2024年2月25日发(作者：果芷荷)

常微分方程习题2.1

1. 解：对原式进行变量分离得dy2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.dx

21dy2xdx,两边同时积分得：lnyyc1,故它的特解为yex。2x2c,即ycex把x0,y1代入得

(x1)dy0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：2

1111dx2dy,当y0时，两边同时积分得；lnx1c,即yx1yclnx1y

当y0时显然也是原方程的解。当x0,y1时，代入式子得c1,故特解是1y。1ln1x23

ydydxxyx3y11

解：原式可化为：

dydxy2y1xx显然31y2yy10,故分离变量得dydx23xx1y1两边积分得ln12y212lnxln1xlnc(c0),即(12(1x)cxy）222y222)(1x)cx

故原方程的解为（14：(1x)ydx(1y)xdy01x1y解：由y0或x0是方程的解，当xy0时，变量分离dxdy0xy两边积分lnxxlnyyc,即lnxyxyc,故原方程的解为lnxyxyc;y0;x0.

5:(yx)dy(yx)dx0dyyxydydu解：,令u,yux,uxdxyxxdxdxduu1u11则ux,变量分离，得：2dudxdxu1xu1两边积分得：arctgu12ln(1u)lnxc。22dy2yxydxydydu解：令u,yux,ux,则原方程化为：xdxdx6：xdudxx2(1u)x211,分离变量得：dusgnxdx2x1u两边积分得：arcsinusgnxlnxcy代回原来变量，得arcsinsgnxlnxcx另外，yx也是方程的解。227：tgydxctgxdy0解：变量分离，得：ctgydytgxdx两边积分得：lnsinylncosxc.y2dy8:edxy3x解：变量分离，得ey13xdyec23y9:x(lnxlny)dyydx0yy解：方程可变为：lndydx0xxy1lnu令u,则有：dxdlnuxx1lnuy代回原变量得：cy1ln。xdyxy10：edx解：变量分离edyedx两边积分eec

yxyx

dyxyedx解：变量分离，edyedx两边积分得：eec2dy11.(xy)dxyxyxdydt1dxdxdt1原方程可变为：21dxt解：令xyt,则变量分离得：211tdtdx,两边积分arctgtxc代回变量得：arctg(xy)xc

12．解dy1dx(xy)2

令xyt，则dydtdt11，原方程可变为21dxdxdxtt2变量分离2dtdx，两边积分tarctgtxc，代回变量

t1xyarctg(xy)x2xy1dxx2y111解：方程组2xy10,x2y10;的解为x,y3311dY2XY

令xX,yY,则有'33dXX2YYdU22U2U令U，则方程可化为：XXdX12U变量分离2

14,dyxy5dxxy2解：令xy5t,则dydx1dtdx,原方程化为：1dttdxt7,变量分离(t7)dt7dx

两边积分12t27t7xc代回变量12(xy5)27(xy5)7xc.

dy15．dx(x1)2(4y1)28xy1

解：方程化为dydxx22x116y28y18xy1(x4y1)22令1x4yu，则关于x求导得14dydxdudx，所以1du4dxu294，

分离变量12284u29dudx，两边积分得arctg(33x3y)6xc，是原方程的解。

16．dyy62x2dx2xy5x2y2

解：dy(y3)2dx2x2dy33[(y3)22x2]3y2(2xy3x2dx2xy3x2，，令yu，则原方程化为

3u2du3u26x226dx2xuxx2u ，这是齐次方程，2x1令

ududz3z26dzdzz2z6z，则zx，所以zx，，x，...........(1)xdxdx2z1dxdx2z1当z2z60，得z3或z2是（1）方程的解。即y33x或y32x是方程的解。2z11735dzdx，两边积分的（z3)(z2)xc,2xzzd即（y33x)7(y32x)3x5c，又因为y33x或y32x包含在通解中当c0时。故原方程当z2z60时，变量分离的解为(y33x)7(y32x)3x15c

dy2x33xyx17.

2dx3xy2y3y

dyx(2x23y21)dy22x23y21解：原方程化为;;;;;22dxy(3x22y21)dx3x2y21 令y2u,;;;;;x2v;;;;;;;则du2v3u1.......(1)dv3v2u1

2v3u10的解为（1，1）；令Zv1，，Yu1，方程组3v2u10

y232z3y0dyz，，，，从而方程（1）化为则有ydz3z2y032z令ydydtdt23tdt22t2t，，则有tz，，所以tz，，z，...........(2)zdzdzdz32tdz32t

当22t20时，，即t1，是方程(2)的解。得y2x22或y2x2是原方程的解当32t12222522t20时，，分离变量得dtdz两边积分的yx(yx2)c2z22t

另外

y2x22，或y2x2，包含在其通解中，故原方程的解为y2x2(y2x22)5c

18.证明方程xdyf(xy)经变换xyu可化为变量分离方程，并由此求解下列方程ydx（1）.y(1x2y2)dxxdyxdy2x2y2(2).ydx2x2y2dydydydu,所以xydxdxdxdx1duduu1得：1f(u),(f(u)1)(uf(u)u)ydxdxy(f(u)1)xx证明：因为xyu,关于x求导导得yx故此方程为此方程为变程。2xdy2解(1):当x0或y0是原方程的解，当xy0s时，方程化为1xyydxdu1du13令xyu,则方程化为(2uu),变量分离得：dx3dxxx2uu两边同时积分得：ucx,即cx,y0也包含在此通解中。222u2xy2422y2y故原方程的解为原cxxy22222,x0.

du12u214u 解 (2)令xyu，则原方程化为(uu)dxx2u2x2u22u21yx2y2分离变量得dudx，两边积分得lnc，这也就是方程的解。4uxx4

x19. 已知f(x)f(x)dt1,x0,试求函数f(x)的一般表达式.0

x解：设f(x)=y, 则原方程化为f(x)dt 两边求导得01yy1y'2y

dy1111;;;;;;;;;;dx3;;;;;;;;;;;;两边积分得xc;;;;;所以ydx2y2ydy2xcy3把yx12xcx代入0f(x)dt1

y12x012tcdt2xc;;;;;;;;;;(2xcc)2xc得c0,所以y

20.求具有性质 x(t+s)=x(t)x(s)的函数x(t),已知x’(0)存在。1x(t)x(s)

x(0)x(0)2x(0)= 若x(0)0 得x2=-1矛盾。1x(0)1x(0)x(0)解：令t=s=0 x(0)=

x(tt)x(t)x(t)(1x2(t))limx'(0)(1x2(t))所以x(0)=0. x’(t)=limtt[1x(t)x(t)

arctg

dx(t)dx(t)x'(0)dt 两边积分得x'(0)(1x2(t))

1x2(t)dtx(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以

x(t)=tg[x’(0)t]

02411 黄罕鳞（41） 甘代祥（42）

2024年2月25日发(作者：果芷荷)

常微分方程习题2.1

1. 解：对原式进行变量分离得dy2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.dx

21dy2xdx,两边同时积分得：lnyyc1,故它的特解为yex。2x2c,即ycex把x0,y1代入得

(x1)dy0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：2

1111dx2dy,当y0时，两边同时积分得；lnx1c,即yx1yclnx1y

当y0时显然也是原方程的解。当x0,y1时，代入式子得c1,故特解是1y。1ln1x23

ydydxxyx3y11

解：原式可化为：

dydxy2y1xx显然31y2yy10,故分离变量得dydx23xx1y1两边积分得ln12y212lnxln1xlnc(c0),即(12(1x)cxy）222y222)(1x)cx

故原方程的解为（14：(1x)ydx(1y)xdy01x1y解：由y0或x0是方程的解，当xy0时，变量分离dxdy0xy两边积分lnxxlnyyc,即lnxyxyc,故原方程的解为lnxyxyc;y0;x0.

5:(yx)dy(yx)dx0dyyxydydu解：,令u,yux,uxdxyxxdxdxduu1u11则ux,变量分离，得：2dudxdxu1xu1两边积分得：arctgu12ln(1u)lnxc。22dy2yxydxydydu解：令u,yux,ux,则原方程化为：xdxdx6：xdudxx2(1u)x211,分离变量得：dusgnxdx2x1u两边积分得：arcsinusgnxlnxcy代回原来变量，得arcsinsgnxlnxcx另外，yx也是方程的解。227：tgydxctgxdy0解：变量分离，得：ctgydytgxdx两边积分得：lnsinylncosxc.y2dy8:edxy3x解：变量分离，得ey13xdyec23y9:x(lnxlny)dyydx0yy解：方程可变为：lndydx0xxy1lnu令u,则有：dxdlnuxx1lnuy代回原变量得：cy1ln。xdyxy10：edx解：变量分离edyedx两边积分eec

yxyx

dyxyedx解：变量分离，edyedx两边积分得：eec2dy11.(xy)dxyxyxdydt1dxdxdt1原方程可变为：21dxt解：令xyt,则变量分离得：211tdtdx,两边积分arctgtxc代回变量得：arctg(xy)xc

12．解dy1dx(xy)2

令xyt，则dydtdt11，原方程可变为21dxdxdxtt2变量分离2dtdx，两边积分tarctgtxc，代回变量

t1xyarctg(xy)x2xy1dxx2y111解：方程组2xy10,x2y10;的解为x,y3311dY2XY

令xX,yY,则有'33dXX2YYdU22U2U令U，则方程可化为：XXdX12U变量分离2

14,dyxy5dxxy2解：令xy5t,则dydx1dtdx,原方程化为：1dttdxt7,变量分离(t7)dt7dx

两边积分12t27t7xc代回变量12(xy5)27(xy5)7xc.

dy15．dx(x1)2(4y1)28xy1

解：方程化为dydxx22x116y28y18xy1(x4y1)22令1x4yu，则关于x求导得14dydxdudx，所以1du4dxu294，

分离变量12284u29dudx，两边积分得arctg(33x3y)6xc，是原方程的解。

16．dyy62x2dx2xy5x2y2

解：dy(y3)2dx2x2dy33[(y3)22x2]3y2(2xy3x2dx2xy3x2，，令yu，则原方程化为

3u2du3u26x226dx2xuxx2u ，这是齐次方程，2x1令

ududz3z26dzdzz2z6z，则zx，所以zx，，x，...........(1)xdxdx2z1dxdx2z1当z2z60，得z3或z2是（1）方程的解。即y33x或y32x是方程的解。2z11735dzdx，两边积分的（z3)(z2)xc,2xzzd即（y33x)7(y32x)3x5c，又因为y33x或y32x包含在通解中当c0时。故原方程当z2z60时，变量分离的解为(y33x)7(y32x)3x15c

dy2x33xyx17.

2dx3xy2y3y

dyx(2x23y21)dy22x23y21解：原方程化为;;;;;22dxy(3x22y21)dx3x2y21 令y2u,;;;;;x2v;;;;;;;则du2v3u1.......(1)dv3v2u1

2v3u10的解为（1，1）；令Zv1，，Yu1，方程组3v2u10

y232z3y0dyz，，，，从而方程（1）化为则有ydz3z2y032z令ydydtdt23tdt22t2t，，则有tz，，所以tz，，z，...........(2)zdzdzdz32tdz32t

当22t20时，，即t1，是方程(2)的解。得y2x22或y2x2是原方程的解当32t12222522t20时，，分离变量得dtdz两边积分的yx(yx2)c2z22t

另外

y2x22，或y2x2，包含在其通解中，故原方程的解为y2x2(y2x22)5c

18.证明方程xdyf(xy)经变换xyu可化为变量分离方程，并由此求解下列方程ydx（1）.y(1x2y2)dxxdyxdy2x2y2(2).ydx2x2y2dydydydu,所以xydxdxdxdx1duduu1得：1f(u),(f(u)1)(uf(u)u)ydxdxy(f(u)1)xx证明：因为xyu,关于x求导导得yx故此方程为此方程为变程。2xdy2解(1):当x0或y0是原方程的解，当xy0s时，方程化为1xyydxdu1du13令xyu,则方程化为(2uu),变量分离得：dx3dxxx2uu两边同时积分得：ucx,即cx,y0也包含在此通解中。222u2xy2422y2y故原方程的解为原cxxy22222,x0.

du12u214u 解 (2)令xyu，则原方程化为(uu)dxx2u2x2u22u21yx2y2分离变量得dudx，两边积分得lnc，这也就是方程的解。4uxx4

x19. 已知f(x)f(x)dt1,x0,试求函数f(x)的一般表达式.0

x解：设f(x)=y, 则原方程化为f(x)dt 两边求导得01yy1y'2y

dy1111;;;;;;;;;;dx3;;;;;;;;;;;;两边积分得xc;;;;;所以ydx2y2ydy2xcy3把yx12xcx代入0f(x)dt1

y12x012tcdt2xc;;;;;;;;;;(2xcc)2xc得c0,所以y

20.求具有性质 x(t+s)=x(t)x(s)的函数x(t),已知x’(0)存在。1x(t)x(s)

x(0)x(0)2x(0)= 若x(0)0 得x2=-1矛盾。1x(0)1x(0)x(0)解：令t=s=0 x(0)=

x(tt)x(t)x(t)(1x2(t))limx'(0)(1x2(t))所以x(0)=0. x’(t)=limtt[1x(t)x(t)

arctg

dx(t)dx(t)x'(0)dt 两边积分得x'(0)(1x2(t))

1x2(t)dtx(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以

x(t)=tg[x’(0)t]

02411 黄罕鳞（41） 甘代祥（42）