2024年4月6日发(作者：尧涵菱)

解密二次函数与一次函数的交点问题

1. 知识载体

ymxnmnm

≠0）+ （1（）一次函数解析式:为常数且=、

acabyaxbxc

:,=为常数且+,+≠0）（（2）

2

二次函数解析式 解题思想2.

数形结合（把交点问题转化为方程问题求解） 解题方法3.

求这两个函数的交点坐标或交点个数需要把一次函数解析式和二次函数解析式联立方程组

ymxn

，整理后得到一个新的一元二次方程，根据判别式来确定交点的个数：



2

yaxbxc



一次函数与二次函数有两个交点；0 （1）△＞



二次函数与一次函数有一个交点；）△=0 （2



二次函数与一次函数没有交点。0 （3）△＜注意：（2）△=0是（1）和（3）的分界点，所以在

解决问题时往往利用△=0求出参数的值，从而确定所求范围。

2

2xx1y

yxn

，分析两图象的交点个数。 抛物线解析式为：，直线解析式为： 例

22

22

AxABxymxm

在轴交于例题1 （历下区二模）已知二次函数的图象与=﹣2两点（点+、﹣4

xyDmxmxmBy

轴下方的部分的图象在=﹣1时，将函数=﹣﹣点2的左边），且与轴交于点4。当+

QQx

有两个公共与图象沿图象的其余部分保持不变，轴翻折，得到一个新的图象当直

线。

b

点时，求实数的取值范围。

mxxxymxmm

=0得﹣2+2+，解得﹣4=0==，﹣2，令答案：

mDBAmm

22212

﹣4，，0））（0，∴（2﹣，0），（+2，

BAymxx

，﹣0，则﹣3，（﹣30），（1，），顶点为（﹣14）时，

2

﹣当=1=+2

1xby

Q

有两个公共点，因为直线 与图象

213xybb

A

， 则当直线点时过

1

22

11xbby

B

， ，0当直线过）时，（1

22731bxby

xxy

只有一个公共点时，﹣2，与+3

当直线=﹣

1627331

bb

根据图象，可得﹣ ＞＜。＜或

2216

2

Q

抛折后直线与翻键题的关，还要注意的点拨：弄清直线与图象的交点个数情况是解 法。b的求

切物线相时，

2

BaxybxA

，0），）两点。2 抛物线（﹣=+1+3经过，（﹣30例题 1）求抛物线的解析式；

（

OMyxyCMyaxbx

交于=﹣2+9与2（）如图，设抛物线，与直线=+的顶点为+3轴交于点，直线

CODCDD

）

2

只有一个公上。若平移后抛物线与射线点（含端点。现将抛物线平移，保持顶点在直线 共点，

求它的顶点横坐标的取值范围。

2

BbxyaxA

，0）两点，1），经过1：答案（）抛物线解析式=++3（﹣30，（﹣

∴，

2

））配方得﹣=（1+2（2）由（1

M

1）∴

解得，

xyx

+3+4∴抛物线的解析式为。=

xy

，

22

抛物线的顶点坐标为，（﹣2，﹣

1

xODy

的解析式为，∴直线=

21

hh

，于是可设平移后的

抛物线的顶点坐标为（），

21

hxhy

﹣，）∴平移后的抛物线的解析式为+=（

2

CC

）当抛物

2

线经过点时，∵，（0，9

1

hh

=9+∴。

2

h

=， 解得

CDh

∴当＜时，平移后的抛物线与射线≤ 只有一个公共点；

CD

只有一个公共点时，当抛物线与

2

直线

+2）4（9+）2∴△=（﹣

由方程组，

1

hhxhx

+，得﹣+（﹣2+2）9=0+

21

hhh

=0，﹣﹣

2222

2

2

h

=4解得，

CDyxCD

上，符合，3）在射线3与射线﹣4）+2，唯一

的公共点为（33），点（（此时抛物线= 题意。

CD

只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是

∴平移后抛物线与射线

h

或。=4当抛物线顶点在某直线上移

动时，顶点坐标的表示方法很重要，同时要分析出抛物线与点拨： 射线有一个交点时的两种情

况及求法。

3

【方法总结】二次函数与一次函数的交点问题一般都是已知二次函数解析式，一次函数中含参

数，求满足条 件的参数的范围。

2

3xyx2

bxy2xby2

轴上下（1） 的交点情况，此时可以

看成沿 与y例如： 移动的直线，在移动过程中就可以发现交点的情况；

2

3xy2x

1ykx1ykx

）

为中心旋转此时0,1可以看成以）与（的交点情况，（2 的直线，在变化过程中就可以发现交点

2024年4月6日发(作者：尧涵菱)

解密二次函数与一次函数的交点问题

1. 知识载体

ymxnmnm

≠0）+ （1（）一次函数解析式:为常数且=、

acabyaxbxc

:,=为常数且+,+≠0）（（2）

2

二次函数解析式 解题思想2.

数形结合（把交点问题转化为方程问题求解） 解题方法3.

求这两个函数的交点坐标或交点个数需要把一次函数解析式和二次函数解析式联立方程组

ymxn

，整理后得到一个新的一元二次方程，根据判别式来确定交点的个数：



2

yaxbxc



一次函数与二次函数有两个交点；0 （1）△＞



二次函数与一次函数有一个交点；）△=0 （2



二次函数与一次函数没有交点。0 （3）△＜注意：（2）△=0是（1）和（3）的分界点，所以在

解决问题时往往利用△=0求出参数的值，从而确定所求范围。

2

2xx1y

yxn

，分析两图象的交点个数。 抛物线解析式为：，直线解析式为： 例

22

22

AxABxymxm

在轴交于例题1 （历下区二模）已知二次函数的图象与=﹣2两点（点+、﹣4

xyDmxmxmBy

轴下方的部分的图象在=﹣1时，将函数=﹣﹣点2的左边），且与轴交于点4。当+

QQx

有两个公共与图象沿图象的其余部分保持不变，轴翻折，得到一个新的图象当直

线。

b

点时，求实数的取值范围。

mxxxymxmm

=0得﹣2+2+，解得﹣4=0==，﹣2，令答案：

mDBAmm

22212

﹣4，，0））（0，∴（2﹣，0），（+2，

BAymxx

，﹣0，则﹣3，（﹣30），（1，），顶点为（﹣14）时，

2

﹣当=1=+2

1xby

Q

有两个公共点，因为直线 与图象

213xybb

A

， 则当直线点时过

1

22

11xbby

B

， ，0当直线过）时，（1

22731bxby

xxy

只有一个公共点时，﹣2，与+3

当直线=﹣

1627331

bb

根据图象，可得﹣ ＞＜。＜或

2216

2

Q

抛折后直线与翻键题的关，还要注意的点拨：弄清直线与图象的交点个数情况是解 法。b的求

切物线相时，

2

BaxybxA

，0），）两点。2 抛物线（﹣=+1+3经过，（﹣30例题 1）求抛物线的解析式；

（

OMyxyCMyaxbx

交于=﹣2+9与2（）如图，设抛物线，与直线=+的顶点为+3轴交于点，直线

CODCDD

）

2

只有一个公上。若平移后抛物线与射线点（含端点。现将抛物线平移，保持顶点在直线 共点，

求它的顶点横坐标的取值范围。

2

BbxyaxA

，0）两点，1），经过1：答案（）抛物线解析式=++3（﹣30，（﹣

∴，

2

））配方得﹣=（1+2（2）由（1

M

1）∴

解得，

xyx

+3+4∴抛物线的解析式为。=

xy

，

22

抛物线的顶点坐标为，（﹣2，﹣

1

xODy

的解析式为，∴直线=

21

hh

，于是可设平移后的

抛物线的顶点坐标为（），

21

hxhy

﹣，）∴平移后的抛物线的解析式为+=（

2

CC

）当抛物

2

线经过点时，∵，（0，9

1

hh

=9+∴。

2

h

=， 解得

CDh

∴当＜时，平移后的抛物线与射线≤ 只有一个公共点；

CD

只有一个公共点时，当抛物线与

2

直线

+2）4（9+）2∴△=（﹣

由方程组，

1

hhxhx

+，得﹣+（﹣2+2）9=0+

21

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=0，﹣﹣

2222

2

2

h

=4解得，

CDyxCD

上，符合，3）在射线3与射线﹣4）+2，唯一

的公共点为（33），点（（此时抛物线= 题意。

CD

只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是

∴平移后抛物线与射线

h

或。=4当抛物线顶点在某直线上移

动时，顶点坐标的表示方法很重要，同时要分析出抛物线与点拨： 射线有一个交点时的两种情

况及求法。

3

【方法总结】二次函数与一次函数的交点问题一般都是已知二次函数解析式，一次函数中含参

数，求满足条 件的参数的范围。

2

3xyx2

bxy2xby2

轴上下（1） 的交点情况，此时可以

看成沿 与y例如： 移动的直线，在移动过程中就可以发现交点的情况；

2

3xy2x

1ykx1ykx

）

为中心旋转此时0,1可以看成以）与（的交点情况，（2 的直线，在变化过程中就可以发现交点