当且仅当某条以
S
中两点为端点的线段
与/相交.
注:若证明了比
cn
弓弱的估计
cn
勺
，
会根
据
a
>*
的值
，
适当给分.
参考答案
1
.如图
1.
c
设
ZPAD=a,/CBP=0.
由条件知
ZPBA=2a,ZDPA=3a,
Z
BAP
=
2/3,/
BPC
=3/3.
设点
X
在线段仙上
，
满足
ZXPA=a.
则
Z
PXD
=
Z
PAX
+
Z
XPA
=2a
=/
DPA
-
/
XPA
=
/
DPX
2020
年第
11
期
19
连一条边•这样,
G
共有
2n
条边
，
可能含环边
(当
。
与必
“
+一同色时)或重边
，
由于每种颜
A
DPX
为等腰三角形
=>
DX
=
DP
=
ZADP
的内角平分线也为
XP
的中
垂线.
色的小石子恰有四颗
，
于是,G
为
4
—
正则图
类似地
，
若点
Y
在线段
BC
上
，
满足
Z
BPY=p,
则
Z
PCB
的内角平分线也为
PY
的中垂线.
于是
，
问题转化为证明
XP^PY^AB
的中垂
线三线共点.
注意到
，
(注意
，
一条环边在顶点处需计入度数
2
)
•
引理任何一个
4
—
正则图均有一个
2
—
正则生成子图.
证明
只需对连通图来证明
，
一般情况
对每个连通分支取
2
—
正则生成子图即可.
假设
G=(V,E)
为一个连通的
4
—
正则
图
,V
=
n,E
=
2n.
/
AXP
=
180°
-
Z
PXD
=
Z
180
。
-2a
=
180°
-
Z
PBA
由于每个顶点处的度数均为偶数
，
由欧
拉一笔画定理
，
知
G
中存在一个欧拉闭迹
L.
将厶中的边交替地分到集合
Ei
、
坊中
,
则
=
4
、
X
、
P
、
B
四点共圆
=>
点
X
在的外接圆上.
类似地
，
点
Y
在
AAPB
的外接圆上.
故
4
、
B
、
Y
、
P
、
X
五点共圆
IE*!
I
=
E
2
=
n
9
且
(
匕血)
、
(
v
,
e
2
)
均为
2
—
正则生成子图.
nAP
、
PY
、
AB
的中垂线均经过该圆的
圆心.
2
.
由
a+
b+c
+
d
=
l
，
结合加权均值不輕得
a
a
b
b
cd
d
Waa
+
bb
+
cc
+
dd
事实上
，
考虑一个顶点
”
，
若
。
处没有环
边
，
则厶经过
。
两次
，
每次进入
。
和走出
。
的
两条厶上相邻边分别属于耳和
e
2
.
于是
，
。
处
恰有两条血中的边
，
。
在(匕血)中的度为
2.
若
。
处恰有一条环边
，
则
L
中有连续三
条边勺弋弋?
，
其中,
e
为
。
处的环边,
ei
心
为
u
处的另两条(非环)边.于是心
0
同属于某个
E,
,e
属于禺
」
从而在
(
匕妨
)
中的度也为
2.
若
v
处恰有两条环边
，
由图的连通性
,
知
=a
2
+
b
2
+
c
2
+
护.
于是
，
只需证明
(a
+
26
+
3c
+4J)
(a
2
+
b
2
+
c
2
+
J
2
)
<
1
.
由
aMbMcMd
>0,
得
(a
+
b+
c+d)
3
>
a
2
(
a
+
36
+3c
+3d)
+
Z>2(3a
+
b
+
3c
+3d)
+
c
2
(3a
+
3b
+
c
+3d)
+
d
2
(3a
+3b
+3c
+
d)
“
=1.
此时
，
两条环边分别属于
E^E
2
,
v
在
(V,E
l
)
中的度为
2.
引理得证.
作出的图
G
=
(V,E)
为
4
一正则图
，
由引
理结论
，
可将
E
分为两组血
、
民
，
1
血
1=
週
1
=
□
，
且
(
V,EJ
和
(
V,E
2
)
均为
2
—
正则生成子图.
由
G
的边集的定义
，
每一条边对应于一
对小石子
(p
,p
4n
+
1-,)-
现将恥
=
1,2)
中
n
条边对应的
n
对小
M
(
a
+
2b
+
3c
+
4d)
(
/
+
b
2
+
c
2
+
J
2
),
再由
a
+b
+c
+
d
=
l
，
从而
，
结论成立.
3
.
设
n
种颜色为
C[
,C2,
…
,
c
”
,
小石子集
合记为
,P2,
—
,P4n
,Pi
表示重量为
i
的小
石子•下面构造图
G
=
(V,E),
其中
，
顶点集
石子作为第
i
堆小石子.
由于每对小石子的重量之和均为
4n
+
1
,
于是,两堆小石子有相同的总重量
n(4n
+
1).
又
(
匕血
)
和
(
匕坊
)
均为
2
—
正则生成子图
，
因此
，
每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.
V=
{g,
…
,
C
”
}
，
边集的定义如下:对每个
1
W2/1
，
若必的颜色为
U,P4
”
+
1_
；
的颜色为
0,
则对应于小石子对(必
,p
4n
+
i-i
)
在
u
、
0
之间
20
【
注
】
题中所证引理是下面定理的一个
特殊情况:对图
G=(V,E),
若每个顶点的度
均为仁则称
G
为厶一正则图•对
G
的生成子
图
H=(
V,EJ
,E'QE,
若
H
为
r
—
正则图
，
则
称
H
为
G
的一个
r
—
因子
.
1
—
因子也称为完
美匹配
Petersen
2
—
因子定理
设
G
为
一个
2
佥一正则图(可有环边或重边)
，
则
G
有
2
—
因子.
4.
答案:
n
—
n
+1.
首先
，
对
k*
-
",
存在一种缆车的运
行路线
，
使得不存在两个车站同时被两家公
司连接.
显然只需对
k=n
2
-n
举例
，
对更小的
k
,
从中删去一些缆车即可.
设
S
*2
，
…
,
S
”
2
为高度依次递增的
n
2
个
车站•考虑公司
4
的
n
-n
辆缆车
，
从
S,
到
S
：
+
i
(
1
WiWz?
)
,
且
口
j
；
公司
B
的
n
-n
辆
缆车
，
从
S,
到
S+
(l
WtWr?
_口).从而◎
、
尊
被公司
4
连接当且仅当被公司
n
n
B
连接当且仅当
i
=j(
mod
n)
，
其中
，
「
刃表示
不小于实数％的最小整数•显然
，
这两个条件
不能同时成立
，
故没有两个车站同时被公司
A
、
B
连接.
下面证明
：
当
+
1
时
，
一定有两
个车站被两家公司同时连接.
定义有向图顶点集为
n
2
个车站
{S
】
,
S2,
“
・
,S
”
2}
，
对于
1
Wi 『 , 当且仅当 公司 A 有一辆缆车从 S, 运行到 Sj 时,连一条 有向边 S ： — > Sj. 由条件 ， 知 G A 中每个顶点至多一条出 边 , 也至多一条入边 , 且由于有向边只能从下 标较小的顶点指向下标较大的顶点•从而, G a 也不含有向圈 • 易知 ， G a 为若干条有向链的并(一个 孤立的顶点也视为一条有向链 ). 每条有 向链上的两个车站是被公司 A 连通的.由于 中等数学 有 rT -n+1 条边 ， 有 n 2 - n + 1 个顶点有入 边 ， 恰有 n-1 个顶点没有入边 ， 于是 ， G 。 有 n-1 条有向链.由抽屉原理,知其中有一条 有向链至少含有 - -¼ 2 — n-1 =n+2 个顶点 ， 设这 条有向链上的顶点集为 x, IXI Mn +2. 类似定义有向图 G b , 可得 G b 也有 n - 1 条有向链,从而, X 中有两个顶点 S ：、 Sj 在 G b 的同一条有向链上.因此, S, 、 Sj 同时被公司 4 、 B 连接. 5. 对所有 n > 1 , 都能推出卡片上的数均 相等. 等价地 ， 证明如下命题:若 © Wo? W … Wa “ 为不全相等的正整数 , 则存在其中两个数 , 它 们的算术平均值不等于其中任何一部分数的 几何平均值. 设 gcd ( 5 ,a n )=d. 若 d > 1 , 可将 a l ,a 2 ,---,a n 换成牛 ， 号, … ， 牛 ， 此时 ， 所有算术平均值和几何平均值 都除以d, 所证结论与原 n 个数时的等价•从 而,不妨设 5 ， 血 ， … ， a ” 互素. 由于如 <2, … ， a ” 不全相等,于是 ， a ” M2. 设 P 为 a ” 的素因子 ， 由 © 宀 ， … ， a ” 互 素,知存在 WkWn- 1 , 使得 p } a k . 取这样 的毁 ， 且心最大. 下面证明空尹不能表示为 ai ,a 2 ,-, a ” 中一部分数的几何平均值. 反证法. 假设存在 1 使得 即 = (a k+a n )m . ① 若 i m>k, 则 pl® ” , 但 p 卜仏 +a ” ) ， 从而, 2020 年第 11 期 21 式①左边被 P 整除 ， 右边不被 P 整除,矛盾. 由于 d, W2(i - 1 )5( 1 Wi V") , 则必 ， 心 , 若 订赵, 由于 a k … ,必中至少有聞个数属于区间 ［ 0,* ］ , 即 m 一 一 一 a ” + a ” 也矛盾. 因此 ， 结论得证. 对于任意的 1 WjWk, 由 c=0. 6. 1 满足要求. a - di I IE 3 = cn ~ 3 . 对平面上有限点集 S 以及直线 Z, 记 8(S,l) 为 S 中的点到 I 距离的最小值. 则 1 力 -y 心卑, 即 y x ,y 2 , … ， 九中任意两数 反证法. 假设结论不成立 ,则存在平面上 n ( n 工 之差的绝对值不小于孕 • 从而 ， 2) 个点的集合 S, 使得对于任意分离 S 的直 线 2, 均有 WiWk max y- - lWiWk min y&(k -1 ① 3(S,Z)<3. 取 S 中距离最大的两点 A 、 B, 设 d = AB, 而带状区域 0 与圆盘 D b 的交 显然 ,dl. 集为一个弓形区域 ， 最高点 、 最低点是直线 以 4 为原点 、 為为力轴正方向 ， 建立直 x = * 与圆周 (% - 2 + y = d 2 的交点 ， 即 角坐标系. 设 S 中各点的横坐标从小到大依次为 血" 0 •••€/” • 由于 S 中所有点落在下面 两个闭圆盘 6 、 D b 的交集中 ， 即 D A = P 疋 1 IPAI Wd ］ , DB = {PE R 2 I IPBI ^d , 结合不等式① 、 ② ， 及 心丄 >2, 得 又 s 中所有点的横坐标均在区间 ［ 0,d ］ 中 ， 于是 Ml =0,d ” =d. 2 施 >(11) 弊％ M 看. 若存在 1 WiWn-l, 使得 上式两边平方 ， 再利用 ^i+i ~di^28, d = J n ^2(n - 1 )3 <2n8 ， 则直线 I ： J 补 空分 离 S, 且 3(S,/>5, 与 得睑皿 〉 嚴 反证法假设矛盾. => 2 048 冏彳 > 3. 从而 ， 对于任意的 1 Wn-1, 均有 代入 8=c n ^, 有 必 + 1 - 必 v 20. 2 048 冏彳 =2 048? >3. 现考虑条形区域 o 中 S 的点 ， 设 但对于 c=0. 1, < 2 048c 3 <3, 矛盾. 故假设不成立. 这些点为 P 』 ， … , Pk, 其中 ， 匕(必,咒)(心 因此 ,c=0. 1 满足题目要求. 1,2,-/). (熊斌瞿振华提供)