2024年7月10日发(作者：帅语梦)

均值不等式归纳总结

1. (1)若

a,bR

，则

a

2



b

2



2ab

(2)若

a,bR

，则

ab



a

ab

时取“=”）

2



b

2

2

（当且仅当

2. (1)若

a,bR

*

，则

a



b



2

ab

(2)若

a,bR

*

，则

ab2ab

（当且仅当

ab

时取

“=”）

a



b



(3)若

a,bR

，则

ab









2



*

2

若

x0

，则

x



1

x

ba



2

即或

x



11



2x



-2

xx

(当且仅当

ab

时取“=”）

4.若

ab0

，则

a



b

2

(当且仅当

ab

时取“=”）

ab

若

ab0

，则

a



b

2即或2

baba

a



b

2

a

2

b

2

5.若

a,bR

，则

()



22

ab

-2

ba

（当且仅当

ab

时取“=”）

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为

定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”

．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际

问题方面有广泛的应用』

(当且仅当

ab

时取“=”）

3.若

x0

，则

x



2

(当且仅当

x1

时取“=”）

1

x

1

若

x0

，则

x



2

(当且仅当

x1

时取“=”）

x

(当且仅当

ab

时取“=”）

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（

1

1）y＝3x

2

＋

2x 2

1

解：(1)y＝3x

2

＋

2x 2

≥2

1

2）y＝x＋

x

＝

6

∴值域为[

6

，+∞）

（

1

(2)当x＞0时，y＝x＋

x

≥2

1

＝2；

1

=－2

技巧一：凑项

例 已知

x

，求函数

y



4x



2



5

4

1

的最大值。

4x



5

解：因

4x50

，所以首先要“调整”符号，又

(4x



2)

A

以对

4x2

要进行拆、凑项，

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

t

i

m

变式：设

0x

，求函数

y4x(32x)

的最大值。

2

3

2x



3



2x



9



解：∵

0x

∴

32x0

∴

y



4x(3



2x)



2



2x(3



2x)



2





2

22



33



当且仅当

2x32x,

即

x





0,



时等号成立。

4



2



e

a

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，

yx(82x)

的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可

利用均值不等式求最大值。

n

d

3

2

A

l

l

t

i

例1. 当时，求

yx(82x)

的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，

此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到

2x(82x)8

为定值，故只

需将

yx(82x)

凑上一个系数即可。

技巧二：凑系数

当且仅当

5



4x



1

，即

x1

时，上式等号成立，故当

x1

时，

y

max

1

。

5



4x

5

11



x,54x0

，



y



4x



2





5



4x



3

231



4

4x



55



4x



1

不是常数，所

4x



5

解题技巧

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

当x＜0时， y＝x＋

x

= －（－ x－

x

）≤－2

技巧三： 分离

x

2



7x



10

(x



1)

的值域。例3. 求

y



x



1

子分开再利用不等式求最值。即化为

y



mg

(

x

)

负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

a

的单调性。

x

例：求函数

y



x



4

2

l

l

t

h

i

n

x

2



5

的值域。

g

s

f

(

x

)

x



i

n

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数

t

h

解：令

x

2

4t(t2)

，则

y



x

2



5

x

2



4



x

2



4



y

t

i

m

5

。

2

e

a

因为

y



t



在区间



1,



单调递增，所以在其子区间



2,



为单调递增函数，故

1

t

n

d

因

t



0,t



1

，但

t



解得

t1

不在区间



2,



，故等号不成立，考虑单调性。

1

t

A

1

t



所以，所求函数的值域为



,





。



5



2



练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

e

i

r

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式

A



B

(

A

0,

B

0)

，g(x)恒正或恒

g(x)

b

e

(t



1)

2



7(t



1

）

+10t

2



5t



44

y



=



t



5

ttt

4

当,即t=时,

y



2t



5



9

（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

t

1



t



(t



2)

t

x

2



4

1

i

n

g

a

r

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离

求最值。

e

g

当,即时,

y



2

（

x



1)



4



5



9

（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

x



1

o

o

d

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，

再将其分离。

1

1

x

2



3x



1

y



2sinx



,x



(0,



)

y



2x



,x



3

y



,(x



0)

（1） （2） (3)

sinx

x



3

x

3

2

2．已知

0x1

，求函数

yx(1x)

的最大值.；3．

0x

，求函数

yx(23x)

的

最大值.

条件求最值

1.若实数满足

ab2

，则

3

a

3

b

的最小值是 .

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且

3

a

3

b

定值，因此考虑利用均值定

最小值是6．

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

19



错解：

x0,y0

，且

1



9



1

，



x



y













x



y





2

2：已知

x0,y0

，且



1

，求

xy

的最小值。

9

2xy



12

xy

1

x

9

y

g

s

技巧六：整体代换

i

n

t

h

11

变式：若

log

4

xlog

4

y2

，求



的最小值.并求x,y的值

xy

e

i

r

b

e

当

3

a

3

b

时等号成立，由

ab2

及

3

a

3

b

得

ab1

即当

ab1

时，

3

a

3

b

的

i

n

g

解：

3

a

和3

b

都是正数，

3

a

3

b

≥

23

a

3

b

23

ab

6

a

r

故



xy



min

12

理求最小值，

xy

。

错因：解法中两次连用均值不等式，在

xy2xy

等号成立条件是

xy

，在

等号成立条件是



即

y9x

,取等号的条件的不一致，产生错误。因

1

x

9

y

199



2

xyxy

此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且



xy



e

g

o

o

d

f

o

r

s

是检验转换是否有误的一种方法。

19



正解：



x



0,y



0,

1



9



1

，



x



y





x



y













xy



xy



y9x



10



6



10



16

xy

xy

(2)已知

a,b,x,yR



且

a



b

x

技巧七

y 2

已知x，y为正实数，且x

2

＋

2

＝1，求x

1

＋

y 2

的最大值.

a 2

＋

b 2

2

。

＝

2

x·同时还应化简

1

＋

y 2

中y

2

前面的系数为

2

， x

1

＋

y 2

＝x

下面将x，

x·≤＝

分别看成两个因式：

3

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

1

技巧八：

＝

4

即x

1

＋

y 2

＝

2

·x

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

ab

的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为

二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形

式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径

进行。

一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；

3

≤

4

2

1

y

1

，求

xy

的最小值



变式： （1）若

x,yR

且

2xy1

，求

1



1

的最小值

。

当且仅当



y

x

19

9x

时，上式等号成立，又



1

，可得

x4,y12

时，



xy



min

16

xy

y

30

－

2b

法一：a＝

b

＋

1

，

由a＞0得，0＜b＜15

30

－

2b

ab＝

b

＋

1

·b＝

－

2 b 2

＋

30b

b

＋

1

－

2t 2

＋

34t

－

31

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

1

t

1616

＝－2（t＋

t

）＋34∵t＋

t

≥2

∴

ab

≤3

2

，ab≤18，∴y≥

18

点评：①本题考查不等式

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝

3x

＋

2y

的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，

2

≤

单

换为含

ab

的不等式，进而解得

ab

的范围.

ab与ab

之间的关系，由此想到不等式

a



b

ab

（a,bR



）

，这样将已知条件转

2

②如何由已知不等式

aba2b30

出发求得

ab

的范围，关键是寻找到

（a,bR



）

a



b

ab（a,bR



）

的应用、不等式的解法及运算能力；

2

∴ ab≤18 ∴ y≥

18

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2

2 ab

　∴ 30－ab≥2

2 ab

令u＝

ab

　则u

2

＋2

2

u－30≤0， －5

2

≤u≤3

2

1

a

＋

ba 2

＋

b 2

2

，本题很简

3x

＋

2y

≤

2

＝

23x

＋

2y

＝2

5

式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W

2

＝3x＋2y＋2

3x

·

2y

＝10＋2

3x

·

2y

≤10＋(

3x

)

2

·(

2y

)

2

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数

＝8

＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W≤

20

＝2

5

变式: 求函数

y

15

2x152x(x)

的最大值。

22

解析：注意到

2x1

与

52x

的和为定值。

y

2

(2x152x)

2

42(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要

注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知

a,b,c

为两两不相等的实数，求证：

a

2

b

2

c

2

abbcca

e

i

r

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

b

e

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个

“2”连乘，又

1



1



1



a



b



c



2

aaa

解：



a、b、c

R



，

abc1

。



1



1



1



a



b



c



2bc

。同理

1



1



2ac

，

aaaa

l

l

t

i

s

bc

a

i

n

，可由此变形入手。

t

h



例6：已知a、b、c

R



，且

abc1

。求证：





1



1



1





8



a



b



c



1

i

n

g

1

a

r

1

b

e

g

当且仅当

2x1

=

52x

，即

x

时取等号。 故

y

max

22

。

3

2

应用三：均值不等式与恒成立问题

1



1



1



1



2bc2ac2ab

abc

。当且仅当时取等号。



1



1



1



AA



8



3

abc



a



b



c



12ab

。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得



1



cc

例：已知

x0,y0

且



1

，求使不等式

xym

恒成立的实数

m

的取值范围。

1

x

9

y

解：令

xyk,x0,y0,

1

，



1

x

9

y

x



y9x



9y10y9x



1.



1

kxkykkxky

o

o

b

又

y0

，所以

0y22

d



1



103



2



。

k16

，

m



,16



kk

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例：若

a



b



1,P



lga



lgb,Q



(lga



lgb),R



lg(

1a



b

)

，则

P,Q,R

的大小关系是

.

2

分析：∵

ab1

∴

lga0,lgb0

Q

1

2

（

lgalgb)lgalgbp

R



lg(

a



b1

2

)lgab

2

lg

abQ

2

R>Q>P。

∴

2024年7月10日发(作者：帅语梦)

均值不等式归纳总结

1. (1)若

a,bR

，则

a

2



b

2



2ab

(2)若

a,bR

，则

ab



a

ab

时取“=”）

2



b

2

2

（当且仅当

2. (1)若

a,bR

*

，则

a



b



2

ab

(2)若

a,bR

*

，则

ab2ab

（当且仅当

ab

时取

“=”）

a



b



(3)若

a,bR

，则

ab









2



*

2

若

x0

，则

x



1

x

ba



2

即或

x



11



2x



-2

xx

(当且仅当

ab

时取“=”）

4.若

ab0

，则

a



b

2

(当且仅当

ab

时取“=”）

ab

若

ab0

，则

a



b

2即或2

baba

a



b

2

a

2

b

2

5.若

a,bR

，则

()



22

ab

-2

ba

（当且仅当

ab

时取“=”）

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为

定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”

．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际

问题方面有广泛的应用』

(当且仅当

ab

时取“=”）

3.若

x0

，则

x



2

(当且仅当

x1

时取“=”）

1

x

1

若

x0

，则

x



2

(当且仅当

x1

时取“=”）

x

(当且仅当

ab

时取“=”）

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（

1

1）y＝3x

2

＋

2x 2

1

解：(1)y＝3x

2

＋

2x 2

≥2

1

2）y＝x＋

x

＝

6

∴值域为[

6

，+∞）

（

1

(2)当x＞0时，y＝x＋

x

≥2

1

＝2；

1

=－2

技巧一：凑项

例 已知

x

，求函数

y



4x



2



5

4

1

的最大值。

4x



5

解：因

4x50

，所以首先要“调整”符号，又

(4x



2)

A

以对

4x2

要进行拆、凑项，

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

t

i

m

变式：设

0x

，求函数

y4x(32x)

的最大值。

2

3

2x



3



2x



9



解：∵

0x

∴

32x0

∴

y



4x(3



2x)



2



2x(3



2x)



2





2

22



33



当且仅当

2x32x,

即

x





0,



时等号成立。

4



2



e

a

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，

yx(82x)

的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可

利用均值不等式求最大值。

n

d

3

2

A

l

l

t

i

例1. 当时，求

yx(82x)

的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，

此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到

2x(82x)8

为定值，故只

需将

yx(82x)

凑上一个系数即可。

技巧二：凑系数

当且仅当

5



4x



1

，即

x1

时，上式等号成立，故当

x1

时，

y

max

1

。

5



4x

5

11



x,54x0

，



y



4x



2





5



4x



3

231



4

4x



55



4x



1

不是常数，所

4x



5

解题技巧

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

当x＜0时， y＝x＋

x

= －（－ x－

x

）≤－2

技巧三： 分离

x

2



7x



10

(x



1)

的值域。例3. 求

y



x



1

子分开再利用不等式求最值。即化为

y



mg

(

x

)

负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

a

的单调性。

x

例：求函数

y



x



4

2

l

l

t

h

i

n

x

2



5

的值域。

g

s

f

(

x

)

x



i

n

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数

t

h

解：令

x

2

4t(t2)

，则

y



x

2



5

x

2



4



x

2



4



y

t

i

m

5

。

2

e

a

因为

y



t



在区间



1,



单调递增，所以在其子区间



2,



为单调递增函数，故

1

t

n

d

因

t



0,t



1

，但

t



解得

t1

不在区间



2,



，故等号不成立，考虑单调性。

1

t

A

1

t



所以，所求函数的值域为



,





。



5



2



练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

e

i

r

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式

A



B

(

A

0,

B

0)

，g(x)恒正或恒

g(x)

b

e

(t



1)

2



7(t



1

）

+10t

2



5t



44

y



=



t



5

ttt

4

当,即t=时,

y



2t



5



9

（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

t

1



t



(t



2)

t

x

2



4

1

i

n

g

a

r

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离

求最值。

e

g

当,即时,

y



2

（

x



1)



4



5



9

（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

x



1

o

o

d

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，

再将其分离。

1

1

x

2



3x



1

y



2sinx



,x



(0,



)

y



2x



,x



3

y



,(x



0)

（1） （2） (3)

sinx

x



3

x

3

2

2．已知

0x1

，求函数

yx(1x)

的最大值.；3．

0x

，求函数

yx(23x)

的

最大值.

条件求最值

1.若实数满足

ab2

，则

3

a

3

b

的最小值是 .

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且

3

a

3

b

定值，因此考虑利用均值定

最小值是6．

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

19



错解：

x0,y0

，且

1



9



1

，



x



y













x



y





2

2：已知

x0,y0

，且



1

，求

xy

的最小值。

9

2xy



12

xy

1

x

9

y

g

s

技巧六：整体代换

i

n

t

h

11

变式：若

log

4

xlog

4

y2

，求



的最小值.并求x,y的值

xy

e

i

r

b

e

当

3

a

3

b

时等号成立，由

ab2

及

3

a

3

b

得

ab1

即当

ab1

时，

3

a

3

b

的

i

n

g

解：

3

a

和3

b

都是正数，

3

a

3

b

≥

23

a

3

b

23

ab

6

a

r

故



xy



min

12

理求最小值，

xy

。

错因：解法中两次连用均值不等式，在

xy2xy

等号成立条件是

xy

，在

等号成立条件是



即

y9x

,取等号的条件的不一致，产生错误。因

1

x

9

y

199



2

xyxy

此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且



xy



e

g

o

o

d

f

o

r

s

是检验转换是否有误的一种方法。

19



正解：



x



0,y



0,

1



9



1

，



x



y





x



y













xy



xy



y9x



10



6



10



16

xy

xy

(2)已知

a,b,x,yR



且

a



b

x

技巧七

y 2

已知x，y为正实数，且x

2

＋

2

＝1，求x

1

＋

y 2

的最大值.

a 2

＋

b 2

2

。

＝

2

x·同时还应化简

1

＋

y 2

中y

2

前面的系数为

2

， x

1

＋

y 2

＝x

下面将x，

x·≤＝

分别看成两个因式：

3

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

1

技巧八：

＝

4

即x

1

＋

y 2

＝

2

·x

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

ab

的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为

二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形

式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径

进行。

一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；

3

≤

4

2

1

y

1

，求

xy

的最小值



变式： （1）若

x,yR

且

2xy1

，求

1



1

的最小值

。

当且仅当



y

x

19

9x

时，上式等号成立，又



1

，可得

x4,y12

时，



xy



min

16

xy

y

30

－

2b

法一：a＝

b

＋

1

，

由a＞0得，0＜b＜15

30

－

2b

ab＝

b

＋

1

·b＝

－

2 b 2

＋

30b

b

＋

1

－

2t 2

＋

34t

－

31

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

1

t

1616

＝－2（t＋

t

）＋34∵t＋

t

≥2

∴

ab

≤3

2

，ab≤18，∴y≥

18

点评：①本题考查不等式

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝

3x

＋

2y

的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，

2

≤

单

换为含

ab

的不等式，进而解得

ab

的范围.

ab与ab

之间的关系，由此想到不等式

a



b

ab

（a,bR



）

，这样将已知条件转

2

②如何由已知不等式

aba2b30

出发求得

ab

的范围，关键是寻找到

（a,bR



）

a



b

ab（a,bR



）

的应用、不等式的解法及运算能力；

2

∴ ab≤18 ∴ y≥

18

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2

2 ab

　∴ 30－ab≥2

2 ab

令u＝

ab

　则u

2

＋2

2

u－30≤0， －5

2

≤u≤3

2

1

a

＋

ba 2

＋

b 2

2

，本题很简

3x

＋

2y

≤

2

＝

23x

＋

2y

＝2

5

式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W

2

＝3x＋2y＋2

3x

·

2y

＝10＋2

3x

·

2y

≤10＋(

3x

)

2

·(

2y

)

2

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数

＝8

＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W≤

20

＝2

5

变式: 求函数

y

15

2x152x(x)

的最大值。

22

解析：注意到

2x1

与

52x

的和为定值。

y

2

(2x152x)

2

42(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要

注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知

a,b,c

为两两不相等的实数，求证：

a

2

b

2

c

2

abbcca

e

i

r

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

b

e

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个

“2”连乘，又

1



1



1



a



b



c



2

aaa

解：



a、b、c

R



，

abc1

。



1



1



1



a



b



c



2bc

。同理

1



1



2ac

，

aaaa

l

l

t

i

s

bc

a

i

n

，可由此变形入手。

t

h



例6：已知a、b、c

R



，且

abc1

。求证：





1



1



1





8



a



b



c



1

i

n

g

1

a

r

1

b

e

g

当且仅当

2x1

=

52x

，即

x

时取等号。 故

y

max

22

。

3

2

应用三：均值不等式与恒成立问题

1



1



1



1



2bc2ac2ab

abc

。当且仅当时取等号。



1



1



1



AA



8



3

abc



a



b



c



12ab

。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得



1



cc

例：已知

x0,y0

且



1

，求使不等式

xym

恒成立的实数

m

的取值范围。

1

x

9

y

解：令

xyk,x0,y0,

1

，



1

x

9

y

x



y9x



9y10y9x



1.



1

kxkykkxky

o

o

b

又

y0

，所以

0y22

d



1



103



2



。

k16

，

m



,16



kk

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例：若

a



b



1,P



lga



lgb,Q



(lga



lgb),R



lg(

1a



b

)

，则

P,Q,R

的大小关系是

.

2

分析：∵

ab1

∴

lga0,lgb0

Q

1

2

（

lgalgb)lgalgbp

R



lg(

a



b1

2

)lgab

2

lg

abQ

2

R>Q>P。

∴