2024年3月9日发(作者：管曼安)
给定数据表如下：
xj
yj
0.25
0.5000
0.30
0.5477
0.39
0.6245
0.45
0.6708
0.53
0.7280
试求三次样条插值S（X），并满足条件：
i)S’(0.25)=1.0000, S’(0.53)-0.6868;
ii) S”(0.25)= S”（0.53）=0；
解：
由给定数据知：
h0 =0.3-0.25 - 0.05 , h
1=0.39-0.30-0.09
h
2=0.45-0.39-0.06, h
3=0.53-0.45-0.08
由 µ
i=h
i/(hi1+h
i), λ i= h
i/(hi1+h i) 得:
µ1= 5/14 ; λ
1= 9/14
µ2= 3/5 ; λ 2= 2/5
µ3= 3/7 ; λ
3=4/7
0.25 0.5000 ﹨
﹨
1.0000
∕ ﹨
0.25 0.5000 ∕ -0.9200-f[x 0,x 0, x
1 ]
﹨ ∕
0.9540
∕ ﹨
0.30 0.5477 -0.7193-f[x 0,x 1,x
2 ]
﹨ ∕
0.8533
∕ ﹨
0.39 0.6245 -0.5440-f[x1,x2,x
3 ]
﹨ ∕
0.7717
∕ ﹨
0.45 0.6708 -0.4050-f[x 2,x 3,x
4 ]
﹨ ∕
0.7150
∕ ﹨
0.53 0.7280 -0.3525-f[x 3,x 4,x
5 ]
﹨ ∕
0.6868
∕
0.53 0.7280
i)已知一节导数边界条件，弯矩方程组
┌
┐
│ 2 1
-0.9200 ︳
︳5/14 2 9/14
1 ︳ ︳-0.7193 ︳
︳ 3/5 2 2/5
-0.5440
︳
︳ 3/7 2 4/7
3 ︳ ︳-0.4050 ︳
┐
┌ M
0
┐
︳ ︳M
︳ ︳M
2
︳_6
︳ ︳M
│ ︳┌│
└ 1 2 ┘ └ M
4
┘ └ -0.3525
┘
用追赶法解之得：
M 0 = -2.0278, M1 = -1.4643 , M 2 = -1.0313
M 3 = -0.8072, M 4 = -0.6539
三次样条插值函数为
┌ 1.8783 x
3 - 2.4227 x2
+ 1.8591x + 0.1573， x∈[0.25,0.30]
︳0.8019x
3
_
1.4538x2
+ 1.5685 x + 0.1863， x∈[0.30,0.39]
S（x）= ﹛0.6225x
3
_
1.2440x2
+ 1.4866x + 0.1970， x∈[0.39,0.45]
︳0.3194x
3
_
0.8348x2
+ 1.3025x + 0.2246， x∈[0.45,0.53]
└
ii) 已知二阶导数边界条件， M 0 _ M 4 = 0，弯矩方程组
┌ 2 9/14 0 ┐ ┌ M1 ┐ ┌ -0.7193 ┐
│ 3/5 2 2/5 │ │ M 2 │ -6 │ -0.5440 │
└ 0 3/7 2 ┘ └ M 3 ┘ └ -0.4050 ┘
用追赶法解之得：
M1 = -1.8809 , M 2 = -0.8616， M 3 = 1.0314
三次样条插值函数为
┌ -60269x
3 + 4.7023x2 _ 0.2059x + 0.3555， x∈[0.25,0.30]
︳1.8876x
3 _
2.639x2
+ 1.9966 x + 0.1353， x∈[0.30,0.39]
S（x）= ﹛-0.4689 x
3 + 0.1178 x2
+0.9213x + 0.2751， x∈[0.39,0.45]
︳2.1467x
3
_
3.4132 x2
+2.5103 x + 0.0367， x∈[0.45,0.53]
└
2024年3月9日发(作者：管曼安)
给定数据表如下：
xj
yj
0.25
0.5000
0.30
0.5477
0.39
0.6245
0.45
0.6708
0.53
0.7280
试求三次样条插值S（X），并满足条件：
i)S’(0.25)=1.0000, S’(0.53)-0.6868;
ii) S”(0.25)= S”（0.53）=0；
解：
由给定数据知：
h0 =0.3-0.25 - 0.05 , h
1=0.39-0.30-0.09
h
2=0.45-0.39-0.06, h
3=0.53-0.45-0.08
由 µ
i=h
i/(hi1+h
i), λ i= h
i/(hi1+h i) 得:
µ1= 5/14 ; λ
1= 9/14
µ2= 3/5 ; λ 2= 2/5
µ3= 3/7 ; λ
3=4/7
0.25 0.5000 ﹨
﹨
1.0000
∕ ﹨
0.25 0.5000 ∕ -0.9200-f[x 0,x 0, x
1 ]
﹨ ∕
0.9540
∕ ﹨
0.30 0.5477 -0.7193-f[x 0,x 1,x
2 ]
﹨ ∕
0.8533
∕ ﹨
0.39 0.6245 -0.5440-f[x1,x2,x
3 ]
﹨ ∕
0.7717
∕ ﹨
0.45 0.6708 -0.4050-f[x 2,x 3,x
4 ]
﹨ ∕
0.7150
∕ ﹨
0.53 0.7280 -0.3525-f[x 3,x 4,x
5 ]
﹨ ∕
0.6868
∕
0.53 0.7280
i)已知一节导数边界条件，弯矩方程组
┌
┐
│ 2 1
-0.9200 ︳
︳5/14 2 9/14
1 ︳ ︳-0.7193 ︳
︳ 3/5 2 2/5
-0.5440
︳
︳ 3/7 2 4/7
3 ︳ ︳-0.4050 ︳
┐
┌ M
0
┐
︳ ︳M
︳ ︳M
2
︳_6
︳ ︳M
│ ︳┌│
└ 1 2 ┘ └ M
4
┘ └ -0.3525
┘
用追赶法解之得：
M 0 = -2.0278, M1 = -1.4643 , M 2 = -1.0313
M 3 = -0.8072, M 4 = -0.6539
三次样条插值函数为
┌ 1.8783 x
3 - 2.4227 x2
+ 1.8591x + 0.1573， x∈[0.25,0.30]
︳0.8019x
3
_
1.4538x2
+ 1.5685 x + 0.1863， x∈[0.30,0.39]
S（x）= ﹛0.6225x
3
_
1.2440x2
+ 1.4866x + 0.1970， x∈[0.39,0.45]
︳0.3194x
3
_
0.8348x2
+ 1.3025x + 0.2246， x∈[0.45,0.53]
└
ii) 已知二阶导数边界条件， M 0 _ M 4 = 0，弯矩方程组
┌ 2 9/14 0 ┐ ┌ M1 ┐ ┌ -0.7193 ┐
│ 3/5 2 2/5 │ │ M 2 │ -6 │ -0.5440 │
└ 0 3/7 2 ┘ └ M 3 ┘ └ -0.4050 ┘
用追赶法解之得：
M1 = -1.8809 , M 2 = -0.8616， M 3 = 1.0314
三次样条插值函数为
┌ -60269x
3 + 4.7023x2 _ 0.2059x + 0.3555， x∈[0.25,0.30]
︳1.8876x
3 _
2.639x2
+ 1.9966 x + 0.1353， x∈[0.30,0.39]
S（x）= ﹛-0.4689 x
3 + 0.1178 x2
+0.9213x + 0.2751， x∈[0.39,0.45]
︳2.1467x
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_
3.4132 x2
+2.5103 x + 0.0367， x∈[0.45,0.53]
└