2024年5月17日发(作者：漫云露)
高等数学公式 基本积分表1kdxkxC k是常数 211xxdxC 1u 31lndxxCx
42tan1dxarlxCx 52arcsin1dxxCx 6cossinxdxxC 7sincosxdxxC 821tancosdxxCx
921cotsindxxCx 10sectansecxxdxxC 11csccotcscxxdxxC 12xxedxeC 13lnxxaadxCa01aa
且 14shxdxchxC 15chxdxshxC 162211tanxdxarcCaxaa 172211ln2xadxCxaaxa
18221sinxdxarcCaax 1922221lndxxaxCax 202222lndxxxaCxa 21tanlncosxdxxC
22cotlnsinxdxxC 23seclnsectanxdxxxC 24csclncsccotxdxxxC 注1、从导数基本公式可
得前15个积分公式16-24式后几节证。 2、以上公式把x换成u仍成立u是以x为自变量
的函数。 3、复习三角函数公式 2222sincos1tan1secsin22sincosxxxxxxx21cos2cos2xx
21cos2sin2xx。 注由fxxdxfxdx此步为凑微分过程所以第一类换元法也叫凑微分法。
此方法是非常重要的一种积分法要运用自如务必熟记基本积分表并掌握常见的凑微
分形式及“凑”的技巧。 小结 1常用凑微分公式
xuxuxuxuxuxuaueuxuxubaxuxdxfdxxxfxdxfdxxxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfxdxfxdx
xfdaafadxaafdeefdxeefxdxfdxxxfxdxfdxxxfabaxdbaxfadxbaxfxxxxxxxxxxarcsinarctancot
tancossinlnarcsinarcsin11arcsin.11arctanarctan11arctan.10cotcotcsccot.9tantansectan.8co
scossincos.7sinsincossin.6ln1.5..4lnln1ln.301.201.122221法分积元换一第换元公式积
分类型 导数公式 基本积分表 三角函数的有理式积分
222212211cos12sinududxxtguuuxuux 一些初等函数 两个重要极限
axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1loglncsccscsecseccscsec222222111111arccos11arcsi
nxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgx
xdxxdxCtgxxdxxdxxxlnlncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxax
aaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscsecln
secsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin
22ln22ln221cossin222222222222222222222020 三角函数公式 ·诱导公式 函数 角A
sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°α cosα -sinα -ctgα -tgα
180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα
270°α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°α sinα cosα tgα ctgα ·和差
角公式 ·和差化积公式
2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg
11sinsincoscoscossincoscossinsinxxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxx
xxx11ln211ln1ln:2:2:22双曲正切双曲余弦双曲正
弦...594.211lim1sinlim0exxxxxx·倍角公式 ·半角公式
cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg
·正弦定理RCcBbAa2sinsinsin ·余弦定理Cabbaccos2222 ·反三
角函数性质arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin 高阶导数公式——莱布尼兹Leibniz
公式 2101121nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv 中值定理与导数应用
拉格朗日中值定理。时柯西中值定理就是当柯西中值定理拉格朗日中值定理
xxFfaFbFafbfabfafbfF 曲率
23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22
sintgtgtgctgctgctg.10.1limMsMM:.13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆半径为直
线点的曲率弧长。化量点切线斜率的倾角变点到从平均曲率其中弧微分公式 定积分
的近似计算 bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf4232110抛
物线法梯形法矩形法 定积分应用相关公式
babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW112221均方根函数的平均值为引力系数引力水压
力功 空间解析几何和向量代数 。代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例
线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影点的距离空
间
cos..sincoscosPrPrPrcosPr22222222221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaa
kjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zzyyxxzzyyxxuu 马鞍面双叶双曲面单叶双曲面、双曲面同号、抛物面、椭球面二次
曲面参数方程其中空间直线的方程面的距离平面外任意一点到该平、截距世方程、
一般方程其中、点法式平面的方程
222222222220000000czbyaxczbyaxqpzqypx
czbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzC
yyBxxA 多元函数微分法及应用
zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvv
yxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz
隐函数 隐函数隐函数的求导公式 时当 多元复合
函数的求导法全微分的近似计算 全微分0022
111100yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu
隐函数方程组 微分法在几何上的应用
3zyxFzzzyxFyyz
yxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzzt
yytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程、过此点的
切平面方程、过此点的法向量则上一点曲面则切向量若空间曲线方程为处的法平面
方程在点处的切线方程在点空间曲线方向导数与梯度 上的投影。在是单位向量。方
向上的为其中它与方向导数的关系是的梯度在一点函数的转角。轴到方向为其中的
方向导数为沿任一方向在一点函数
lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfzgradsincosgradgradsincos多元函数的极
值及其求法 不确定时值时 无极为极小值为极大值时
则 令设
2BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx 重
积分及其应用
DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIyd
yxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D2
20001sincos 其中的引力轴上质点平面对平面薄片位于轴 对于轴对于平
面薄片的转动惯量 平面薄片的重心的面积曲面柱面坐标和球面坐标
dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzry
rxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr111sinsinsinsincossinsincossinsincossincos2222
222000222 转动惯量 其中 重心 球面坐标其中 柱面
坐标曲线积分 22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL 特殊情况 则 的参数方程为
上连续在设长的曲线积分第一类曲线积分对弧。通常设的全微分其中才是二元函数
时在二元函数的全微分求积注意方向相反减去对此奇点的积分应。注意奇点如且内
具有一阶连续偏导数在、是一个单连通区域、无关的条件平面上曲线积分与路径的
面积时得到即当格林公式格林公式的方向角。上积分起止点处切向量分别为和其中
系两类曲线积分之间的关则的参数方程为设标的曲线积分第二类曲线积分对坐
0·0021·212coscos0000yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdy
ADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyx
PtytxLyxyxDLDLDLLLL 曲面积分
dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdy
zyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyxcoscosco
s122系两类曲面积分之间的关号。取曲面的右侧时取正号取曲面的前侧时取正号取
曲面的上侧时取正其中对坐标的曲面积分对面积的曲面积分高斯公式
0
divdivcoscoscos成因此高斯公式又可写通量则为消失的流体质量若即单位体积内所
产生散度—通量与散度—高斯公式的物理意义斯托克斯公式——曲线积分与曲面积
分的关系
dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx
dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量沿有向闭曲线向量场旋度 关的条件空间
曲线积分与路径无上式左端又可写成kjirotcoscoscos 常数项级数 是发散的调和级
数等差数列等比数列nnnnqqqqqnn11112 级数审敛法 散。存在则收敛否
则发、定义法时不确定时级数发散时级数收敛则设、比值审敛法时不确定时级数发
散时级数收敛则设别法—根植审敛法柯西判—、正项级数的审敛法
nnnnnnnnnnsuuusUUulim3111lim2111lim1211 。的绝对值其余项那么级数收敛且其
和如果交错级数满足—莱布尼兹定理—的审敛法或交错级数
lim0nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛 时收敛时发散
级数 收敛 级数收敛发散而调和级数为条件收敛级数。收敛则称发散而如果
收敛级数肯定收敛且称为绝对收敛则如果为任意实数其中
1232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn 幂级数
00103lim332RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时时时的系
数则是其中求收敛半径的方法设称为收敛半径。其中时不定时发散时收敛使在数轴
上都收敛则必存收敛也不是在全如果它不是仅在原点 对于级数时发散时收敛于
函数展开成幂级数
nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf0200000lim122时即为麦
克劳林公式充要条件是可以展开成泰勒级数的余项函数展开成泰勒级数一些函数展
开成幂级数 12153sin532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm
欧拉公式 2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe 或 三角级数 。上的积分在任意
两个不同项的乘积正交性。其中
0cossin2cos2sincossin1cossinsincos2sin001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnn
nnnnnnnnn 傅立叶级数 是偶函数 余弦级数是奇函数 正弦级数相减相
加 其中周期
nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2210cos2
0sin321nsin21sin1210cos12sincos2000222222
22222222210 周期为l2的周期函数的傅立叶级数
llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf321sin1210cos12sincos210 其
中周期 微分方程的相关概念 即得齐次方程通解。代替分离变量积分后将则设的函
数解法即写成程可以写成齐次方程一阶微分方称为隐式通解。 得的形式解法为
一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程
uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxP
yxfy0一阶线性微分方程
102001nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP、贝努力方程时
为非齐次方程当为齐次方程时当、一阶线性微分方程 全微分方程 通解。应该是该
全微分方程的其中分方程即中左端是某函数的全微如果
CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP00 二阶微分方程 时为非齐次时为
齐次0022xfxfxfyxQdxdyxPdxyd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
21222010rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数式中的系数及常数项恰好是其
中、写出特征方程求解步骤为常数其中式的通解出的不同情况按下表写、根据321rr
的形式21rr 式的通解 两个不相等实根042qp xrxrececy2121 两个相等实根042qp
xrexccy121 一对共轭复根042qp 242221pqpirir sincos21xcxceyx 二阶常系数非齐次
线性微分方程 型为常数型为常数sincosxxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx
2024年5月17日发(作者：漫云露)
高等数学公式 基本积分表1kdxkxC k是常数 211xxdxC 1u 31lndxxCx
42tan1dxarlxCx 52arcsin1dxxCx 6cossinxdxxC 7sincosxdxxC 821tancosdxxCx
921cotsindxxCx 10sectansecxxdxxC 11csccotcscxxdxxC 12xxedxeC 13lnxxaadxCa01aa
且 14shxdxchxC 15chxdxshxC 162211tanxdxarcCaxaa 172211ln2xadxCxaaxa
18221sinxdxarcCaax 1922221lndxxaxCax 202222lndxxxaCxa 21tanlncosxdxxC
22cotlnsinxdxxC 23seclnsectanxdxxxC 24csclncsccotxdxxxC 注1、从导数基本公式可
得前15个积分公式16-24式后几节证。 2、以上公式把x换成u仍成立u是以x为自变量
的函数。 3、复习三角函数公式 2222sincos1tan1secsin22sincosxxxxxxx21cos2cos2xx
21cos2sin2xx。 注由fxxdxfxdx此步为凑微分过程所以第一类换元法也叫凑微分法。
此方法是非常重要的一种积分法要运用自如务必熟记基本积分表并掌握常见的凑微
分形式及“凑”的技巧。 小结 1常用凑微分公式
xuxuxuxuxuxuaueuxuxubaxuxdxfdxxxfxdxfdxxxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfxdxfxdx
xfdaafadxaafdeefdxeefxdxfdxxxfxdxfdxxxfabaxdbaxfadxbaxfxxxxxxxxxxarcsinarctancot
tancossinlnarcsinarcsin11arcsin.11arctanarctan11arctan.10cotcotcsccot.9tantansectan.8co
scossincos.7sinsincossin.6ln1.5..4lnln1ln.301.201.122221法分积元换一第换元公式积
分类型 导数公式 基本积分表 三角函数的有理式积分
222212211cos12sinududxxtguuuxuux 一些初等函数 两个重要极限
axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1loglncsccscsecseccscsec222222111111arccos11arcsi
nxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgx
xdxxdxCtgxxdxxdxxxlnlncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxax
aaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscsecln
secsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin
22ln22ln221cossin222222222222222222222020 三角函数公式 ·诱导公式 函数 角A
sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°α cosα -sinα -ctgα -tgα
180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα
270°α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°α sinα cosα tgα ctgα ·和差
角公式 ·和差化积公式
2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg
11sinsincoscoscossincoscossinsinxxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxx
xxx11ln211ln1ln:2:2:22双曲正切双曲余弦双曲正
弦...594.211lim1sinlim0exxxxxx·倍角公式 ·半角公式
cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg
·正弦定理RCcBbAa2sinsinsin ·余弦定理Cabbaccos2222 ·反三
角函数性质arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin 高阶导数公式——莱布尼兹Leibniz
公式 2101121nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv 中值定理与导数应用
拉格朗日中值定理。时柯西中值定理就是当柯西中值定理拉格朗日中值定理
xxFfaFbFafbfabfafbfF 曲率
23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22
sintgtgtgctgctgctg.10.1limMsMM:.13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆半径为直
线点的曲率弧长。化量点切线斜率的倾角变点到从平均曲率其中弧微分公式 定积分
的近似计算 bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf4232110抛
物线法梯形法矩形法 定积分应用相关公式
babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW112221均方根函数的平均值为引力系数引力水压
力功 空间解析几何和向量代数 。代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例
线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影点的距离空
间
cos..sincoscosPrPrPrcosPr22222222221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaa
kjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zzyyxxzzyyxxuu 马鞍面双叶双曲面单叶双曲面、双曲面同号、抛物面、椭球面二次
曲面参数方程其中空间直线的方程面的距离平面外任意一点到该平、截距世方程、
一般方程其中、点法式平面的方程
222222222220000000czbyaxczbyaxqpzqypx
czbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzC
yyBxxA 多元函数微分法及应用
zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvv
yxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz
隐函数 隐函数隐函数的求导公式 时当 多元复合
函数的求导法全微分的近似计算 全微分0022
111100yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu
隐函数方程组 微分法在几何上的应用
3zyxFzzzyxFyyz
yxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzzt
yytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程、过此点的
切平面方程、过此点的法向量则上一点曲面则切向量若空间曲线方程为处的法平面
方程在点处的切线方程在点空间曲线方向导数与梯度 上的投影。在是单位向量。方
向上的为其中它与方向导数的关系是的梯度在一点函数的转角。轴到方向为其中的
方向导数为沿任一方向在一点函数
lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfzgradsincosgradgradsincos多元函数的极
值及其求法 不确定时值时 无极为极小值为极大值时
则 令设
2BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx 重
积分及其应用
DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIyd
yxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D2
20001sincos 其中的引力轴上质点平面对平面薄片位于轴 对于轴对于平
面薄片的转动惯量 平面薄片的重心的面积曲面柱面坐标和球面坐标
dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzry
rxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr111sinsinsinsincossinsincossinsincossincos2222
222000222 转动惯量 其中 重心 球面坐标其中 柱面
坐标曲线积分 22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL 特殊情况 则 的参数方程为
上连续在设长的曲线积分第一类曲线积分对弧。通常设的全微分其中才是二元函数
时在二元函数的全微分求积注意方向相反减去对此奇点的积分应。注意奇点如且内
具有一阶连续偏导数在、是一个单连通区域、无关的条件平面上曲线积分与路径的
面积时得到即当格林公式格林公式的方向角。上积分起止点处切向量分别为和其中
系两类曲线积分之间的关则的参数方程为设标的曲线积分第二类曲线积分对坐
0·0021·212coscos0000yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdy
ADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyx
PtytxLyxyxDLDLDLLLL 曲面积分
dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdy
zyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyxcoscosco
s122系两类曲面积分之间的关号。取曲面的右侧时取正号取曲面的前侧时取正号取
曲面的上侧时取正其中对坐标的曲面积分对面积的曲面积分高斯公式
0
divdivcoscoscos成因此高斯公式又可写通量则为消失的流体质量若即单位体积内所
产生散度—通量与散度—高斯公式的物理意义斯托克斯公式——曲线积分与曲面积
分的关系
dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx
dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量沿有向闭曲线向量场旋度 关的条件空间
曲线积分与路径无上式左端又可写成kjirotcoscoscos 常数项级数 是发散的调和级
数等差数列等比数列nnnnqqqqqnn11112 级数审敛法 散。存在则收敛否
则发、定义法时不确定时级数发散时级数收敛则设、比值审敛法时不确定时级数发
散时级数收敛则设别法—根植审敛法柯西判—、正项级数的审敛法
nnnnnnnnnnsuuusUUulim3111lim2111lim1211 。的绝对值其余项那么级数收敛且其
和如果交错级数满足—莱布尼兹定理—的审敛法或交错级数
lim0nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛 时收敛时发散
级数 收敛 级数收敛发散而调和级数为条件收敛级数。收敛则称发散而如果
收敛级数肯定收敛且称为绝对收敛则如果为任意实数其中
1232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn 幂级数
00103lim332RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时时时的系
数则是其中求收敛半径的方法设称为收敛半径。其中时不定时发散时收敛使在数轴
上都收敛则必存收敛也不是在全如果它不是仅在原点 对于级数时发散时收敛于
函数展开成幂级数
nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf0200000lim122时即为麦
克劳林公式充要条件是可以展开成泰勒级数的余项函数展开成泰勒级数一些函数展
开成幂级数 12153sin532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm
欧拉公式 2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe 或 三角级数 。上的积分在任意
两个不同项的乘积正交性。其中
0cossin2cos2sincossin1cossinsincos2sin001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnn
nnnnnnnnn 傅立叶级数 是偶函数 余弦级数是奇函数 正弦级数相减相
加 其中周期
nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2210cos2
0sin321nsin21sin1210cos12sincos2000222222
22222222210 周期为l2的周期函数的傅立叶级数
llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf321sin1210cos12sincos210 其
中周期 微分方程的相关概念 即得齐次方程通解。代替分离变量积分后将则设的函
数解法即写成程可以写成齐次方程一阶微分方称为隐式通解。 得的形式解法为
一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程
uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxP
yxfy0一阶线性微分方程
102001nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP、贝努力方程时
为非齐次方程当为齐次方程时当、一阶线性微分方程 全微分方程 通解。应该是该
全微分方程的其中分方程即中左端是某函数的全微如果
CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP00 二阶微分方程 时为非齐次时为
齐次0022xfxfxfyxQdxdyxPdxyd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
21222010rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数式中的系数及常数项恰好是其
中、写出特征方程求解步骤为常数其中式的通解出的不同情况按下表写、根据321rr
的形式21rr 式的通解 两个不相等实根042qp xrxrececy2121 两个相等实根042qp
xrexccy121 一对共轭复根042qp 242221pqpirir sincos21xcxceyx 二阶常系数非齐次
线性微分方程 型为常数型为常数sincosxxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx