2024年5月10日发(作者：妫妙晴)

非齐次线性方程组同解的讨论

摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个

非齐次线性方程组有相同的解.

关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间

引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元

法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程

组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程

组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两

个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆

矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。

下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出



a

11

x



a

12

x







a

1n

x



b

1



ax



ax







ax



b



21222n2











a

m1

x



a

m2

x







a

mn

x



b

m



a

11

a

12



a

1n



b

1





a



b



a



a

21222n



，b=



2



。 令 A=



















aa



a

mn



m1m2



b

m



即非齐次线性方程组可写成

Axb

。

一 、线性方程组同解的性质

引理1 如果非齐次线性方程组

Axb

与

Bxd

同解，则矩阵



Ab



与



Bd



的秩相等.

1

证明 设非齐次线性方程组

Axb

的导出组的基础解系为



1

,



1

,



,



r

，其中

r

1

为矩阵



Ab



的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d的导出组的基础解系为



1

,



2

,



,



r

，其中

r

2

为矩阵



Bd



的秩，如果



*

是非齐次线性方程组Ax=b与Bx=d

2

特解，由于这两个方程组同解，所以向量组



1

,



1

,



,



r

1

,



*

与向量组



1

,



2

,



,



r

2

,



*

等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有

r

1

r

2

,

则矩阵



Ab



与



Bd



的秩相等.

引理

2

[1]

设A、B为

mn

矩阵，则齐次线性方程组

Ax0

与

Bx0

同解的充

要条件是存在可逆矩阵

P

使得

PAB

.

证明 充分性显然成立。

必要性 设

Ax0

与

Bx0

的同解空间为V，由文献[2]得A的行向量与B的行向

量生成的子空间相同,都是V的正交补空间.所以A的行向量与B的行向量可相互

线性表出,即存在矩阵C,使得

CAB

且

秩A=秩B.

即存在可逆矩阵P使得

PAB

.

引理3设A、B为

mn

矩阵，则非齐次线性方程组

Axb

与

Bxd

有解且同

解，则它们的导出组

Ax0

与

Bx0

同解。

证明 设



为

Ax0

的解，



为

Axb

的一个特解。则由非齐次线性方程组

Axb

与

Bxd

同解及线性方程组的性质可知



为

Bxd

的一个特解，







为

Axb

与

Bxd

的解。

所以



(







)



是

Bx0

的解。

反之设



为

Bx0

的解，同样可以证明，



为

Ax0

的解。

所以

Ax0

与

Bx0

同解。

由引理2与引理3可以得到下面的定理：

定理1设A、B为

mn

矩阵，则非齐次线性方程组

Axb

与

Bxd

都有解，

则它们同解的充要条件是存在可逆矩阵

P

使得

PAB

，

Pbd

。

证明 充分性显然成立。

必要性 设

Axb

与

Bxd

同解，由引理3得，

Ax0

与

Bx0

同解。又由引

理2可知存在可逆矩阵

P

使得

PAB

.

设



为

Axb

与

Bxd

的解。即

A



a,B



d

从而

PaPA



B



d

所以结论成立。

如果我们把上面的结论加以改进便得到更一般的结论：

情况1 设非齐次线性方程组

Axb

和

Bxd

（1）

式中A、B都为

mn

矩阵，b与d为m维列向量，

x

为

n

维列向量。

定理

2

[3]

非齐次线性方程组

Axb

和

Bxd

同解的充分必要条件是存在可

逆矩阵

W

m



m

使得

A



b



W



B

（2）



d

证明 充分性 如果存在可逆矩阵

W

m



m

使得（2）式成立，则对

Bxd

的任意解

x

0

，

2024年5月10日发(作者：妫妙晴)

非齐次线性方程组同解的讨论

摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个

非齐次线性方程组有相同的解.

关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间

引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元

法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程

组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程

组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两

个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆

矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。

下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出



a

11

x



a

12

x







a

1n

x



b

1



ax



ax







ax



b



21222n2











a

m1

x



a

m2

x







a

mn

x



b

m



a

11

a

12



a

1n



b

1





a



b



a



a

21222n



，b=



2



。 令 A=



















aa



a

mn



m1m2



b

m



即非齐次线性方程组可写成

Axb

。

一 、线性方程组同解的性质

引理1 如果非齐次线性方程组

Axb

与

Bxd

同解，则矩阵



Ab



与



Bd



的秩相等.

1

证明 设非齐次线性方程组

Axb

的导出组的基础解系为



1

,



1

,



,



r

，其中

r

1

为矩阵



Ab



的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d的导出组的基础解系为



1

,



2

,



,



r

，其中

r

2

为矩阵



Bd



的秩，如果



*

是非齐次线性方程组Ax=b与Bx=d

2

特解，由于这两个方程组同解，所以向量组



1

,



1

,



,



r

1

,



*

与向量组



1

,



2

,



,



r

2

,



*

等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有

r

1

r

2

,

则矩阵



Ab



与



Bd



的秩相等.

引理

2

[1]

设A、B为

mn

矩阵，则齐次线性方程组

Ax0

与

Bx0

同解的充

要条件是存在可逆矩阵

P

使得

PAB

.

证明 充分性显然成立。

必要性 设

Ax0

与

Bx0

的同解空间为V，由文献[2]得A的行向量与B的行向

量生成的子空间相同,都是V的正交补空间.所以A的行向量与B的行向量可相互

线性表出,即存在矩阵C,使得

CAB

且

秩A=秩B.

即存在可逆矩阵P使得

PAB

.

引理3设A、B为

mn

矩阵，则非齐次线性方程组

Axb

与

Bxd

有解且同

解，则它们的导出组

Ax0

与

Bx0

同解。

证明 设



为

Ax0

的解，



为

Axb

的一个特解。则由非齐次线性方程组

Axb

与

Bxd

同解及线性方程组的性质可知



为

Bxd

的一个特解，







为

Axb

与

Bxd

的解。

所以



(







)



是

Bx0

的解。

反之设



为

Bx0

的解，同样可以证明，



为

Ax0

的解。

所以

Ax0

与

Bx0

同解。

由引理2与引理3可以得到下面的定理：

定理1设A、B为

mn

矩阵，则非齐次线性方程组

Axb

与

Bxd

都有解，

则它们同解的充要条件是存在可逆矩阵

P

使得

PAB

，

Pbd

。

证明 充分性显然成立。

必要性 设

Axb

与

Bxd

同解，由引理3得，

Ax0

与

Bx0

同解。又由引

理2可知存在可逆矩阵

P

使得

PAB

.

设



为

Axb

与

Bxd

的解。即

A



a,B



d

从而

PaPA



B



d

所以结论成立。

如果我们把上面的结论加以改进便得到更一般的结论：

情况1 设非齐次线性方程组

Axb

和

Bxd

（1）

式中A、B都为

mn

矩阵，b与d为m维列向量，

x

为

n

维列向量。

定理

2

[3]

非齐次线性方程组

Axb

和

Bxd

同解的充分必要条件是存在可

逆矩阵

W

m



m

使得

A



b



W



B

（2）



d

证明 充分性 如果存在可逆矩阵

W

m



m

使得（2）式成立，则对

Bxd

的任意解

x

0

，