2023年12月19日发(作者：双颖馨)
2018-2019 学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团七年级（上）
期末数学试卷
一、选择题（每小题
3 分，共 36 分）
1．（ 3 分）质检员抽查 4 袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克
数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的产品是（）
A ．﹣ 3
B ．﹣ 1
C． 2
D．2．（ 3 分）下列各式中，正确的是（
）
2 2 2
A ．x y﹣ 2x y＝﹣ x y
B． 2a+3b＝ 5ab
3 2 5
C． 7ab﹣ 3ab＝ 4
D． a +a ＝ a
3．（ 3 分）如图直线
l1∥ l2，则∠ α的大小是（
）
A ．120°
B ．130°
C． 140°
D．
4．（ 3 分）下列各题正确的是（
）
A ．由 7x＝ 4x﹣ 3 移项得 7x﹣ 4x＝3
B ．由
＝1+
去分母得
2（2x﹣ 1）＝ 1+3（ x﹣ 3）
C．由 2（ 2x﹣1）﹣ 3（x﹣ 3）＝ 1 去括号得
4x﹣ 2﹣ 3x﹣ 9＝ 1
D ．由 2（ x+1）＝ x+7 去括号、移项、合并同类项得
x＝ 5
5．（ 3 分）下列结论中正确的是（
）
A ．单项式
的系数是
，次数是
4
B ．单项式 m 的次数是 l ，没有系数
C．多项式是二次三项式
D ．在
， 2x+y，
，
，
， 0 中整式有 4 个
6．（ 3 分）将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体为（
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°
） 4
150
A ．
B ．
C．
A+B 一定是（
D．
） 7．（ 3 分）若 A 为五次多项式， B 为四次多项式，则
A ．次数不高于九次多项式
B．四次多项式
D．次数不定
O 处，转动三
C．五次多项式
8．（ 3 分）如图， OB 是∠ AOC 内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点
角尺，当三角尺的边
OD 平分∠ AOB 时，三角尺的另一边
）
OE 也正好平分∠ BOC，则∠
AOC 的度数为（
A ．100°
B ．110°
C． 120°
D． 130°
9．（ 3 分）猪是中国十二生肖排行第十二的动物，
a 亥 b＝ ab﹣ b，则满足等式
A ．
B ．
对应地支为 “亥”．现规定一种新的运算，
的 x 的值为（
C．
）
D．
）
10．（ 3 分）如图， DH ∥ EG∥ BC， DC∥ EF ，那么与∠ DCB 相等的角的个数为（
A ．3 个
B ．4 个
C． 5 个
D． 6 个
11．（3 分）有 m 辆客车及 n 个人，若每辆客车乘 40 人，则还有 10 人不能上车，若每辆客
； 车乘 43 人，则只有 1 人不能上车，有下列四个等式： ① 40m+10 ＝ 43m﹣ 1；②
③
； ④ 40m+10 ＝ 43m+1，其中正确的是（
B ．②④
C． ②③
）
D． ③④
A ．①②
12．（ 3 分）如图，点
A 在数轴上表示的数是﹣ 8，点 B 在数轴上表示的数是
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16．若点 A 以
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6 个单位长度 /秒的速度向右匀速运动，同时点
B 以 2 个单位长度 /秒的速度向左匀速运
） 动．问：当 AB＝ 8 时，运动时间为多少秒？（
A ．2 秒
B ．13.4 秒
C． 2 秒或 4 秒
D． 2 秒或 6 秒
二、填空题（共
6 小题， 18 分）
13．（ 3 分）若∠ α＝ 31° 42′，则∠ α的补角的度数为
m+2 3
3
．
14．（ 3 分）已知 5x y 与 是同类项，则（﹣ m） +n 等于
．
215．（ 3 分）当 x＝ l 时，代数式 ax
﹣ 3bx+4 的值是
7，则当 x＝﹣ 1 时，这个代数式的值等
于 ．
16．（ 3
分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑
就会迟到 5 分钟，则他家距离学校 km．
15km，可早到 10 分钟，每小时骑 12km
17．（ 3 分）如图，在平行线 a，b 之间放置一个直角三角形，三角形的顶点
线 a，b 上，∠ ACB＝ 90°，∠ BAC＝ 20°，则∠ 1+∠ 2＝
A， C 分别在直
．
18．（ 3 分）已知∠ AOB＝ 60°，其角平分线为
OM ，∠ BOC＝ 20°，其角平分线为
ON，则
∠ MON ＝
．
三、解答题（共
10 题， 66 分）
19．（ 8 分）解方程
（ 1） 7y﹣ 3（ 3y+2）＝ 6
（ 2）
+1＝ x﹣
2
2
2
2
20．（ 6 分）先化简，再求值：
5﹣ 2（ a b﹣ ab +2） +（ 3ab +a b﹣ 1），其中 a＝ 2， b＝﹣ 1．
21．（ 6 分）一元一次方程解答题：已知关于
为倒数，求
m 的值．
x 的方程
与 x﹣ 1＝ 2（ 2x﹣ l）的解互
22．（ 6 分）立体几何的三视图：若干个棱长为
2cm 的正方体摆放成如图所示的形状，回答
下列问题：
（ 1）画出该图形的三视图；
（ 2）它的表面积是多少？
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23．（ 6 分）角度计算题：如图，已知
O 为 AD 上一点，∠ AOB 与∠ AOC 互补， ON 平分∠
AOB，OM 平分∠ AOC，若是∠ MON ＝ 42°，求∠ AOB 与∠ AOC 的度数．
24．（ 6 分）线段计算题：已知线段
AB＝ 6，在直线 AB 上取一点 C，恰好使 AC＝ 2BC，点 D
为 CB 的中点，求线段 AD 的长．
25．（ 6 分）如图， AC，BD 相交于点
O， AC 平分∠ DCB ，CD ⊥ AD，∠ ACD＝ 45°，∠ BAC
＝ 60°．
（ 1）证明： AD ∥ BC；
（ 2）求∠ EAD 的度数；
（ 3）求证：∠ AOB＝∠ DAC+∠ CBD．
26．（ 6 分）某水果经销商到水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果的某种品质一样的苹果，零售价都为 8 元 /千克，批发价各不相同．
甲家规定：批发数量不超过 100 千克，全部按零售价的九折优惠；批发数量超过 100 千克全部按零售价的八五折优惠．
乙家的规定如下表：
数量范围（千
不超过 50 的部
分
零售价的
95%
50 以上但不超
过 150 的部分
150 以上的部分
克）
价格（元）
零售价的 85%
零售价的
75%
表格说明：批发价分段计算：如：某人批发
200 千克的苹果；
则总费用＝ 50×8× 95%+100× 8× 85%+50 × 8× 75%．
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（ 1）如果他批发 240 千克苹果选择哪家批发更优惠；
（ 2）设他批发 x 千克苹果（ x＞ 100），当 x 取何值时选择两家批发所花费用一样多．
27．（ 8 分）如图 AB∥ CD ．∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，试说明
AD ∥ BE．
解：∵ AB ∥CD（已知）
∴∠ 4＝∠
（
）
∵∠ 3＝∠ 4（已知）
∴∠ 3＝∠
（
）
∵∠ 1＝∠ 2（已知）
∴∠ 1+∠ CAF ＝∠ 2+∠ CAF （
）
） 即∠
＝∠
（
∴∠ 3＝∠
∴ AD∥ BE（）
28．（ 8 分）综合应用题： 如图，有一副直角三角板如图
① 放置（其中∠ D ＝ 45°，∠ C＝ 30°），
PA、 PB 与直线 MN 重合，且三角板 PAC，三角板 PBD 均可以绕点 P 逆时针旋转．
（ l）∠ DPC＝
；
10°
PC
（ 2）如图 ② ，若三角板 PBD 保持不动，三角板∠ PAC 绕点 P 逆时针旋转，转速为
/秒，转动一周三角板
PAC 就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有
∥ DB 成立；
（ 3）如图 ③ ，在图 ① 基础上， 若三角板 PAC 的边 PA 从 PN．处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为 3° /秒，同时三角板 PBD 的边 PB 从 PM 处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为 2°/ 秒，（当
PC 转到与 PM 重合时，两三角板都停止转动） ，在旋转过程中，当∠ CPD＝∠
BPM，求旋转的时间是多少？
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2018-2019 学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团七年
级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题
3 分，共 36 分）
1．（ 3 分）质检员抽查 4 袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克
数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的产品是（
）
D． 4
A ．﹣ 3
B ．﹣ 1
C． 2
【分析】 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【解答】 解：∵ |﹣ 1|＜ |2|＜ |﹣ 3|＜ |4|，
∴﹣ 1 最接近标准，
故选： B．
【点评】 本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的
性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．
2．（ 3 分）下列各式中，正确的是（
2 2 2
）
A ．x y﹣ 2x y＝﹣ x y
C． 7ab﹣ 3ab＝ 4
B． 2a+3b＝ 5ab
3 2 5
D． a +a ＝ a
【分析】 根据同类项的定义，合并同类项的法则．
2 2 2
【解答】 解： A、 x y﹣ 2x y＝﹣ x y，故 A 正确；
B、不是同类项，不能进一步计算，故
C、 7ab﹣ 3ab＝ 4ab，故 C 错误；
3
B 错误；
2 5
D 、a +a ＝ a ，不是同类项，故
D
错误．
故选： A．
【点评】 同类项定义中的两个“相同”
：（ 1）所含字母相同； （ 2）相同字母的指数相同，
是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关．
合并同类项的法则：系数相加减，字母与字母的指数不变．
3．（ 3 分）如图直线 l1∥ l2，则∠ α的大小是（
）
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A ．120°
B ．130°
C． 140°
D． 150°
【分析】 先根据平行线的性质求出∠
【解答】 解：∵直线
ll
1∥l
2，
∴∠ BCD＝ 180°﹣ 130°＝ 50°，
∴∠ α与∠ ACD 是对顶角，
BCD 的度数，再由对顶角的性质即可得出结论．
∴∠ α＝ 70° +50 °＝ 120°．
故选： A．
【点评】 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
4．（ 3 分）下列各题正确的是（
）
A ．由 7x＝ 4x﹣ 3 移项得 7x﹣ 4x＝3
B ．由
＝1+
去分母得
2（2x﹣ 1）＝ 1+3（ x﹣ 3）
C．由 2（ 2x﹣1）﹣ 3（x﹣ 3）＝ 1 去括号得
4x﹣ 2﹣ 3x﹣ 9＝ 1
D ．由 2（ x+1）＝ x+7 去括号、移项、合并同类项得
x＝ 5
【分析】 根据解一元一次方程的步骤计算，并判断．
【解答】 解： A、由 7x＝4x﹣ 3 移项得 7x﹣ 4x＝﹣ 3，故错误；
B、由
＝ 1+
去分母得 2（ 2x﹣ 1）＝ 6+3（ x﹣ 3），故错误；
C、由 2（ 2x﹣1）﹣ 3（x﹣ 3）＝ 1 去括号得
4x﹣ 2﹣ 3x+9＝ 1，故错误；
D 、正确．故选：
D ．
【点评】 此题主要考查一元一次方程的解法，注意移项要变号，但没移的不变；去分母时，常数项也要乘以分母的最小公倍数；去括号时，括号前是“﹣”号的，括号里各项
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都要变号．
5．（ 3 分）下列结论中正确的是（
A ．单项式
的系数是
）
，次数是
4
B ．单项式 m 的次数是 l ，没有系数
C．多项式是二次三项式
D ．在
， 2x+y，
，
，
， 0 中整式有 4 个
【分析】 根据单项式的系数、次数和多项式的定义以及整式的概念判断即可．
【解答】 解： A、单项式
的系数是的系数是
π，次数是
3，不符合题意；
B、单项式 m 的次数是 1，系数是
1，不符合题意；
2
2
C、多项式 2x +xy +3 是三次三项式，不符合题意；
D 、在
， 2x+y，
，
，
， 0 中整式有 2x+y，
，
， 0，一共 4 个，符
合题意．
故选： D ．
【点评】 此题考查多项式与单项式，关键是根据单项式的系数、次数和多项式的定义以
及整式的概念解答．
6．（ 3 分）将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体为（
）
A ．
B ．
C．
D．
【分析】 根据面动成体的原理：一个直角三角形绕它的最长边旋转一周，得到的是两个
同底且相连的圆锥．
【解答】 解： A、圆柱是由一长方形绕其一边长旋转而成的；
B、圆锥是由一直角三角形绕其直角边旋转而成的；
C、该几何体是由直角梯形绕其下底旋转而成的；
D 、该几何体是由直角三角形绕其斜边旋转而成的．故选： D ．
【点评】 解决本题的关键是掌握各种面动成体的体的特征．
7．（ 3 分）若 A 为五次多项式， B 为四次多项式，则
A+B 一定是（
）
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A ．次数不高于九次多项式
B．四次多项式
D．次数不定
A+B 的次数即可．
C．五次多项式
【分析】 根据 A 与 B 的次数，确定出
【解答】 解：∵ A 是五次多项式， B 是四次多项式，
∴ A+B 的次数是 5．
∴ A+B 一定是五次多项式，故选： C．
【点评】 此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（ 3 分）如图， OB 是∠ AOC 内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点
O 处，转动三
角尺，当三角尺的边
OD 平分∠ AOB 时，三角尺的另一边
）
OE 也正好平分∠ BOC，则∠
AOC 的度数为（
A ．100°
B ．110°
C． 120°
D． 130°
【分析】 根据角平分线的定义得到∠
BOD ＝
∠ AOB，∠ BOE＝
∠ BOC，则∠ EOD＝
∠ AOB+
∠ BOC＝
∠AOC，然后把∠ EOD＝ 60°代入计算即可．
【解答】 解：∵ OD 边平分∠ AOB ，OE 平分∠ BOC，
∴∠ BOD＝
∠ AOB，∠ BOE ＝
∠ BOC，
∠ AOB+ ∠ BOC＝
∠AOC ，
∴∠ EOD＝
∵∠ EOD＝ 60°，
∴∠ AOC＝ 2× 60°＝ 120°．
故选： C．
【点评】 本题考查了角的计算：
1°＝ 60′， 1′＝ 60″．关键是根据角平分线的定义解
答．
9．（ 3 分）猪是中国十二生肖排行第十二的动物，
对应地支为 “亥”．现规定一种新的运算，
a 亥 b＝ ab﹣ b，则满足等式
的 x 的值为（
）
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A ．
B ．
C．
D．
【分析】 原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】 解：根据题中的新定义得：
× 6﹣ 6＝﹣ 1，
整理得： 2（ 1﹣2x）﹣ 6＝﹣ 1，
去括号得： 2﹣ 4x﹣ 6＝﹣ 1，
移项合并得：﹣
4x＝ 3，
解得： x＝﹣
，
故选： B．
【点评】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（ 3 分）如图， DH ∥ EG∥ BC， DC∥ EF ，那么与∠ DCB 相等的角的个数为（
）
A ．3 个
B ．4 个
C． 5 个
D． 6 个
【分析】 由 DC∥ EF 可以得到∠ DCB ＝∠ EFB ，再根据
DH ∥ EG∥ BC，可以推出∠ GEF
＝∠ EFB ，∠ DCB ＝∠ HDC ，∠ DCB＝∠ CMG ＝∠ DME ，故与∠ DCB 相等的角共有 5 个．
【解答】 解：如图，∵
DC ∥EF ，
∴∠ BCD＝∠ BFE ，
∵ EG∥ BC，
∴∠ EFB ＝∠ GEF ，
∵ DC ∥ EF，
∴∠ EMD ＝∠ GEF ＝∠ GMC ，
∵ DH ∥EG，
∴∠ EMD ＝∠ CDH ，
∵ DH ∥EG∥ BC，
∴∠ CDH ＝∠ DCB ．
∴与∠ DCB 相等的角的个数为 5．
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故选： C．
【点评】 本题主要考查了平行线的性质，充分运用平行线的性质以及角的等量代换就可以解决问题．
11．（3 分）有 m 辆客车及 n 个人，若每辆客车乘 40 人，则还有 10 人不能上车，若每辆客
； 车乘 43 人，则只有 1 人不能上车，有下列四个等式： ① 40m+10 ＝ 43m﹣ 1；②
③
； ④ 40m+10 ＝ 43m+1，其中正确的是（
B ．②④
C． ②③
）
D． ③④
A ．①②
【分析】 首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进
行分析从而得到正确答案．
【解答】 解：根据总人数列方程，应是
40m+10＝ 43m+1， ① 错误， ④ 正确；
，② 错误， ③ 正确； 根据客车数列方程，应该为
所以正确的是
③④ ．
故选： D ．
【点评】 此题的关键是能够根据不同的等量关系列方程．
12．（ 3 分）如图，点
A 在数轴上表示的数是﹣ 8，点 B 在数轴上表示的数是 16．若点 A 以
6 个单位长度 /秒的速度向右匀速运动，同时点
B 以 2 个单位长度 /秒的速度向左匀速运
） 动．问：当 AB＝ 8 时，运动时间为多少秒？（
A ．2 秒
B ．13.4 秒
C． 2 秒或 4 秒
D． 2 秒或 6 秒
【分析】 设当 AB＝ 8 时，运动时间为
t 秒，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】 解：设当 AB＝ 8 时，运动时间为 t 秒，
由题意得， 6t+2 t+8＝ 16﹣（﹣ 8）或 6t+2t ＝16﹣（﹣ 8） +8，
解得： t＝ 2 或 t＝ 4，
故选： C．
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【点评】 本题考查了数轴，两点间的距离，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题（共
6 小题， 18 分）
13．（ 3 分）若∠ α＝ 31° 42′，则∠ α的补角的度数为 148°18′
．
【分析】 相加等于
180°的两角称作互为补角， 也称作两角互补， 即一个角是另一个角的
补角．因而求这个角的补角，就可以用
【解答】 解：∵∠ α＝ 31°42′，
180°减去这个角的度数．
∴∠ α的补角的度数＝ 180°﹣ 31° 42′＝ 148° 18′．
故答案为： 148° 18′．
【点评】 本题考查了补角的定义，互补是反映了两个角之间的关系即和是
m+2 3
3
180°．
﹣3 ．
14．（ 3 分）已知 5x
y 与
【分析】 直接利用同类项的定义得出
m+2 3
是同类项，则（﹣
m） +n 等于
m，n 的值进而得出答案．
【解答】 解：∵ 5x
y
与
是同类项，
∴ m+2＝ 3，3＝﹣ n+1 ，
解得： m＝ 1， n＝﹣ 2，
∴（﹣ m）
+n＝﹣ 1﹣ 2＝﹣ 3．
3
故答案为：﹣
3．
【点评】 此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．
2
15．（ 3 分）当 x＝ l 时，代数式 ax ﹣ 3bx+4 的值是 7，则当 x＝﹣ 1 时，这个代数式的值等于
1 ．
【分析】 把 x＝ 1 代入代数式求出 a﹣ 3b 的值，将
x＝﹣ 1 代入计算即可得到结果．
【解答】 解：把 x＝ 1 代入得： a﹣ 3b+4＝ 7，即 a﹣ 3b＝ 3，
则当 x＝﹣ 1 时，原式＝﹣ a+3 b+4 ＝﹣ 3+4 ＝ 1．
故答案为： 1．
【点评】 此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（ 3 分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑
15km，可早到 10 分钟，每小时骑
12km
就会迟到 5 分钟，则他家距离学校
15 km．
小时，设他家距离学校
xkm，根据“每小时骑 15km， 【分析】10 分钟＝
小时，5 分钟＝
可早到 10 分钟，每小时骑
12km 就会迟到 5 分钟”，得到关于 x 的一元一次方程，
解之即
可．
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【解答】 解： 10 分钟＝
小时， 5 分钟＝
小时，
设他家距离学校
xkm，
根据题意得：
+
＝
﹣
，
解得：
x＝ 15，
即他家距离学校
15km，
故答案为： 15．
【点评】 本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
17．（ 3 分）如图，在平行线 a，b 之间放置一个直角三角形，三角形的顶点
A， C 分别在直
线 a，b 上，∠ ACB＝ 90°，∠ BAC＝ 20°，则∠ 1+∠ 2＝ 70° ．
【分析】 根据平行线的性质，
得到∠ DAC +∠ECA＝ 180°，再根据∠ BAC＝ 30°，∠ ACB
＝ 90°，即可得出∠ 1+∠ 2＝ 180°﹣ 20°﹣ 90°＝
70°．【解答】 解：∵ a∥ b，
∴∠ DAC+∠ ECA＝180°，
又∵∠ BAC＝ 30°，∠ ACB＝ 90°，
∴∠ 1+∠ 2＝ 180°﹣ 30°﹣ 90°＝ 60°，
故答案为： 70°
【点评】 本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
18．（ 3 分）已知∠ AOB＝ 60°，其角平分线为
OM ，∠ BOC＝ 20°，其角平分线为
ON，则
∠ MON ＝ 40°或 20° ．
【分析】 分 OC 在∠ AOB 外部和内部两种情况，由
OM 、 ON 分别平分∠ AOB、∠ BOC
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可得∠ BOM 、∠ BON 度数，在根据两种位置分别求之．
【解答】 解： ① 如图，当 OC 在∠ AOB 外部时，
∵∠ AOB＝ 60°， OM 平分∠ AOB ，
∴∠ BOM ＝
∠ AOB＝ 30°，
又∵∠ BOC ＝ 20°， ON 平分∠ BOC ，
∴∠ BON＝
∠ BOC＝ 10°，
∴∠ MON ＝∠ BOM+∠ BON ＝40°；
② 如图，当 OC 在∠ AOB 内部时，
∵∠ AOB＝ 60°， OM 平分∠ AOB ，
∴∠ BOM ＝
∠ AOB＝ 30°，
又∵∠ BOC ＝ 20°， ON 平分∠ BOC ，
∴∠ BON＝
∠ BOC＝ 10°，
∴∠ MON ＝∠ BOM ﹣∠ BON＝
20°，故答案为： 40°或 20°．
【点评】 本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到种情况是关键．
三、解答题（共
10 题， 66 分）
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Earlybird
OC 在∠ AOB 外部和内部两
19．（ 8 分）解方程
（ 1） 7y﹣ 3（ 3y+2）＝ 6
（ 2） +1＝ x﹣
【分析】（ 1）去括号、移项、合并同类项、系数化为
（ 2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
【解答】 解：（ 1）去括号，得 7y﹣ 9y﹣ 6＝ 6
移项，得
7y﹣ 9y＝6﹣ 6
1，
1，
合并同类项，得﹣
2y＝ 12
系数化 1，得 y＝﹣ 6
（ 2）去分母，得 2（ x+1） +6＝ 6x﹣3（ x﹣ 1）
去括号，得 2x+2+6＝ 6x﹣ 3x+3
移项，得
2x﹣ 6x+3x＝ 3﹣ 2﹣6
合并同
类项，得﹣ x＝﹣ 5
系数化 1，得 x＝5
【点评】 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为 1，求出解．
2
2
2
2
20．（ 6 分）先化简，再求值：
5﹣ 2（ a b﹣ ab +2） +（ 3ab +a b﹣ 1），其中 a＝ 2， b＝﹣ 1．
【分析】 根据整式的运算法则即可求出答案．
2 2 2 2
【解答】 解：原式＝ 5﹣ 2a
b+2ab
﹣4+3ab +a b﹣ 1
2
＝﹣ ab+5ab
2
将 a＝2， b＝﹣ 1 代入上式，原式＝ 4+10
＝ 14；
【点评】 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础
题型．
21．（ 6 分）一元一次方程解答题：已知关于
x 的方程
与 x﹣ 1＝ 2（ 2x﹣ l）的解互
为倒数，求
m 的值．
【分析】 求出第二个方程的解，确定出第一个方程的解，代入计算即可求出
m 的值．
【解答】 解：方程
x﹣ 1＝2（ 2x﹣ 1），
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Earlybird
去括号得： x﹣ 1＝ 4x﹣ 2，
解得： x＝
，
得，
＝ 3﹣ ， 将 x＝ 3 代入方程
去分母得： 9﹣ 3m＝ 18﹣ 2m，
解得： m＝﹣ 9．
【点评】 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
22．（ 6 分）立体几何的三视图：若干个棱长为
2cm 的正方体摆放成如图所示的形状，回答下列问题：
（ 1）画出该图形的三视图；
（ 2）它的表面积是多少？
【分析】（ 1）根据三视图的画法，分别画出主视图、左视图、俯视图，
（ 2）求出一个小正方形的面积为 4 平方厘米，再计算出表面积有几个小正方形，从而计算出表面积．
【解答】 解：（ 1）三视图如图所示：
2
（ 2）它的表面积为： （ 7+5+2+1 ）× 2×（ 2×2）＝ 120
cm
【点评】 考查三视图的画法，几何体表面积的计算方法，理解表面积的意义是正确解答的关键．
23．（ 6 分）角度计算题：如图，已知
O 为 AD 上一点，∠ AOB 与∠ AOC 互补， ON 平分∠
Earlybird
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Earlybird
AOB，OM 平分∠ AOC，若是∠ MON ＝ 42°，求∠ AOB 与∠ AOC 的度数．
【分析】 根据补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．
【解答】 解：设∠ AOB＝ x°，因为∠ AOC 与∠ AOB 互补，则∠ AOC＝ 180°﹣ x°．
由题意，得
﹣ ＝ 42．
∴ 180﹣ x﹣ x＝ 84，
∴﹣ 2x＝﹣ 96，解得 x＝48，
故∠ AOB＝ 48°，∠ AOC＝132°．
【点评】 本题考查补角的定义，角平分线的定义，及角的运算．在图形中，找补角关系时，除了借助图形外，还需考虑等量关系即有没有相等的角．
24．（ 6 分）线段计算题：已知线段
AB＝ 6，在直线 AB 上取一点 C，恰好使 AC＝ 2BC，点 D 为
CB 的中点，求线段 AD 的长．
【分析】① 当点 C 在线段 AB 上时，如图 1，② 当点 C 在线段 AB 的延长线上时， 如图 2，
③ 当点 C 在 BA 的延长线上时，明显，次情况不存在；列方程即可得到结论；
【解答】 解： ① 当点 C 在线段 AB 上时，如图
1，
∵ AC＝ 2BC，
设 BC＝ x，则 AC＝ 2x，
∵ AB＝ AC+BC，
∴ 6＝ 2x+x，
∴ x＝ 2，
∴ BC＝ 2，AC＝ 4，
∵点 D 是 CB 的中点，
∴ CD ＝ BD＝ BC＝ 1，
∴ AD＝ AC+CD＝4+1 ＝ 5；
② 当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图 2，
Earlybird
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Earlybird
设 BC＝ x， AC＝2BC＝ 2x，
∵ AB＝ AC﹣ BC＝ x＝ 6，
∴ x＝ 6，
∴ BC＝ 6，AC＝ 12， AB＝ 6，
∵点 D 是 CB 的中点， ∴
BD＝ CD＝ BC＝ 3，
∴ AD＝ AB+BD＝ 6+3＝ 9；
③ 当点 C 在 BA 的延长线上时，明显，此情况不存在；
综上所述， AD 的长为 5 或 9．
【点评】 本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确的作出图形是解题的关键．
25．（ 6 分）如图， AC，BD 相交于点
O， AC 平分∠ DCB ，CD ⊥ AD，∠ ACD＝ 45°，∠ BAC
＝ 60°．
（ 1）证明： AD ∥ BC；
（ 2）求∠ EAD 的度数；
（ 3）求证：∠ AOB＝∠ DAC+∠ CBD．
【分析】（ 1）求出∠ DCB+∠ ADC ＝180°，根据平行线的判定得出即可；
（ 2）根据平行线的性质求出∠ DAC ＝∠ ACB＝45°，即可求出答案；
（ 3）根据平行线的判定得出 OF ∥ BC，根据平行线的性质得出∠ ADB ＝∠ DBC ，∠ AOF
＝∠ DAC，∠ FOB＝∠ CBD，即可求出答案．
【解答】（ 1）证明：∵ AC 平分∠ DCB ，
∴∠ BCD＝ 2∠ACD ＝ 2×45°＝ 90°，
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Earlybird
∵ CD ⊥ AD，
∴∠ ADC＝ 90°，
∴∠ BCD+∠ ADC＝ 90° +90°＝
180°， ∴ AD∥ BC；
（ 2）解：∵ AC 平分∠ DCB ，
∴∠ ACB＝∠ ACD＝ 45°，
∵ AD∥ BC
∴∠ DAC＝∠ ACB＝ 45°，
∠ EAD＝ 180°﹣∠ DAC ﹣∠ BAC
＝ 180°﹣ 45°﹣ 60°
＝ 75°；
（ 3）证明：过点 O 作 OF ∥ AD，
∵ AD∥ BC，
∴∠ ADB＝∠ DBC， OF ∥ BC，
∴∠ AOF＝∠ DAC，∠ FOB＝∠ CBD，
∴∠ AOB＝∠ AOF+∠ FOB ＝∠ DAC +∠CBD ．
【点评】 本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
26．（ 6 分）某水果经销商到水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果的某种品质一样的苹果，零售价都为 8 元 /千克，批发价各不相同．
甲家规定：批发数量不超过
100 千克，全部按零售价的九折优惠；批发数量超过
克全部按零售价的八五折优惠．
乙家的规定如下表：
数量范围（千
不超过 50 的部
50 以上但不超
150 以上的部分
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Earlybird
千100
克）
分
零售价的
95%
过 150 的部分
价格（元）
零售价的 85%
零售价的
75%
表格说明：批发价分段计算：如：某人批发
200 千克的苹果；
则总费用＝ 50×8× 95%+100× 8× 85%+50 × 8× 75%．
（ 1）如果他批发 240 千克苹果选择哪家批发更优惠；
（ 2）设他批发 x 千克苹果（ x＞ 100），当 x 取何值时选择两家批发所花费用一样多．
【分析】（ 1）分别求出在甲、 乙两家批发 200 千克苹果所需费用， 比较后即可得出结论；
（ 2）分 100＜ x≤ 150 及 x＞150，当 100＜ x≤ 150 时，用含 x 的代数式表示出在甲、乙两
家批发 x 千克苹果所需费用，进而得出不存在相等的情况；当
x＞ 150 时，用含 x 的代数
x 值． 式表示出在甲、乙两家批发
x 千克苹果所需费用，令其相等即可求出
【解答】 解：（ 1）在甲家批发所需费用为：
240× 8× 85%＝ 1632 （元），
在乙家批发所需费用为：
50× 8×95%+（ 150﹣ 50）× 8× 85%+（ 240﹣ 150）× 8× 75% ＝
1600（元）．
∵ 1632＞ 1600 ，
在乙家批发更优惠．
（ 2）当 100＜ x≤150 时，
在甲家批发所需费用为： 8× 85%x＝ 6.8x，
在乙家批发所需费用为： 50× 8× 95%+（ x﹣ 50）× 8× 85%＝ 6.8x+40 ．
不可能相等；当
x＞ 150 时，
在甲家批发所需费用为：
8× 85%x＝ 6.8x，
在乙家批发所需费用为：
50× 8× 95%+（150﹣ 50）× 8×85%+（ x﹣ 150）× 8× 75%＝6x+160 ．
∵ 6.8x＝6x+160 ， ∴ x＝
200．
综上所得：当 x＝200 时他选择任何一家批发所花费用一样多．
【点评】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：
（ 1）根据两家的优惠策略分
别求出在甲、乙两家批发
200 千克苹果所需费用； （2）分 100＜x≤ 150 及 x＞ 150 两种情
x 千克苹果所需费用． 况找出在甲、乙两家批发
27．（ 8 分）如图 AB∥ CD ．∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，试说明
AD ∥ BE．
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Earlybird
解：∵ AB ∥CD（已知）
∴∠ 4＝∠ BAF （
∵∠ 3＝∠ 4（已知）
∴∠ 3＝∠ BAF （
∵∠ 1＝∠ 2（已知）
两直线平行，同位角相等
）
等量代换
）
∴∠ 1+∠ CAF ＝∠ 2+∠ CAF （
等式的性质
即∠ BAF ＝∠ CAD （
）
角的和差 ）
∴∠ 3＝∠
CAD
∴ AD∥ BE（
内错角相等，两直线平行 ）
【分析】 由平行可得到∠ 4＝∠ BAF ，可得到∠ 3＝∠ BAF ＝∠ 1+∠ CAF ＝∠ 2+∠CAF ＝∠ CAD ，根据平行线的判定可得到 AD ∥BE，据此填空即可．
【解答】 解：∵ AB∥CD （已知），
∴∠ 4＝∠ BAF （ 两直线平行，同位角相等）
，
∵∠ 3＝∠ 4（已知），
∴∠ 3＝∠ BAF （ 等量代换），
∵∠ 1＝∠ 2（已知），
∴∠ 1+∠ CAF ＝∠ 2+∠ CAF （ 等式的性质），
即∠ BAF ＝∠ CAD （ 角的和差），
∴∠ 3＝∠ CAD，
∴ AD∥ BE（ 内错角相等，两直线平行）
．
故答案为： BAF ；两直线平行，同位角相等；
BAF ；等量代换；等式的性质；角的和差；
CAD ；内错角相等，两直线平行．
【点评】 本题主要考查平行线的性质和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，
即 ① 两直线平行 ? 同位角相等， ② 两直线平行 ? 内错角相等， ③ 两直线平行 ? 同旁内角
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互补， ④ a∥ b， b∥ c? a∥c．
28．（ 8 分）综合应用题： 如图，有一副直角三角板如图
① 放置（其中∠ D ＝ 45°，∠ C＝ 30°），
PA、 PB 与直线 MN 重合，且三角板 PAC，三角板 PBD 均可以绕点 P 逆时针旋转．
（ l）∠ DPC＝ 75°
；
10°
PC
（ 2）如图 ② ，若三角板 PBD 保持不动，三角板∠ PAC 绕点 P 逆时针旋转，转速为
/秒，转动一周三角板
PAC 就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有
∥ DB 成立；
（ 3）如图 ③ ，在图 ① 基础上， 若三角板 PAC 的边 PA 从 PN．处开始绕点
P 逆时针旋转，
转速为 3° /秒，同时三角板
PBD 的边 PB 从 PM 处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为 2°/
秒，（当 PC 转到与 PM 重合时，两三角板都停止转动）
，在旋转过程中，当∠
CPD＝∠
BPM，求旋转的时间是多少？
【分析】（ 1）根据平角的定义即可得到结论；
（ 2）如图 1，根据平行线的性质得到∠ CPN﹣∠ DBP ＝ 90°，求得∠ APN＝ 30°，于是得到结论； 如图 2，根据平行线的性质得到∠ CPB＝∠ DBP ＝ 90°，根据三角形的内角和得到∠ CPA＝ 60°，求得∠ APM ＝ 30°，于是得到结论；
（ 3）设旋转的时间为 t 秒，由题知，∠ APN＝3t°，∠ BPM＝ 2t°，根据周角的定义得到∠
CPD ＝ 360°﹣∠ BPD ﹣∠ BPN ﹣∠ APN﹣∠ APC ＝ 360°﹣ 45°﹣（ 180°﹣ 2t°）﹣（ 3t°）﹣ 60°＝ 75°﹣ t°，列方程即可得到结论．
【解答】 解：（ 1）∵∠ BPD＝∠ D＝ 45°，∠ APC ＝60°， ∴∠ DPC＝ 180°﹣ 45°﹣ 60°＝ 75°，
故答案为： 75°；
（ 2）如图 1，此时， BD ∥ PC 成立，
∵ PC∥ BD，∠ DBP ＝
90°， ∴∠ CPN﹣∠ DBP＝
90°， ∵∠ C＝ 30°，
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∴∠ CPA＝ 60°，
∴∠ APN＝ 30°，
∵转速为
10° /秒，
∴旋转时间为
3 秒；
如图 2， PC∥ BD，
∵ PC∥ BC，∠ PBD ＝
90°， ∴∠ CPB＝∠ DBP ＝90°， ∵∠ C＝ 30°，
∴∠ CPA＝ 60°，
∴∠ APM＝ 30°，
∵三角板 PAC 绕点 P 逆时针旋转 D 的角度为 180°＝ 30°＝ 210°，∵转速为 10° /秒，
∴旋转时间为 21 秒，
综上所诉，当旋转时间为 3 或 21 秒时， PC∥DB 成立；
（ 3）设旋转的时间为 t 秒，由题知，∠ APN＝ 3t°，∠ BPM ＝ 2t°，
∴∠ BPN＝ 180°﹣∠ BPM＝ 180°﹣ 2t°，
∴∠ CPD ＝ 360°﹣∠ BPD ﹣∠ BPN ﹣∠ APN﹣∠ APC ＝ 360°﹣ 45°﹣（2t°）﹣（ 3t°）﹣ 60°＝ 75°﹣ t°，
当∠ CPD＝∠ BPM，即 2t °＝ 75°﹣ t°，解得： t＝ 25，
∴当∠ CPD ＝∠ BPM ，求旋转的时间是 25 秒．
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180°﹣
【点评】 本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，之前的识别图形是
解题的关键．
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2023年12月19日发(作者：双颖馨)
2018-2019 学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团七年级（上）
期末数学试卷
一、选择题（每小题
3 分，共 36 分）
1．（ 3 分）质检员抽查 4 袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克
数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的产品是（）
A ．﹣ 3
B ．﹣ 1
C． 2
D．2．（ 3 分）下列各式中，正确的是（
）
2 2 2
A ．x y﹣ 2x y＝﹣ x y
B． 2a+3b＝ 5ab
3 2 5
C． 7ab﹣ 3ab＝ 4
D． a +a ＝ a
3．（ 3 分）如图直线
l1∥ l2，则∠ α的大小是（
）
A ．120°
B ．130°
C． 140°
D．
4．（ 3 分）下列各题正确的是（
）
A ．由 7x＝ 4x﹣ 3 移项得 7x﹣ 4x＝3
B ．由
＝1+
去分母得
2（2x﹣ 1）＝ 1+3（ x﹣ 3）
C．由 2（ 2x﹣1）﹣ 3（x﹣ 3）＝ 1 去括号得
4x﹣ 2﹣ 3x﹣ 9＝ 1
D ．由 2（ x+1）＝ x+7 去括号、移项、合并同类项得
x＝ 5
5．（ 3 分）下列结论中正确的是（
）
A ．单项式
的系数是
，次数是
4
B ．单项式 m 的次数是 l ，没有系数
C．多项式是二次三项式
D ．在
， 2x+y，
，
，
， 0 中整式有 4 个
6．（ 3 分）将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体为（
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Earlybird
°
） 4
150
A ．
B ．
C．
A+B 一定是（
D．
） 7．（ 3 分）若 A 为五次多项式， B 为四次多项式，则
A ．次数不高于九次多项式
B．四次多项式
D．次数不定
O 处，转动三
C．五次多项式
8．（ 3 分）如图， OB 是∠ AOC 内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点
角尺，当三角尺的边
OD 平分∠ AOB 时，三角尺的另一边
）
OE 也正好平分∠ BOC，则∠
AOC 的度数为（
A ．100°
B ．110°
C． 120°
D． 130°
9．（ 3 分）猪是中国十二生肖排行第十二的动物，
a 亥 b＝ ab﹣ b，则满足等式
A ．
B ．
对应地支为 “亥”．现规定一种新的运算，
的 x 的值为（
C．
）
D．
）
10．（ 3 分）如图， DH ∥ EG∥ BC， DC∥ EF ，那么与∠ DCB 相等的角的个数为（
A ．3 个
B ．4 个
C． 5 个
D． 6 个
11．（3 分）有 m 辆客车及 n 个人，若每辆客车乘 40 人，则还有 10 人不能上车，若每辆客
； 车乘 43 人，则只有 1 人不能上车，有下列四个等式： ① 40m+10 ＝ 43m﹣ 1；②
③
； ④ 40m+10 ＝ 43m+1，其中正确的是（
B ．②④
C． ②③
）
D． ③④
A ．①②
12．（ 3 分）如图，点
A 在数轴上表示的数是﹣ 8，点 B 在数轴上表示的数是
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16．若点 A 以
Earlybird
6 个单位长度 /秒的速度向右匀速运动，同时点
B 以 2 个单位长度 /秒的速度向左匀速运
） 动．问：当 AB＝ 8 时，运动时间为多少秒？（
A ．2 秒
B ．13.4 秒
C． 2 秒或 4 秒
D． 2 秒或 6 秒
二、填空题（共
6 小题， 18 分）
13．（ 3 分）若∠ α＝ 31° 42′，则∠ α的补角的度数为
m+2 3
3
．
14．（ 3 分）已知 5x y 与 是同类项，则（﹣ m） +n 等于
．
215．（ 3 分）当 x＝ l 时，代数式 ax
﹣ 3bx+4 的值是
7，则当 x＝﹣ 1 时，这个代数式的值等
于 ．
16．（ 3
分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑
就会迟到 5 分钟，则他家距离学校 km．
15km，可早到 10 分钟，每小时骑 12km
17．（ 3 分）如图，在平行线 a，b 之间放置一个直角三角形，三角形的顶点
线 a，b 上，∠ ACB＝ 90°，∠ BAC＝ 20°，则∠ 1+∠ 2＝
A， C 分别在直
．
18．（ 3 分）已知∠ AOB＝ 60°，其角平分线为
OM ，∠ BOC＝ 20°，其角平分线为
ON，则
∠ MON ＝
．
三、解答题（共
10 题， 66 分）
19．（ 8 分）解方程
（ 1） 7y﹣ 3（ 3y+2）＝ 6
（ 2）
+1＝ x﹣
2
2
2
2
20．（ 6 分）先化简，再求值：
5﹣ 2（ a b﹣ ab +2） +（ 3ab +a b﹣ 1），其中 a＝ 2， b＝﹣ 1．
21．（ 6 分）一元一次方程解答题：已知关于
为倒数，求
m 的值．
x 的方程
与 x﹣ 1＝ 2（ 2x﹣ l）的解互
22．（ 6 分）立体几何的三视图：若干个棱长为
2cm 的正方体摆放成如图所示的形状，回答
下列问题：
（ 1）画出该图形的三视图；
（ 2）它的表面积是多少？
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23．（ 6 分）角度计算题：如图，已知
O 为 AD 上一点，∠ AOB 与∠ AOC 互补， ON 平分∠
AOB，OM 平分∠ AOC，若是∠ MON ＝ 42°，求∠ AOB 与∠ AOC 的度数．
24．（ 6 分）线段计算题：已知线段
AB＝ 6，在直线 AB 上取一点 C，恰好使 AC＝ 2BC，点 D
为 CB 的中点，求线段 AD 的长．
25．（ 6 分）如图， AC，BD 相交于点
O， AC 平分∠ DCB ，CD ⊥ AD，∠ ACD＝ 45°，∠ BAC
＝ 60°．
（ 1）证明： AD ∥ BC；
（ 2）求∠ EAD 的度数；
（ 3）求证：∠ AOB＝∠ DAC+∠ CBD．
26．（ 6 分）某水果经销商到水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果的某种品质一样的苹果，零售价都为 8 元 /千克，批发价各不相同．
甲家规定：批发数量不超过 100 千克，全部按零售价的九折优惠；批发数量超过 100 千克全部按零售价的八五折优惠．
乙家的规定如下表：
数量范围（千
不超过 50 的部
分
零售价的
95%
50 以上但不超
过 150 的部分
150 以上的部分
克）
价格（元）
零售价的 85%
零售价的
75%
表格说明：批发价分段计算：如：某人批发
200 千克的苹果；
则总费用＝ 50×8× 95%+100× 8× 85%+50 × 8× 75%．
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（ 1）如果他批发 240 千克苹果选择哪家批发更优惠；
（ 2）设他批发 x 千克苹果（ x＞ 100），当 x 取何值时选择两家批发所花费用一样多．
27．（ 8 分）如图 AB∥ CD ．∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，试说明
AD ∥ BE．
解：∵ AB ∥CD（已知）
∴∠ 4＝∠
（
）
∵∠ 3＝∠ 4（已知）
∴∠ 3＝∠
（
）
∵∠ 1＝∠ 2（已知）
∴∠ 1+∠ CAF ＝∠ 2+∠ CAF （
）
） 即∠
＝∠
（
∴∠ 3＝∠
∴ AD∥ BE（）
28．（ 8 分）综合应用题： 如图，有一副直角三角板如图
① 放置（其中∠ D ＝ 45°，∠ C＝ 30°），
PA、 PB 与直线 MN 重合，且三角板 PAC，三角板 PBD 均可以绕点 P 逆时针旋转．
（ l）∠ DPC＝
；
10°
PC
（ 2）如图 ② ，若三角板 PBD 保持不动，三角板∠ PAC 绕点 P 逆时针旋转，转速为
/秒，转动一周三角板
PAC 就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有
∥ DB 成立；
（ 3）如图 ③ ，在图 ① 基础上， 若三角板 PAC 的边 PA 从 PN．处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为 3° /秒，同时三角板 PBD 的边 PB 从 PM 处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为 2°/ 秒，（当
PC 转到与 PM 重合时，两三角板都停止转动） ，在旋转过程中，当∠ CPD＝∠
BPM，求旋转的时间是多少？
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2018-2019 学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团七年
级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题
3 分，共 36 分）
1．（ 3 分）质检员抽查 4 袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克
数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的产品是（
）
D． 4
A ．﹣ 3
B ．﹣ 1
C． 2
【分析】 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【解答】 解：∵ |﹣ 1|＜ |2|＜ |﹣ 3|＜ |4|，
∴﹣ 1 最接近标准，
故选： B．
【点评】 本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的
性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．
2．（ 3 分）下列各式中，正确的是（
2 2 2
）
A ．x y﹣ 2x y＝﹣ x y
C． 7ab﹣ 3ab＝ 4
B． 2a+3b＝ 5ab
3 2 5
D． a +a ＝ a
【分析】 根据同类项的定义，合并同类项的法则．
2 2 2
【解答】 解： A、 x y﹣ 2x y＝﹣ x y，故 A 正确；
B、不是同类项，不能进一步计算，故
C、 7ab﹣ 3ab＝ 4ab，故 C 错误；
3
B 错误；
2 5
D 、a +a ＝ a ，不是同类项，故
D
错误．
故选： A．
【点评】 同类项定义中的两个“相同”
：（ 1）所含字母相同； （ 2）相同字母的指数相同，
是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关．
合并同类项的法则：系数相加减，字母与字母的指数不变．
3．（ 3 分）如图直线 l1∥ l2，则∠ α的大小是（
）
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A ．120°
B ．130°
C． 140°
D． 150°
【分析】 先根据平行线的性质求出∠
【解答】 解：∵直线
ll
1∥l
2，
∴∠ BCD＝ 180°﹣ 130°＝ 50°，
∴∠ α与∠ ACD 是对顶角，
BCD 的度数，再由对顶角的性质即可得出结论．
∴∠ α＝ 70° +50 °＝ 120°．
故选： A．
【点评】 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
4．（ 3 分）下列各题正确的是（
）
A ．由 7x＝ 4x﹣ 3 移项得 7x﹣ 4x＝3
B ．由
＝1+
去分母得
2（2x﹣ 1）＝ 1+3（ x﹣ 3）
C．由 2（ 2x﹣1）﹣ 3（x﹣ 3）＝ 1 去括号得
4x﹣ 2﹣ 3x﹣ 9＝ 1
D ．由 2（ x+1）＝ x+7 去括号、移项、合并同类项得
x＝ 5
【分析】 根据解一元一次方程的步骤计算，并判断．
【解答】 解： A、由 7x＝4x﹣ 3 移项得 7x﹣ 4x＝﹣ 3，故错误；
B、由
＝ 1+
去分母得 2（ 2x﹣ 1）＝ 6+3（ x﹣ 3），故错误；
C、由 2（ 2x﹣1）﹣ 3（x﹣ 3）＝ 1 去括号得
4x﹣ 2﹣ 3x+9＝ 1，故错误；
D 、正确．故选：
D ．
【点评】 此题主要考查一元一次方程的解法，注意移项要变号，但没移的不变；去分母时，常数项也要乘以分母的最小公倍数；去括号时，括号前是“﹣”号的，括号里各项
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都要变号．
5．（ 3 分）下列结论中正确的是（
A ．单项式
的系数是
）
，次数是
4
B ．单项式 m 的次数是 l ，没有系数
C．多项式是二次三项式
D ．在
， 2x+y，
，
，
， 0 中整式有 4 个
【分析】 根据单项式的系数、次数和多项式的定义以及整式的概念判断即可．
【解答】 解： A、单项式
的系数是的系数是
π，次数是
3，不符合题意；
B、单项式 m 的次数是 1，系数是
1，不符合题意；
2
2
C、多项式 2x +xy +3 是三次三项式，不符合题意；
D 、在
， 2x+y，
，
，
， 0 中整式有 2x+y，
，
， 0，一共 4 个，符
合题意．
故选： D ．
【点评】 此题考查多项式与单项式，关键是根据单项式的系数、次数和多项式的定义以
及整式的概念解答．
6．（ 3 分）将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体为（
）
A ．
B ．
C．
D．
【分析】 根据面动成体的原理：一个直角三角形绕它的最长边旋转一周，得到的是两个
同底且相连的圆锥．
【解答】 解： A、圆柱是由一长方形绕其一边长旋转而成的；
B、圆锥是由一直角三角形绕其直角边旋转而成的；
C、该几何体是由直角梯形绕其下底旋转而成的；
D 、该几何体是由直角三角形绕其斜边旋转而成的．故选： D ．
【点评】 解决本题的关键是掌握各种面动成体的体的特征．
7．（ 3 分）若 A 为五次多项式， B 为四次多项式，则
A+B 一定是（
）
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A ．次数不高于九次多项式
B．四次多项式
D．次数不定
A+B 的次数即可．
C．五次多项式
【分析】 根据 A 与 B 的次数，确定出
【解答】 解：∵ A 是五次多项式， B 是四次多项式，
∴ A+B 的次数是 5．
∴ A+B 一定是五次多项式，故选： C．
【点评】 此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（ 3 分）如图， OB 是∠ AOC 内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点
O 处，转动三
角尺，当三角尺的边
OD 平分∠ AOB 时，三角尺的另一边
）
OE 也正好平分∠ BOC，则∠
AOC 的度数为（
A ．100°
B ．110°
C． 120°
D． 130°
【分析】 根据角平分线的定义得到∠
BOD ＝
∠ AOB，∠ BOE＝
∠ BOC，则∠ EOD＝
∠ AOB+
∠ BOC＝
∠AOC，然后把∠ EOD＝ 60°代入计算即可．
【解答】 解：∵ OD 边平分∠ AOB ，OE 平分∠ BOC，
∴∠ BOD＝
∠ AOB，∠ BOE ＝
∠ BOC，
∠ AOB+ ∠ BOC＝
∠AOC ，
∴∠ EOD＝
∵∠ EOD＝ 60°，
∴∠ AOC＝ 2× 60°＝ 120°．
故选： C．
【点评】 本题考查了角的计算：
1°＝ 60′， 1′＝ 60″．关键是根据角平分线的定义解
答．
9．（ 3 分）猪是中国十二生肖排行第十二的动物，
对应地支为 “亥”．现规定一种新的运算，
a 亥 b＝ ab﹣ b，则满足等式
的 x 的值为（
）
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A ．
B ．
C．
D．
【分析】 原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】 解：根据题中的新定义得：
× 6﹣ 6＝﹣ 1，
整理得： 2（ 1﹣2x）﹣ 6＝﹣ 1，
去括号得： 2﹣ 4x﹣ 6＝﹣ 1，
移项合并得：﹣
4x＝ 3，
解得： x＝﹣
，
故选： B．
【点评】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（ 3 分）如图， DH ∥ EG∥ BC， DC∥ EF ，那么与∠ DCB 相等的角的个数为（
）
A ．3 个
B ．4 个
C． 5 个
D． 6 个
【分析】 由 DC∥ EF 可以得到∠ DCB ＝∠ EFB ，再根据
DH ∥ EG∥ BC，可以推出∠ GEF
＝∠ EFB ，∠ DCB ＝∠ HDC ，∠ DCB＝∠ CMG ＝∠ DME ，故与∠ DCB 相等的角共有 5 个．
【解答】 解：如图，∵
DC ∥EF ，
∴∠ BCD＝∠ BFE ，
∵ EG∥ BC，
∴∠ EFB ＝∠ GEF ，
∵ DC ∥ EF，
∴∠ EMD ＝∠ GEF ＝∠ GMC ，
∵ DH ∥EG，
∴∠ EMD ＝∠ CDH ，
∵ DH ∥EG∥ BC，
∴∠ CDH ＝∠ DCB ．
∴与∠ DCB 相等的角的个数为 5．
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故选： C．
【点评】 本题主要考查了平行线的性质，充分运用平行线的性质以及角的等量代换就可以解决问题．
11．（3 分）有 m 辆客车及 n 个人，若每辆客车乘 40 人，则还有 10 人不能上车，若每辆客
； 车乘 43 人，则只有 1 人不能上车，有下列四个等式： ① 40m+10 ＝ 43m﹣ 1；②
③
； ④ 40m+10 ＝ 43m+1，其中正确的是（
B ．②④
C． ②③
）
D． ③④
A ．①②
【分析】 首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进
行分析从而得到正确答案．
【解答】 解：根据总人数列方程，应是
40m+10＝ 43m+1， ① 错误， ④ 正确；
，② 错误， ③ 正确； 根据客车数列方程，应该为
所以正确的是
③④ ．
故选： D ．
【点评】 此题的关键是能够根据不同的等量关系列方程．
12．（ 3 分）如图，点
A 在数轴上表示的数是﹣ 8，点 B 在数轴上表示的数是 16．若点 A 以
6 个单位长度 /秒的速度向右匀速运动，同时点
B 以 2 个单位长度 /秒的速度向左匀速运
） 动．问：当 AB＝ 8 时，运动时间为多少秒？（
A ．2 秒
B ．13.4 秒
C． 2 秒或 4 秒
D． 2 秒或 6 秒
【分析】 设当 AB＝ 8 时，运动时间为
t 秒，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】 解：设当 AB＝ 8 时，运动时间为 t 秒，
由题意得， 6t+2 t+8＝ 16﹣（﹣ 8）或 6t+2t ＝16﹣（﹣ 8） +8，
解得： t＝ 2 或 t＝ 4，
故选： C．
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【点评】 本题考查了数轴，两点间的距离，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题（共
6 小题， 18 分）
13．（ 3 分）若∠ α＝ 31° 42′，则∠ α的补角的度数为 148°18′
．
【分析】 相加等于
180°的两角称作互为补角， 也称作两角互补， 即一个角是另一个角的
补角．因而求这个角的补角，就可以用
【解答】 解：∵∠ α＝ 31°42′，
180°减去这个角的度数．
∴∠ α的补角的度数＝ 180°﹣ 31° 42′＝ 148° 18′．
故答案为： 148° 18′．
【点评】 本题考查了补角的定义，互补是反映了两个角之间的关系即和是
m+2 3
3
180°．
﹣3 ．
14．（ 3 分）已知 5x
y 与
【分析】 直接利用同类项的定义得出
m+2 3
是同类项，则（﹣
m） +n 等于
m，n 的值进而得出答案．
【解答】 解：∵ 5x
y
与
是同类项，
∴ m+2＝ 3，3＝﹣ n+1 ，
解得： m＝ 1， n＝﹣ 2，
∴（﹣ m）
+n＝﹣ 1﹣ 2＝﹣ 3．
3
故答案为：﹣
3．
【点评】 此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．
2
15．（ 3 分）当 x＝ l 时，代数式 ax ﹣ 3bx+4 的值是 7，则当 x＝﹣ 1 时，这个代数式的值等于
1 ．
【分析】 把 x＝ 1 代入代数式求出 a﹣ 3b 的值，将
x＝﹣ 1 代入计算即可得到结果．
【解答】 解：把 x＝ 1 代入得： a﹣ 3b+4＝ 7，即 a﹣ 3b＝ 3，
则当 x＝﹣ 1 时，原式＝﹣ a+3 b+4 ＝﹣ 3+4 ＝ 1．
故答案为： 1．
【点评】 此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（ 3 分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑
15km，可早到 10 分钟，每小时骑
12km
就会迟到 5 分钟，则他家距离学校
15 km．
小时，设他家距离学校
xkm，根据“每小时骑 15km， 【分析】10 分钟＝
小时，5 分钟＝
可早到 10 分钟，每小时骑
12km 就会迟到 5 分钟”，得到关于 x 的一元一次方程，
解之即
可．
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【解答】 解： 10 分钟＝
小时， 5 分钟＝
小时，
设他家距离学校
xkm，
根据题意得：
+
＝
﹣
，
解得：
x＝ 15，
即他家距离学校
15km，
故答案为： 15．
【点评】 本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
17．（ 3 分）如图，在平行线 a，b 之间放置一个直角三角形，三角形的顶点
A， C 分别在直
线 a，b 上，∠ ACB＝ 90°，∠ BAC＝ 20°，则∠ 1+∠ 2＝ 70° ．
【分析】 根据平行线的性质，
得到∠ DAC +∠ECA＝ 180°，再根据∠ BAC＝ 30°，∠ ACB
＝ 90°，即可得出∠ 1+∠ 2＝ 180°﹣ 20°﹣ 90°＝
70°．【解答】 解：∵ a∥ b，
∴∠ DAC+∠ ECA＝180°，
又∵∠ BAC＝ 30°，∠ ACB＝ 90°，
∴∠ 1+∠ 2＝ 180°﹣ 30°﹣ 90°＝ 60°，
故答案为： 70°
【点评】 本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
18．（ 3 分）已知∠ AOB＝ 60°，其角平分线为
OM ，∠ BOC＝ 20°，其角平分线为
ON，则
∠ MON ＝ 40°或 20° ．
【分析】 分 OC 在∠ AOB 外部和内部两种情况，由
OM 、 ON 分别平分∠ AOB、∠ BOC
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可得∠ BOM 、∠ BON 度数，在根据两种位置分别求之．
【解答】 解： ① 如图，当 OC 在∠ AOB 外部时，
∵∠ AOB＝ 60°， OM 平分∠ AOB ，
∴∠ BOM ＝
∠ AOB＝ 30°，
又∵∠ BOC ＝ 20°， ON 平分∠ BOC ，
∴∠ BON＝
∠ BOC＝ 10°，
∴∠ MON ＝∠ BOM+∠ BON ＝40°；
② 如图，当 OC 在∠ AOB 内部时，
∵∠ AOB＝ 60°， OM 平分∠ AOB ，
∴∠ BOM ＝
∠ AOB＝ 30°，
又∵∠ BOC ＝ 20°， ON 平分∠ BOC ，
∴∠ BON＝
∠ BOC＝ 10°，
∴∠ MON ＝∠ BOM ﹣∠ BON＝
20°，故答案为： 40°或 20°．
【点评】 本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到种情况是关键．
三、解答题（共
10 题， 66 分）
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OC 在∠ AOB 外部和内部两
19．（ 8 分）解方程
（ 1） 7y﹣ 3（ 3y+2）＝ 6
（ 2） +1＝ x﹣
【分析】（ 1）去括号、移项、合并同类项、系数化为
（ 2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
【解答】 解：（ 1）去括号，得 7y﹣ 9y﹣ 6＝ 6
移项，得
7y﹣ 9y＝6﹣ 6
1，
1，
合并同类项，得﹣
2y＝ 12
系数化 1，得 y＝﹣ 6
（ 2）去分母，得 2（ x+1） +6＝ 6x﹣3（ x﹣ 1）
去括号，得 2x+2+6＝ 6x﹣ 3x+3
移项，得
2x﹣ 6x+3x＝ 3﹣ 2﹣6
合并同
类项，得﹣ x＝﹣ 5
系数化 1，得 x＝5
【点评】 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为 1，求出解．
2
2
2
2
20．（ 6 分）先化简，再求值：
5﹣ 2（ a b﹣ ab +2） +（ 3ab +a b﹣ 1），其中 a＝ 2， b＝﹣ 1．
【分析】 根据整式的运算法则即可求出答案．
2 2 2 2
【解答】 解：原式＝ 5﹣ 2a
b+2ab
﹣4+3ab +a b﹣ 1
2
＝﹣ ab+5ab
2
将 a＝2， b＝﹣ 1 代入上式，原式＝ 4+10
＝ 14；
【点评】 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础
题型．
21．（ 6 分）一元一次方程解答题：已知关于
x 的方程
与 x﹣ 1＝ 2（ 2x﹣ l）的解互
为倒数，求
m 的值．
【分析】 求出第二个方程的解，确定出第一个方程的解，代入计算即可求出
m 的值．
【解答】 解：方程
x﹣ 1＝2（ 2x﹣ 1），
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去括号得： x﹣ 1＝ 4x﹣ 2，
解得： x＝
，
得，
＝ 3﹣ ， 将 x＝ 3 代入方程
去分母得： 9﹣ 3m＝ 18﹣ 2m，
解得： m＝﹣ 9．
【点评】 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
22．（ 6 分）立体几何的三视图：若干个棱长为
2cm 的正方体摆放成如图所示的形状，回答下列问题：
（ 1）画出该图形的三视图；
（ 2）它的表面积是多少？
【分析】（ 1）根据三视图的画法，分别画出主视图、左视图、俯视图，
（ 2）求出一个小正方形的面积为 4 平方厘米，再计算出表面积有几个小正方形，从而计算出表面积．
【解答】 解：（ 1）三视图如图所示：
2
（ 2）它的表面积为： （ 7+5+2+1 ）× 2×（ 2×2）＝ 120
cm
【点评】 考查三视图的画法，几何体表面积的计算方法，理解表面积的意义是正确解答的关键．
23．（ 6 分）角度计算题：如图，已知
O 为 AD 上一点，∠ AOB 与∠ AOC 互补， ON 平分∠
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AOB，OM 平分∠ AOC，若是∠ MON ＝ 42°，求∠ AOB 与∠ AOC 的度数．
【分析】 根据补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．
【解答】 解：设∠ AOB＝ x°，因为∠ AOC 与∠ AOB 互补，则∠ AOC＝ 180°﹣ x°．
由题意，得
﹣ ＝ 42．
∴ 180﹣ x﹣ x＝ 84，
∴﹣ 2x＝﹣ 96，解得 x＝48，
故∠ AOB＝ 48°，∠ AOC＝132°．
【点评】 本题考查补角的定义，角平分线的定义，及角的运算．在图形中，找补角关系时，除了借助图形外，还需考虑等量关系即有没有相等的角．
24．（ 6 分）线段计算题：已知线段
AB＝ 6，在直线 AB 上取一点 C，恰好使 AC＝ 2BC，点 D 为
CB 的中点，求线段 AD 的长．
【分析】① 当点 C 在线段 AB 上时，如图 1，② 当点 C 在线段 AB 的延长线上时， 如图 2，
③ 当点 C 在 BA 的延长线上时，明显，次情况不存在；列方程即可得到结论；
【解答】 解： ① 当点 C 在线段 AB 上时，如图
1，
∵ AC＝ 2BC，
设 BC＝ x，则 AC＝ 2x，
∵ AB＝ AC+BC，
∴ 6＝ 2x+x，
∴ x＝ 2，
∴ BC＝ 2，AC＝ 4，
∵点 D 是 CB 的中点，
∴ CD ＝ BD＝ BC＝ 1，
∴ AD＝ AC+CD＝4+1 ＝ 5；
② 当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图 2，
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设 BC＝ x， AC＝2BC＝ 2x，
∵ AB＝ AC﹣ BC＝ x＝ 6，
∴ x＝ 6，
∴ BC＝ 6，AC＝ 12， AB＝ 6，
∵点 D 是 CB 的中点， ∴
BD＝ CD＝ BC＝ 3，
∴ AD＝ AB+BD＝ 6+3＝ 9；
③ 当点 C 在 BA 的延长线上时，明显，此情况不存在；
综上所述， AD 的长为 5 或 9．
【点评】 本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确的作出图形是解题的关键．
25．（ 6 分）如图， AC，BD 相交于点
O， AC 平分∠ DCB ，CD ⊥ AD，∠ ACD＝ 45°，∠ BAC
＝ 60°．
（ 1）证明： AD ∥ BC；
（ 2）求∠ EAD 的度数；
（ 3）求证：∠ AOB＝∠ DAC+∠ CBD．
【分析】（ 1）求出∠ DCB+∠ ADC ＝180°，根据平行线的判定得出即可；
（ 2）根据平行线的性质求出∠ DAC ＝∠ ACB＝45°，即可求出答案；
（ 3）根据平行线的判定得出 OF ∥ BC，根据平行线的性质得出∠ ADB ＝∠ DBC ，∠ AOF
＝∠ DAC，∠ FOB＝∠ CBD，即可求出答案．
【解答】（ 1）证明：∵ AC 平分∠ DCB ，
∴∠ BCD＝ 2∠ACD ＝ 2×45°＝ 90°，
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∵ CD ⊥ AD，
∴∠ ADC＝ 90°，
∴∠ BCD+∠ ADC＝ 90° +90°＝
180°， ∴ AD∥ BC；
（ 2）解：∵ AC 平分∠ DCB ，
∴∠ ACB＝∠ ACD＝ 45°，
∵ AD∥ BC
∴∠ DAC＝∠ ACB＝ 45°，
∠ EAD＝ 180°﹣∠ DAC ﹣∠ BAC
＝ 180°﹣ 45°﹣ 60°
＝ 75°；
（ 3）证明：过点 O 作 OF ∥ AD，
∵ AD∥ BC，
∴∠ ADB＝∠ DBC， OF ∥ BC，
∴∠ AOF＝∠ DAC，∠ FOB＝∠ CBD，
∴∠ AOB＝∠ AOF+∠ FOB ＝∠ DAC +∠CBD ．
【点评】 本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
26．（ 6 分）某水果经销商到水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果的某种品质一样的苹果，零售价都为 8 元 /千克，批发价各不相同．
甲家规定：批发数量不超过
100 千克，全部按零售价的九折优惠；批发数量超过
克全部按零售价的八五折优惠．
乙家的规定如下表：
数量范围（千
不超过 50 的部
50 以上但不超
150 以上的部分
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千100
克）
分
零售价的
95%
过 150 的部分
价格（元）
零售价的 85%
零售价的
75%
表格说明：批发价分段计算：如：某人批发
200 千克的苹果；
则总费用＝ 50×8× 95%+100× 8× 85%+50 × 8× 75%．
（ 1）如果他批发 240 千克苹果选择哪家批发更优惠；
（ 2）设他批发 x 千克苹果（ x＞ 100），当 x 取何值时选择两家批发所花费用一样多．
【分析】（ 1）分别求出在甲、 乙两家批发 200 千克苹果所需费用， 比较后即可得出结论；
（ 2）分 100＜ x≤ 150 及 x＞150，当 100＜ x≤ 150 时，用含 x 的代数式表示出在甲、乙两
家批发 x 千克苹果所需费用，进而得出不存在相等的情况；当
x＞ 150 时，用含 x 的代数
x 值． 式表示出在甲、乙两家批发
x 千克苹果所需费用，令其相等即可求出
【解答】 解：（ 1）在甲家批发所需费用为：
240× 8× 85%＝ 1632 （元），
在乙家批发所需费用为：
50× 8×95%+（ 150﹣ 50）× 8× 85%+（ 240﹣ 150）× 8× 75% ＝
1600（元）．
∵ 1632＞ 1600 ，
在乙家批发更优惠．
（ 2）当 100＜ x≤150 时，
在甲家批发所需费用为： 8× 85%x＝ 6.8x，
在乙家批发所需费用为： 50× 8× 95%+（ x﹣ 50）× 8× 85%＝ 6.8x+40 ．
不可能相等；当
x＞ 150 时，
在甲家批发所需费用为：
8× 85%x＝ 6.8x，
在乙家批发所需费用为：
50× 8× 95%+（150﹣ 50）× 8×85%+（ x﹣ 150）× 8× 75%＝6x+160 ．
∵ 6.8x＝6x+160 ， ∴ x＝
200．
综上所得：当 x＝200 时他选择任何一家批发所花费用一样多．
【点评】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：
（ 1）根据两家的优惠策略分
别求出在甲、乙两家批发
200 千克苹果所需费用； （2）分 100＜x≤ 150 及 x＞ 150 两种情
x 千克苹果所需费用． 况找出在甲、乙两家批发
27．（ 8 分）如图 AB∥ CD ．∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，试说明
AD ∥ BE．
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解：∵ AB ∥CD（已知）
∴∠ 4＝∠ BAF （
∵∠ 3＝∠ 4（已知）
∴∠ 3＝∠ BAF （
∵∠ 1＝∠ 2（已知）
两直线平行，同位角相等
）
等量代换
）
∴∠ 1+∠ CAF ＝∠ 2+∠ CAF （
等式的性质
即∠ BAF ＝∠ CAD （
）
角的和差 ）
∴∠ 3＝∠
CAD
∴ AD∥ BE（
内错角相等，两直线平行 ）
【分析】 由平行可得到∠ 4＝∠ BAF ，可得到∠ 3＝∠ BAF ＝∠ 1+∠ CAF ＝∠ 2+∠CAF ＝∠ CAD ，根据平行线的判定可得到 AD ∥BE，据此填空即可．
【解答】 解：∵ AB∥CD （已知），
∴∠ 4＝∠ BAF （ 两直线平行，同位角相等）
，
∵∠ 3＝∠ 4（已知），
∴∠ 3＝∠ BAF （ 等量代换），
∵∠ 1＝∠ 2（已知），
∴∠ 1+∠ CAF ＝∠ 2+∠ CAF （ 等式的性质），
即∠ BAF ＝∠ CAD （ 角的和差），
∴∠ 3＝∠ CAD，
∴ AD∥ BE（ 内错角相等，两直线平行）
．
故答案为： BAF ；两直线平行，同位角相等；
BAF ；等量代换；等式的性质；角的和差；
CAD ；内错角相等，两直线平行．
【点评】 本题主要考查平行线的性质和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，
即 ① 两直线平行 ? 同位角相等， ② 两直线平行 ? 内错角相等， ③ 两直线平行 ? 同旁内角
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互补， ④ a∥ b， b∥ c? a∥c．
28．（ 8 分）综合应用题： 如图，有一副直角三角板如图
① 放置（其中∠ D ＝ 45°，∠ C＝ 30°），
PA、 PB 与直线 MN 重合，且三角板 PAC，三角板 PBD 均可以绕点 P 逆时针旋转．
（ l）∠ DPC＝ 75°
；
10°
PC
（ 2）如图 ② ，若三角板 PBD 保持不动，三角板∠ PAC 绕点 P 逆时针旋转，转速为
/秒，转动一周三角板
PAC 就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有
∥ DB 成立；
（ 3）如图 ③ ，在图 ① 基础上， 若三角板 PAC 的边 PA 从 PN．处开始绕点
P 逆时针旋转，
转速为 3° /秒，同时三角板
PBD 的边 PB 从 PM 处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为 2°/
秒，（当 PC 转到与 PM 重合时，两三角板都停止转动）
，在旋转过程中，当∠
CPD＝∠
BPM，求旋转的时间是多少？
【分析】（ 1）根据平角的定义即可得到结论；
（ 2）如图 1，根据平行线的性质得到∠ CPN﹣∠ DBP ＝ 90°，求得∠ APN＝ 30°，于是得到结论； 如图 2，根据平行线的性质得到∠ CPB＝∠ DBP ＝ 90°，根据三角形的内角和得到∠ CPA＝ 60°，求得∠ APM ＝ 30°，于是得到结论；
（ 3）设旋转的时间为 t 秒，由题知，∠ APN＝3t°，∠ BPM＝ 2t°，根据周角的定义得到∠
CPD ＝ 360°﹣∠ BPD ﹣∠ BPN ﹣∠ APN﹣∠ APC ＝ 360°﹣ 45°﹣（ 180°﹣ 2t°）﹣（ 3t°）﹣ 60°＝ 75°﹣ t°，列方程即可得到结论．
【解答】 解：（ 1）∵∠ BPD＝∠ D＝ 45°，∠ APC ＝60°， ∴∠ DPC＝ 180°﹣ 45°﹣ 60°＝ 75°，
故答案为： 75°；
（ 2）如图 1，此时， BD ∥ PC 成立，
∵ PC∥ BD，∠ DBP ＝
90°， ∴∠ CPN﹣∠ DBP＝
90°， ∵∠ C＝ 30°，
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∴∠ CPA＝ 60°，
∴∠ APN＝ 30°，
∵转速为
10° /秒，
∴旋转时间为
3 秒；
如图 2， PC∥ BD，
∵ PC∥ BC，∠ PBD ＝
90°， ∴∠ CPB＝∠ DBP ＝90°， ∵∠ C＝ 30°，
∴∠ CPA＝ 60°，
∴∠ APM＝ 30°，
∵三角板 PAC 绕点 P 逆时针旋转 D 的角度为 180°＝ 30°＝ 210°，∵转速为 10° /秒，
∴旋转时间为 21 秒，
综上所诉，当旋转时间为 3 或 21 秒时， PC∥DB 成立；
（ 3）设旋转的时间为 t 秒，由题知，∠ APN＝ 3t°，∠ BPM ＝ 2t°，
∴∠ BPN＝ 180°﹣∠ BPM＝ 180°﹣ 2t°，
∴∠ CPD ＝ 360°﹣∠ BPD ﹣∠ BPN ﹣∠ APN﹣∠ APC ＝ 360°﹣ 45°﹣（2t°）﹣（ 3t°）﹣ 60°＝ 75°﹣ t°，
当∠ CPD＝∠ BPM，即 2t °＝ 75°﹣ t°，解得： t＝ 25，
∴当∠ CPD ＝∠ BPM ，求旋转的时间是 25 秒．
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180°﹣
【点评】 本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，之前的识别图形是
解题的关键．
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