2024年5月26日发(作者：范姜雨彤)

平面向量

一、平面向量的实际背景与基本概念

1．（人教版P85例2）

如图1，设O是正六边形的中心，分别写出

B A

C O F

D E

图1

B A

C O F

D E

图2





图中与

OA

、

OB

、

OC

相等的向量。

变式1：

如图1，设O是正六边形的中心，分别写出





图中与

OD

、

DC

共线的向量。

解：

变式2：

如图2，设O是正六边形的中心，分别写出



图中与

DA

的模相等的向量以及方向相同的向量。

解：

二、平面向量的线性运算

2.（人教版第96页例4）



如图，在平行四边形ABCD中，

AB

a

，

AD

b ，





你能用

a，b

表示向量

AC

，

DB

吗？

变式1：如图，在五边形ABCDE中，

D C

A B

D

E

C

A B







AB

a

，

BC

b

，

CD

c

，

EA

d

，





试用

a ，b ， c

，

d

表示向量

CE

和

DE

.



解：

CEBECBBAAECB

(

a + b + d )



DE(EAABBCCD)

(

d + a + b +c )



O

变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，

OA

a

，

OB

b

则下列各表述是正确的为（ ）

D C

A B



A．

OAOBAB

B．

OCODAB



C．

CD

a + b D．

BC

(a + b)

正确答案：选D

变式3：已知

OA

=a，

OB

=b,

OC

=c,

OD

=d, 且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）

A. a+b+c+d=0

B. a－b+c－d=0

D. a－b－c+d=0 C. a+b－c－d=0

正确答案：选A



1



变式4：在四边形ABCD中，若

ABCD

，则此四边形是( )

2

A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形

正确答案：选C

变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的

 A．充分但不必要条件

 C．充要条件

正确答案：选C

变式6：在四边形ABCD中，

AB

=a+2b，

BC

=－4a－b，

CD

=－5a－3b，其中a、b不共线，

则四边形ABCD为（ ）

A.平行四边形 B.矩形

B．必要但不充分条件

D．既不充分也不必要条件

（ ）

C.梯形 D.菱形

【解析】 ∵

AD

=

ABBCCD

=－8a－2b=2

BC

，∴

AD//BC

.

∴四边形ABCD为梯形.

正确答案：选C

变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则

AP

等于（ ）

A.λ(

AB

+

AD

),λ∈(0,1)

B.λ(

AB

+

BC

),λ∈(0,

C.λ(

AB

－

AD

),λ∈(0,1)

2

)

2

2

D.λ(

ABBC

),λ∈(0,)

2

【解析】 由向量的运算法则

AC

=

AB

+

AD

，而点P在对角线AC上，所以

AP

与

AC

同向，

且|

AP

|＜|

AC

|,∴

AP

=λ(

AB

+

AD

),λ∈(0,1).





变式8：已知

D

、

E

、

F

分别是△

ABC

的边

BC

、

CA

、

AB

的中点，且

BC

=

a

，

CA

=

b

，

AB

=

c

,



1



1



1



则下列各式： ①

EF

=

c

－

b

②

BE

=

a

+

b



1



1



③

CF

=－

a

+

b

④

AD

+

BE

+

CF

=

0

22

222

正确答案：选 A

其中正确的等式的个数为（ ）

A.1 B.2

正确答案：选B

3．（人教版第98页例6）

C.3 D.4



如图，已知任意两个非零向量

a

、

b ，

试作

OA

a + b，

OB

a + 2b，

b



OC

a + 3b，

你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

a



变式1：已知

OA

a + 2b，

OB

2a + 4b，

OC

3a + 6b (

其中

a

、

b是

两个任意非零

向量

) ，

证明：A、B、C三点共线．



证明：∵

ABOBOA

a + 2b，

ACOCOA

2a + 4b，



∴

AC2AB

所以，A、B、C三点共线．





变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且

OA

a + b，

OB(m2)

a + 2b，



OC(n1)

a + 3b (

其中

a

、

b是

两个任意非零向量

) ，试

求m、n之间的关系．





解：

ABOBOA(m3)

a + b ，

ACOCOAn

a + 2b



由A、B、C三点在同一直线上可设

ABkAC

，



(m3)kn

1

则



所以

(m3)n

即

2mn60

为所求．

2



2k1

4．（人教版第102页第13题）



已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：

EFHG

D

变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

C



E F

求证：

ABDC2EF

.

证明：如图，连接EB和EC ，

A B



由

EAABEB

和

EFFBEB

可得，

EAABEFFB

（1）



由

EDDCEC

和

EFFCEC

可得，

EDDCEFFC

（2）



（1）+（2）得，

EAEDABDC2EFFBFC

（3）



∵E、F分别为AD和BC的中点，∴

EAED0

，

FBFC0

，



代入（3）式得，

ABDC2EF

三、平面向量的基本定理及坐标表示

2.（人教版第109页例6）

已知

a =

(4，2)

，b =

(6，y)

，且a // b ，

求 y ．

变式1：与向量

a =

(12，5) 平行的单位向量为（ ）

A．



5



5





12



12

，-



B．



，-



13



13





13



13

C．



5



5





12



125





125



12

，



或



，-



D．



，



或



，-



13



13





13



1313





1313



13

正确答案：选C

变式2：已知a

(1,2)

，b





x,1



，当a+2b与2a－b共线时，

x

值为 （ ）

A．1 B．2 C．

正确答案：选D

变式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与

AB2AC

方向相反的单位向量是( )

A．(0,1) B．(0,－1) C． (－1,1) D．(1,－1)

正确答案：选A

变式4：已知

a =

(1，0)

，b =

(2，1) ．试问：当k为何实数时， ka－b与a+3b平行, 平行

时它们是同向还是反向？

解：因为

ka－b





k2，1



，

a+3b





7，3



．

由已知得，

3



k2



70

解得

k

，

此时，

ka－b





，1



，

a+3b





7，3



，

二者方向相反．

2.（人教版第110页例8）

设点P是线段

PP

，y

1



，



x

2

，y

2



．

12

上的一点，

P

1

、

P

2

的坐标分别为



x

1

(1) 当点P是线段

PP

12

上的中点时，求点P的坐标；

(2) 当点P是线段

PP

12

的一个三等分点时，求P的坐标

11

D．

32

1

3



7



3







1



变式1：已知两点

M



3,2



，

N



5,5



，

MPMN

，则P点坐标是 （ ）

2

A．



8,1



B．



1,



C．



1,



D．



8,1



正确答案：选B

变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，



21

若

OA

＝a，

OB

＝b，则

OP

＝

ab

，

33

B

Q

P

A





3



2





3





2





OQ



＝

1

a

2

b

(用a、b表示)

b

33

a

四、平面向量的数量积

O

5．（人教版第116页例3）

已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为

60

，求 (

a + 2b)

²

(a

3

b)

．

变式1：

已知



a3,



b4,





ab











a2b





23,

那么



a

与

b



夹角为

A、

60

B、

90

C、

120

D、

150

正确答案：选C

变式2：已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b）²a等于

（A）15 （B）12 （C）6 （D）3

正确答案：选B

变式3：在△

ABC

中，已知|

AB

|=4，|

AC

|=1，

S

△

ABC

=

3

，则

AB

²

AC

等于（ ）

A.－2 B.2 C.±2 D.±4

正确答案：选C

变式4：设向量

2te

1

7e

2

与向量

e

1

te

2

的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

解：∵

(2te

2

1

7e

2

)(e

1

te

2

)0

，故

2t15t70

，

解之

7t

1

2

．

另有

2t



,7t



，解之

t

14

2

,



14

，

∴

t(7,

14

2

)(

14

2

,

1

2

)

．

2.（人教版第116页例4）

已知|a|＝3，|b| ＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量

a + kb 与a

k

b

互相垂直？

变式1：已知

a

⊥

b

，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3

a + 2b与ka



b

互相垂直，则k的值为（

A．



3

2

B．

33

2

C．



2

D．1

正确答案：选B

）

2024年5月26日发(作者：范姜雨彤)

平面向量

一、平面向量的实际背景与基本概念

1．（人教版P85例2）

如图1，设O是正六边形的中心，分别写出

B A

C O F

D E

图1

B A

C O F

D E

图2





图中与

OA

、

OB

、

OC

相等的向量。

变式1：

如图1，设O是正六边形的中心，分别写出





图中与

OD

、

DC

共线的向量。

解：

变式2：

如图2，设O是正六边形的中心，分别写出



图中与

DA

的模相等的向量以及方向相同的向量。

解：

二、平面向量的线性运算

2.（人教版第96页例4）



如图，在平行四边形ABCD中，

AB

a

，

AD

b ，





你能用

a，b

表示向量

AC

，

DB

吗？

变式1：如图，在五边形ABCDE中，

D C

A B

D

E

C

A B







AB

a

，

BC

b

，

CD

c

，

EA

d

，





试用

a ，b ， c

，

d

表示向量

CE

和

DE

.



解：

CEBECBBAAECB

(

a + b + d )



DE(EAABBCCD)

(

d + a + b +c )



O

变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，

OA

a

，

OB

b

则下列各表述是正确的为（ ）

D C

A B



A．

OAOBAB

B．

OCODAB



C．

CD

a + b D．

BC

(a + b)

正确答案：选D

变式3：已知

OA

=a，

OB

=b,

OC

=c,

OD

=d, 且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）

A. a+b+c+d=0

B. a－b+c－d=0

D. a－b－c+d=0 C. a+b－c－d=0

正确答案：选A



1



变式4：在四边形ABCD中，若

ABCD

，则此四边形是( )

2

A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形

正确答案：选C

变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的

 A．充分但不必要条件

 C．充要条件

正确答案：选C

变式6：在四边形ABCD中，

AB

=a+2b，

BC

=－4a－b，

CD

=－5a－3b，其中a、b不共线，

则四边形ABCD为（ ）

A.平行四边形 B.矩形

B．必要但不充分条件

D．既不充分也不必要条件

（ ）

C.梯形 D.菱形

【解析】 ∵

AD

=

ABBCCD

=－8a－2b=2

BC

，∴

AD//BC

.

∴四边形ABCD为梯形.

正确答案：选C

变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则

AP

等于（ ）

A.λ(

AB

+

AD

),λ∈(0,1)

B.λ(

AB

+

BC

),λ∈(0,

C.λ(

AB

－

AD

),λ∈(0,1)

2

)

2

2

D.λ(

ABBC

),λ∈(0,)

2

【解析】 由向量的运算法则

AC

=

AB

+

AD

，而点P在对角线AC上，所以

AP

与

AC

同向，

且|

AP

|＜|

AC

|,∴

AP

=λ(

AB

+

AD

),λ∈(0,1).





变式8：已知

D

、

E

、

F

分别是△

ABC

的边

BC

、

CA

、

AB

的中点，且

BC

=

a

，

CA

=

b

，

AB

=

c

,



1



1



1



则下列各式： ①

EF

=

c

－

b

②

BE

=

a

+

b



1



1



③

CF

=－

a

+

b

④

AD

+

BE

+

CF

=

0

22

222

正确答案：选 A

其中正确的等式的个数为（ ）

A.1 B.2

正确答案：选B

3．（人教版第98页例6）

C.3 D.4



如图，已知任意两个非零向量

a

、

b ，

试作

OA

a + b，

OB

a + 2b，

b



OC

a + 3b，

你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

a



变式1：已知

OA

a + 2b，

OB

2a + 4b，

OC

3a + 6b (

其中

a

、

b是

两个任意非零

向量

) ，

证明：A、B、C三点共线．



证明：∵

ABOBOA

a + 2b，

ACOCOA

2a + 4b，



∴

AC2AB

所以，A、B、C三点共线．





变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且

OA

a + b，

OB(m2)

a + 2b，



OC(n1)

a + 3b (

其中

a

、

b是

两个任意非零向量

) ，试

求m、n之间的关系．





解：

ABOBOA(m3)

a + b ，

ACOCOAn

a + 2b



由A、B、C三点在同一直线上可设

ABkAC

，



(m3)kn

1

则



所以

(m3)n

即

2mn60

为所求．

2



2k1

4．（人教版第102页第13题）



已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：

EFHG

D

变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

C



E F

求证：

ABDC2EF

.

证明：如图，连接EB和EC ，

A B



由

EAABEB

和

EFFBEB

可得，

EAABEFFB

（1）



由

EDDCEC

和

EFFCEC

可得，

EDDCEFFC

（2）



（1）+（2）得，

EAEDABDC2EFFBFC

（3）



∵E、F分别为AD和BC的中点，∴

EAED0

，

FBFC0

，



代入（3）式得，

ABDC2EF

三、平面向量的基本定理及坐标表示

2.（人教版第109页例6）

已知

a =

(4，2)

，b =

(6，y)

，且a // b ，

求 y ．

变式1：与向量

a =

(12，5) 平行的单位向量为（ ）

A．



5



5





12



12

，-



B．



，-



13



13





13



13

C．



5



5





12



125





125



12

，



或



，-



D．



，



或



，-



13



13





13



1313





1313



13

正确答案：选C

变式2：已知a

(1,2)

，b





x,1



，当a+2b与2a－b共线时，

x

值为 （ ）

A．1 B．2 C．

正确答案：选D

变式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与

AB2AC

方向相反的单位向量是( )

A．(0,1) B．(0,－1) C． (－1,1) D．(1,－1)

正确答案：选A

变式4：已知

a =

(1，0)

，b =

(2，1) ．试问：当k为何实数时， ka－b与a+3b平行, 平行

时它们是同向还是反向？

解：因为

ka－b





k2，1



，

a+3b





7，3



．

由已知得，

3



k2



70

解得

k

，

此时，

ka－b





，1



，

a+3b





7，3



，

二者方向相反．

2.（人教版第110页例8）

设点P是线段

PP

，y

1



，



x

2

，y

2



．

12

上的一点，

P

1

、

P

2

的坐标分别为



x

1

(1) 当点P是线段

PP

12

上的中点时，求点P的坐标；

(2) 当点P是线段

PP

12

的一个三等分点时，求P的坐标

11

D．

32

1

3



7



3







1



变式1：已知两点

M



3,2



，

N



5,5



，

MPMN

，则P点坐标是 （ ）

2

A．



8,1



B．



1,



C．



1,



D．



8,1



正确答案：选B

变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，



21

若

OA

＝a，

OB

＝b，则

OP

＝

ab

，

33

B

Q

P

A





3



2





3





2





OQ



＝

1

a

2

b

(用a、b表示)

b

33

a

四、平面向量的数量积

O

5．（人教版第116页例3）

已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为

60

，求 (

a + 2b)

²

(a

3

b)

．

变式1：

已知



a3,



b4,





ab











a2b





23,

那么



a

与

b



夹角为

A、

60

B、

90

C、

120

D、

150

正确答案：选C

变式2：已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b）²a等于

（A）15 （B）12 （C）6 （D）3

正确答案：选B

变式3：在△

ABC

中，已知|

AB

|=4，|

AC

|=1，

S

△

ABC

=

3

，则

AB

²

AC

等于（ ）

A.－2 B.2 C.±2 D.±4

正确答案：选C

变式4：设向量

2te

1

7e

2

与向量

e

1

te

2

的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

解：∵

(2te

2

1

7e

2

)(e

1

te

2

)0

，故

2t15t70

，

解之

7t

1

2

．

另有

2t



,7t



，解之

t

14

2

,



14

，

∴

t(7,

14

2

)(

14

2

,

1

2

)

．

2.（人教版第116页例4）

已知|a|＝3，|b| ＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量

a + kb 与a

k

b

互相垂直？

变式1：已知

a

⊥

b

，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3

a + 2b与ka



b

互相垂直，则k的值为（

A．



3

2

B．

33

2

C．



2

D．1

正确答案：选B

）