2024年3月16日发(作者：陈其雨)
“超级全能生”陕西省
2019
届高三第二次教学质量检测
数学（理）试题
一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.
已知集合
M={x|−2 ， N={x|log 2 x>0} ，则 M∩N 为 ( ) A. (−2,2) 【答案】 C B. (1,+∞) C. (1,2) D. (−2,+∞) 【解析】解： ∵ 集合 M={x|−2 ， N={x|log 2 x>0}={x|x>1} ， ∴M∩N={x|1 ． 故选： C ． 分别求出集合 M ， N ，由此能求出 M∩N ． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题． 2. 已知复数 z 满足 z= −1+5i 2 ，则 |z|=( ) A. 3 【答案】 D B. √ 26 C. 4 26 D. √ 2 【解析】解：由复数模的运算法则可得：|z|=| 故选： D ． −1+5i 2 |= |−1+5i| |2| = √ 26 ． 2 由题意结合复数模的运算法则计算 z 的模即可． 本题主要考查复数的模的求解等知识，属于基础题． x+y≤4 3. 若实数 x ， y 满足约束条件 { y−x≥0 ，则目标函数 z= √x 2 +y 2 的最大值为 ( ) x−1≥0 A. √ 6 【答案】 B B. √ 10 C. 2 √ 2 D. √ 7 x+y≤4 y 满足约束条件 { y−x≥0 ，【解析】解：作出实数 x ， x−1≥0 所对应的可行域， 而目标函数 z= √x 2 +y 2 表示可行域内的点 A 到 原点距离的平方， 第3页，共16页 x=1 由： { x+y=4 ，解得 A(1,3) 数形结合可得最大值为： √ 1+9= √ 10 ， 故选： B ． 作出可行域， z= √x 2 +y 2 表示可行域内的点到原点距离，数形结合可得． 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 4. 已知命题 p ：对 ∀x>0 ，总有 x ；命题 q ：直线 l 1 ： ax+2y+1=0 ， l 2 ： x+ (a−1)y−1=0 若 l 1 //l 2 ，则 a=2 或 a=−1 ；则下列命题中是真命题的是 ( ) A. p∧q 【答案】 D B. (￢p)∧(￢q) C. (￢p)∨q D. p∨q 【解析】解：设 f(x)=sinx−x ，则 f′(x)=cosx−1≤0 ，则函数 f(x) 在 x≥0 上为减函数， 则当 x>0 时， f(x) ，即此时 sinx 恒成立，即命题 p 是真命题， 若 a=0 ，则两直线方程为 l 1 ： 2y+1=0 ， l 2 ： x−y−1=0 ，此时两直线不平行，不 满足条件． 若 a≠0 ，若两直线平行，则满足 a = 由 a = 1 1a−1 2 1a−1 2 −1 1 ≠ ， 得 a(a−1)=2 ，即a 2 −a−2=0得 a=2 或 a=−1 ， 由 a ≠−1 得 a≠−1 ， 则 a=2 ，即命题 q 是假命题， 则 p∨q 是真命题，其余为假命题， 故选： D ． 根据条件判断命题 p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． q 的真假是解决本题的关键． 本题主要考查复合命题真假的判断，根据条件判断命题 p ， 5. 陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天 下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲 老子曾在此著 《 道德经 》 五千言 . 景区内有一处景 点建筑，是按古典著作 《 连山易 》 中记载的金、木、 谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从 五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物 质恰好是相克关系的概率为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 5 第12页，共16页 2 1 1 2 【答案】 B 【解析】解：现从五种不同属性的物质中任取两种， 2 基本事件总数 n=C 5 =10 ， 1 取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m=C 5 =5， 则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为 p= 故选： B ． m n = 10 = 2 ． 51 2 基本事件总数 n=C 5 =10 ，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数 m= 1 C 5 =5，由此能求出取出的两种物质恰好是相克关系的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6. 如图是计算 2 + 4 + 6 + 8 + 10 值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( ) 11111 A. k≥5 【答案】 C B. k<5 1111 C. k>5 1 D. k≤6 【解析】解： ∵ 算法的功能是计算 2 + 4 + 6 + 8 + 10 值，共循环 5 次， ∴ 跳出循环体的 n 值为 12 ， k 值为 6 ， ∴ 判断框内应填的条件是 k>5 或 k≥6 ． 故选： C ． 根据算法的功能确定循环的次数是 5 ，确定跳出循环体的 n 值为 12 ， k 值为 6 ，由此可 得判断框内应填的条件． 本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环 体的 k 值是关键． 第3页，共16页 0.30.2 7. 已知点 (2,8) 在幂函数 f(x)=x n 图象上，设 a=f(( 5 )),b=f(( 4 )),c=f(log 1 4 ) ， 2 455 则 a ， b ， c 的大小关系是 ( ) A. b>a>c 【答案】 A B. a>b>c C. c>b>a D. b>c>a 【解析】解：点 (2,8) 在幂函数 f(x)=x n 图象上， ∴f(2)=2 n =8 ，解得 n=3 ，∴f(x)=x 3 ， 0.30.2 设 a=f(( 5 )),b=f(( 4 )),c=f(log 1 4 ) ， 2 455 ∴ 5 5 ) 0.3 ] 3 =( 5 ) 0.9 <( 5 ) 0 =1 ， 5 4444 >b=[( 4 ) 0.2 ] 3 =( 4 ) 0.6 >( 4 ) 0 =1 ， 4 c=(log 1 ) 3 <(log 1 1) 3 =0 ， 2 555 5 4 2 ∴a ， b ， c 的大小关系是 b>a>c ． 故选： A ． 推导出f(x)=x 3 ，从而 5 5 ) 0.3 ] 3 =( 5 ) 0.9 <( 5 ) 0 =1 ， 4 >b=[( 4 ) 0.2 ] 3 =( 4 ) 0.6 > 5 ( 4 ) 0 =1 ， c=(log 1 4 ) 3 <(log 1 1) 3 =0 ，由此能判断 a ， b ， c 的大小关系． 22 4444 555 5 本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题． 8. 要得到函数 y=sin(2x+ 12 ) 的图象，只需将函数 y=sinx 的图象经过下列两次变换 而得到的 ( ) 再将所得图象向左平移 A. 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半， π 6 π 个单位 再将所得图象向左平移 B. 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍， π 24 个单位 π C. 先将 y=sinx 的图象向左平移 12 个单位，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来 的一半 再将所得图上各点的横坐标伸长为原来 D. 先将 y=sinx 的图象向左平移 12 个单位， 的 2 倍 【答案】 C 【解析】解：要得到函数 y=sin(2x+ 12 ) 的图象，只需将函数 y=sinx 的图象向左平移 12 个单位， 第12页，共16页 ππ π 得到 y=sin(x+ 12 ) ，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到 y=sin(2x+ π 12 π ) ， 故选： C ． 根据三角函数的图象变换关系进行判断即可． 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象变换关系是解决本题的关键． 9. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰 直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长 度为 ( ) A. 2 B. 2 √ 2 C. √ 6 D. √ 2 【答案】 B 【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图： AB⊥BC ， 可知 PA⊥ 底面 ABC ，三角形 ABC 是等腰三角形， 可知 PC 是最长的棱长： √ 4+4=2 √ 2 ． 故选： B ． 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的最长 棱长． 本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力． 10. 已知抛物线y 2 =4x的准线过双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0) 的左焦点且与双曲线 ab 交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，且 △AOB 的面积为 2 ，则双曲线的离心率为 ( ) 3 x 2 y 2 A. 2 【答案】 D 3 B. 4 C. 3 D. 2 【解析】解： ∵ 抛物线y 2 =4x的准线方程为 x=−1 ， ∴ 双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0) 的左焦点为 (−1,0) ab x=−1 时，代入双曲线方程，由b 2 =1−a 2 ，可得 y=± 1−a 2 a x 2 y 2 ， 第3页，共16页 3 ∵△AOB 的面积为 2 ， ∴ 2 ⋅1⋅ 1 12(1−a 2 ) a = 2 ， 3 ∴a= ， 2 ∴e= a =2 ． 故选： D ． 求出抛物线y =4x的准线方程，可得双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0) 的左焦点，求出 x= ab −1 时， y 的值，利用 △AOB 的面积为 2 ，求出 a ，即可求双曲线的离心率． 本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查三角形面积的计算，正确运用抛物线、双曲 线的几何性质是关键． 11. 一布袋中装有 n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球， 最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确 的是 ( ) 3 2 x 2 y 2 c A. 若 n=9 ，则甲有必赢的策略 C. 若 n=6 ，则乙有必赢的策略 【答案】 A 【解析】解：若 n=9 ，则甲有必赢的策略， 必赢策略如下： 第一步：甲先抓 1 球， 第二步： ① 当乙抓 1 球时，甲再抓 3 球时； ② 当乙抓 2 球时，甲再抓 2 球时； ③ 当乙抓 3 球时，甲再抓 1 球时； B. 若 n=11 ，则乙有必赢的策略 D. 若 n=4 ，则甲有必赢的策略 第三步：这时还有 4 个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球， 则布袋中都会剩余 1--3 个球， 第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜． 故选： A ． 甲若想必胜，则必须最后取球时还剩 1--3 个球，通过简单的合情推理可以得解． 本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理，属简单题． ,x≥0 12. 已知函数 f(x)={ e x ，又函数g(x)=f 2 (x)+tf(x)+1(t∈R)有 4 个不同的零 −x,x<0 点，则实数 t 的取值范围是 ( ) +1 A. (−∞,− e e ) 2 x +1 B. ( e e ,+∞) 2 +1 C. (− e e ,−2) 2 +1 D. (2, e e ) 2 【答案】 A 第12页，共16页 【解析】解：由已知有 f(x)= e x (x≥0) ， f′(x)= 1−x e x x ， f′(x)>0 ， x>1 时， f′(x)<0 ，易得 0≤x<1 时， 即 f(x) 在 [0,1) 为增函数，在 (1,+∞) 为减函数， 设 m=f(x) ，则h(m)=m 2 +tm+1， 设h(m)=m 2 +tm+1的零点为 m 1 ， m 2 则g(x)=f 2 (x)+tf(x)+1(t∈R)有 4 个不同的 零点 等价于 t=f(x) 的图象与直线 m=m 1 ， m=m 2 的交点有 4 个， 函数 t=f(x) 的图象与直线 m=m 1 ， m=m 2 的位置关系如图所示， 由图知： 0 2 < e 1 ， 即 h( e )<0 ，解得： t<− 故选： A ． 由函数的零点与函数图象的交点问题得：g(x)=f 2 (x)+tf(x)+1(t∈R)有 4 个不同的零 点等价于 t=f(x) 的图象与直线 m=m 1 ， m=m 2 的交点有 4 个， m=m 2 的位置，结合利用导数研究函数的图象可作出函数 t=f(x) 的图象与直线 m=m 1 ， 由二次方程区间根问题得： h( e )<0 ，解得： t<− 1 e 2 +1 e 1 e 2 +1 e 1 ， ，得解 本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题、利用导数研究函数的图象及二次方程区 间根问题，属中档题 二、解答题（本大题共 11 小题，共 102.0 分） 13. 若 S 1 = ∫ 1 x 2 dx,S 2 = ∫ 1 x dx,S 3 = ∫ 1 e x dx ，则 S 1 ， S 2 ， S 3 的大小关系为 ______ ． 【答案】 S 2 1 3 【解析】解： S 1 = 3 ×(2 3 −1 3 )= 3 ， S 2 =ln2−ln1=ln2 ， S 3 =e 2 −e， 其中 0 2 <1 ， 2 1 <3 ， S 3 >3 ， 故答案为 S 2 1 3 运用微积分基本定理可解决此问题． 本题考查定积分的简单应用． 14. 公比为 √ 2 的等比数列 {a n } 的各项都是正数，且 a 2 a 12 =16 ，则 log 2 a 15 = ______ ． 【答案】 6 【解析】解：∵a 2 a 12 =a 2 7 =16， ∴a 7 =4 ， ∴log 2 a 15 =log 2 a 7 q 8 =log 2 4×( √ 2) 8 =6 ． 故答案为： 6 ． 第3页，共16页 17 2212 等比中项结合对数的运算性质可得结果． 本题考查了等比数列的性质及对数的运算性质，属基础题． 15. 圆x 2 +y 2 =1的任意一条切线与圆x 2 +y 2 =4相交于 A(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) 两点， O 为坐标原点，则 x 1 x 2 +y 1 y 2 = ______ ． 【答案】 −2 【解析】解：根据题意，设 AB 与圆x 2 +y 2 =1相 切于点 P ， 分析可得 |OP|=1 ， |OA|=|OB|=2 ， 又由 OP⊥AB ，则 ∠BOP=60 ∘ ， 则 ∠AOB=120 ∘ ， 又由 A(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) ， ⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1 x 2 +y 1 y 2 =|OA||OB|cos120 ∘ =−2 ， 则 ⃗ OA OB 则 x 1 x 2 +y 1 y 2 =−2 ； 故答案为： −2 ． |OA|= 根据题意，设 AB 与圆x 2 +y 2 =1相切于点 P ，由两个圆的方程分析可得 |OP|=1 ， ⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ = |OB|=2 ，又由 OP⊥AB ，分析可得 ∠AOB=120 ∘ ；结合数量积的计算公式可得 ⃗ OA OB x 1 x 2 +y 1 y 2 =|OA||OB|cos120 ∘ =−2 ，即可得答案． 本题考查直线与圆相交的性质，涉及圆与圆的位置关系以及数量积的计算公式，属于基 础题． 16. 在实数集 R 中定义一种运算“ ∗ ”，具有性质： (1) 对任意 a ， b∈R ， a∗b=b∗a ； (2) 对任意 a ， a∗0=0 ； (3) 对任意 a ， b∈R ， (a∗b)∗c=c(ab)+(a∗c)+(b∗c)−5c ． 则函数 f(x)=x∗ x (x>0) 的最小值为 ______ ． 【答案】 −3 【解析】解：根据定义的运算性质得： f(x)=x∗ x =(x∗ x )∗1 =1×(x⋅ x )+(x∗1)+( x ∗1)−5×1=1+1∗x+1∗ x =x+ x −5 ， 因为 x>0 ，由均值不等式得 f(x)=x+ −5≥2√x⋅−5=2−5=−3( 当且仅当 x=1 xx 11 1111 11 1 时取“ = ” ) ， 即 f(x) 的最小值为 −3 ． 故答案为 −3 ． 根据题目给出的新定义，写出函数的解析式 f(x)=x+ x −5 ，然后运用基本不等式求最 值． 本题考查了函数值域的求法，考查了利用基本不等式求函数最值的方法，解答此题的关 1 第12页，共16页 2024年3月16日发(作者：陈其雨) “超级全能生”陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测 数学（理）试题 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 M={x|−2 ， N={x|log 2 x>0} ，则 M∩N 为 ( ) A. (−2,2) 【答案】 C B. (1,+∞) C. (1,2) D. (−2,+∞) 【解析】解： ∵ 集合 M={x|−2 ， N={x|log 2 x>0}={x|x>1} ， ∴M∩N={x|1 ． 故选： C ． 分别求出集合 M ， N ，由此能求出 M∩N ． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题． 2. 已知复数 z 满足 z= −1+5i 2 ，则 |z|=( ) A. 3 【答案】 D B. √ 26 C. 4 26 D. √ 2 【解析】解：由复数模的运算法则可得：|z|=| 故选： D ． −1+5i 2 |= |−1+5i| |2| = √ 26 ． 2 由题意结合复数模的运算法则计算 z 的模即可． 本题主要考查复数的模的求解等知识，属于基础题． x+y≤4 3. 若实数 x ， y 满足约束条件 { y−x≥0 ，则目标函数 z= √x 2 +y 2 的最大值为 ( ) x−1≥0 A. √ 6 【答案】 B B. √ 10 C. 2 √ 2 D. √ 7 x+y≤4 y 满足约束条件 { y−x≥0 ，【解析】解：作出实数 x ， x−1≥0 所对应的可行域， 而目标函数 z= √x 2 +y 2 表示可行域内的点 A 到 原点距离的平方， 第3页，共16页 x=1 由： { x+y=4 ，解得 A(1,3) 数形结合可得最大值为： √ 1+9= √ 10 ， 故选： B ． 作出可行域， z= √x 2 +y 2 表示可行域内的点到原点距离，数形结合可得． 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 4. 已知命题 p ：对 ∀x>0 ，总有 x ；命题 q ：直线 l 1 ： ax+2y+1=0 ， l 2 ： x+ (a−1)y−1=0 若 l 1 //l 2 ，则 a=2 或 a=−1 ；则下列命题中是真命题的是 ( ) A. p∧q 【答案】 D B. (￢p)∧(￢q) C. (￢p)∨q D. p∨q 【解析】解：设 f(x)=sinx−x ，则 f′(x)=cosx−1≤0 ，则函数 f(x) 在 x≥0 上为减函数， 则当 x>0 时， f(x) ，即此时 sinx 恒成立，即命题 p 是真命题， 若 a=0 ，则两直线方程为 l 1 ： 2y+1=0 ， l 2 ： x−y−1=0 ，此时两直线不平行，不 满足条件． 若 a≠0 ，若两直线平行，则满足 a = 由 a = 1 1a−1 2 1a−1 2 −1 1 ≠ ， 得 a(a−1)=2 ，即a 2 −a−2=0得 a=2 或 a=−1 ， 由 a ≠−1 得 a≠−1 ， 则 a=2 ，即命题 q 是假命题， 则 p∨q 是真命题，其余为假命题， 故选： D ． 根据条件判断命题 p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． q 的真假是解决本题的关键． 本题主要考查复合命题真假的判断，根据条件判断命题 p ， 5. 陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天 下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲 老子曾在此著 《 道德经 》 五千言 . 景区内有一处景 点建筑，是按古典著作 《 连山易 》 中记载的金、木、 谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从 五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物 质恰好是相克关系的概率为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 5 第12页，共16页 2 1 1 2 【答案】 B 【解析】解：现从五种不同属性的物质中任取两种， 2 基本事件总数 n=C 5 =10 ， 1 取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m=C 5 =5， 则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为 p= 故选： B ． m n = 10 = 2 ． 51 2 基本事件总数 n=C 5 =10 ，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数 m= 1 C 5 =5，由此能求出取出的两种物质恰好是相克关系的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6. 如图是计算 2 + 4 + 6 + 8 + 10 值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( ) 11111 A. k≥5 【答案】 C B. k<5 1111 C. k>5 1 D. k≤6 【解析】解： ∵ 算法的功能是计算 2 + 4 + 6 + 8 + 10 值，共循环 5 次， ∴ 跳出循环体的 n 值为 12 ， k 值为 6 ， ∴ 判断框内应填的条件是 k>5 或 k≥6 ． 故选： C ． 根据算法的功能确定循环的次数是 5 ，确定跳出循环体的 n 值为 12 ， k 值为 6 ，由此可 得判断框内应填的条件． 本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环 体的 k 值是关键． 第3页，共16页 0.30.2 7. 已知点 (2,8) 在幂函数 f(x)=x n 图象上，设 a=f(( 5 )),b=f(( 4 )),c=f(log 1 4 ) ， 2 455 则 a ， b ， c 的大小关系是 ( ) A. b>a>c 【答案】 A B. a>b>c C. c>b>a D. b>c>a 【解析】解：点 (2,8) 在幂函数 f(x)=x n 图象上， ∴f(2)=2 n =8 ，解得 n=3 ，∴f(x)=x 3 ， 0.30.2 设 a=f(( 5 )),b=f(( 4 )),c=f(log 1 4 ) ， 2 455 ∴ 5 5 ) 0.3 ] 3 =( 5 ) 0.9 <( 5 ) 0 =1 ， 5 4444 >b=[( 4 ) 0.2 ] 3 =( 4 ) 0.6 >( 4 ) 0 =1 ， 4 c=(log 1 ) 3 <(log 1 1) 3 =0 ， 2 555 5 4 2 ∴a ， b ， c 的大小关系是 b>a>c ． 故选： A ． 推导出f(x)=x 3 ，从而 5 5 ) 0.3 ] 3 =( 5 ) 0.9 <( 5 ) 0 =1 ， 4 >b=[( 4 ) 0.2 ] 3 =( 4 ) 0.6 > 5 ( 4 ) 0 =1 ， c=(log 1 4 ) 3 <(log 1 1) 3 =0 ，由此能判断 a ， b ， c 的大小关系． 22 4444 555 5 本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题． 8. 要得到函数 y=sin(2x+ 12 ) 的图象，只需将函数 y=sinx 的图象经过下列两次变换 而得到的 ( ) 再将所得图象向左平移 A. 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半， π 6 π 个单位 再将所得图象向左平移 B. 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍， π 24 个单位 π C. 先将 y=sinx 的图象向左平移 12 个单位，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来 的一半 再将所得图上各点的横坐标伸长为原来 D. 先将 y=sinx 的图象向左平移 12 个单位， 的 2 倍 【答案】 C 【解析】解：要得到函数 y=sin(2x+ 12 ) 的图象，只需将函数 y=sinx 的图象向左平移 12 个单位， 第12页，共16页 ππ π 得到 y=sin(x+ 12 ) ，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到 y=sin(2x+ π 12 π ) ， 故选： C ． 根据三角函数的图象变换关系进行判断即可． 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象变换关系是解决本题的关键． 9. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰 直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长 度为 ( ) A. 2 B. 2 √ 2 C. √ 6 D. √ 2 【答案】 B 【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图： AB⊥BC ， 可知 PA⊥ 底面 ABC ，三角形 ABC 是等腰三角形， 可知 PC 是最长的棱长： √ 4+4=2 √ 2 ． 故选： B ． 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的最长 棱长． 本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力． 10. 已知抛物线y 2 =4x的准线过双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0) 的左焦点且与双曲线 ab 交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，且 △AOB 的面积为 2 ，则双曲线的离心率为 ( ) 3 x 2 y 2 A. 2 【答案】 D 3 B. 4 C. 3 D. 2 【解析】解： ∵ 抛物线y 2 =4x的准线方程为 x=−1 ， ∴ 双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0) 的左焦点为 (−1,0) ab x=−1 时，代入双曲线方程，由b 2 =1−a 2 ，可得 y=± 1−a 2 a x 2 y 2 ， 第3页，共16页 3 ∵△AOB 的面积为 2 ， ∴ 2 ⋅1⋅ 1 12(1−a 2 ) a = 2 ， 3 ∴a= ， 2 ∴e= a =2 ． 故选： D ． 求出抛物线y =4x的准线方程，可得双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0) 的左焦点，求出 x= ab −1 时， y 的值，利用 △AOB 的面积为 2 ，求出 a ，即可求双曲线的离心率． 本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查三角形面积的计算，正确运用抛物线、双曲 线的几何性质是关键． 11. 一布袋中装有 n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球， 最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确 的是 ( ) 3 2 x 2 y 2 c A. 若 n=9 ，则甲有必赢的策略 C. 若 n=6 ，则乙有必赢的策略 【答案】 A 【解析】解：若 n=9 ，则甲有必赢的策略， 必赢策略如下： 第一步：甲先抓 1 球， 第二步： ① 当乙抓 1 球时，甲再抓 3 球时； ② 当乙抓 2 球时，甲再抓 2 球时； ③ 当乙抓 3 球时，甲再抓 1 球时； B. 若 n=11 ，则乙有必赢的策略 D. 若 n=4 ，则甲有必赢的策略 第三步：这时还有 4 个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球， 则布袋中都会剩余 1--3 个球， 第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜． 故选： A ． 甲若想必胜，则必须最后取球时还剩 1--3 个球，通过简单的合情推理可以得解． 本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理，属简单题． ,x≥0 12. 已知函数 f(x)={ e x ，又函数g(x)=f 2 (x)+tf(x)+1(t∈R)有 4 个不同的零 −x,x<0 点，则实数 t 的取值范围是 ( ) +1 A. (−∞,− e e ) 2 x +1 B. ( e e ,+∞) 2 +1 C. (− e e ,−2) 2 +1 D. (2, e e ) 2 【答案】 A 第12页，共16页 【解析】解：由已知有 f(x)= e x (x≥0) ， f′(x)= 1−x e x x ， f′(x)>0 ， x>1 时， f′(x)<0 ，易得 0≤x<1 时， 即 f(x) 在 [0,1) 为增函数，在 (1,+∞) 为减函数， 设 m=f(x) ，则h(m)=m 2 +tm+1， 设h(m)=m 2 +tm+1的零点为 m 1 ， m 2 则g(x)=f 2 (x)+tf(x)+1(t∈R)有 4 个不同的 零点 等价于 t=f(x) 的图象与直线 m=m 1 ， m=m 2 的交点有 4 个， 函数 t=f(x) 的图象与直线 m=m 1 ， m=m 2 的位置关系如图所示， 由图知： 0 2 < e 1 ， 即 h( e )<0 ，解得： t<− 故选： A ． 由函数的零点与函数图象的交点问题得：g(x)=f 2 (x)+tf(x)+1(t∈R)有 4 个不同的零 点等价于 t=f(x) 的图象与直线 m=m 1 ， m=m 2 的交点有 4 个， m=m 2 的位置，结合利用导数研究函数的图象可作出函数 t=f(x) 的图象与直线 m=m 1 ， 由二次方程区间根问题得： h( e )<0 ，解得： t<− 1 e 2 +1 e 1 e 2 +1 e 1 ， ，得解 本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题、利用导数研究函数的图象及二次方程区 间根问题，属中档题 二、解答题（本大题共 11 小题，共 102.0 分） 13. 若 S 1 = ∫ 1 x 2 dx,S 2 = ∫ 1 x dx,S 3 = ∫ 1 e x dx ，则 S 1 ， S 2 ， S 3 的大小关系为 ______ ． 【答案】 S 2 1 3 【解析】解： S 1 = 3 ×(2 3 −1 3 )= 3 ， S 2 =ln2−ln1=ln2 ， S 3 =e 2 −e， 其中 0 2 <1 ， 2 1 <3 ， S 3 >3 ， 故答案为 S 2 1 3 运用微积分基本定理可解决此问题． 本题考查定积分的简单应用． 14. 公比为 √ 2 的等比数列 {a n } 的各项都是正数，且 a 2 a 12 =16 ，则 log 2 a 15 = ______ ． 【答案】 6 【解析】解：∵a 2 a 12 =a 2 7 =16， ∴a 7 =4 ， ∴log 2 a 15 =log 2 a 7 q 8 =log 2 4×( √ 2) 8 =6 ． 故答案为： 6 ． 第3页，共16页 17 2212 等比中项结合对数的运算性质可得结果． 本题考查了等比数列的性质及对数的运算性质，属基础题． 15. 圆x 2 +y 2 =1的任意一条切线与圆x 2 +y 2 =4相交于 A(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) 两点， O 为坐标原点，则 x 1 x 2 +y 1 y 2 = ______ ． 【答案】 −2 【解析】解：根据题意，设 AB 与圆x 2 +y 2 =1相 切于点 P ， 分析可得 |OP|=1 ， |OA|=|OB|=2 ， 又由 OP⊥AB ，则 ∠BOP=60 ∘ ， 则 ∠AOB=120 ∘ ， 又由 A(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) ， ⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1 x 2 +y 1 y 2 =|OA||OB|cos120 ∘ =−2 ， 则 ⃗ OA OB 则 x 1 x 2 +y 1 y 2 =−2 ； 故答案为： −2 ． |OA|= 根据题意，设 AB 与圆x 2 +y 2 =1相切于点 P ，由两个圆的方程分析可得 |OP|=1 ， ⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ = |OB|=2 ，又由 OP⊥AB ，分析可得 ∠AOB=120 ∘ ；结合数量积的计算公式可得 ⃗ OA OB x 1 x 2 +y 1 y 2 =|OA||OB|cos120 ∘ =−2 ，即可得答案． 本题考查直线与圆相交的性质，涉及圆与圆的位置关系以及数量积的计算公式，属于基 础题． 16. 在实数集 R 中定义一种运算“ ∗ ”，具有性质： (1) 对任意 a ， b∈R ， a∗b=b∗a ； (2) 对任意 a ， a∗0=0 ； (3) 对任意 a ， b∈R ， (a∗b)∗c=c(ab)+(a∗c)+(b∗c)−5c ． 则函数 f(x)=x∗ x (x>0) 的最小值为 ______ ． 【答案】 −3 【解析】解：根据定义的运算性质得： f(x)=x∗ x =(x∗ x )∗1 =1×(x⋅ x )+(x∗1)+( x ∗1)−5×1=1+1∗x+1∗ x =x+ x −5 ， 因为 x>0 ，由均值不等式得 f(x)=x+ −5≥2√x⋅−5=2−5=−3( 当且仅当 x=1 xx 11 1111 11 1 时取“ = ” ) ， 即 f(x) 的最小值为 −3 ． 故答案为 −3 ． 根据题目给出的新定义，写出函数的解析式 f(x)=x+ x −5 ，然后运用基本不等式求最 值． 本题考查了函数值域的求法，考查了利用基本不等式求函数最值的方法，解答此题的关 1 第12页，共16页