2024年3月16日发(作者：建翎)

导数专题

1．已知函数

f

导数题中求含参单调性



x





2x  b

区间；



x 1



2

，求确定

f



x



的单调区间．

2

2．已知函数

f



x





xlnx,

f





x



为

f



x



的导函数，令

g



x





f





x





ax

,

，求

g



x



的单调区间；

3．设函数

f



x





x

2



alnx





a



2



x

，求函数

f



x



的单调区间；

4．已知函数

f



x





x



2

x



ln

x

的导函数为

f





x



，求函数

g



x





f



x





4x

的单调区间．

5．已知

f



x





2lnx



ax

1



a



R



，若

a



0

，求

f



x



的单调区间；

6．设函数

f

(x)



e

x



ax



2

，求

f

(x)

的单调区间；

7．已知函数

g



x





lnx



ax

2





2



a



x,

a



R

，求

g



x



的单调区间；

8．设函数

f



x





e

x



ax



2

，求

f



x



的单调区间；

9．已知函数

f



x





x

2



ax



a

e



x

，

a  R

，求函数

f



x



的单调区间；



10．已知函数

f



x





e

x



ax



b



a,

b



R



在

x



ln2

处的切线方程为

y



x



2ln2.

求函数

f



x



的单调

11．已知函数 f (x)  a ln x  ax  3 (a  R) ，当 a

＞

0 时，求函数 f (x) 的单调区间；

小韩整理

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导数专题

，

f '



x



为其导函数，

g



x





f



x





1

，求函数

g



x



的

12．已知函数

f



x





a

2

x



1

 2aln



ax





1

单调区间；

x

2

x

13．设函数

f



x





lnx



ax

，

f





x



表示

f



x



导函数

，

讨论函数

f



x



的单调区间；

14．已知函数

f

(x)



(2



a) ln

x



1

 2ax(a  R)

，

a  0

时，求

f (x)

的单调区间；

x

15

．已知函数

f (x) | x  a |  ln x(a  0).

若

a  0

，求

f (x)

的单调区间；

16．已知函数

f

(x)



a(1 x)

 ln x (a  R)

，求

f

(x)

的单调区间；

x

17．已知函数

f



x





x

2



x



a



当

a



0

时，求

f



x



的单调区间.

，

18．已知 f



x





alnx



a  0



，求

f



x



的单调区间.

x

1

求

f (x)

的单调区间；

19．已知函数

f

(x)



ax



ln

x,

g

(x)



ln x



x 2.

20．已知函数

f



x







ax

1



e

x

,

a



R

，讨论

f



x



的单调区间；

21．已知函数

f



x







2



a



lnx



1

 2ax

，当

a 2

时，求

f



x



的单调区间；

x

22．设函数

f



x





ax





a

1



ln



x

1



，其中

a

1

，求

f



x



的单调区间；

23

．

已知函数

f

(

x

)=

小韩整理

x

2

2xa

x

；

x





1

，





，求函数

f



x



的单调区间

.

第 2 页 共 20 页

导数专题

24．已知

f



x





mx



lnx,



m



R



，

求

f



x



的单调区间；

25．

f

(x)



x

2



(a

1)x



ln

x

，若

a

1

，求函数

f

(x)

的单调区间；

a

2

26．已知

f



x





x

2



a

ln

x



a



R



，求函数

f



x



的单调区间；

1

2

27．设

f



x





xlnx



ax

2





2a

1



x

，

a



R

，

令

g



x





f



x



，求

g



x



的单调区间；

x

x

28．设

a

为实数，函数

f

(x)



e



2x



2a

，

x



R

，求

f

(x)

的单调区间；

29．已知函数

f



x







ln

x



k

1



x,



k



R



，当

x



1

时，求

f



x



的单调区间；

30．已知函数

f



x





alnx



x

2

2





a

1



x

，当

a



0

时,求函数

f



x



的单调区间;

31．函数

f



x





a

ln

x



x,

a



R

，求

f



x



的单调区间；

32．已知函数

f

(x)



(x



k

1)e

x

，当

x



0

时，求

f



x



的单调区间；

33．设

a

为实数，函数

f



x





e

x



2x



2a

,

x  R

，求

f



x



的单调区间；

34．设函数

f

(x)



e

x



a

ln

x

，

g

(x)



x



间；

1a

x

x



e

，设函数

h(x)



f

(x)



g

(x)

，求函数

h(x)

单调区

35．已知函数

f



x







x



k



e

x

.

求

f



x



的单调区间；

小韩整理

第 3 页 共 20 页

导数专题

36．已知函数

f

(x)



x

2



2a

ln

x

，

a



R

，讨论

f

(x)

单调区间；

37．已知函数

f

(x)



小韩整理

第 4 页 共 20 页

1

2

x

2



a

ln

x



12

(a



R)

，求函数

f

(x)

单调区间；

1

导数专题

极值点问题

1．函数

f

(

x)



x

3



ax

2



ax

(

x



R)

不存在极值点，则

a

的取值范围是

2．若

x



1

是函数

f



x





e

x



a

ln

x

的极值点，则实数

a





3

．函数

y



2x



ln



x

1



的极值点为

x

0

，则

x

0



4．已知

a



R

，讨论函数

f

(x)



e

x

(x

2



ax



a

1)

的极值点的个数

5．

x



1

是函数

f

(x)



e

xm



ln(2x)

的极值点，则

m

的值为

6 ． 已 知

a



0

， 函 数

f



x



 x



x  a



2

和

g



x



x

2





a 1



x  a

存 在 相 同 的 极 值 点 ， 则

a 

7．函数

f



x





xe

x

在其极值点处的切线方程为

8．设函数

y



e

ax



3x(x



R

，

a



R)

有大于零的极值点，则

a

的取值范围是

9．若函数

y



e

x



ax

有大于零的极值点，则

a

的取值范围是

10．设

m



R

，若函数

y  e

x

 mx, x  R

有大于零的极值点，则

m

的范围为

11．设

a



R

，若函数

y



3e

x



2ax,

x



R

有小于零的极值点，则

a

的取值范围是

12．已知

x



3

是函数

y



a

ln

x



x

2

10x

的一个极值点，则实数

a





m

 x



x

0 0





0





x



2

 m

2

，则

m

的取值范围是

13．设函数

f

x 3 sin

．若存在

f

的极值点

x

满足

x

2



f

14．设

x



1

与

x



2

是函数

f

(x)



a

ln

x



bx

2

 x

的两个极值点.则常数

a

=

15．设

a



R

，若函数

y



e

2

x



ax

(x  R) 有大于零的极值点，则

a

的取值范围

16．设

a



R

，若函数

y



e

ax



3x

，

x  R

有大于零的极值点，则

a

的取值范围是

17．如果函数

f

(x)



ln

x



ax

2



2x

有两个不同的极值点，那么实数

a

的范围是

小韩整理

第 5 页 共 20 页

18．函数

f



x





e

x

x



ae

x

恰有两个极值点

x

1

,

x

2



x

1



x

2



，则

a

的取值范围是

19．函数

f

(x)





alnx1

22

的图象在点

(e

,

f

(e

))

处的切线与直线

y



xe

4

x

平行，则

f

(x)

的极值点是

20．设

m



R

，若函数

y



e

x



2mx(x



R)

有大于零的极值点，则

m

的取值范围是

导数专题

21．函数

f



x





x

2



a

ln

x

1



a



R



在



1, 2



内不存在极值点，则

a

的取值范围是

22．若函数

y



x

ln

x



ax

2

有两个极值点,则实数

a

的范围是

23．已知函数

f



x





x

3



ax

在

R

上有两个极值点，则实数

a

的取值范围是

24．若函数

f



x





x

2



ax



a

1e

x



a



N



在区间



1,3



只有

1

个极值点，则曲线

f



x



在点

0,

f







0





处切线的方程为

25．在

ABC

中，

a,

b,

c

分别为角

A,

B,

C

的对边，若函数

f



x





极

值点，则

B

的范围是

1

3

x

3



bx

2





a

2



c

2



ac



x

1

有

1

26 ． 若 函 数

f (x) ln x  ax

2

 bx  a  2b

有 两 个 极 值 点

x

1

, x

2

， 其 中



2

 a  0, b  0

， 且

f (x

2

)  x

2

 x

1

，则方程

2a[ f (x)]

2

 bf (x) 1  0

的实根个数为

27．函数

f



x





x

2

e

x

在区间



a,

a

1



上存在极值点，则实数

a

的取值范围为

28 ． 已知函数

f

x





e

x



3k

ln

x



kx

, 若

x



3

是函数

f



x



唯一的极值点 , 则实数

k

的取值范围为

x

3

29．设函数

f



x





x

2



mln



1

x



有两个极值点，则实数

m

的取值范围是

3

b  2

a 1

30．已知

x

1

,

x

2

分别是函数

f

(x)



x



1

ax

2

 2bx  c

的两个极值点，且

x

1

 (0,1)

,

x

2

 (1,2)

,则

的取值范围是

3 2

31．设

a



R

，若函数

y



x



a

ln

x

在区间

(

1

, e)

有极值点，则

a

的取值范围为

e

32．若函数

f



x





a



x



2



e

x



ln

x



1

存在唯一的极值点，且此极值大于 0，则



x



33．若

x

2

是函数

f



x





x

2

 ax 1 e

x1

的极值点，则

f



x



的极小值为

34．若函数

f



x





e

x



a

ln

x



2ax

1

在



0,





上恰有两个极值点，则

a

的取值范围为

35．已知

a

为常数，函数

f



x





x



lnx



2ax



有两个极值点，则

a

的取值范围为

36．设

a

R

，若函数

f



x





e

ax



x

有小于零的极值点，则实数

a

的取值范围为

37．若

x



1

是函数

f



x





ax

2

 1 







 e



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第 6 页 共 20 页

导数专题

38 ． 已知函数

f



x





x

3



2x

2



ax

1

在区间



1,1



上恰有一个极值点，则实数

a

的取值范围是

39．已知函数

f

(x)



x(ln

x



ax)

有两个极值点,则实数

a

的取值范围是

40．已知函数

f



x





e

x

x



ae

x

有两个极值点，则实数的取值范围是



41

．已知函数

f



x





x



lnx



ax



有两个极值点，则实数

a

的取值范围是

42．设

a



0

,若函数

y



e

x



2ax,

x



R

有小于零的极值点，则实数

a

的取值范围是

43．已知函数

f



x





x



lnx



ax



有两个极值点,则实数

a

的取值范围是

44．设

a



0

,若函数

y



e

x



2ax,

x



R

有小于零的极值点，则实数 a 的取值范围是

1

3

45．已知实数

a,

b

满足

1



a



1,

1



b



1

，则函数 f(x)=

x ax

2

 bx  5

的两个极值点都在(0,1)内

3

的概率为

1．已知函数

f



x





ln



ax

2



x

．

1

2x

（2）若

f



x



有两个极值点

x

1

,

x

2

，证明：

f



x

1





f



x

2





3



4 ln 2

．

2．设函数

f



x





ln

x





x

1,

a



R

.

a

x

（1）讨论函数

f



x



极值点的个数；

（2）若函数有两个极值点

x

1

,

x

2

，求证：

f



x

1





f



x

2





3

2



2 ln 2

.

3．设函数

f

(x)



(x

1)

2



b

ln

x

，其中

b

为常数．

（1）当

b



1

2

时，判断函数

f

(x)

在定义域上的单调性；

（2）若函数

f

(x)

有极值点，求

b

的取值范围及

f

(x)

的极值点.

4．设函数

f

(x)



(x

1)

2



b

ln

x

，其中

b

为常数。

（1）当

b



1

2

时，判断函数

f

(x)

在定义域上的单调性；

1

（2）若函数

f

(x)

有极值点，求

b

的取值范围及

f

(x)

的极值点。

5．已知函数

f



x





xlnx



小韩整理

2

ax

2



x



3a

3



4a

2



a



2



a



R



存在两个极值点．

第 7 页 共 20 页

导数专题

（1）求实数 a 的取值范围；

（2）设

x

1

和

x

2

分别是

f



x



的两个极值点且

x

1



x

2

，证明：

x

1

x

2

 e

2

．

6．已知函数

f



x





xlnx



a

x

2

 x  a

（

a  R

）在其定义域内有两个不同的极值点.

2

（1）求实数

a

的取值范围；

（2）记两个极值点分别为

x

，

x

（

x

 x

），求证：

1

 a 

1

.

1

2 1 2

x

2

x

1

7．已知

f



x





xlnx



ax

2

.

（1）若

f



x



有两个零点，求

a

的范围；

（2）若

f



x



有两个极值点，求

a

的范围；

1

2

（3）在（2）的条件下，若

f



x



的两个极值点为

x

1

，

x

2



x

1

 x

2



，求证：

f



x

1





.

8．已知函数

f



x





x  a

e

x1

，其中

e

为自然对数的底数.

x 1





（1）若

f



x



有极值点，求证：必有一个极值点在区间

（1，3）

内；

（2）求证：对任意 x  1, a 1 ，有 f



x



 x



1 

1

lnx



.



2



9．已知函数

f



x





a



x

1



e

x



a

（常数

a



R且a





0

）.

（1）证明:当

a



0

时,函数

f



x



有且只有一个极值点；

且0  f



x

2



4 4

（2）若函数

f



x



存在两个极值点

x

1

,

x

2

,证明：

0



f



x

1







.

e

e

2

2

10．

已知函数

f



x





xlnx



ax

2



x



a



a



R



在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求

a

的取值范围.

（2）设

f



x



的两个极值点为 x

1

, x

2

，证明 x

1

x

2

 e

2

11．已知函数

f



x





xlnx



点.（1）求

a

的取值范围；

a

2

x

2



x



a



a



R



在其定义域内有两个不同的极值

（2）设两个极值点分别为

x

1

,

x

2

，证明：

x

1

• x

2

 e

2

.

x

2

axa







x



0,

a



R



. 12

．已知函数

f

x

小韩整理

e

x

第 8 页 共 20 页

导数专题

（1）求函数

f



x



的极值点；

（ 2 ）设

g



x





f



x



 f 



x



，若函数

g



x



在



0,1







1, 



内有两个极值点

x

1

, x

2

，求证：

x 1

4

.

g



x



 g



x





e

2

1 2

3

4

13．已知函数

f



x





ln

x



x

2



ax

.

（1）若

a



0

，求函数

f



x



的极值点；

（2）若

a



3

，函数

f



x



有两个极值点

x

1

,

x

2

，且

x

1



x

2

，求证：

f



x

1





f



x

2





 ln 2

.

14．已知

f



x





xlnx



ax

2

.

（1）若

f



x



有两个零点，求

a

的范围；

（2）若

f



x



有两个极值点，求

a

的范围；

1

2

（3）在（2）的条件下，若

f



x



的两个极值点为

x

1

,

x

2

(x

1

 x

2

)

，求证：

f



x

1





.

15．

f



x





e

x



ln



x



m



．

（1）设

x



0

是

f



x



的极值点，求

m

，并讨论

f



x



的单调性；

（2）当

m



2

时，证明

f



x





0

．

16．已知函数

f



x





e

x



x

2



ax

有两个极值点

x

1

,

x

2

(x

1

 x

2

)

。

（1）求

a

的取值范围；

（2）求证：

e

x

1



e

x

2



4

。

17．已知函数

f



x





ax

2



x



lnx(a



0).

（1）求

f



x



的单调区间；

（2）设

f



x



极值点为

x

0

，若存在

x

1

,

x

2





0,





，且

x

1



x

2

，使

f



x

1





f



x

2



，求证：

x

1



x

2



2x

0

.

18．已知函数

f



x





e

x



ln



x



m



,

x



0

是

f



x



的极值点.

（1）求

m

的值；

（2）讨论

f



x



的单调性.

19．若

x

2

是函数

f



x





x

2



ax

1e

x1

的极值点.

小韩整理

第 9 页 共 20 页



导数专题

（1）求

a

值；

（2）求

f



x



的极小值.

20．已知函数

f

(x)



x

ln

x



a

2

x

2



x



a(a



R)

在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求实数

a

的取值范围；

2

（2）设两个极值点分别为

x,

x

，证明：

x



x



e

.

12

12

21．已知函数

f

(x)



e

xm



ln

x

.

（1）如

x



1

是函数

f

(x)

的极值点，求实数

m

的值并讨论的单调性

f

(x)

；

（2）若

x



x

0

是函数

f

(x)

的极值点，且

f

(x)



0

恒成立，求实数

m

的取值范围（注：已知常数

a

满足

a ln a  1

）.

（

为常数，其中 e 是自然对数的底数） 22．设函数

e

x

 k

2

 ln x)

k

（1）当

k



0

时，求函数

f

(x)

的极值点；

（2）若函数

f

(x)

在

(0,2)

内存在两个极值点，求

k

的取值范围．

23．已知函数

f



x







x



2



e

x



ax

2



bx,

x

1

是

f



x



的一个极值点.

（1）若

x

1

是

f



x



的唯一极值点，求实数

a

的取值范围；（2）讨论

f



x



的单调性；

（3）若存在正数

x

0

，使得

f



x

0





a

，求实数

a

的取值范围.

24．设函数

f



x





ax

2



bx



c

ln

x

，（其中

a,

b,

c

为常数）．

（1）当

b



0,

c



1

时，讨论

f



x



的单调区间；

（2）曲线

y



f



x



（其中

a



0

）在点

1,

f



1



处的切线方程为

y



3x



3

．

①若函数

f

②若函数

f





x



无极值点且

f 



x



存在零点，求

a,

b,

c

值；

3



x



有两个极值点，证明

f



x



的极小值小于



4

．

1

3

1

2

3

2

25．已知函数

f

(x)



x



(m



3)x



(m



6)x

，

x



R

．（其中

m

为常数）

（2）若函数

y



f

(x)

在区间

(0,

)

上有两个极值点，求实数

m

的取值范围.

小韩整理

第 10 页 共 20 页

导数专题

32

26．（1）已知函数

f

(x)



x  2x

.求

f

(x)

的极大值和极小值.

e

x

（2）已知

a,

b

是实数，1 和-1 是函数

f

(x)



x

3



ax

2



bx

的两个极值点.

①求

a

和

b

的值；

②设函数

g (x)

的导函数

g '(x)  f (x)  2

，求

g (x)

的极值点.

1

27．已知函数

f



x





x



a

x 

lnx

（

a R

）.

2













1



）若曲线

y  f

x

在点

1, f 1

处的切线经过点

2,3

，求

a

的值；

（

（2）若

f



x



1 

在区间



,1



上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求 a 的取值范围；



4



x 0

3





.

）若当



时，

f

x 

0

恒成立，求

a

的取值范围

（

28．已知

x



1

是函数

f

(x)



(ax



2)e

x

(a



R)

的一个极值点，

（1）求

a

的值；

（2）当

x

1

,

x

2

[0, 2]

时，证明：

f

(x

1

)



f

(x

2

)



e.

a

2

29．已知

f



x





x



, g



x



 x  ln x

x



a  0



（1）若

x



1

是

h



x





f



x





g



x



的极值点，求实数

a

值。

（

2）若对

x

1

,

x

2





1, e



都有

f



x

1



 g



x

2



成立，求实数

a

的取值范围。

2

30．已知函数

f



x





xlnx



x



ax



a



R



，在定义域内有两个不同的极值点

x

1

,

x

2

(x

1



x

2

).

1

2

（1）求

a

的取值范围；

（2）求证：

x

1

 x

2

 2e.

31．已知函数

f



x





x

ln

x

．

（1）求函数

f



x



的极值点．

（2）设函数

g



x





f



x





a



x

1



，其中

a



R

，求函数

g



x



在



1,

e



上的最小

值．32．已知函数

f



x



x



小韩整理

第 11 页 共 20 页

m

2



2 ln

x,m



R

（1）讨论

f



x



的单调性；

导数专题

（2）若

f



x



有两个极值点

x

1

,

x

2

(x

1

 x

2

)

，证明：

f



x

2



 1 x

2

.

33．已知函数

f



x





x



ax

2



lnx



a



0



.

（1）讨论

f



x



的单调性；

（2）若

f



x



有两个极值点

x

1

，

x

2

，证明：

f



x

1



 f



x

2



 3  2ln2

.

2

34．已知函数

f



x





x

ln

x



ax



a



0



.

（1）若

a



1

，证明:

f



x





x



0

；

（2）若

f



x



只有一个极值点

x

0

，求

a

的取值范围，并证明:

f



x

0





35．已知函数

f



x





2x



1

e

.

1

x



alnx



a



R



．

（1）当

a



3

时，求

f



x



的单调区间；

（2）设

g



x





f



x





x



2alnx

，且

g



x



有两个极值点

x

1

,

x

2

，其中

x

1



x

2

，若

g



x

1





g



x

2





t

恒

成立，求

t

的取值范围。

36．已知函数

f



x





1

2

2

x





a

1



x



a

ln

x

1

（1）若

x



2

是

f



x



的极值点，求

f



x



的极大值；

（2）求实数

a

的范围，使得

f



x





1

恒成立.

37．已知函数

f



x





1

2

2

x





a

1



x



alnx

1

.

（1）若

x



2

是

f



x



的极值点，求

f



x



的极大值；

（2）求实数

a

的范围，使得

f



x



1

恒成立.

38．函数

f



x





x

2



mln



1

x



.

（1）讨论

f



x



的单调性；

（2）若函数

f



x



有两个极值点

x

1

、

x

2

，且

x

1



x

2

，求证：

2 f



x

2



x

1

 2x

1

ln2

.

39．已知函数

f



x





lnx

x

.

ln2a

2

1

，求

a

的取值范围.

（1）求函数

f



x



的极值点；

（2）设

g



x





xf



x





ax

2



小韩整理

2

(a



0)

，若

g



x



的最大值大于

第 12 页 共 20 页

导数专题

40．已知函数

f



x





lnx



x

2

 2kx



k  R



.

1

2

（1）讨论

f



x



的单调性；

3

.

2

（2）若

f



x



有两个极值点

x

1

,

x

2

，且

x

1



x

2

，证明：

f



x

2





41．已知函数

f



x





lnx



, g



x



 ax

2

 x 1

.

1

x

（1）当

a

>0 时,求函数

h



x





e

x



g



x



的极值点;

（2）证明:当

a

1

时,

g



x





f



x





0, 



恒成立.

对

x 

x

42．函数

f



x





lnx



1

x

2

 ax



a  R



，

g



x



 e

x



3

x

2

．

2

2

（1）

讨论

f



x



的极值点的个数；

f



x



g



x



x



0,



2

.

成立，求实数

a

的取值范围







，总有

（ ）

若对于任意

43．已知函数

f



x





1

2

2

x  x  alnx(a  0)

.

（1）讨论

f



x



的单调性；

f



x



 f



x





3  2ln2

（2）若

f



x



存在两个极值点

x

1

, x

2

，求证：

12

.

44

．函数

2

f ( x) 

x

4

，

t  R

．

（1）求

f

(

x)

的极值点；

e

（2）若

f

(

x)



2

对

x





1,





恒成立，求实数

t

的取值范围．

2

45．函数

f



x





x

2



mln



1

x



.

（1）当

m



0

时，讨论

f



x



的单调性；

（2）若函数

f



x



有两个极值点

x

1

,

x

2

，且

x

1



x

2

，证明：

2 f



x

2



x

1

 2x

1

ln2

.

45．已知函数

f



x







222



ax





a

1



x



a





a

1





e

x

（其中



）．

（1）若

x



0

为

f



x



的极值点,求

a

的值；

（2）在（1）的条件下,解不等式 f x   x 1



1



2

2

x

 x 1



．





小韩整理

第 13 页 共 20 页

导数专题

47．已知

f



x





ln

x



e

xa

．

（1）若

x

1

是

f



x



的极值点，讨论

f



x



的单调性；

（2）当

a

2

时，证明：

f



x



在定义域内无零点．

48．已知函数 f



x



 x x  a 

1

2

ln x .

（Ⅰ）若

a  1

，求

f



x



在点

1, f



1



处的切线方程；

（Ⅱ）求函数

f



x



的极值点.



49．

已知函数

f



x





xln



x



a



,

a



R

.

（1）若

f



x



不存在极值点，求

a

的取值范围；

（2）若

a



0

，证明：

f



x



 e

x

 sinx 1

.

50．已知函数

f



x







x



2



e

x



a



x



2



2

.

（1）求函数

g



x





f



x





3e

x

的极值点；

（2）当

x



0

时，恒有

f



2x





4a



2



0

成立，求

a

的取值范围.

51．已知

f

(

x)



ln(mx

1)



2(m



0)

．

（1）讨论

f

(x)

的单调性；

（2）若

m



0,

g

(x)



f

(x)



小韩整理

4

x



2

存在两个极值点

x

1

,

x

2

且

g(

x

1

)



g(

x

2

)



0

，求

m

的取值范围．

第 14 页 共 20 页

导数专题

零点个数问题

1．已知函数

f



x







1

2a



ln

x



ax

2



x

，讨论

f



x



的导函数

f





x



的零点个数；

x

2．已知函数

f



x





e



a

ln

x

，讨论

f



x



的导函数

f





x



的零点的个数；

3．已知函数

f



x







x



2



ln

x

1

，判断

f



x



的导函数

f

'



x



在



1, 2



上零点的个数；

4．设函数

f

(x)



e

2

x



t

ln

x

，讨论

f



x



的导函数

f





x



的零点的个数；

5．已知函数

f

(x)



(x



2) ln

x

1

，判断

f

(x)

的导函数

f

'

(

x)

在

(1, 2)

上零点的个数；

6．已知函数

f



x







x



2



e

x



a



ln

x



x

1



，讨论

f



x



的导函数

f





x



的零点个数；

2 x

7．设函数

f



x





x

 a

（

a  0

，且

a  1

），

g



x



 f '



x



，（其中

f '



x



为

f



x



的导函数），讨论

f



x



的零点个数.

8．已知

f





x



为函数

f



x



的导函数，且

f



x





1

2

1

2

x1

 f



0



x  f 



1



e

，若

g



x



 f



x





2

x

2

x

 x

，

讨论函数

h



x







x  e







g



ax

2

 x



 x



零点的个数.



9．已 知

f



x



 be

x

 alnx

在

1,

f



1



处的切线方程为

y 



e 1



x 1

，求

y  f



x



的导函数

y  f

/



x



的零点个数；

10．已 知 a，b 是实数，

1,

1

是函数 f ( x)  x

3

 ax

2

 bx 的两个极值点，设 h(x)  f ( f (x))  c ，其中 c

[2 ，2]

，求函数

y  h(x)

的零点个数．

小韩整理

第 15 页 共 20 页

导数专题

11．已知函数

f



x







ax

1



ln

x



ax



3,

a



R

是

f



x



的导函数，当

a



e

时，判断函数

f



x



零点

的个数，并说明理由．

2x

12

．设函数

f



x





e



a

ln

x

,讨论

f



x



的导函数

f





x



的零点个数

13．已知函数

f



x





1

2

2

x



3ln

x

，试判断

f



x



在区间



1,

e



上有没有零点？若有则判断零点的个数.

1

14．已知函数

F



x







ln



px



（其中

p



0

），当

p



时，判断

F



x



零点的个数；

p

x 2

16．已知函数

F



x





x



ln



px



（其中

p



0

），当

值；

p1

2



p



1

e

时，求

F



x



零点的个数

k

的

2 2

2 3

2a

2

2

17．已知函数

f



x





2a

lnx  x

，

g



x



x

 2a x x

，（

a  0

），讨论函数

f



x



在

1，e

上



零点的个数；（参考数据：

e

取

2.8

，

ln2

取

0.7

，

2

取

1.4

）

3

2

18．已知函数

f

(x)



ax



2 (a  2)x

 6x  3

，当

a  2

时，讨论函数

f (x)

零点的个数．

3

19．已知函数

f



x





e

x



ax

2



bx

，当

a



0,b



0

时，讨论函数

f

(x)

在区间



0,





上零点的个数；

20．设函数 f



x







x

2

 1



2



 2x



ln x 



a 

x

 2



1 a



x  a

，当

a 2

时，讨论

f (x)

的零点个数.



2



ax

21．已知函数

f



x





ln



x

1





x  a

, a

是常数，且

a  1

，讨论

f (x)

零点的个数；

小韩整理

第 16 页 共 20 页

导数专题

22．已知函数

f



x





e

x



m

2

2

x



mx



1

，当

m



1

时，试讨论函数

y = f



x



的零点个数.

2

23．设函数 f



x





2

 klnx

，

若

k  0

，讨论

f



x



当

x 1,

e

时的零点的个数.

24

x









a

0

a 1 b

1



x1

 e

（



），当

．已知函数

f

x  ln ax  b

，



时，判断函数

f

x

的零点个数；

25．已知函数

f



x





2e

x



ax

，讨论

f



x



在



0,





上的零点个数.

26．已知函数

f



x





e

x

sinx

1

，求

f



x



在区间



0, π



上零点个数．

27．已知函数

f

(x)



1

x

2

 (a 1)x  a ln x(a  R)

，讨论函数

y  f (x)

零点的个数．

2

x

x

28．已知

f



x





1



e

 3, F



x



 ln x 

e

 3x  2

，）判断函数

f



x



在



0, 



上零点的个数.

x e e

x

m

2

29．已知函数

f



x





e



2 x

 mx 1

，当

m 1

时，讨论函数

f



x



零点的个数.

30．已知函数

f



x





e

xm



xlnx





m

1



x

，若

g



x



=f

'



x



，试讨论

g



x



零点的个数.

31．已知函数

f



x







3



x



e

x2



a,

a



R

，讨论函数

f



x



的零点个数；

32．已知函数

f



x





e

x

1

ax



a



R



，当

x





0, 2



时，讨论函数

F



x





f



x





x

ln

x

零点的个数；

33．

已知函数

f



x





lnx



小韩整理

a1a1



x

，试判断函数

f



x



零点的个数.

x

2

第 17 页 共 20 页

导数专题

34

f (x)

1  m  x

g (x)  f (x)  kx R

.

2

在

，当

m  0, k  R

时，求函数



．设函数 上零点个数

x

e

35．已知函数

f



x





ln



1

mx





x

 mx

，其中

0  m 1

，试讨论函数

y  f (x)

的零点个数．

2

2

36．设函数 f



x







x

2

 2x



lnx 



a 

 1



2



x

 2



1  a



x  a

，当

a 2

时，讨论

f



x



的零点个数.



2



37．已知函数

f



x





lnx



kx

1



k

