2024年3月25日发(作者：善水瑶)

新时代NT教育2023-2024学年高三入学摸底考试

数学

（新高考）

参考答案

1.D【解析】当

A

时，a=0,当

A



2



时，

a1

,当

A



2



时，a=1,

a



1,0,1



.

2.B【解析】

z

2



1



i,

z

i.

1



i

k



2

k

2

22

3.B【解析】当

（k2)(k2)0,

即

k2或k2

时，

x



y



1

表示双曲线，

22

所以“

k2

”是“

x



y



1

表示双曲线”的充分不必要条件.

k



2

k

2

4.D【解析】由题分析得

a

n



111

,



n

(

n



1)

nn



1

所以

a

1

a

2

a

3

a

10



1



1



1



1



1



1



10

.

223101111



2



2





5.A【解析】

abab4a



b523

，

ab3.



1



tan



6.C【解析】

tan(





5



)



tan

（





)



2

，

tan



3

，

441



tan



1



tan

2



4



cos2





cos





sin





.

2

1



tan



5

22

7.A【解析】

当

n



1

时，

a

1



T

1



1,

当

n



2

时，

a

n



T

n



n



1



1

，

a

2

a

3

a

4

a

n



1,

T

n



1

n



1

n



1

a

1

为最小项，

a

2

为最大项

.

而a

1

1，

8.D【解析】由已知得函数

f(x)

既关于原点对称，又关于

x1

对称，所以周期T=4，

设g

(

x

)



log

5

x

2

，而g

(



3)

g

(7)



1

，由函数图像可分析

f(x)

与

g(x)

的交点个数为5.

【解析】

若a

0,

b

0,

则a



b



∴A正确；

11

2

时取等号.

2

ab

22

，当且仅当

ab

2

abab

f(x)x

3

是在R上单调递增的函数，

若f(a)f(b)，则ab

，∴B正确；

23

若

a

0,

f

(

x

)

x

a

在（0，）单调递减，

()

a

()

a

，∴C错误；

55

若

11



0,

则

0



a



b

,

lnalnb

，∴D错误.

ab

2

222

12

n

2

12

n

x



x







xx



x







x

【解析】

x



()



,

∴A错误;

nn

第1页

10

2

1

10

2

2

（s

2



x

)130

，∴B正确;

由

s





x

i



x

,





x

i

2

10

10

i



1

i

1

2

1

D(2



)4D(



)8

,∴C正确;

由



~B

（

9

，）得，

D

(



)



2，

3

数据2，3，4，7，8，10，17，18的第50百分位数是7.5，∴D错误

【解析】取

B



D的中点N,B



A的中点F,连结MN,NF,EF

,则四边形EMNF

为平行四边形,

MN//EF,MN面B



AE,MN//面B



AE

,∴A正确;

假设存在一个位置使得

B



DAE

，取AE中点H，连结

B



H,DH

,显然

AEDH

,进而有DA=DE,

B



HAE,B



HB



DB



,

AE面B



HD，

而由题可得

DE3DA

,∴不存在

B



DAE

，故B错误;

当

B



DEC

时，则

B



DAD，而DEAD

,

AD面B



DE,面B



DE面ADE

,

且

面B



DE面ADEDE

,

B



到面ADE的距离即

B



到DE的距离d，

在B



DE中，B



E2,B



DDE3,

由

S



B



DE



2



1



3

d

,



d



26

,∴C正确;

23

当

面B



AE面ABCD时，

四棱锥

B



AECD

的体积最大，此时棱锥的高为

3

，

1

V

B





AECD



1



3



3



1

.∴D正确.

3

1

【解析】设切点

(m,lnm1)

，

kf



(

m

)



1

,



ln

m

1



m,



lnm



2,



m



e

2

，

m

m

所以过原点的切线方程为

y



x

，∴A正确；

e

2

与

f(x)

关于

yx

对称的函数为

y



e

x

1

,∴B错误；

若过点

(a,b)

有2条直线与

f(x)

相切，则点(a,b)在f(x)上方，即

bf(a),

即

blna1,

∴C正确;

由于

xR



,lnxx1，lnx1x2

，∴D正确.

5



【解析】

yx

2

为偶函数，

所以

g(x)cos(2x







)

，





为奇函数，

（

0

，



）

6

3



5









k



,

k



Z

,







.

326

13.

h

14.

132

【解析】易得棱台的高

h2

，

V

棱台



(

S

上

S

上

S

下

S

下

）



132

.

3

3

3

21

（

2

a



1)2

b

15.11【解析】

a



1,

b



0,2

a



b



2(

a



1

）

b



2



[2(

a



1)



b

](



)



2



7



11

,

a



1

bba



1

b

2

(a1)

2

时取等号

.

第2页

16.8【解析】法一：如图建立直角坐标系，

22



设

A(x,y),

由

AB



2AD

得：

x

2



y

2



4





(x



23)



y



即：3x

2

3y

2

163x480，

所以点

A

的轨迹为以（

8343

，

0

）为圆心，半径为的圆，

S



ABC



2

S



ABD

,

33

43

时，ABC面积最大为

8.

3

所以当A到x轴距离最大时，即为

法二：设ADm,则AB2m,在ABD中，由余弦定理可知，

12



4

m

2



m

2



4

m

2

cos

A

,

m

2



而

S



ABC



2

S



ABD



2

m

2

sin

A



12

，

5



4cos

A

24sin

A

sin

A



6

（

),

A



(0,



)

，

5

5



4cos

A

cos

A



4

sin

A

4

由右图可知，最小值为直线

MN

的斜率，

5

3

cos

A



4

4

故ABC面积的最大值为

(



6)



(



)



8.

3

17.【解析】

(1)a

1

1,b

1

1,dq,a

4

a

5

13d14d8q8d

d2,q2



a

n



2

n



1,

b

n



2

n



1

..........................................................................................2分

..........................................................................................5分

(2)

S

n



2

n



1,

c

n

a

n

S

n



(2

n

1)





2

n



1





(2

n

1)



2

n



(2

n

1)

..............7分

T

n



1



2

1



3



2

2



......



(2

n

1)



2

n



[1



3



5



......



(2

n

1)]





1



2



3



2

2



......



(2

n

1)



2

n

令S

n





1



2

2



3



2

3



......



(2

n



1)



2

n



1

2

S

n





2



2



(2

2



2

3



......



2

n

)



(2

n



1)



2

n



1



6



S

n

（3

2

n

)



2

n



1

............9分





6



(2

n



3)



2

n



1

,



T

n



6



(2

n



3)



2

n



1



n

2



S

n

............10分

18.【解析】（1）由

sin

A

sin(

A



B

)

sin

A

sin

C

sin(

A



C

)得

sin

A



sin(

A



B

)



sin

B

sin

A

sin

C



sin

A



sin

C



sin

B

,由正弦定理可得：

sin

A



sin

C



sin

B

ac(acb)(acb)a

2

c

2

2acb

2

................................................2分

第3页

a

2



c

2



b

2

12



............................4分

即

a



c



b



ac

,



cos

B



,

B



(0,



)



B



.

2

ac

23





2



13

BA



BC

(2)

S



ABC



ac

sin

B



ac



3,

ac



4

，由

BD

，

4

BD



(

BA



BC

)

2

.....8分

242

222

24a

2

c

2

2accosBa

2

c

2

4，a

2

c

2

28

................................................10分

b

2

a

2

c

2

2accosB28432b42.

.........................................................12分

19.【解析】

（

1

）当

a



1

时，设

h

(

x

)



f

(

x

)



g

(

x

)



1



e

x



ln(

x



1)



1,

h



(

x

)



e

x



e

x



1

只有一个解

x



0,

x



0

时

h



(

x

)



0,



1



x



0

时，

h



(

x

)



0

x



1

1

，

x



1

....................................................................2分

h(x)在(1，0)单调递减，(0，)单调递增，

h(x)h(0),而h(0)0,h(x)0

,

即f(x)g(x)1

.......................................................4分

（2）法一：若

x（1，），f(x)g(x)1

恒成立，

即：

ae

x



ln

x



1



1



ae

x



ln

a



ln



x



1





1

a

即ae

x



ln

ae

x

x

1



ln(

x

1)

................................................................................6分

构造函数m(t)tlnt,易知m(t)在(0，)递增，

则不等式为m

(

ae

x

)

m

(

x

1)

.....................................................................................8分



ae

x



x



1



a



x



1

x



1

,

设



(

x

)



(

x



1)

e

x

e

x





(

x

)



x

..................................10分

(

x

1),则



(

x

)在（1，0)递增，



递减，



0，

x

e



(x)

max





(0)1

,

a1

............................................................................................12分

法二：

x（1，），f(x)g(x)1

恒成立，即

ae

x



ln

a

ln

（x

1

）

1



0

；

令F（x

)

ae

x



ln(

x

1)



ln

a

1

F



(

x

)



ae

x



即

ae

x

0



11

（

,

a



0

）

,

ae

x

有唯一实数根，设为

x

0

，(

x

0



1)

................................6分

x



1

x



1

1

（x)在(1,x

0

)递减，在(x

0

，)递增，

,ln

a



x

0



ln(

x

0



1),

则F

x

0



1

F

(

x

)

min

F

(

x

0

)

ae

x

0



ln(

x

0



1

）

ln

a

1



0

.....................................................................8分

1

即：

x

0



2ln(

x

0



1)



1



0

,

x

0



1

设

h

(

x

)



1



x



2ln(

x



1)



1,

显然

h

(

x

)

在(

1

，

)

单调递减，

x



1

第4页

2024年3月25日发(作者：善水瑶)

新时代NT教育2023-2024学年高三入学摸底考试

数学

（新高考）

参考答案

1.D【解析】当

A

时，a=0,当

A



2



时，

a1

,当

A



2



时，a=1,

a



1,0,1



.

2.B【解析】

z

2



1



i,

z

i.

1



i

k



2

k

2

22

3.B【解析】当

（k2)(k2)0,

即

k2或k2

时，

x



y



1

表示双曲线，

22

所以“

k2

”是“

x



y



1

表示双曲线”的充分不必要条件.

k



2

k

2

4.D【解析】由题分析得

a

n



111

,



n

(

n



1)

nn



1

所以

a

1

a

2

a

3

a

10



1



1



1



1



1



1



10

.

223101111



2



2





5.A【解析】

abab4a



b523

，

ab3.



1



tan



6.C【解析】

tan(





5



)



tan

（





)



2

，

tan



3

，

441



tan



1



tan

2



4



cos2





cos





sin





.

2

1



tan



5

22

7.A【解析】

当

n



1

时，

a

1



T

1



1,

当

n



2

时，

a

n



T

n



n



1



1

，

a

2

a

3

a

4

a

n



1,

T

n



1

n



1

n



1

a

1

为最小项，

a

2

为最大项

.

而a

1

1，

8.D【解析】由已知得函数

f(x)

既关于原点对称，又关于

x1

对称，所以周期T=4，

设g

(

x

)



log

5

x

2

，而g

(



3)

g

(7)



1

，由函数图像可分析

f(x)

与

g(x)

的交点个数为5.

【解析】

若a

0,

b

0,

则a



b



∴A正确；

11

2

时取等号.

2

ab

22

，当且仅当

ab

2

abab

f(x)x

3

是在R上单调递增的函数，

若f(a)f(b)，则ab

，∴B正确；

23

若

a

0,

f

(

x

)

x

a

在（0，）单调递减，

()

a

()

a

，∴C错误；

55

若

11



0,

则

0



a



b

,

lnalnb

，∴D错误.

ab

2

222

12

n

2

12

n

x



x







xx



x







x

【解析】

x



()



,

∴A错误;

nn

第1页

10

2

1

10

2

2

（s

2



x

)130

，∴B正确;

由

s





x

i



x

,





x

i

2

10

10

i



1

i

1

2

1

D(2



)4D(



)8

,∴C正确;

由



~B

（

9

，）得，

D

(



)



2，

3

数据2，3，4，7，8，10，17，18的第50百分位数是7.5，∴D错误

【解析】取

B



D的中点N,B



A的中点F,连结MN,NF,EF

,则四边形EMNF

为平行四边形,

MN//EF,MN面B



AE,MN//面B



AE

,∴A正确;

假设存在一个位置使得

B



DAE

，取AE中点H，连结

B



H,DH

,显然

AEDH

,进而有DA=DE,

B



HAE,B



HB



DB



,

AE面B



HD，

而由题可得

DE3DA

,∴不存在

B



DAE

，故B错误;

当

B



DEC

时，则

B



DAD，而DEAD

,

AD面B



DE,面B



DE面ADE

,

且

面B



DE面ADEDE

,

B



到面ADE的距离即

B



到DE的距离d，

在B



DE中，B



E2,B



DDE3,

由

S



B



DE



2



1



3

d

,



d



26

,∴C正确;

23

当

面B



AE面ABCD时，

四棱锥

B



AECD

的体积最大，此时棱锥的高为

3

，

1

V

B





AECD



1



3



3



1

.∴D正确.

3

1

【解析】设切点

(m,lnm1)

，

kf



(

m

)



1

,



ln

m

1



m,



lnm



2,



m



e

2

，

m

m

所以过原点的切线方程为

y



x

，∴A正确；

e

2

与

f(x)

关于

yx

对称的函数为

y



e

x

1

,∴B错误；

若过点

(a,b)

有2条直线与

f(x)

相切，则点(a,b)在f(x)上方，即

bf(a),

即

blna1,

∴C正确;

由于

xR



,lnxx1，lnx1x2

，∴D正确.

5



【解析】

yx

2

为偶函数，

所以

g(x)cos(2x







)

，





为奇函数，

（

0

，



）

6

3



5









k



,

k



Z

,







.

326

13.

h

14.

132

【解析】易得棱台的高

h2

，

V

棱台



(

S

上

S

上

S

下

S

下

）



132

.

3

3

3

21

（

2

a



1)2

b

15.11【解析】

a



1,

b



0,2

a



b



2(

a



1

）

b



2



[2(

a



1)



b

](



)



2



7



11

,

a



1

bba



1

b

2

(a1)

2

时取等号

.

第2页

16.8【解析】法一：如图建立直角坐标系，

22



设

A(x,y),

由

AB



2AD

得：

x

2



y

2



4





(x



23)



y



即：3x

2

3y

2

163x480，

所以点

A

的轨迹为以（

8343

，

0

）为圆心，半径为的圆，

S



ABC



2

S



ABD

,

33

43

时，ABC面积最大为

8.

3

所以当A到x轴距离最大时，即为

法二：设ADm,则AB2m,在ABD中，由余弦定理可知，

12



4

m

2



m

2



4

m

2

cos

A

,

m

2



而

S



ABC



2

S



ABD



2

m

2

sin

A



12

，

5



4cos

A

24sin

A

sin

A



6

（

),

A



(0,



)

，

5

5



4cos

A

cos

A



4

sin

A

4

由右图可知，最小值为直线

MN

的斜率，

5

3

cos

A



4

4

故ABC面积的最大值为

(



6)



(



)



8.

3

17.【解析】

(1)a

1

1,b

1

1,dq,a

4

a

5

13d14d8q8d

d2,q2



a

n



2

n



1,

b

n



2

n



1

..........................................................................................2分

..........................................................................................5分

(2)

S

n



2

n



1,

c

n

a

n

S

n



(2

n

1)





2

n



1





(2

n

1)



2

n



(2

n

1)

..............7分

T

n



1



2

1



3



2

2



......



(2

n

1)



2

n



[1



3



5



......



(2

n

1)]





1



2



3



2

2



......



(2

n

1)



2

n

令S

n





1



2

2



3



2

3



......



(2

n



1)



2

n



1

2

S

n





2



2



(2

2



2

3



......



2

n

)



(2

n



1)



2

n



1



6



S

n

（3

2

n

)



2

n



1

............9分





6



(2

n



3)



2

n



1

,



T

n



6



(2

n



3)



2

n



1



n

2



S

n

............10分

18.【解析】（1）由

sin

A

sin(

A



B

)

sin

A

sin

C

sin(

A



C

)得

sin

A



sin(

A



B

)



sin

B

sin

A

sin

C



sin

A



sin

C



sin

B

,由正弦定理可得：

sin

A



sin

C



sin

B

ac(acb)(acb)a

2

c

2

2acb

2

................................................2分

第3页

a

2



c

2



b

2

12



............................4分

即

a



c



b



ac

,



cos

B



,

B



(0,



)



B



.

2

ac

23





2



13

BA



BC

(2)

S



ABC



ac

sin

B



ac



3,

ac



4

，由

BD

，

4

BD



(

BA



BC

)

2

.....8分

242

222

24a

2

c

2

2accosBa

2

c

2

4，a

2

c

2

28

................................................10分

b

2

a

2

c

2

2accosB28432b42.

.........................................................12分

19.【解析】

（

1

）当

a



1

时，设

h

(

x

)



f

(

x

)



g

(

x

)



1



e

x



ln(

x



1)



1,

h



(

x

)



e

x



e

x



1

只有一个解

x



0,

x



0

时

h



(

x

)



0,



1



x



0

时，

h



(

x

)



0

x



1

1

，

x



1

....................................................................2分

h(x)在(1，0)单调递减，(0，)单调递增，

h(x)h(0),而h(0)0,h(x)0

,

即f(x)g(x)1

.......................................................4分

（2）法一：若

x（1，），f(x)g(x)1

恒成立，

即：

ae

x



ln

x



1



1



ae

x



ln

a



ln



x



1





1

a

即ae

x



ln

ae

x

x

1



ln(

x

1)

................................................................................6分

构造函数m(t)tlnt,易知m(t)在(0，)递增，

则不等式为m

(

ae

x

)

m

(

x

1)

.....................................................................................8分



ae

x



x



1



a



x



1

x



1

,

设



(

x

)



(

x



1)

e

x

e

x





(

x

)



x

..................................10分

(

x

1),则



(

x

)在（1，0)递增，



递减，



0，

x

e



(x)

max





(0)1

,

a1

............................................................................................12分

法二：

x（1，），f(x)g(x)1

恒成立，即

ae

x



ln

a

ln

（x

1

）

1



0

；

令F（x

)

ae

x



ln(

x

1)



ln

a

1

F



(

x

)



ae

x



即

ae

x

0



11

（

,

a



0

）

,

ae

x

有唯一实数根，设为

x

0

，(

x

0



1)

................................6分

x



1

x



1

1

（x)在(1,x

0

)递减，在(x

0

，)递增，

,ln

a



x

0



ln(

x

0



1),

则F

x

0



1

F

(

x

)

min

F

(

x

0

)

ae

x

0



ln(

x

0



1

）

ln

a

1



0

.....................................................................8分

1

即：

x

0



2ln(

x

0



1)



1



0

,

x

0



1

设

h

(

x

)



1



x



2ln(

x



1)



1,

显然

h

(

x

)

在(

1

，

)

单调递减，

x



1

第4页