2024年3月17日发(作者：易之双)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.掌握求导法则的证明过程，能够综合
运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求
导.
知识点一 导数运算法则
法则
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
语言叙述
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数
的导数的和(或差)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第
二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上
fx
′＝
f′xgx－fx·g′x
(g(x)≠0)
分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母
gx
[gx]
2
的平方
思考 (1)函数g(x)＝c·f(x)(c为常数)的导数是什么？
(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？
答案 (1)g′(x)＝cf′(x).
(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均
11
不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f(x)＝sin x＋，g(x)＝cos x－，则
xx
f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，但它们的和f(x)＋g(x)＝sin x＋cos x在x＝0处可导.
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算
法则可以推广到有限个函数的情况，即[f
1
(x)±f
2
(x)±f
3
(x)±…±f
n
(x)]′＝
f′
1
(x)±f′
2
(x)±f′
3
(x)±…±f′
n
(x).
知识点二 复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通
复合函数的概念 过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数
为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
1
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)
复合函数的求导法则 的导数间的关系为y
x
′＝y
u
′·u
x
′，即y对x的导
数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
思考 设函数y＝f(u)，u＝g(v)，v＝φ(x)，如何求函数y＝f(g(φ(x)))的导数？
答案 y′
x
＝y′
u
·u′
v
·v′
x
.
题型一 导数运算法则的应用
例1 求下列函数的导数：
121xx
(1)y＝x
5
＋
x
3
；(2)y＝lg x－e
x
；(3)y＝
·cos x；(4)y＝x－sin ·cos .
5322
x
1
5
2
3
12
x
＋
x
′＝
x
5
′＋
x
3
′ 解 (1)y′＝
3
5
5
3
＝x
4
＋2x
2
.
1
(2)y′＝(lg x－e
x
)′＝(lg x)′－(e
x
)′＝
－e
x
.
xln 10
(3)方法一 y′＝
＝
(x
1
2
11
1
·cos x
′＝
′cos x＋
(cos x)′
x
x
x
3
11
1
)
cos x－
sin x＝－
2
x
2
cos x－sin x
xx
cos x1cos x1
＝－－
sin x＝－
－
sin x
2x
3
x2xxx
cos x＋2xsin x
＝－
.
2xx
方法二 y′＝
1cos x
cos x′x－cos x x′
·cos x
′＝
′＝
x
x
x
2
1
cos x
1
2
xsin x＋
sinxxcosxx
2x
cos x＋2xsin x
2
＝＝－＝－
.
x
2xx
x
xx1
(4)∵y＝x－sin ·cos
＝x－
sin x，
222
1
1
x－sin x
′＝1－cos x.
∴y′＝
2
2
反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化
简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂等，化
简后再求导，这样可以减少计算量.
2
2024年3月17日发(作者：易之双)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.掌握求导法则的证明过程，能够综合
运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求
导.
知识点一 导数运算法则
法则
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
语言叙述
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数
的导数的和(或差)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第
二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上
fx
′＝
f′xgx－fx·g′x
(g(x)≠0)
分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母
gx
[gx]
2
的平方
思考 (1)函数g(x)＝c·f(x)(c为常数)的导数是什么？
(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？
答案 (1)g′(x)＝cf′(x).
(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均
11
不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f(x)＝sin x＋，g(x)＝cos x－，则
xx
f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，但它们的和f(x)＋g(x)＝sin x＋cos x在x＝0处可导.
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算
法则可以推广到有限个函数的情况，即[f
1
(x)±f
2
(x)±f
3
(x)±…±f
n
(x)]′＝
f′
1
(x)±f′
2
(x)±f′
3
(x)±…±f′
n
(x).
知识点二 复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通
复合函数的概念 过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数
为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
1
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)
复合函数的求导法则 的导数间的关系为y
x
′＝y
u
′·u
x
′，即y对x的导
数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
思考 设函数y＝f(u)，u＝g(v)，v＝φ(x)，如何求函数y＝f(g(φ(x)))的导数？
答案 y′
x
＝y′
u
·u′
v
·v′
x
.
题型一 导数运算法则的应用
例1 求下列函数的导数：
121xx
(1)y＝x
5
＋
x
3
；(2)y＝lg x－e
x
；(3)y＝
·cos x；(4)y＝x－sin ·cos .
5322
x
1
5
2
3
12
x
＋
x
′＝
x
5
′＋
x
3
′ 解 (1)y′＝
3
5
5
3
＝x
4
＋2x
2
.
1
(2)y′＝(lg x－e
x
)′＝(lg x)′－(e
x
)′＝
－e
x
.
xln 10
(3)方法一 y′＝
＝
(x
1
2
11
1
·cos x
′＝
′cos x＋
(cos x)′
x
x
x
3
11
1
)
cos x－
sin x＝－
2
x
2
cos x－sin x
xx
cos x1cos x1
＝－－
sin x＝－
－
sin x
2x
3
x2xxx
cos x＋2xsin x
＝－
.
2xx
方法二 y′＝
1cos x
cos x′x－cos x x′
·cos x
′＝
′＝
x
x
x
2
1
cos x
1
2
xsin x＋
sinxxcosxx
2x
cos x＋2xsin x
2
＝＝－＝－
.
x
2xx
x
xx1
(4)∵y＝x－sin ·cos
＝x－
sin x，
222
1
1
x－sin x
′＝1－cos x.
∴y′＝
2
2
反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化
简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂等，化
简后再求导，这样可以减少计算量.
2