2024年5月13日发(作者：钟怀玉)

《固体物理学》 第二章 晶格振动和固体比热 第二章 晶格振动和固体比热 晶体中

的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。晶格振动对

晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。本章

的主题：用最近邻原子间简谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；并用格波来描述

晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子。2-1、绝热近似和

简谐近似绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。

为简单化，可以把离子的运动看成是近似成中性原子的运动。简谐近似： r 设一维

单原子晶体的布喇菲格子的格矢为 R ，那么第 n 个格点原子的位置 r r r r矢量为：

Rn na a 为基矢。令第 n 个原子相对其平衡位置 Rn 的瞬时位置由与时 r r r r

间相关的矢量 Sn 给出。那么原子的瞬时位置为： rn Rn Sn 。 晶体的总势能

应该为所有原子相互作用势能之和忽略均匀电子云产生的常 1 r r势能项。静态格点

时的总势能：U 0 ∑ u0 Rn Rn ， u x 表示一维原子链中 2 n n距离为 x 的

两原子的相互作用能。 1 r r 1 r r r r 考虑晶格振动时的总势能： U ∑ urn rn 2

∑ u Rn Sn Rn Sn 2 n n nn 这时势能与动力学变量Sn有关，如果Sn是个小量，

将势能U在平衡值U0附近 1作泰勒展开： f r a f r a f r a 2 f r ...... 。 2

r r r r r r 取 r Rn Rn a Sn Sn 1 r r 1 r r r r 1 r r r rU ∑ u0 Rn Rn 2 ∑ Sn Sn

u0 Rn Rn 4 ∑ Sn Sn 2 u0 Rn Rn .... 2 n n nn nn 我们忽略高阶项，只保

留二阶项第一项非零校正项，那么势能近似为： 1 r r r r U U 0 ∑ S n S n 2

u0 Rn Rn 4 n n 上述近似称为简谐近似。 22《固体物理学》 第二章 晶格振动

和固体比热【注：一阶项刚好是处于平衡位置的所有其它原子作用到第n个原子的合

力的负 dU值， F 由 于 处 在 平 衡 位 置 的 任 何 一 个 原 子 所 受 的

合 力 为 零 ， 因 此 dX r r∑ u0 Rn Rn 0 。 n 】简谐近似：为了使问题简

化又能抓住主要矛盾，在分析晶格振动时，将原子间作用力的泰勒级数中的非线性

项忽略掉，取二阶校正项简谐项后所获得的原子振动的动力学方程与物体在弹性力

作用下作简谐振动的微分动力学方程形式上相类同，因此称该近似为简谐近似。在

简谐近似下，原子的振动可以用经典力学理论进行分析。2-2、一维原子链的晶格振

动、色散关系、格波 一维单原子链 考虑如图所示的N个相同原子构成的一维单原

子晶格，令原子的质量为M，平衡时原子间间距为a，由于热运动各原子离开它的平

衡位置，用Xn表示第n个原子离开平衡位置的位移位移Xnltlta。如果只考虑最近邻原

子的相互作用，那么 1 r r r r简 谐 势 能 表 达 式 U U 0 ∑ S n S n u0

Rn Rn 可 简 化 为 ： 2 4 nn β ∑ X n X n 1 ， β u quot a ， u x 表示

一维原子链中距离为x的两原子 1 2U 2 n的相互作用能。 根 据 牛 顿 定 理 ， 第

n 个 原 子 所 受 的 力 为 ： d2 U U F M Xn β 2 X n X n 1 X n 1 【其中 β

2 X n X n 1 X n 1 表 dt 2 X n X n示偏移平衡位置后的回复力，因此 β 称为力常

数】 n 可取任意整数，上式实际 。上代表 n 个联立的线性齐次方程。 由于原子

之间的关联，上述方程的解应该具有波的形式；由于运动方程具有平移不变性，解

应该满足布洛赫定理 布洛赫定理在后续章节会讲到。因此方程的试探解为： X n

Aei qna ωt 。其中A、ω、qna分别代表第n个原子的振动振幅、频率和相位。 将

试探解 X n Aei qna ωt 代入方程 M d2 X n β 2 X n X n 1 X n 1 ，得到 dt 2 M

iω 2 Aei naq ωt β Aei n 1 aq ωt Aei n 1 aq ωt 2 Aei naq ωt M ω 2

β 2 eiqa e iqa 2β cos aq 1 23《固体物理学》 第二章 晶格振动和固体比热 θ 利用

欧拉公式： eiθ e iθ 2 cos θ 和 1 cos θ 2sin 2 2 2β 4β qa ω2 1 cos aq sin 2

M M 2 β 1 qa ω 2 2 sin M 2 可以看出上式与n无关，表明n个联立方程都归结为同

一个方程。只要ω和q之间满足上式，就表示上式为联立方程的解。通常把之间的关

系称为色散关系。 一维单原子链的色散曲线：【在物理学中，色散关系指系统能量

与其相应动量之间的关系。譬如，在空间中自由运动的粒子系统的色散关系可通过

动能的定义方便地得出，具体形式为： 1 2 p2E mv ，在这个简单的例子中，色散

关系是一个二次函数。更为复杂的 2 2m系统具有其他不同形式的色散关系。 物理

性质的推导：经典物理系统的许多性质，如速度，都可以通过写成色散关系的形式

推广到其他非经典系统。例如，任意系统中的粒子速度可以通过对 E p其相应色散

关系的微分来定义，即： v 。 p m 光学色散关系：光波（电磁波）的能量正比

于波的频率（或波数动量）。根据麦克斯韦方程组，真空中电磁波的色散关系应是

线性的： ω ck ，可得波速 E ω为： v c ，这便是光速。】 p k格波解的物理

意义： 上式所描述的是在晶体中传播的振幅为 A，频率为 ω 的行波，是晶体的一

种集体运动形式。这种波称为格波。可以看出，每一解均由一特定波矢 q 标记，q 称

为晶格振动的波矢。 1相邻原子的振动位相差相等：qn1a-qnaqa。 X m Aei qma

ωt Aei qma 2π ωt 2格波波长： 2π Aei qna ωt X n λ q 24《固体物理

学》 第二章 晶格振动和固体比热格波与连续介质波的差别： X Aei qx ωt ，

式中，连续介质波中 x 表示空间的任一点，而在格波中只取 x＝na 格点周期性排

列上的位置。 另一个重要的区别在于波矢 q 的涵义： 如果把 aq 改变一个 2π 的

整倍数h2π， 2πh 为整数，即： q q h ，所有原子的振动实际上没有任何不同。

从第一章 a 2π 2π中我们知道 h 为一维晶格的倒格矢，即 K h h 。由此可知，格

波波矢 q 可 a a π π以限制在下面的范围： π lt aq ≤ π ，或者： lt q ≤ 。这个范围

以外的 q 值， a a并不能提供其它不同的波。 从上面分析我们知道，q 的取值限

制在第一简约布里渊区。第一布里渊区外的波矢所代表的振动模式只不过是第一布

里渊区内的振动模式的重复或再现而已。当格波的波矢超出第一布里渊区时，可以

平移一个适当的倒格矢量，用第一布里渊区内的波矢来描写。点阵振动的最大波矢

是布里渊区边界所对应的波矢，相应的波长也就是点阵振动的最短波长。周期边界

条件波恩－卡曼条件： 前面所考虑的运动实际上只适用于无穷长的原子链，而一个

有限的原子链两端的原子和内部原子有所不同，例如，端上的两个原子分别只受一

个近邻原子的作用，因此它们将有与其它原子形式不同的运动方程，由于所有原子

的运动方程都是联立的，具体解方程就复杂得多。为了简化问题，波恩－卡曼提出

了周期性边界条件：考虑 N 个原子构成的一维晶体，在边界上原子受力的情况有

别与体内原子，如果 N 很大，边界上原子所占比例是极小的。为此，设想这 N 个

原子连成一个环，第 N1 个原子就是第 1 个原子。即： Aei qa ωt Aei N 1 qa

ωt eiNqa 1 qNa 2π l周期边界条件是晶格振动理论的前提条件，实验测得的振动

谱与理论相符，这说明周期性边界条件是目前较好的一个边界条件。第一布里渊区

内的状态数振动模式数目： π π N N 由前面讨论知道， lt q ≤ ，所以 lt l ≤ N 为晶

格原胞数，由此可 a a 2 2见，l 只能取 N 个不同值，q 也只能取 N 个不同值，因

此，在第一布里渊区内包含 N 个状态。也就是说，晶格振动波矢的数目等于晶格

原胞数。色散关系所具有的特征： β 11长波极限q 趋于 0的情况：Sinqa/2≈ qa/2，

则： ω 2 2 a q ，这与弹性波 M声波的色散关系 ωVq 的形式相同。也就是说，

在长波极限下，一维单原子晶 25《固体物理学》 第二章 晶格振动和固体比热格格

波可以看成弹性波声频支格波，晶格可以看成连续介质。2短波极限q 趋于 π/a的情

况：从图中可以看出，随着 q 增大，色散曲线开始偏离直线向下弯。当 q 趋于 π/a

时，变得平坦，在 q π/a布里渊区边界，对应着最大频率。 β 1 qa 弧线为 ω 2 2

sin ；直线为 ωVq。 M 2长波极限和短波极限下的原子位移示意图：q 趋于 0 λgtgtaq

趋于 π/a λ2a 两种极限情况下，相邻原子的相对运动情况不同。3格波的相速度Vp

和群速度Vg。 两种速度存在不同的物理含义： 相速度Vp是特定频率为ω，波矢为

q的纯波单色波的传播速度；而群速度Vg描述平均频率为ω，平均波矢为q的波包复

色 ω ω波的速度。即： V p Vg 。实际上能量是由波包传输的，而不是由纯波 q

q传输的，所以群速度在物理上更有意义。 26《固体物理学》 第二章 晶格振动和

固体比热 相速度和群速度示意图格波群速度的特点： 长波极限： gVp； V 短波

极限： g0 表明形成驻波 波矢qπ/a， V 即波长λ2a，相邻原子振动的位相相反。格

波的布拉格反射： 由于沿x 方向传播的格波受到晶格的布拉格反射全反射产生-x

方向的波长为 2a 的格波相干，形成驻波。2-3、一维双原子晶格的振动和色散关系

一维双原子链模型 设晶体有N个原胞，每个原胞由两个质量分别为m和M的原子组

成，Mgtm。相邻原子平衡间距为a。X2n1和X2n2分别代表质量为m的第 2n1 和质

量为M的2n2 个原子的振动位移。在简谐近似下，只考虑相邻原子的相互作用，力

常数 27《固体物理学》 第二章 晶格振动和固体比热为b，那么简谐势能约化为： 1

1 β ∑ X 2 n 1 X 2 n 2 β ∑ X 2 n 2 X 2 n 11 2 2 U 2 n 2 n第 2n1 和第 2n2

原子所受到的力分别为： U F2 n 1 β 2 X 2 n 1 X 2 n 2 X 2 n X 2 n 1 U F2 n

2 β 2 X 2 n 2 X 2 n 1 1 X 2 n 1 X 2 n 1它们的运动方程分别为： ampamp mX 2

n 1 β 2 X 2 n 1 X 2 n 2 X 2 n ampamp MX 2 n 2 β 2 X 2 n 2 X 2 n 11 X 2 n 1

类似于一维单原子链的情况，方程组的解为： X n 1 Aei q 2 n 1 a ωt X 2 n 2

Bei q 2 n 2 a ωt 所描述的是在晶体中传播的振幅为 A 和 B，频率为 ω 的格波。

将上述解代入运 2β mω 2 A 2β cos qa B 0动方程，可得： 。 2β cos qa A 2β M

ω 2 B 0若 A、B 有非零解，齐次方程组的系数行列式必须为零： 2β mω 2 β 2 cos

qa 0， β cos qa 2β M ω 2由上式可得： βω 212 m M m m 2 M 2 2mM cos

2qa1/ 2 这就是一维双原子晶格的色 mM散关系。与一维单原子晶格的色散关系比

较，可以看出一维双原子晶格的色散关系的新特点，即 ω 和 q 存在两种不同的色

散关系。 一维双原子晶格的色散关系曲线 28《固体物理学》 第二章 晶格振动和

固体比热一维双原子晶格的色散关系的特点：1 当 q 趋于 ±π/2a 短波极限情况 ，

此时： 2β 1/ 2 2β 1/ 2ω max → ， ω min → ， M mω max lt ω min 。 如

右 图 ， 在ω max lt ω lt ω min 不存在格波频率隙。2当 q 趋于 0长波极限情况 β

一维双原子晶格色散关系 ω m M m m 2 M 2 2mM cos 2qa1/ 2 ， 2 12 mM

β m M 4mM 4mM变为 ω 1 m 1 sin 2 qa ltlt 1 。 2 sin 2 qa1/ 2 ，其中 m M

m M 12 2 2 mM分析：a声学波：由于在 Xltlt1 时，有1-X1/21-X/2，则 2β 2β ω 1/

2 sin qa 1/ 2 a q m M m M 这支格波色散关系和一维单原子晶格的色散关系

相似，因此可以看成弹性波，称为声学波。 2β m M 1/ 2b光学波：当 q 趋于 0 时，

ω mM 2β m M 1/ 2 2 × 5 ×103 1/ 2对于mM/mM和β的典型值： ω 28

≈ 3 ×1013 s 1 ， mM 10这个频率处在光谱的红外区，因此这支格波称为光学波。长

波极限下声学支和光学支格波原胞中两个原子的位移特征： 2.

2024年5月13日发(作者：钟怀玉)

《固体物理学》 第二章 晶格振动和固体比热 第二章 晶格振动和固体比热 晶体中

的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。晶格振动对

晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。本章

的主题：用最近邻原子间简谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；并用格波来描述

晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子。2-1、绝热近似和

简谐近似绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。

为简单化，可以把离子的运动看成是近似成中性原子的运动。简谐近似： r 设一维

单原子晶体的布喇菲格子的格矢为 R ，那么第 n 个格点原子的位置 r r r r矢量为：

Rn na a 为基矢。令第 n 个原子相对其平衡位置 Rn 的瞬时位置由与时 r r r r

间相关的矢量 Sn 给出。那么原子的瞬时位置为： rn Rn Sn 。 晶体的总势能

应该为所有原子相互作用势能之和忽略均匀电子云产生的常 1 r r势能项。静态格点

时的总势能：U 0 ∑ u0 Rn Rn ， u x 表示一维原子链中 2 n n距离为 x 的

两原子的相互作用能。 1 r r 1 r r r r 考虑晶格振动时的总势能： U ∑ urn rn 2

∑ u Rn Sn Rn Sn 2 n n nn 这时势能与动力学变量Sn有关，如果Sn是个小量，

将势能U在平衡值U0附近 1作泰勒展开： f r a f r a f r a 2 f r ...... 。 2

r r r r r r 取 r Rn Rn a Sn Sn 1 r r 1 r r r r 1 r r r rU ∑ u0 Rn Rn 2 ∑ Sn Sn

u0 Rn Rn 4 ∑ Sn Sn 2 u0 Rn Rn .... 2 n n nn nn 我们忽略高阶项，只保

留二阶项第一项非零校正项，那么势能近似为： 1 r r r r U U 0 ∑ S n S n 2

u0 Rn Rn 4 n n 上述近似称为简谐近似。 22《固体物理学》 第二章 晶格振动

和固体比热【注：一阶项刚好是处于平衡位置的所有其它原子作用到第n个原子的合

力的负 dU值， F 由 于 处 在 平 衡 位 置 的 任 何 一 个 原 子 所 受 的

合 力 为 零 ， 因 此 dX r r∑ u0 Rn Rn 0 。 n 】简谐近似：为了使问题简

化又能抓住主要矛盾，在分析晶格振动时，将原子间作用力的泰勒级数中的非线性

项忽略掉，取二阶校正项简谐项后所获得的原子振动的动力学方程与物体在弹性力

作用下作简谐振动的微分动力学方程形式上相类同，因此称该近似为简谐近似。在

简谐近似下，原子的振动可以用经典力学理论进行分析。2-2、一维原子链的晶格振

动、色散关系、格波 一维单原子链 考虑如图所示的N个相同原子构成的一维单原

子晶格，令原子的质量为M，平衡时原子间间距为a，由于热运动各原子离开它的平

衡位置，用Xn表示第n个原子离开平衡位置的位移位移Xnltlta。如果只考虑最近邻原

子的相互作用，那么 1 r r r r简 谐 势 能 表 达 式 U U 0 ∑ S n S n u0

Rn Rn 可 简 化 为 ： 2 4 nn β ∑ X n X n 1 ， β u quot a ， u x 表示

一维原子链中距离为x的两原子 1 2U 2 n的相互作用能。 根 据 牛 顿 定 理 ， 第

n 个 原 子 所 受 的 力 为 ： d2 U U F M Xn β 2 X n X n 1 X n 1 【其中 β

2 X n X n 1 X n 1 表 dt 2 X n X n示偏移平衡位置后的回复力，因此 β 称为力常

数】 n 可取任意整数，上式实际 。上代表 n 个联立的线性齐次方程。 由于原子

之间的关联，上述方程的解应该具有波的形式；由于运动方程具有平移不变性，解

应该满足布洛赫定理 布洛赫定理在后续章节会讲到。因此方程的试探解为： X n

Aei qna ωt 。其中A、ω、qna分别代表第n个原子的振动振幅、频率和相位。 将

试探解 X n Aei qna ωt 代入方程 M d2 X n β 2 X n X n 1 X n 1 ，得到 dt 2 M

iω 2 Aei naq ωt β Aei n 1 aq ωt Aei n 1 aq ωt 2 Aei naq ωt M ω 2

β 2 eiqa e iqa 2β cos aq 1 23《固体物理学》 第二章 晶格振动和固体比热 θ 利用

欧拉公式： eiθ e iθ 2 cos θ 和 1 cos θ 2sin 2 2 2β 4β qa ω2 1 cos aq sin 2

M M 2 β 1 qa ω 2 2 sin M 2 可以看出上式与n无关，表明n个联立方程都归结为同

一个方程。只要ω和q之间满足上式，就表示上式为联立方程的解。通常把之间的关

系称为色散关系。 一维单原子链的色散曲线：【在物理学中，色散关系指系统能量

与其相应动量之间的关系。譬如，在空间中自由运动的粒子系统的色散关系可通过

动能的定义方便地得出，具体形式为： 1 2 p2E mv ，在这个简单的例子中，色散

关系是一个二次函数。更为复杂的 2 2m系统具有其他不同形式的色散关系。 物理

性质的推导：经典物理系统的许多性质，如速度，都可以通过写成色散关系的形式

推广到其他非经典系统。例如，任意系统中的粒子速度可以通过对 E p其相应色散

关系的微分来定义，即： v 。 p m 光学色散关系：光波（电磁波）的能量正比

于波的频率（或波数动量）。根据麦克斯韦方程组，真空中电磁波的色散关系应是

线性的： ω ck ，可得波速 E ω为： v c ，这便是光速。】 p k格波解的物理

意义： 上式所描述的是在晶体中传播的振幅为 A，频率为 ω 的行波，是晶体的一

种集体运动形式。这种波称为格波。可以看出，每一解均由一特定波矢 q 标记，q 称

为晶格振动的波矢。 1相邻原子的振动位相差相等：qn1a-qnaqa。 X m Aei qma

ωt Aei qma 2π ωt 2格波波长： 2π Aei qna ωt X n λ q 24《固体物理

学》 第二章 晶格振动和固体比热格波与连续介质波的差别： X Aei qx ωt ，

式中，连续介质波中 x 表示空间的任一点，而在格波中只取 x＝na 格点周期性排

列上的位置。 另一个重要的区别在于波矢 q 的涵义： 如果把 aq 改变一个 2π 的

整倍数h2π， 2πh 为整数，即： q q h ，所有原子的振动实际上没有任何不同。

从第一章 a 2π 2π中我们知道 h 为一维晶格的倒格矢，即 K h h 。由此可知，格

波波矢 q 可 a a π π以限制在下面的范围： π lt aq ≤ π ，或者： lt q ≤ 。这个范围

以外的 q 值， a a并不能提供其它不同的波。 从上面分析我们知道，q 的取值限

制在第一简约布里渊区。第一布里渊区外的波矢所代表的振动模式只不过是第一布

里渊区内的振动模式的重复或再现而已。当格波的波矢超出第一布里渊区时，可以

平移一个适当的倒格矢量，用第一布里渊区内的波矢来描写。点阵振动的最大波矢

是布里渊区边界所对应的波矢，相应的波长也就是点阵振动的最短波长。周期边界

条件波恩－卡曼条件： 前面所考虑的运动实际上只适用于无穷长的原子链，而一个

有限的原子链两端的原子和内部原子有所不同，例如，端上的两个原子分别只受一

个近邻原子的作用，因此它们将有与其它原子形式不同的运动方程，由于所有原子

的运动方程都是联立的，具体解方程就复杂得多。为了简化问题，波恩－卡曼提出

了周期性边界条件：考虑 N 个原子构成的一维晶体，在边界上原子受力的情况有

别与体内原子，如果 N 很大，边界上原子所占比例是极小的。为此，设想这 N 个

原子连成一个环，第 N1 个原子就是第 1 个原子。即： Aei qa ωt Aei N 1 qa

ωt eiNqa 1 qNa 2π l周期边界条件是晶格振动理论的前提条件，实验测得的振动

谱与理论相符，这说明周期性边界条件是目前较好的一个边界条件。第一布里渊区

内的状态数振动模式数目： π π N N 由前面讨论知道， lt q ≤ ，所以 lt l ≤ N 为晶

格原胞数，由此可 a a 2 2见，l 只能取 N 个不同值，q 也只能取 N 个不同值，因

此，在第一布里渊区内包含 N 个状态。也就是说，晶格振动波矢的数目等于晶格

原胞数。色散关系所具有的特征： β 11长波极限q 趋于 0的情况：Sinqa/2≈ qa/2，

则： ω 2 2 a q ，这与弹性波 M声波的色散关系 ωVq 的形式相同。也就是说，

在长波极限下，一维单原子晶 25《固体物理学》 第二章 晶格振动和固体比热格格

波可以看成弹性波声频支格波，晶格可以看成连续介质。2短波极限q 趋于 π/a的情

况：从图中可以看出，随着 q 增大，色散曲线开始偏离直线向下弯。当 q 趋于 π/a

时，变得平坦，在 q π/a布里渊区边界，对应着最大频率。 β 1 qa 弧线为 ω 2 2

sin ；直线为 ωVq。 M 2长波极限和短波极限下的原子位移示意图：q 趋于 0 λgtgtaq

趋于 π/a λ2a 两种极限情况下，相邻原子的相对运动情况不同。3格波的相速度Vp

和群速度Vg。 两种速度存在不同的物理含义： 相速度Vp是特定频率为ω，波矢为

q的纯波单色波的传播速度；而群速度Vg描述平均频率为ω，平均波矢为q的波包复

色 ω ω波的速度。即： V p Vg 。实际上能量是由波包传输的，而不是由纯波 q

q传输的，所以群速度在物理上更有意义。 26《固体物理学》 第二章 晶格振动和

固体比热 相速度和群速度示意图格波群速度的特点： 长波极限： gVp； V 短波

极限： g0 表明形成驻波 波矢qπ/a， V 即波长λ2a，相邻原子振动的位相相反。格

波的布拉格反射： 由于沿x 方向传播的格波受到晶格的布拉格反射全反射产生-x

方向的波长为 2a 的格波相干，形成驻波。2-3、一维双原子晶格的振动和色散关系

一维双原子链模型 设晶体有N个原胞，每个原胞由两个质量分别为m和M的原子组

成，Mgtm。相邻原子平衡间距为a。X2n1和X2n2分别代表质量为m的第 2n1 和质

量为M的2n2 个原子的振动位移。在简谐近似下，只考虑相邻原子的相互作用，力

常数 27《固体物理学》 第二章 晶格振动和固体比热为b，那么简谐势能约化为： 1

1 β ∑ X 2 n 1 X 2 n 2 β ∑ X 2 n 2 X 2 n 11 2 2 U 2 n 2 n第 2n1 和第 2n2

原子所受到的力分别为： U F2 n 1 β 2 X 2 n 1 X 2 n 2 X 2 n X 2 n 1 U F2 n

2 β 2 X 2 n 2 X 2 n 1 1 X 2 n 1 X 2 n 1它们的运动方程分别为： ampamp mX 2

n 1 β 2 X 2 n 1 X 2 n 2 X 2 n ampamp MX 2 n 2 β 2 X 2 n 2 X 2 n 11 X 2 n 1

类似于一维单原子链的情况，方程组的解为： X n 1 Aei q 2 n 1 a ωt X 2 n 2

Bei q 2 n 2 a ωt 所描述的是在晶体中传播的振幅为 A 和 B，频率为 ω 的格波。

将上述解代入运 2β mω 2 A 2β cos qa B 0动方程，可得： 。 2β cos qa A 2β M

ω 2 B 0若 A、B 有非零解，齐次方程组的系数行列式必须为零： 2β mω 2 β 2 cos

qa 0， β cos qa 2β M ω 2由上式可得： βω 212 m M m m 2 M 2 2mM cos

2qa1/ 2 这就是一维双原子晶格的色 mM散关系。与一维单原子晶格的色散关系比

较，可以看出一维双原子晶格的色散关系的新特点，即 ω 和 q 存在两种不同的色

散关系。 一维双原子晶格的色散关系曲线 28《固体物理学》 第二章 晶格振动和

固体比热一维双原子晶格的色散关系的特点：1 当 q 趋于 ±π/2a 短波极限情况 ，

此时： 2β 1/ 2 2β 1/ 2ω max → ， ω min → ， M mω max lt ω min 。 如

右 图 ， 在ω max lt ω lt ω min 不存在格波频率隙。2当 q 趋于 0长波极限情况 β

一维双原子晶格色散关系 ω m M m m 2 M 2 2mM cos 2qa1/ 2 ， 2 12 mM

β m M 4mM 4mM变为 ω 1 m 1 sin 2 qa ltlt 1 。 2 sin 2 qa1/ 2 ，其中 m M

m M 12 2 2 mM分析：a声学波：由于在 Xltlt1 时，有1-X1/21-X/2，则 2β 2β ω 1/

2 sin qa 1/ 2 a q m M m M 这支格波色散关系和一维单原子晶格的色散关系

相似，因此可以看成弹性波，称为声学波。 2β m M 1/ 2b光学波：当 q 趋于 0 时，

ω mM 2β m M 1/ 2 2 × 5 ×103 1/ 2对于mM/mM和β的典型值： ω 28

≈ 3 ×1013 s 1 ， mM 10这个频率处在光谱的红外区，因此这支格波称为光学波。长

波极限下声学支和光学支格波原胞中两个原子的位移特征： 2.