2024年4月26日发(作者：叔觅云)
2020-2021武汉备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶圆的综合
一、圆的综合
1
．如图，点
A
、
B
、
C
分别是
⊙O
上的点，
CD
是
⊙O
的直径，
P
是
CD
延长线上的一点，
AP=AC
．
（
1
）若
∠B=60°
，求证：
AP
是
⊙O
的切线；
AB
的值．
（
2
）若点
B
是弧
CD
的中点，
AB
交
CD
于点
E
，
CD=4
，求
BE·
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
8
．
【解析】
（
1
）求出
∠ADC
的度数，求出
∠P
、
∠ACO
、
∠OAC
度数，求出
∠OAP=90°
，根据切线判定
推出即可；
（
2
）求出
BD
长，求出
△DBE
和
△ABD
相似，得出比例式，代入即可求出答案．
试题解析：连接
AD
，
OA
，
∵∠ADC=∠B
，
∠B=60°
，
∴∠ADC=60°
，
∵CD
是直径，
∴∠DAC=90°
，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°
，
∵AP=AC
，
OA=OC
，
∴∠OAC=∠ACD=30°
，
∠P=∠ACD=30°
，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°
，
即
OA⊥AP
，
∵OA
为半径，
∴AP
是
⊙O
切线．
（
2
）连接
AD
，
BD
，
∵CD
是直径，
∴∠DBC=90°
，
∵CD=4
，
B
为弧
CD
中点，
∴BD=BC=，
∴∠BDC=∠BCD=45°
，
∴∠DAB=∠DCB=45°
，
即
∠BDE=∠DAB
，
∵∠DBE=∠DBA
，
∴△DBE∽△ABD
，
∴，
．
∴BE•AB=BD•BD=
考点：
1
．切线的判定；
2
．相似三角形的判定与性质．
2
．如图，已知
△ABC
内接于
⊙O
，
BC
交直径
AD
于点
E
，过点
C
作
AD
的垂线交
AB
的延长
线于点
G
，垂足为
F
．连接
OC
．
（
1
）若
∠G=48°
，求
∠ACB
的度数；
（
2
）若
AB=AE
，求证：
∠BAD=∠COF
；
（
3
）在（
2
）的条件下，连接
OB
，设
△AOB
的面积为
S
1
，
△ACF
的面积为
S
2
．若
tan∠CAF=
S
1
1
，求的值．
S
2
2
【答案】（
1
）
48°
（
2
）证明见解析（
3
）
3
4
【解析】
【分析】
（
1
）连接
CD
，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；
（
2
）先根据等腰三角形的性质得：
∠ABE=∠AEB
，再证明
∠BCG=∠DAC
，可得
»
PB
»
PD
»
，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结
CD
论；
（
3
）过
O
作
OG⊥AB
于
G
，证明
△COF≌△OAG
，则
OG=CF=x
，
AG=OF
，设
OF=a
，则
OA=OC=2x-a
，根据勾股定理列方程得：（
2x-a
）
2
=x
2
+a
2
，则
a=
论．
【详解】
（
1
）连接
CD
，
∵AD
是
⊙O
的直径，
∴∠ACD=90°
，
∴∠ACB+∠BCD=90°
，
∵AD⊥CG
，
∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°
，
∵∠BAD=∠BCD
，
∴∠ACB=∠G=48°
；
（
2
）
∵AB=AE
，
∴∠ABE=∠AEB
，
∵∠ABC=∠G+∠BCG
，
∠AEB=∠ACB+∠DAC
，
由（
1
）得：
∠G=∠ACB
，
∴∠BCG=∠DAC
，
3
x
，代入面积公式可得结
4
»
PB
»
，
∴
CD
∵AD
是
⊙O
的直径，
AD⊥PC
，
»
PD
»
，
∴
CD
»
PB
»
PD
»
，
∴
CD
∴∠BAD=2∠DAC
，
∵∠COF=2∠DAC
，
∴∠BAD=∠COF
；
（
3
）过
O
作
OG⊥AB
于
G
，设
CF=x
，
∵tan∠CAF=
∴AF=2x
，
∵OC=OA
，由（
2
）得：
∠COF=∠OAG
，
∵∠OFC=∠AGO=90°
，
∴△COF≌△OAG
，
1CF
=
，
2AF
∴OG=CF=x
，
AG=OF
，
设
OF=a
，则
OA=OC=2x
﹣
a
，
Rt△COF
中，
CO
2
=CF
2
+OF
2
，
∴
（
2x
﹣
a
）
2
=x
2
+a
2
，
a=
3
x
，
4
3
x
，
4
3
x
，
2
∴OF=AG=
∵OA=OB
，
OG⊥AB
，
∴AB=2AG=
13
AB·OGx·x
S
1
2
3
2
．
∴
S
2
1
CF·
2x4
AF
x·
2
【点睛】
圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判
定以及解直角三角形，解题的关键是：（
1
）根据圆周角定理找出
∠ACB+∠BCD=90°
；
»
PB
»
PD
»
；（
3
）利用三角函数设未知数，根（
2
）根据外角的性质和圆的性质得：
CD
据勾股定理列方程解决问题．
3
．如图，在
⊙O
中，
AB
为直径，
OC⊥AB
，弦
CD
与
OB
交于点
F
，在
AB
的延长线上有点
E
，且
EF=ED
．
（
1
）求证：
DE
是
⊙O
的切线；
1
，探究线段
AB
和
BE
之间的数量关系，并证明；
2
（
3
）在（
2
）的条件下，若
OF=1
，求圆
O
的半径．
（
2
）若
tanA=
【答案】（
1
）答案见解析；（
2
）
AB=3BE
；（
3
）
3
．
【解析】
试题分析：（
1
）先判断出
∠OCF+∠CFO=90°
，再判断出
∠OCF=∠ODF
，即可得出结论；
（
2
）先判断出
∠BDE=∠A
，进而得出
△EBD∽△EDA
，得出
AE=2DE
，
DE=2BE
，即可得出结
论；
（
3
）设
BE=x
，则
DE=EF=2x
，
AB=3x
，半径
OD=
即可得出结论．
试题解析：（
1
）证明：连结
OD
，如图．
∵EF=ED
，
∴∠EFD=∠EDF
．
∵∠EFD=∠CFO
，
∴∠CFO=∠EDF
．
∵OC⊥OF
，
∴∠OCF+∠CFO=90°
．
∵OC=OD
，
∴∠OCF=∠ODF
，
∴∠ODC+∠EDF=90°
，即
∠ODE=90°
，
∴OD⊥DE
．
∵
点
D
在
⊙O
上，
∴DE
是
⊙O
的切线；
（
2
）线段
AB
、
BE
之间的数量关系为：
AB=3BE
．证明如下：
∵AB
为
⊙O
直径，
∴∠ADB=90°
，
∴∠ADO=∠BDE
．
∵OA=OD
，
∴∠ADO=∠A
，
∴∠BDE=∠A
，而
∠BED=∠DEA
，
∴△EBD∽△EDA
，
∴
中，
tanA=
3
x
，进而得出
OE=1+2x
，最后用勾股定理
2
DEBEBD
．
∵Rt△ABD
AEDEAD
BD1DEBE1
=
，
∴=
，
AD2AEDE2
3
x
．
∵OF=1
，
∴OE=1+2x
．
2
∴AE=2DE
，
DE=2BE
，
∴AE=4BE
，
∴AB=3BE
；
（
3
）设
BE=x
，则
DE=EF=2x
，
AB=3x
，半径
OD=
在
Rt△ODE
中，由勾股定理可得：（
∴
圆
O
的半径为
3
．
32
x
）
2
+
（
2x
）
2
=
（
1+2x
）
2
，
∴x=
﹣（舍）或
x=2
，
29
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角
函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出
△EBD∽△EDA
是解答本题的关键．
4
．如图，
AB
是半圆
O
的直径，
C
是的中点，
D
是的中点，
AC
与
BD
相交于点
E.
（
1
）求证：
BD
平分
∠ABC
；
（
2
）求证：
BE=2AD
；
（
3
）求
DE
的值
.
BE
21
2
【答案】（
1
）答案见解析（
2
）
BE=AF=2AD
（
3
）
【解析】
试题分析：（
1
）根据中点弧的性质，可得弦
AD=CD
，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角
的性质求解即可；
（
2
）延长
BC
与
AD
相交于点
F,
证明
△BCE≌△ACF,
根据全等三角形的性质可得
BE=AF=2AD
；
（
3
）连接
OD,
交
AC
于
H.
简要思路如下：设
OH
为
1
，则
BC
为
2
，
OB=OD=
2
，
DH=
21
,
然后根据相似三角形的性质可求解
.
试题解析：（
1
）
∵D
是
∴AD=DC
∴∠CBD=∠ABD
∴BD
平分
∠ABC
（
2
）提示：延长
BC
与
AD
相交于点
F,
证明
△BCE≌△ACF,
BE=AF=2AD
的中点
（
3
）连接
OD,
交
AC
于
H.
简要思路如下：
设
OH
为
1
，则
BC
为
2
，
OB=OD=
2
，
DH=
21
,
DEDH
=
BEBC
DE
21
=
BE
2
5
．如图，在
⊙O
中，直径
AB⊥
弦
CD
于点
E
，连接
AC
，
BC
，点
F
是
BA
延长线上的一点，
且
∠FCA
＝
∠B.
(1)
求证：
CF
是
⊙O
的切线；
(2)
若
AE
＝
4
，
tan∠ACD
＝
3
，求
FC
的长．
3
【答案】（
1
）见解析
【解析】
分析：（
1
）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出
∠OCF=90°
，进而得出答案；
（
2
）根据正切的性质求出
EC
的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形
的性质，利用勾股定理求出即可．
详解：
(1)
证明：连接
OC.∵AB
是
⊙O
的直径，
∴∠ACB
＝
90°
，
∴∠OCB
＋
∠ACO
＝
90°.
∵OB
＝
OC
，
∴∠B
＝
∠OCB.
又
∵∠FCA
＝
∠B
，
∴∠FCA
＝
∠OCB
，
∴∠FCA
＋
∠ACO
＝
90°
，即
∠FCO
＝
90°
，
∴FC⊥OC
，
∴FC
是
⊙O
切线．
AE4
43
(2)
解：
∵AB⊥CD
，
∴∠AEC
＝
90°
，
∴EC=
tan
ACE
，
3
3
设
OA
＝
OC
＝
r
，则
OE
＝
OA
－
AE
＝
r
－
4.
在
Rt△OEC
中，
OC
2
＝
OE
2
＋
CE
2
，
即
r
2
＝
(r
－
4)
2
＋
(4
3
)
2
，解得
r
＝
8.
∴OE
＝
r
－
4
＝
4
＝
AE.
∵CE⊥OA
，
∴CA
＝
CO
＝
8
，
∴△AOC
是等边三角形，
∴∠FOC
＝
60°
，
∴∠F
＝
30°.
在
Rt△FOC
中，
∵∠OCF
＝
90°
，
OC
＝
8
，
∠F
＝
30°
，
∴OF
＝
2OC
＝
16
，
∴FC
＝
OF
2
OC
2
83
.
点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出
BC
的长
是解题关键．
»
的中点，
DE⊥AC
交
AC
的延长线于
E
，
⊙O
的切线
6
．如图，已知
AB
为
⊙O
直径，
D
是
BC
交
AD
的延长线于
F
．
（
1
）求证：直线
DE
与
⊙O
相切；
（
2
）已知
DG⊥AB
且
DE=4
，
⊙O
的半径为
5
，求
tan∠F
的值．
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
2
．
【解析】
试题分析：（
1
）连接
BC
、
OD
，由
D
是弧
BC
的中点，可知：
OD⊥BC
；由
OB
为
⊙O
的直
径，可得：
BC⊥AC
，根据
DE⊥AC
，可证
OD⊥DE
，从而可证
DE
是
⊙O
的切线；
（
2
）直接利用勾股定理得出
GO
的长，再利用锐角三角函数关系得出
tan∠F
的值．
试题解析：解：（
1
）证明：连接
OD
，
BC
，
∵D
是弧
BC
的中点，
∴OD
垂直平分
BC
，
∵AB
为
⊙O
的直径，
∴AC⊥BC
，
∴OD∥AE
．
∵DE⊥AC
，
∴OD⊥DE
，
∵OD
为
⊙O
的半径，
∴DE
是
⊙O
的切线；
»
DB
»
，
∴∠EAD=∠BAD
，
∵DE⊥AC
，
DG⊥AB
且（
2
）解：
∵D
是弧
BC
的中点，
∴
DC
DE=4
，
∴DE=DG=4
，
∵DO=5
，
∴GO=3
，
∴AG=8
，
∴tan∠ADG=
线，
∴∠ABF=90°
，
∴DG∥BF
，
∴tan∠F=tan∠ADG=2
．
8
=2
，
∵BF
是
⊙O
的切
4
点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出
AG
，
DG
的长是
解题关键．
7
．四边形
ABCD
内接于
⊙O
，点
E
为
AD
上一点，连接
AC
，
CB
，
∠B=∠AEC
．
（
1
）如图
1
，求证：
CE=CD
；
（
2
）如图
2
，若
∠B+∠CAE=120°
，
∠ACD=2∠BAC
，求
∠BAD
的度数；
（
3
）如图
3
，在（
2
）的条件下，延长
CE
交
⊙O
于点
G
，若
tan∠BAC=
AE
的长．
53
，
EG=2
，求
11
【答案】（
1
）见解析；（
2
）
60°
；（
3
）
7.
【解析】
试题分析：
(1)
利用圆的内接四边形定理得到
∠CED=∠CDE.
(2)
作
CH⊥DE
于
H,
设
∠ECH=α
，由（
1
）
CE=CD
，用
α
表示
∠CAE
，
∠BAC
，
而
∠BAD=∠BAC+∠CAE.
（
3
）连接
AG
，作
GN⊥AC
，
AM⊥EG
，先证明
∠CAG=∠BAC
，设
NG=5
3
m
，可得
AN=11m
，利用直角
n
AGM,
n
AEM
，
勾股定理可以算出
m
的值并求出
AE
长
.
试题解析：
（
1
）解：证明：
∵
四边形
ABCD
内接于
⊙O.
∴∠B+∠D=180°
，
∵∠B=∠AEC
，
∴∠AEC+∠D=180°
，
∵∠AEC+∠CED=180°
，
∴∠D=∠CED
，
∴CE=CD
．
（
2
）解：作
CH⊥DE
于
H
．
设
∠ECH=α
，由（
1
）
CE=CD
，
∴∠ECD=2α
，
∵∠B=∠AEC
，
∠B+∠CAE=120°
，
∴∠CAE+∠AEC=120°
，
∴∠ACE=180°
﹣
∠AEC
﹣
∠ACE=60°
，
∴∠CAE=90°
﹣
∠ACH=90°
﹣（
60°+α
）
=30°
﹣
α
，
∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α
，
∵∠ACD=2∠BAC
，
∴∠BAC=30°+α
，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°
﹣
α=60°
．
（
3
）解：连接
AG
，作
GN⊥AC
，
AM⊥EG
，
∵∠CED=∠AEG
，
∠CDE=∠AGE
，
∠CED=∠CDE
，
∴∠AEG=∠AGE
，
∴AE=AG
，
∴EM=MG=
1
EG=1
，
2
∴∠EAG=∠ECD=2α
，
∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°
﹣
α+2α=∠BAC
，
∵tan∠BAC=
53
，
11
∴
设
NG=5
3
m
，可得
AN=11m
，
AG=
∵∠ACG=60°
，
∴CN=5m
，
AM=8
3
m
，
MG=
AG
2
AM
2
=14m
，
AG
2
AM
2
=2m=1
，
∴m=
1
，
2
2
=7
．
AM
2
EM
2
=
1
2
+（43）
∴CE=CD=CG
﹣
EG=10m
﹣
2=3
，
∴AE=
8
．对于平面直角坐标系
xOy
中的线段
MN
和点
P
，给出如下定义：点
A
是线段
MN
上一个
动点，过点
A
作线段
MN
的垂线
l
，点
P
是垂线
l
上的另外一个动点．如果以点
P
为旋转中
心，将垂线
l
沿逆时针方向旋转
60°
后与线段
MN
有公共点，我们就称点
P
是线段
MN
的
“
关联点
”
．
如图，
M
（
1
，
2
），
N
（
4
，
2
）．
（
1
）
在点
P
1
（
1
，
3
），
P
2
（
4
，
0
），
P
3
（
3
，
2
）中，线段
MN
的
“
关联点
”
有
；
（
2
）
如果点
P
在直线
yx1
上，且点
P
是线段
MN
的
“
关联点
”
，求点
P
的横坐标
x
的取
值范围；
（
3
）
如果点
P
在以
O
（
1
，
1
）为圆心，
r
为半径的
⊙O
上，且点
P
是线段
MN
的
“
关联
点
”
，直接写出
⊙O
半径
r
的取值范围．
【答案】（
1
）
P
1
和
P
3
；（
2
）
1≤x≤
【解析】
【分析】
33133
；（
3
）
≤r≤33.
2
2
（
1
）先根据题意求出点
P
的横坐标的范围，再求出
P
点的纵坐标范围即可得出结果；
（
2
）由直线
y=x+1
经过点
M
（
1
，
2
），得出
x≥1
，设直线
y=x+1
与
P
4
N
交于点
A
，过点
A
作
AB⊥MN
于
B
，延长
AB
交
x
轴于
C
，则在
△AMN
中，
MN=3
，
∠AMN=45°
，
∠ANM=30°
，设
AB=MB=a
，
tan∠ANM=
ABa
，即
tan30°=
，求出
a
即可得出结果；
BN3a
（
3
）圆心
O
到
P
4
的距离为
r
的最大值，圆心
O
到
MP
5
的距离为
r
的最小值，分别求出两
个距离即可得出结果．
【详解】
（
1
））如图
1
所示：
∵
点
A
是线段
MN
上一个动点，过点
A
作线段
MN
的垂线
l
，点
P
是垂线
l
上的另外一个动
点，
M
（
1
，
2
），
N
（
4
，
2
），
∴
点
P
的横坐标
1≤x≤4
，
∵
以点
P
为旋转中心，将垂线
l
沿逆时针方向旋转
60°
后与线段
MN
有公共点，
当
∠MPN=60°
时，
PM=
同理
P′N=
3
，
∴
点
P
的纵坐标为
2-
3
或
2+
3
，
即纵坐标
2-
3
≤y≤2+
3
，
∴
线段
MN
的
“
关联点
”
有
P
1
和
P
3
；
故答案为：
P
1
和
P
3
；
（
2
）线段
MN
的
“
关联点
”P
的位置如图所示，
3
MN
==
3
，
3
tan60
∵
直线
yx1
经过点
M
（
1
，
2
），
∴ x≥1.
设直线
yx1
与
P
4
N
交于点
A .
过点
A
作
AB⊥MN
于
B
，延长
AB
交
x
轴于
C.
由题意易知，在
△AMN
中，
MN = 3
，
∠AMN = 45°
，
∠ANM = 30°.
设
AB = MB = a
，
∴
tan
ANM
解得
a
ABa
，即
tan30
，
BN3a
333
.
2
∴
点
A
的横坐标为
xa1
∴
x
333331
1.
22
331
.
2
331
.
2
综上
1x
（
3
）点
P
在以
O
（
1
，
-1
）为圆心，
r
为半径的
⊙O
上，且点
P
是线段
MN
的
“
关联点
”
，如
图
3
所示：
连接
P
4
O
交
x
轴于点
D
，
P
4
、
M
、
D
、
O
共线，
则圆心
O
到
P
4
的距离为
r
的最大值，由（
1
）知：
MP
4
=NP
5
=
3
，
即
OD+DM+MP
4
=1+2+
3
=3+
3
，
圆心
O
到
MP
5
的距离为
r
的最小值，作
OE⊥MP
5
于
E
，连接
OP
5
，
则
OE
为
r
的最小值，
2
MP
5
=
MN
2
NP
=
3
2
(3)
2
=2
3
，
OM=OD+DM=1+2=3
，
5
△OMP
5
的面积
=
解得：
OE=
∴
1111
OE•MP
5
=OM•MN
，即
×OE×2
3
=×3×3
，
2222
33
，
2
33
≤r≤3+
3
．
2
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握
“
关联点
”
的含义，作出关于
MN
的
“
关联点
”
图是关键．
9
．已知：如图，在四边形
ABCD
中，
AD∥BC
．点
E
为
CD
边上一点，
AE
与
BE
分别为
∠DAB
和
∠CBA
的平分线．
（
1
）请你添加一个适当的条件
，使得四边形
ABCD
是平行四边形，并证明你的结
论；
（
2
）作线段
AB
的垂直平分线交
AB
于点
O
，并以
AB
为直径作
⊙O
（要求：尺规作图，保
留作图痕迹，不写作法）；
（
3
）在（
2
）的条件下，
⊙O
交边
AD
于点
F
，连接
BF
，交
AE
于点
G
，若
AE=4
，
sin∠AGF=
4
，求
⊙O
的半径．
5
【答案】（
1
）当
AD=BC
时，四边形
ABCD
是平行四边形，理由见解析；（
2
）作出相应的
图形见解析；（
3
）圆
O
的半径为
2.5
．
【解析】
分析：（
1
）添加条件
AD=BC
，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；
（
2
）作出相应的图形，如图所示；
（
3
）由平行四边形的对边平行得到
AD
与
BC
平行，可得同旁内角互补，再由
AE
与
BE
为
角平分线，可得出
AE
与
BE
垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到
AF
与
FB
垂直，可
得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到
∠AGF=∠AEB
，根据
sin∠AGF
的值，
确定出
sin∠AEB
的值，求出
AB
的长，即可确定出圆的半径．
详解：（
1
）当
AD=BC
时，四边形
ABCD
是平行四边形，理由为：
证明：
∵AD∥BC
，
AD=BC
，
∴
四边形
ABCD
为平行四边形；
故答案为：
AD=BC
；
（
2
）作出相应的图形，如图所示；
（
3
）
∵AD∥BC
，
∴∠DAB+∠CBA=180°
，
∵AE
与
BE
分别为
∠DAB
与
∠CBA
的平分线，
∴∠EAB+∠EBA=90°
，
∴∠AEB=90°
，
∵AB
为圆
O
的直径，点
F
在圆
O
上，
∴∠AFB=90°
，
∴∠FAG+∠FGA=90°
，
∵AE
平分
∠DAB
，
∴∠FAG=∠EAB
，
∴∠AGF=∠ABE
，
∴sin∠ABE=sin∠AGF=
∵AE=4
，
∴AB=5
，
4AE
，
5AB
则圆
O
的半径为
2.5
．
点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平
分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
10
．如图
1
，等腰直角
△ABC
中，
∠ACB=90°
，
AC=BC
，过点
A
，
C
的圆交
AB
于点
D
，交
BC
于点
E
，连结
DE
（
1
）若
AD=7
，
BD=1
，分别求
DE
，
CE
的长
（
2
）如图
2
，连结
CD
，若
CE=3
，
△ACD
的面积为
10
，求
tan∠BCD
（
3
）如图
3
，在圆上取点
P
使得
∠PCD=∠BCD
（点
P
与点
E
不重合），连结
PD
，且点
D
是
△CPF
的内心
①
请你画出
△CPF
，说明画图过程并求
∠CDF
的度数
②
设
PC=a
，
PF=b
，
PD=c
，若（
a-
2
c
）（
b-
2
c
）
=8
，求
△CPF
的内切圆半径长．
【答案】（
1
）
DE=1
，
CE=
32
；（
2
）
tan∠BCD=
【解析】
【分析】
1
；（
3
）
①135°
；
②2.
4
（
1
）由
A
、
C
、
E
、
D
四点共圆对角互补为突破口求解；
（
2
）找
∠BDF
与
∠ODA
为对顶角，在
⊙O
中，
∠COD=2∠CAD
，证明
△OCD
为等腰直角三
角形，从而得到
∠EDC+∠ODA=45°
，即可证明
∠CDF=135°
；
（
3
）过点
D
做
DHCB
于点
H
，以
D
为圆心，
DH
为半径画圆，过点
P
做
eD
切线
PF
交
CB
的延长线于点
F
，结合圆周角定理得出
∠CPD=∠CAD=45°
，再根据圆的内心是三角形
三个内角角平分线的交点，得出
∠CPF=90°
，然后根据角平分线性质得出
11
DCFCFDPCFPFC45
，最后再根据三角形内角和定理即可求
22
解；证明
∠DCF+∠CFD=45°
，从而证明
∠CPF
是直角，再求证四边形
PKDN
是正方形，最后
以
△PCF
面积不变性建立等量关系，结合已知（
a-
2
c
）（
b-
2
c
）
=8
，消去字母
a
，
b
求
出
c
值，即求出
△CPF
的内切圆半径长为
2
c
．
2
2024年4月26日发(作者：叔觅云)
2020-2021武汉备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶圆的综合
一、圆的综合
1
．如图，点
A
、
B
、
C
分别是
⊙O
上的点，
CD
是
⊙O
的直径，
P
是
CD
延长线上的一点，
AP=AC
．
（
1
）若
∠B=60°
，求证：
AP
是
⊙O
的切线；
AB
的值．
（
2
）若点
B
是弧
CD
的中点，
AB
交
CD
于点
E
，
CD=4
，求
BE·
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
8
．
【解析】
（
1
）求出
∠ADC
的度数，求出
∠P
、
∠ACO
、
∠OAC
度数，求出
∠OAP=90°
，根据切线判定
推出即可；
（
2
）求出
BD
长，求出
△DBE
和
△ABD
相似，得出比例式，代入即可求出答案．
试题解析：连接
AD
，
OA
，
∵∠ADC=∠B
，
∠B=60°
，
∴∠ADC=60°
，
∵CD
是直径，
∴∠DAC=90°
，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°
，
∵AP=AC
，
OA=OC
，
∴∠OAC=∠ACD=30°
，
∠P=∠ACD=30°
，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°
，
即
OA⊥AP
，
∵OA
为半径，
∴AP
是
⊙O
切线．
（
2
）连接
AD
，
BD
，
∵CD
是直径，
∴∠DBC=90°
，
∵CD=4
，
B
为弧
CD
中点，
∴BD=BC=，
∴∠BDC=∠BCD=45°
，
∴∠DAB=∠DCB=45°
，
即
∠BDE=∠DAB
，
∵∠DBE=∠DBA
，
∴△DBE∽△ABD
，
∴，
．
∴BE•AB=BD•BD=
考点：
1
．切线的判定；
2
．相似三角形的判定与性质．
2
．如图，已知
△ABC
内接于
⊙O
，
BC
交直径
AD
于点
E
，过点
C
作
AD
的垂线交
AB
的延长
线于点
G
，垂足为
F
．连接
OC
．
（
1
）若
∠G=48°
，求
∠ACB
的度数；
（
2
）若
AB=AE
，求证：
∠BAD=∠COF
；
（
3
）在（
2
）的条件下，连接
OB
，设
△AOB
的面积为
S
1
，
△ACF
的面积为
S
2
．若
tan∠CAF=
S
1
1
，求的值．
S
2
2
【答案】（
1
）
48°
（
2
）证明见解析（
3
）
3
4
【解析】
【分析】
（
1
）连接
CD
，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；
（
2
）先根据等腰三角形的性质得：
∠ABE=∠AEB
，再证明
∠BCG=∠DAC
，可得
»
PB
»
PD
»
，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结
CD
论；
（
3
）过
O
作
OG⊥AB
于
G
，证明
△COF≌△OAG
，则
OG=CF=x
，
AG=OF
，设
OF=a
，则
OA=OC=2x-a
，根据勾股定理列方程得：（
2x-a
）
2
=x
2
+a
2
，则
a=
论．
【详解】
（
1
）连接
CD
，
∵AD
是
⊙O
的直径，
∴∠ACD=90°
，
∴∠ACB+∠BCD=90°
，
∵AD⊥CG
，
∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°
，
∵∠BAD=∠BCD
，
∴∠ACB=∠G=48°
；
（
2
）
∵AB=AE
，
∴∠ABE=∠AEB
，
∵∠ABC=∠G+∠BCG
，
∠AEB=∠ACB+∠DAC
，
由（
1
）得：
∠G=∠ACB
，
∴∠BCG=∠DAC
，
3
x
，代入面积公式可得结
4
»
PB
»
，
∴
CD
∵AD
是
⊙O
的直径，
AD⊥PC
，
»
PD
»
，
∴
CD
»
PB
»
PD
»
，
∴
CD
∴∠BAD=2∠DAC
，
∵∠COF=2∠DAC
，
∴∠BAD=∠COF
；
（
3
）过
O
作
OG⊥AB
于
G
，设
CF=x
，
∵tan∠CAF=
∴AF=2x
，
∵OC=OA
，由（
2
）得：
∠COF=∠OAG
，
∵∠OFC=∠AGO=90°
，
∴△COF≌△OAG
，
1CF
=
，
2AF
∴OG=CF=x
，
AG=OF
，
设
OF=a
，则
OA=OC=2x
﹣
a
，
Rt△COF
中，
CO
2
=CF
2
+OF
2
，
∴
（
2x
﹣
a
）
2
=x
2
+a
2
，
a=
3
x
，
4
3
x
，
4
3
x
，
2
∴OF=AG=
∵OA=OB
，
OG⊥AB
，
∴AB=2AG=
13
AB·OGx·x
S
1
2
3
2
．
∴
S
2
1
CF·
2x4
AF
x·
2
【点睛】
圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判
定以及解直角三角形，解题的关键是：（
1
）根据圆周角定理找出
∠ACB+∠BCD=90°
；
»
PB
»
PD
»
；（
3
）利用三角函数设未知数，根（
2
）根据外角的性质和圆的性质得：
CD
据勾股定理列方程解决问题．
3
．如图，在
⊙O
中，
AB
为直径，
OC⊥AB
，弦
CD
与
OB
交于点
F
，在
AB
的延长线上有点
E
，且
EF=ED
．
（
1
）求证：
DE
是
⊙O
的切线；
1
，探究线段
AB
和
BE
之间的数量关系，并证明；
2
（
3
）在（
2
）的条件下，若
OF=1
，求圆
O
的半径．
（
2
）若
tanA=
【答案】（
1
）答案见解析；（
2
）
AB=3BE
；（
3
）
3
．
【解析】
试题分析：（
1
）先判断出
∠OCF+∠CFO=90°
，再判断出
∠OCF=∠ODF
，即可得出结论；
（
2
）先判断出
∠BDE=∠A
，进而得出
△EBD∽△EDA
，得出
AE=2DE
，
DE=2BE
，即可得出结
论；
（
3
）设
BE=x
，则
DE=EF=2x
，
AB=3x
，半径
OD=
即可得出结论．
试题解析：（
1
）证明：连结
OD
，如图．
∵EF=ED
，
∴∠EFD=∠EDF
．
∵∠EFD=∠CFO
，
∴∠CFO=∠EDF
．
∵OC⊥OF
，
∴∠OCF+∠CFO=90°
．
∵OC=OD
，
∴∠OCF=∠ODF
，
∴∠ODC+∠EDF=90°
，即
∠ODE=90°
，
∴OD⊥DE
．
∵
点
D
在
⊙O
上，
∴DE
是
⊙O
的切线；
（
2
）线段
AB
、
BE
之间的数量关系为：
AB=3BE
．证明如下：
∵AB
为
⊙O
直径，
∴∠ADB=90°
，
∴∠ADO=∠BDE
．
∵OA=OD
，
∴∠ADO=∠A
，
∴∠BDE=∠A
，而
∠BED=∠DEA
，
∴△EBD∽△EDA
，
∴
中，
tanA=
3
x
，进而得出
OE=1+2x
，最后用勾股定理
2
DEBEBD
．
∵Rt△ABD
AEDEAD
BD1DEBE1
=
，
∴=
，
AD2AEDE2
3
x
．
∵OF=1
，
∴OE=1+2x
．
2
∴AE=2DE
，
DE=2BE
，
∴AE=4BE
，
∴AB=3BE
；
（
3
）设
BE=x
，则
DE=EF=2x
，
AB=3x
，半径
OD=
在
Rt△ODE
中，由勾股定理可得：（
∴
圆
O
的半径为
3
．
32
x
）
2
+
（
2x
）
2
=
（
1+2x
）
2
，
∴x=
﹣（舍）或
x=2
，
29
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角
函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出
△EBD∽△EDA
是解答本题的关键．
4
．如图，
AB
是半圆
O
的直径，
C
是的中点，
D
是的中点，
AC
与
BD
相交于点
E.
（
1
）求证：
BD
平分
∠ABC
；
（
2
）求证：
BE=2AD
；
（
3
）求
DE
的值
.
BE
21
2
【答案】（
1
）答案见解析（
2
）
BE=AF=2AD
（
3
）
【解析】
试题分析：（
1
）根据中点弧的性质，可得弦
AD=CD
，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角
的性质求解即可；
（
2
）延长
BC
与
AD
相交于点
F,
证明
△BCE≌△ACF,
根据全等三角形的性质可得
BE=AF=2AD
；
（
3
）连接
OD,
交
AC
于
H.
简要思路如下：设
OH
为
1
，则
BC
为
2
，
OB=OD=
2
，
DH=
21
,
然后根据相似三角形的性质可求解
.
试题解析：（
1
）
∵D
是
∴AD=DC
∴∠CBD=∠ABD
∴BD
平分
∠ABC
（
2
）提示：延长
BC
与
AD
相交于点
F,
证明
△BCE≌△ACF,
BE=AF=2AD
的中点
（
3
）连接
OD,
交
AC
于
H.
简要思路如下：
设
OH
为
1
，则
BC
为
2
，
OB=OD=
2
，
DH=
21
,
DEDH
=
BEBC
DE
21
=
BE
2
5
．如图，在
⊙O
中，直径
AB⊥
弦
CD
于点
E
，连接
AC
，
BC
，点
F
是
BA
延长线上的一点，
且
∠FCA
＝
∠B.
(1)
求证：
CF
是
⊙O
的切线；
(2)
若
AE
＝
4
，
tan∠ACD
＝
3
，求
FC
的长．
3
【答案】（
1
）见解析
【解析】
分析：（
1
）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出
∠OCF=90°
，进而得出答案；
（
2
）根据正切的性质求出
EC
的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形
的性质，利用勾股定理求出即可．
详解：
(1)
证明：连接
OC.∵AB
是
⊙O
的直径，
∴∠ACB
＝
90°
，
∴∠OCB
＋
∠ACO
＝
90°.
∵OB
＝
OC
，
∴∠B
＝
∠OCB.
又
∵∠FCA
＝
∠B
，
∴∠FCA
＝
∠OCB
，
∴∠FCA
＋
∠ACO
＝
90°
，即
∠FCO
＝
90°
，
∴FC⊥OC
，
∴FC
是
⊙O
切线．
AE4
43
(2)
解：
∵AB⊥CD
，
∴∠AEC
＝
90°
，
∴EC=
tan
ACE
，
3
3
设
OA
＝
OC
＝
r
，则
OE
＝
OA
－
AE
＝
r
－
4.
在
Rt△OEC
中，
OC
2
＝
OE
2
＋
CE
2
，
即
r
2
＝
(r
－
4)
2
＋
(4
3
)
2
，解得
r
＝
8.
∴OE
＝
r
－
4
＝
4
＝
AE.
∵CE⊥OA
，
∴CA
＝
CO
＝
8
，
∴△AOC
是等边三角形，
∴∠FOC
＝
60°
，
∴∠F
＝
30°.
在
Rt△FOC
中，
∵∠OCF
＝
90°
，
OC
＝
8
，
∠F
＝
30°
，
∴OF
＝
2OC
＝
16
，
∴FC
＝
OF
2
OC
2
83
.
点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出
BC
的长
是解题关键．
»
的中点，
DE⊥AC
交
AC
的延长线于
E
，
⊙O
的切线
6
．如图，已知
AB
为
⊙O
直径，
D
是
BC
交
AD
的延长线于
F
．
（
1
）求证：直线
DE
与
⊙O
相切；
（
2
）已知
DG⊥AB
且
DE=4
，
⊙O
的半径为
5
，求
tan∠F
的值．
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
2
．
【解析】
试题分析：（
1
）连接
BC
、
OD
，由
D
是弧
BC
的中点，可知：
OD⊥BC
；由
OB
为
⊙O
的直
径，可得：
BC⊥AC
，根据
DE⊥AC
，可证
OD⊥DE
，从而可证
DE
是
⊙O
的切线；
（
2
）直接利用勾股定理得出
GO
的长，再利用锐角三角函数关系得出
tan∠F
的值．
试题解析：解：（
1
）证明：连接
OD
，
BC
，
∵D
是弧
BC
的中点，
∴OD
垂直平分
BC
，
∵AB
为
⊙O
的直径，
∴AC⊥BC
，
∴OD∥AE
．
∵DE⊥AC
，
∴OD⊥DE
，
∵OD
为
⊙O
的半径，
∴DE
是
⊙O
的切线；
»
DB
»
，
∴∠EAD=∠BAD
，
∵DE⊥AC
，
DG⊥AB
且（
2
）解：
∵D
是弧
BC
的中点，
∴
DC
DE=4
，
∴DE=DG=4
，
∵DO=5
，
∴GO=3
，
∴AG=8
，
∴tan∠ADG=
线，
∴∠ABF=90°
，
∴DG∥BF
，
∴tan∠F=tan∠ADG=2
．
8
=2
，
∵BF
是
⊙O
的切
4
点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出
AG
，
DG
的长是
解题关键．
7
．四边形
ABCD
内接于
⊙O
，点
E
为
AD
上一点，连接
AC
，
CB
，
∠B=∠AEC
．
（
1
）如图
1
，求证：
CE=CD
；
（
2
）如图
2
，若
∠B+∠CAE=120°
，
∠ACD=2∠BAC
，求
∠BAD
的度数；
（
3
）如图
3
，在（
2
）的条件下，延长
CE
交
⊙O
于点
G
，若
tan∠BAC=
AE
的长．
53
，
EG=2
，求
11
【答案】（
1
）见解析；（
2
）
60°
；（
3
）
7.
【解析】
试题分析：
(1)
利用圆的内接四边形定理得到
∠CED=∠CDE.
(2)
作
CH⊥DE
于
H,
设
∠ECH=α
，由（
1
）
CE=CD
，用
α
表示
∠CAE
，
∠BAC
，
而
∠BAD=∠BAC+∠CAE.
（
3
）连接
AG
，作
GN⊥AC
，
AM⊥EG
，先证明
∠CAG=∠BAC
，设
NG=5
3
m
，可得
AN=11m
，利用直角
n
AGM,
n
AEM
，
勾股定理可以算出
m
的值并求出
AE
长
.
试题解析：
（
1
）解：证明：
∵
四边形
ABCD
内接于
⊙O.
∴∠B+∠D=180°
，
∵∠B=∠AEC
，
∴∠AEC+∠D=180°
，
∵∠AEC+∠CED=180°
，
∴∠D=∠CED
，
∴CE=CD
．
（
2
）解：作
CH⊥DE
于
H
．
设
∠ECH=α
，由（
1
）
CE=CD
，
∴∠ECD=2α
，
∵∠B=∠AEC
，
∠B+∠CAE=120°
，
∴∠CAE+∠AEC=120°
，
∴∠ACE=180°
﹣
∠AEC
﹣
∠ACE=60°
，
∴∠CAE=90°
﹣
∠ACH=90°
﹣（
60°+α
）
=30°
﹣
α
，
∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α
，
∵∠ACD=2∠BAC
，
∴∠BAC=30°+α
，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°
﹣
α=60°
．
（
3
）解：连接
AG
，作
GN⊥AC
，
AM⊥EG
，
∵∠CED=∠AEG
，
∠CDE=∠AGE
，
∠CED=∠CDE
，
∴∠AEG=∠AGE
，
∴AE=AG
，
∴EM=MG=
1
EG=1
，
2
∴∠EAG=∠ECD=2α
，
∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°
﹣
α+2α=∠BAC
，
∵tan∠BAC=
53
，
11
∴
设
NG=5
3
m
，可得
AN=11m
，
AG=
∵∠ACG=60°
，
∴CN=5m
，
AM=8
3
m
，
MG=
AG
2
AM
2
=14m
，
AG
2
AM
2
=2m=1
，
∴m=
1
，
2
2
=7
．
AM
2
EM
2
=
1
2
+（43）
∴CE=CD=CG
﹣
EG=10m
﹣
2=3
，
∴AE=
8
．对于平面直角坐标系
xOy
中的线段
MN
和点
P
，给出如下定义：点
A
是线段
MN
上一个
动点，过点
A
作线段
MN
的垂线
l
，点
P
是垂线
l
上的另外一个动点．如果以点
P
为旋转中
心，将垂线
l
沿逆时针方向旋转
60°
后与线段
MN
有公共点，我们就称点
P
是线段
MN
的
“
关联点
”
．
如图，
M
（
1
，
2
），
N
（
4
，
2
）．
（
1
）
在点
P
1
（
1
，
3
），
P
2
（
4
，
0
），
P
3
（
3
，
2
）中，线段
MN
的
“
关联点
”
有
；
（
2
）
如果点
P
在直线
yx1
上，且点
P
是线段
MN
的
“
关联点
”
，求点
P
的横坐标
x
的取
值范围；
（
3
）
如果点
P
在以
O
（
1
，
1
）为圆心，
r
为半径的
⊙O
上，且点
P
是线段
MN
的
“
关联
点
”
，直接写出
⊙O
半径
r
的取值范围．
【答案】（
1
）
P
1
和
P
3
；（
2
）
1≤x≤
【解析】
【分析】
33133
；（
3
）
≤r≤33.
2
2
（
1
）先根据题意求出点
P
的横坐标的范围，再求出
P
点的纵坐标范围即可得出结果；
（
2
）由直线
y=x+1
经过点
M
（
1
，
2
），得出
x≥1
，设直线
y=x+1
与
P
4
N
交于点
A
，过点
A
作
AB⊥MN
于
B
，延长
AB
交
x
轴于
C
，则在
△AMN
中，
MN=3
，
∠AMN=45°
，
∠ANM=30°
，设
AB=MB=a
，
tan∠ANM=
ABa
，即
tan30°=
，求出
a
即可得出结果；
BN3a
（
3
）圆心
O
到
P
4
的距离为
r
的最大值，圆心
O
到
MP
5
的距离为
r
的最小值，分别求出两
个距离即可得出结果．
【详解】
（
1
））如图
1
所示：
∵
点
A
是线段
MN
上一个动点，过点
A
作线段
MN
的垂线
l
，点
P
是垂线
l
上的另外一个动
点，
M
（
1
，
2
），
N
（
4
，
2
），
∴
点
P
的横坐标
1≤x≤4
，
∵
以点
P
为旋转中心，将垂线
l
沿逆时针方向旋转
60°
后与线段
MN
有公共点，
当
∠MPN=60°
时，
PM=
同理
P′N=
3
，
∴
点
P
的纵坐标为
2-
3
或
2+
3
，
即纵坐标
2-
3
≤y≤2+
3
，
∴
线段
MN
的
“
关联点
”
有
P
1
和
P
3
；
故答案为：
P
1
和
P
3
；
（
2
）线段
MN
的
“
关联点
”P
的位置如图所示，
3
MN
==
3
，
3
tan60
∵
直线
yx1
经过点
M
（
1
，
2
），
∴ x≥1.
设直线
yx1
与
P
4
N
交于点
A .
过点
A
作
AB⊥MN
于
B
，延长
AB
交
x
轴于
C.
由题意易知，在
△AMN
中，
MN = 3
，
∠AMN = 45°
，
∠ANM = 30°.
设
AB = MB = a
，
∴
tan
ANM
解得
a
ABa
，即
tan30
，
BN3a
333
.
2
∴
点
A
的横坐标为
xa1
∴
x
333331
1.
22
331
.
2
331
.
2
综上
1x
（
3
）点
P
在以
O
（
1
，
-1
）为圆心，
r
为半径的
⊙O
上，且点
P
是线段
MN
的
“
关联点
”
，如
图
3
所示：
连接
P
4
O
交
x
轴于点
D
，
P
4
、
M
、
D
、
O
共线，
则圆心
O
到
P
4
的距离为
r
的最大值，由（
1
）知：
MP
4
=NP
5
=
3
，
即
OD+DM+MP
4
=1+2+
3
=3+
3
，
圆心
O
到
MP
5
的距离为
r
的最小值，作
OE⊥MP
5
于
E
，连接
OP
5
，
则
OE
为
r
的最小值，
2
MP
5
=
MN
2
NP
=
3
2
(3)
2
=2
3
，
OM=OD+DM=1+2=3
，
5
△OMP
5
的面积
=
解得：
OE=
∴
1111
OE•MP
5
=OM•MN
，即
×OE×2
3
=×3×3
，
2222
33
，
2
33
≤r≤3+
3
．
2
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握
“
关联点
”
的含义，作出关于
MN
的
“
关联点
”
图是关键．
9
．已知：如图，在四边形
ABCD
中，
AD∥BC
．点
E
为
CD
边上一点，
AE
与
BE
分别为
∠DAB
和
∠CBA
的平分线．
（
1
）请你添加一个适当的条件
，使得四边形
ABCD
是平行四边形，并证明你的结
论；
（
2
）作线段
AB
的垂直平分线交
AB
于点
O
，并以
AB
为直径作
⊙O
（要求：尺规作图，保
留作图痕迹，不写作法）；
（
3
）在（
2
）的条件下，
⊙O
交边
AD
于点
F
，连接
BF
，交
AE
于点
G
，若
AE=4
，
sin∠AGF=
4
，求
⊙O
的半径．
5
【答案】（
1
）当
AD=BC
时，四边形
ABCD
是平行四边形，理由见解析；（
2
）作出相应的
图形见解析；（
3
）圆
O
的半径为
2.5
．
【解析】
分析：（
1
）添加条件
AD=BC
，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；
（
2
）作出相应的图形，如图所示；
（
3
）由平行四边形的对边平行得到
AD
与
BC
平行，可得同旁内角互补，再由
AE
与
BE
为
角平分线，可得出
AE
与
BE
垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到
AF
与
FB
垂直，可
得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到
∠AGF=∠AEB
，根据
sin∠AGF
的值，
确定出
sin∠AEB
的值，求出
AB
的长，即可确定出圆的半径．
详解：（
1
）当
AD=BC
时，四边形
ABCD
是平行四边形，理由为：
证明：
∵AD∥BC
，
AD=BC
，
∴
四边形
ABCD
为平行四边形；
故答案为：
AD=BC
；
（
2
）作出相应的图形，如图所示；
（
3
）
∵AD∥BC
，
∴∠DAB+∠CBA=180°
，
∵AE
与
BE
分别为
∠DAB
与
∠CBA
的平分线，
∴∠EAB+∠EBA=90°
，
∴∠AEB=90°
，
∵AB
为圆
O
的直径，点
F
在圆
O
上，
∴∠AFB=90°
，
∴∠FAG+∠FGA=90°
，
∵AE
平分
∠DAB
，
∴∠FAG=∠EAB
，
∴∠AGF=∠ABE
，
∴sin∠ABE=sin∠AGF=
∵AE=4
，
∴AB=5
，
4AE
，
5AB
则圆
O
的半径为
2.5
．
点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平
分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
10
．如图
1
，等腰直角
△ABC
中，
∠ACB=90°
，
AC=BC
，过点
A
，
C
的圆交
AB
于点
D
，交
BC
于点
E
，连结
DE
（
1
）若
AD=7
，
BD=1
，分别求
DE
，
CE
的长
（
2
）如图
2
，连结
CD
，若
CE=3
，
△ACD
的面积为
10
，求
tan∠BCD
（
3
）如图
3
，在圆上取点
P
使得
∠PCD=∠BCD
（点
P
与点
E
不重合），连结
PD
，且点
D
是
△CPF
的内心
①
请你画出
△CPF
，说明画图过程并求
∠CDF
的度数
②
设
PC=a
，
PF=b
，
PD=c
，若（
a-
2
c
）（
b-
2
c
）
=8
，求
△CPF
的内切圆半径长．
【答案】（
1
）
DE=1
，
CE=
32
；（
2
）
tan∠BCD=
【解析】
【分析】
1
；（
3
）
①135°
；
②2.
4
（
1
）由
A
、
C
、
E
、
D
四点共圆对角互补为突破口求解；
（
2
）找
∠BDF
与
∠ODA
为对顶角，在
⊙O
中，
∠COD=2∠CAD
，证明
△OCD
为等腰直角三
角形，从而得到
∠EDC+∠ODA=45°
，即可证明
∠CDF=135°
；
（
3
）过点
D
做
DHCB
于点
H
，以
D
为圆心，
DH
为半径画圆，过点
P
做
eD
切线
PF
交
CB
的延长线于点
F
，结合圆周角定理得出
∠CPD=∠CAD=45°
，再根据圆的内心是三角形
三个内角角平分线的交点，得出
∠CPF=90°
，然后根据角平分线性质得出
11
DCFCFDPCFPFC45
，最后再根据三角形内角和定理即可求
22
解；证明
∠DCF+∠CFD=45°
，从而证明
∠CPF
是直角，再求证四边形
PKDN
是正方形，最后
以
△PCF
面积不变性建立等量关系，结合已知（
a-
2
c
）（
b-
2
c
）
=8
，消去字母
a
，
b
求
出
c
值，即求出
△CPF
的内切圆半径长为
2
c
．
2