2024年3月26日发(作者：犁若彤)

2021-2022学年河南省南阳市高二下学期第三次考试数学（文）试题

一、单选题

1．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方



程为

y0.85x0.25

.由以上信息，得到下表中

c

的值为（

）

天数

x

（天）

繁殖个数

y

（千个）

3

2.5

4

3

5

4

6

4.5

7

c

A．5

【答案】B

B．6C．7D．8

【分析】根据已知数据求得

x

，根据点(

x,y)

在回归直线上，求得

y

，进而根据表格中数据，利用

平均数的定义求得

c

的值

【详解】

x



3



4



5



6



7



5

5

,

y0.85x0.250.8550.254

,





2.5344.5c



4520,c6,

故选B.

【点睛】本题考查线性回归方程的性质：点(

x,y)

在回归直线上，涉及平均数的计算，属基础题.

2．关于相关关系，下列说法不正确的是（

）

A．相关关系是一种非确定关系

B．相关关系

r

越大，两个变量的相关性越强

C．当两个变量相关且相关系数

r0

时，表明两个变量正相关

D．相关系数

r

的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强

【答案】B

【分析】根据相关系数的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可得结果.

【详解】对于A，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，A正确；

对于B，只有两个变量为正相关时，相关关系

r

越大，两个变量的相关性越强，B错误；

对于C，当两个变量相关且相关系数

r0

时，说明两个变量正相关，C正确；

对于D，相关系数

r

的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，D正确，

故选：B.

3．为了研究某班学生的脚长

x

（单位：厘米）和身高

y

（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取

10名学生，根据测量数据的散点图可以看出

y

与

x

之间有线性相关关系，设其回归直线方程为

a

i



220



y

i



1610

ˆ

a

ˆ

ˆ

bx

ˆ

，已知



y

i



1

，

i



1

，

b4

，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为

(

)

1010

A．165

【答案】C

B．168C．173D．178

ˆ

ˆ

，可得线性回归方程，取

x25

求得

y

值即可．【解析】由已知求得

x

，

y

的值，结合

b4

求得

a

1

10

1

10

x





x

i



220



22

y





y

i



1610



161

10

i



1

10

i



1

【详解】解：，，

ˆ

a

ˆ

4

ˆ

bx

ˆ

，

b

又

y

，

ˆ

16142273

ˆ

ybx



a

．

ˆ

4x73

．

y

关于

x

的线性回归方程为

y

取

x25

，得

y42573173

（厘米）．

故选：

C

．

【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．

4．祖冲之是中国古代数学家、天文学家，他将圆周率推算到小数点后第七位.利用随机模拟的方法

也可以估计圆周率的值，如图程序框图中rand表示产生区间

[

近似值为（ ）

0,1

]

上的随机数，则由此可估计



的

A．

0.001n

【答案】D

【解析】在

[

B．

0.002n

C．

0.003n

D．

0.004n

0,1

]

22

上产生1000对随机数

x,y

得到点

(x,y)

，当

xy1

时将点的个数累加得到输出

值

n

，即可类比为在一个边长为1的正方形中随机产生点，点在以正方形的两边为半径的扇形内的

概率等于扇形面积与正方形面积之比即可求



的近似值；

【详解】由程序框图可知，落在正方形内的1000个点，其中落在圆内有

n

(如图)，



所以

4



n

1000

，故



0.004n

，故选：D.

【点睛】本题考查了程序流程图、概率，由程序流程图理解应用随机数的几何含义，结合概率与几

何图形的面积关系求



的近似值；

nn

5．如图是为了求出满足

321000

的最小偶数

n

，那么在和两个空白框中，可以分

别填入

A．

A1000

和

nn1

C．

A1000

和

nn1

【答案】D

B．

A1000

和

nn2

D．

A1000

和

nn2

nn

【详解】

由题意，因为

321000

，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入

A1000

，故填

A1000

，又要求

n

为偶数且初始值为0，所以矩形框内填

nn2

，故选

D.

点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真

正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何

增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.

6．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于

60

”时，应假设（

）

A．三个内角都不大于

60

B．三个内角都大于

60

C．三个内角至多有一个大于

60

D．三个内角至多有两个大于

60

【答案】B

【分析】根据反证法的知识确定正确选项.

【详解】反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于

60

”时，应假设“三角形三个内角都大

于

60

.”

故选：B

7．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)，则在第n个图形中共有

（

）个顶点．

A．(n+2)(n+3)

【答案】A

B．(n+1)(n+2)C．

n

2

D．n

【分析】根据图形总结规律：第n个图形对应的是以正n+2边形的每个边再作正n+2边形．

【详解】第n个图形对应的是以正n+2边形的每个边再作正n+2边形

∴第n个图形中共有顶点个数为：

故选：A．

8．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概

率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小

明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是

A．0.2

【答案】D

【解析】根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率．

【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件

A

，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件

B

“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件

C

则

P(A)0.4

，

P(B)0.5

，

P(AB)0.2

B．0.3C．0.4D．0.5



n2







n2



n2







n2



n3



P(B|A)



故选D.

P(AB)0.2



0.5

P(A)0.4

【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题．

9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐

中随机取出一球放入乙罐，分别以

A

1

，

A

2

和

A

3

表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；

再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是

①

P



B





5

2

P



BA

1





11

；③事件B与事件

A

1

相互独立；④

A

1

，

A

2

，

A

3

是两两互斥的事件.

5

；②

A．②④B．①③C．②③D．①④

【答案】A

【解析】根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断.

【详解】由题意

P



A

1





A

1

，

A

2

，

A

3

是两两互斥的事件，

5121

3

P



A

2





P



A

3





102

，

105

，

10

；

15



211



5

P



BA

1





1

11

2

，由此知，②正确；

P



BA

2





而

4

4

P



BA

3





11

，

11

；

P



B



P



A

1

B



P



A

2

B



P



A

3

B



P



A

1



P



BA

1



P



A

2



P



BA

2



P



A

3



P



BA

3



1514349



2

.

由此知①③不正确；

A

1

，

A

2

，

A

3

是两两互斥的事件，由此知④正确；

对照四个命题知②④正确；

故选：A.

【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.

10．曲线



2



1



22



sin











3π





4



的中心在

A．第一象限

【答案】D

B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【解析】先将曲线极坐标方程化为直角坐标方程,再将其化为标准形式,找到圆心,即可得出答案.

【详解】



2



1



22



sin











3π





4



,即



2

12



sin



2



cos



,



x





cos





22

y





sin



xy12y2x

,



将代入上式,得

22

因此曲线的标准方程为:

(x1)(y+1)1

,

故其中心为

(1,1)

,在第四象限,

故选:D.

【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程,结合了圆的相关知识,属于基础题.

11．已知

RtABC

中，

A90

，角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，其内切圆半径为

r

，由



1

111

bc

S

△

ABC

bc

S

△

ABC

arbrcr

r



2

，又

222

，可得

a



b



c

.类比上述方法可得：三楼锥

PABC

中，若

BAC90



，

PA

平面

ABC

，设

ABC

的面积为

S

1

，

PAB

的面积为

S

2

，

△PAC

的面积为

S

3

，

PBC

的面积为

S

4

，则该三棱锥内切球的半径是（

）

S

1

S

2

S

3

A．

S

1

S

2

S

3

S

4

【答案】B

11

1

V

P



ABC



S

△

ABC



PA



abc

abc2S

1

S

2

S

3

ABb

ACc

PAa

36

2

【分析】设，，，则，，

1

abc

2

R



S

1



S

2



S

3



S

4

，化简得到答案.

11

V

P



ABC



S

△

ABC



PA



abc

36

【详解】设

PAa

，

ABb

，

ACc

，则，

2S

1

S

2

S

3

B．

S

1

S

2

S

3

S

4

3S

1

S

2

S

3

C．

S

1

S

2

S

3

S

4

2S

1

S

2

S

3

D．

S

1

S

2

S

3

S

4

1

abc

3V

P



ABC

2

1111

R



V

p



ABC



S

1

R



S

2

R



S

3

R



S

4

R

S



S



S



SS

1



S

2



S

3



S

4

.

3333

1234

又，∴

1

1

1

11

S

1

bc

S

2

ab

S

3

ac

S

1

S

2

S

3

a

2

b

2

c

2

abc2S

1

S

2

S

3

2

2

2

82

又∵，，.∴.∴，

R



∴

2S

1

S

2

S

3

S

1



S

2



S

3



S

4

.

故选：B.

【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的计算能力和推理能力.

二、填空题

12．已知复数

【答案】

5

【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可.

【详解】由题知，

z

2i

i

5

1



i

，则

|z|

___________

z



2i



1



i



2i



i

5



i



1



2i

1



i1



i1



i



，

22

所以

|z|125

，

故答案为：

5

.

13．已知点A是曲线



2sin



上任意一点，则点A到直线

_______．

5

【答案】

2

##

2.5



sin(





)



4

π

3

的距离的最小值是

【分析】求得曲线



2sin



、直线

圆的几何性质求得正确答案.



sin(





)



4

π

3

的直角坐标方程，利用点到直线距离公式，结合

2

22



2



sin



xy2y

，



2sin



【详解】曲线，化为直角坐标方程为

x

2

+(y1)

2

1

，圆心为



0,1



，半径为

1

，



1



3

π



sin





cos







sin(





)



4



2





4

2



3

直线，



，化为直角坐标方程为

3xy80

，

圆心



0,1



到直线的距离为

d



|0



1



8|7



2

，

3



1

75



1



2

，则圆上的点到直线的最小距离为

2

π

5



sin(





)



4

3

即点A到直线的最小距离为

2

．

5

故答案为：

2

14．若函数

【答案】

f



x





e

x



a

x

在



1,2



上单调递增，则实数

a

的取值范围是______．



,e



【分析】求出导函数，利用

f



(x)0

，用分离参数法即可求出a的范围.

f(x)



e

x



【详解】因为

又函数

所以

a

a

f



(x)



e

x



2

x

，

x

，所以

f



x





e

x



a

x

在



1,2



上单调递增，

f



(x)



e

x



a



0

x



1,2



x

2

在恒成立，

2x

x



1,2



分离参数可得

axe

在恒成立，

令

g



x



x

2

e

x

，

g





x



2xe

x

x

2

e

x

xe

x



x2



0

在

，

所以

所以

g



x



x

2

e

x

x



1,2



上单调递增，

，所以

ae

，

g



x



g



1



e

2024年3月26日发(作者：犁若彤)

2021-2022学年河南省南阳市高二下学期第三次考试数学（文）试题

一、单选题

1．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方



程为

y0.85x0.25

.由以上信息，得到下表中

c

的值为（

）

天数

x

（天）

繁殖个数

y

（千个）

3

2.5

4

3

5

4

6

4.5

7

c

A．5

【答案】B

B．6C．7D．8

【分析】根据已知数据求得

x

，根据点(

x,y)

在回归直线上，求得

y

，进而根据表格中数据，利用

平均数的定义求得

c

的值

【详解】

x



3



4



5



6



7



5

5

,

y0.85x0.250.8550.254

,





2.5344.5c



4520,c6,

故选B.

【点睛】本题考查线性回归方程的性质：点(

x,y)

在回归直线上，涉及平均数的计算，属基础题.

2．关于相关关系，下列说法不正确的是（

）

A．相关关系是一种非确定关系

B．相关关系

r

越大，两个变量的相关性越强

C．当两个变量相关且相关系数

r0

时，表明两个变量正相关

D．相关系数

r

的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强

【答案】B

【分析】根据相关系数的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可得结果.

【详解】对于A，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，A正确；

对于B，只有两个变量为正相关时，相关关系

r

越大，两个变量的相关性越强，B错误；

对于C，当两个变量相关且相关系数

r0

时，说明两个变量正相关，C正确；

对于D，相关系数

r

的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，D正确，

故选：B.

3．为了研究某班学生的脚长

x

（单位：厘米）和身高

y

（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取

10名学生，根据测量数据的散点图可以看出

y

与

x

之间有线性相关关系，设其回归直线方程为

a

i



220



y

i



1610

ˆ

a

ˆ

ˆ

bx

ˆ

，已知



y

i



1

，

i



1

，

b4

，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为

(

)

1010

A．165

【答案】C

B．168C．173D．178

ˆ

ˆ

，可得线性回归方程，取

x25

求得

y

值即可．【解析】由已知求得

x

，

y

的值，结合

b4

求得

a

1

10

1

10

x





x

i



220



22

y





y

i



1610



161

10

i



1

10

i



1

【详解】解：，，

ˆ

a

ˆ

4

ˆ

bx

ˆ

，

b

又

y

，

ˆ

16142273

ˆ

ybx



a

．

ˆ

4x73

．

y

关于

x

的线性回归方程为

y

取

x25

，得

y42573173

（厘米）．

故选：

C

．

【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．

4．祖冲之是中国古代数学家、天文学家，他将圆周率推算到小数点后第七位.利用随机模拟的方法

也可以估计圆周率的值，如图程序框图中rand表示产生区间

[

近似值为（ ）

0,1

]

上的随机数，则由此可估计



的

A．

0.001n

【答案】D

【解析】在

[

B．

0.002n

C．

0.003n

D．

0.004n

0,1

]

22

上产生1000对随机数

x,y

得到点

(x,y)

，当

xy1

时将点的个数累加得到输出

值

n

，即可类比为在一个边长为1的正方形中随机产生点，点在以正方形的两边为半径的扇形内的

概率等于扇形面积与正方形面积之比即可求



的近似值；

【详解】由程序框图可知，落在正方形内的1000个点，其中落在圆内有

n

(如图)，



所以

4



n

1000

，故



0.004n

，故选：D.

【点睛】本题考查了程序流程图、概率，由程序流程图理解应用随机数的几何含义，结合概率与几

何图形的面积关系求



的近似值；

nn

5．如图是为了求出满足

321000

的最小偶数

n

，那么在和两个空白框中，可以分

别填入

A．

A1000

和

nn1

C．

A1000

和

nn1

【答案】D

B．

A1000

和

nn2

D．

A1000

和

nn2

nn

【详解】

由题意，因为

321000

，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入

A1000

，故填

A1000

，又要求

n

为偶数且初始值为0，所以矩形框内填

nn2

，故选

D.

点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真

正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何

增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.

6．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于

60

”时，应假设（

）

A．三个内角都不大于

60

B．三个内角都大于

60

C．三个内角至多有一个大于

60

D．三个内角至多有两个大于

60

【答案】B

【分析】根据反证法的知识确定正确选项.

【详解】反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于

60

”时，应假设“三角形三个内角都大

于

60

.”

故选：B

7．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)，则在第n个图形中共有

（

）个顶点．

A．(n+2)(n+3)

【答案】A

B．(n+1)(n+2)C．

n

2

D．n

【分析】根据图形总结规律：第n个图形对应的是以正n+2边形的每个边再作正n+2边形．

【详解】第n个图形对应的是以正n+2边形的每个边再作正n+2边形

∴第n个图形中共有顶点个数为：

故选：A．

8．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概

率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小

明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是

A．0.2

【答案】D

【解析】根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率．

【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件

A

，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件

B

“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件

C

则

P(A)0.4

，

P(B)0.5

，

P(AB)0.2

B．0.3C．0.4D．0.5



n2







n2



n2







n2



n3



P(B|A)



故选D.

P(AB)0.2



0.5

P(A)0.4

【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题．

9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐

中随机取出一球放入乙罐，分别以

A

1

，

A

2

和

A

3

表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；

再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是

①

P



B





5

2

P



BA

1





11

；③事件B与事件

A

1

相互独立；④

A

1

，

A

2

，

A

3

是两两互斥的事件.

5

；②

A．②④B．①③C．②③D．①④

【答案】A

【解析】根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断.

【详解】由题意

P



A

1





A

1

，

A

2

，

A

3

是两两互斥的事件，

5121

3

P



A

2





P



A

3





102

，

105

，

10

；

15



211



5

P



BA

1





1

11

2

，由此知，②正确；

P



BA

2





而

4

4

P



BA

3





11

，

11

；

P



B



P



A

1

B



P



A

2

B



P



A

3

B



P



A

1



P



BA

1



P



A

2



P



BA

2



P



A

3



P



BA

3



1514349



2

.

由此知①③不正确；

A

1

，

A

2

，

A

3

是两两互斥的事件，由此知④正确；

对照四个命题知②④正确；

故选：A.

【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.

10．曲线



2



1



22



sin











3π





4



的中心在

A．第一象限

【答案】D

B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【解析】先将曲线极坐标方程化为直角坐标方程,再将其化为标准形式,找到圆心,即可得出答案.

【详解】



2



1



22



sin











3π





4



,即



2

12



sin



2



cos



,



x





cos





22

y





sin



xy12y2x

,



将代入上式,得

22

因此曲线的标准方程为:

(x1)(y+1)1

,

故其中心为

(1,1)

,在第四象限,

故选:D.

【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程,结合了圆的相关知识,属于基础题.

11．已知

RtABC

中，

A90

，角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，其内切圆半径为

r

，由



1

111

bc

S

△

ABC

bc

S

△

ABC

arbrcr

r



2

，又

222

，可得

a



b



c

.类比上述方法可得：三楼锥

PABC

中，若

BAC90



，

PA

平面

ABC

，设

ABC

的面积为

S

1

，

PAB

的面积为

S

2

，

△PAC

的面积为

S

3

，

PBC

的面积为

S

4

，则该三棱锥内切球的半径是（

）

S

1

S

2

S

3

A．

S

1

S

2

S

3

S

4

【答案】B

11

1

V

P



ABC



S

△

ABC



PA



abc

abc2S

1

S

2

S

3

ABb

ACc

PAa

36

2

【分析】设，，，则，，

1

abc

2

R



S

1



S

2



S

3



S

4

，化简得到答案.

11

V

P



ABC



S

△

ABC



PA



abc

36

【详解】设

PAa

，

ABb

，

ACc

，则，

2S

1

S

2

S

3

B．

S

1

S

2

S

3

S

4

3S

1

S

2

S

3

C．

S

1

S

2

S

3

S

4

2S

1

S

2

S

3

D．

S

1

S

2

S

3

S

4

1

abc

3V

P



ABC

2

1111

R



V

p



ABC



S

1

R



S

2

R



S

3

R



S

4

R

S



S



S



SS

1



S

2



S

3



S

4

.

3333

1234

又，∴

1

1

1

11

S

1

bc

S

2

ab

S

3

ac

S

1

S

2

S

3

a

2

b

2

c

2

abc2S

1

S

2

S

3

2

2

2

82

又∵，，.∴.∴，

R



∴

2S

1

S

2

S

3

S

1



S

2



S

3



S

4

.

故选：B.

【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的计算能力和推理能力.

二、填空题

12．已知复数

【答案】

5

【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可.

【详解】由题知，

z

2i

i

5

1



i

，则

|z|

___________

z



2i



1



i



2i



i

5



i



1



2i

1



i1



i1



i



，

22

所以

|z|125

，

故答案为：

5

.

13．已知点A是曲线



2sin



上任意一点，则点A到直线

_______．

5

【答案】

2

##

2.5



sin(





)



4

π

3

的距离的最小值是

【分析】求得曲线



2sin



、直线

圆的几何性质求得正确答案.



sin(





)



4

π

3

的直角坐标方程，利用点到直线距离公式，结合

2

22



2



sin



xy2y

，



2sin



【详解】曲线，化为直角坐标方程为

x

2

+(y1)

2

1

，圆心为



0,1



，半径为

1

，



1



3

π



sin





cos







sin(





)



4



2





4

2



3

直线，



，化为直角坐标方程为

3xy80

，

圆心



0,1



到直线的距离为

d



|0



1



8|7



2

，

3



1

75



1



2

，则圆上的点到直线的最小距离为

2

π

5



sin(





)



4

3

即点A到直线的最小距离为

2

．

5

故答案为：

2

14．若函数

【答案】

f



x





e

x



a

x

在



1,2



上单调递增，则实数

a

的取值范围是______．



,e



【分析】求出导函数，利用

f



(x)0

，用分离参数法即可求出a的范围.

f(x)



e

x



【详解】因为

又函数

所以

a

a

f



(x)



e

x



2

x

，

x

，所以

f



x





e

x



a

x

在



1,2



上单调递增，

f



(x)



e

x



a



0

x



1,2



x

2

在恒成立，

2x

x



1,2



分离参数可得

axe

在恒成立，

令

g



x



x

2

e

x

，

g





x



2xe

x

x

2

e

x

xe

x



x2



0

在

，

所以

所以

g



x



x

2

e

x

x



1,2



上单调递增，

，所以

ae

，

g



x



g



1



e