2024年3月23日发(作者：南宫清淑)

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

1

n

1

n

2

样本数据

x

1

,x

2

,,x

n

的方差

s



(x

i

x),其中x



x

i

n

i1

n

i1

2

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位

．．．．．．．

置上.

．．

1.若复数

z

1

429i,z

2

69i

，其中

i

是虚数单位，则复数

(z

1

z

2

)i

的实部为★.



20

。

2.已知向量

a

和向量

b

的夹角为

30

，

|a|2,|b|3

，则向量

a

和向量

b

的数量积

ab

★ .

ab23

3.函数

3

3

。

2

f(x)x

3

15x

2

33x6

的单调减区间为 ★ .

f



(x)3x

2

30x333(x11)(x1)

，由

(x11)(x1)0

得单调减区间为

(1,11)

。

4.函数

yAsin(



x



)(A,



,



为常数，

A0,



0)

在闭区间

[



,0]

上的图象如

图所示，则





★ .

，所以



3

T



2

2

，

T



3

3

，

y

1

5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，

2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相

差0.3m的概率为 ★ .

0.2。

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进

行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

学生

甲班

乙班

1号

6

6

2号

7

7

3号

7

6

4号

8

7

5号

7

9







2



3





O 1

3

x

1

则以上两组数据的方差中较小的一个为

s

2



★ .

2

。

5

7.右图是一个算法的流程图，最后输出的

W

开始



★ .

S0

T1

ST

2

S

228.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比

为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则

它们的体积比为 ★ .

1：8。

9.在平面直角坐标系

xoy

中，点P在曲线

C:

TT2

N

yx

3

10x3

上，

S10

Y

且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P

的坐标为 ★ .

(2,15)

。

10.已知

WST

输出

W

满足

结束

51

a

2

，函数

f(x)a

x

，若实数

m,n

f(m)f(n

，则

)

m,n

的大小关系为 ★ .

mn

。11.已知集合

A



x|log

2

x2



，

B(,a)

，若

AB

则实数

a

的取值

范围是

(c,)

，其中

c

★ .

4．由

log

2

x2

得

0x4

，

A(0,4]

；由

AB

知

a4

，所以

c

4。

12.设



和



为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若



内的两条相交直线分别平行于



内的两条直线，则



平行于



；

（2）若



外一条直线

l

与



内的一条直线平行，则

l

和



平行；

（3）设



和



相交于直线

l

，若



内有一条直线垂直于

l

，则



和



垂直；

（4）直线

l

与



垂直的充分必要条件是

l

与



内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号 ★ （写出所有真命题的序号）.

．．．

（1）（2）。

x

2

y

2

13．如图，在平面直角坐标系

xoy

中，

A

1

,A

2

,B

1

,B

2

为椭圆

2



2

1(ab0)

的

ab

四个顶点，

F

为其右焦点，直线

A

1

B

2

与直线

B

1

F

相交于点T，线段

OT

与椭圆的交点

M

恰为线段

OT

的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .

2

e275

。

14．设

y



a

n



是公比为

q

的等比数列，，

|q|1

令

T

B

2

M

b

n

a

n

1(n1,2,

若数列



b

n



有连续四项在集合



53,23,19,37,82



中，则

6q

★ .

6q9

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡

指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

设向量

a

A

1

O A

2

x

(4cos



,sin



),b(sin



,4cos



),c(cos



,4sin



)





)

的值； （1）若

a

与

b2c

垂直，求

tan(



（2）求

|bc|

的最大值;

（3）若

tan



tan



16

，求证：

a

∥

b

.

所以

a

∥

b

.

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

E,F

分别是

A

1

B,AC

1

的中点，点

D

在

B

1

C

1

上，

A

1

DB

1

C

求证：（1）

EF

∥

平面ABC

（2）

A

D

F

B

1

C

1

平面A

1

FD平面BB

1

C

1

C

E

3

A C

B

17．（本小题满分14分）

设



a

n



是公差不为零的等差数列，

S

n

为其前

n

项和，满足

a

2

2

a

3

2

a

4

2

a

5

2

,S

7

7



a

n



的通项公式及前

n

项和

S

n

； （1）求数列

a

m

a

m1

（2）试求所有的正整数

m

，使得为数列



a

n



中的项.

a

m2

（1）设公差为

d

，则

a

2

为

d

2222

a

5

a

4

a

3

，由性质得

3d(a

4

a

3

)d(a

4

a

3

)

，因

0

，所以

a

4

a

3

0

，即

2a

1

5d0

，又由

S

7

7

得

7a

1



5

，

d2

76

d7

，

2

解得

a

1

4

2024年3月23日发(作者：南宫清淑)

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

1

n

1

n

2

样本数据

x

1

,x

2

,,x

n

的方差

s



(x

i

x),其中x



x

i

n

i1

n

i1

2

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位

．．．．．．．

置上.

．．

1.若复数

z

1

429i,z

2

69i

，其中

i

是虚数单位，则复数

(z

1

z

2

)i

的实部为★.



20

。

2.已知向量

a

和向量

b

的夹角为

30

，

|a|2,|b|3

，则向量

a

和向量

b

的数量积

ab

★ .

ab23

3.函数

3

3

。

2

f(x)x

3

15x

2

33x6

的单调减区间为 ★ .

f



(x)3x

2

30x333(x11)(x1)

，由

(x11)(x1)0

得单调减区间为

(1,11)

。

4.函数

yAsin(



x



)(A,



,



为常数，

A0,



0)

在闭区间

[



,0]

上的图象如

图所示，则





★ .

，所以



3

T



2

2

，

T



3

3

，

y

1

5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，

2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相

差0.3m的概率为 ★ .

0.2。

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进

行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

学生

甲班

乙班

1号

6

6

2号

7

7

3号

7

6

4号

8

7

5号

7

9







2



3





O 1

3

x

1

则以上两组数据的方差中较小的一个为

s

2



★ .

2

。

5

7.右图是一个算法的流程图，最后输出的

W

开始



★ .

S0

T1

ST

2

S

228.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比

为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则

它们的体积比为 ★ .

1：8。

9.在平面直角坐标系

xoy

中，点P在曲线

C:

TT2

N

yx

3

10x3

上，

S10

Y

且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P

的坐标为 ★ .

(2,15)

。

10.已知

WST

输出

W

满足

结束

51

a

2

，函数

f(x)a

x

，若实数

m,n

f(m)f(n

，则

)

m,n

的大小关系为 ★ .

mn

。11.已知集合

A



x|log

2

x2



，

B(,a)

，若

AB

则实数

a

的取值

范围是

(c,)

，其中

c

★ .

4．由

log

2

x2

得

0x4

，

A(0,4]

；由

AB

知

a4

，所以

c

4。

12.设



和



为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若



内的两条相交直线分别平行于



内的两条直线，则



平行于



；

（2）若



外一条直线

l

与



内的一条直线平行，则

l

和



平行；

（3）设



和



相交于直线

l

，若



内有一条直线垂直于

l

，则



和



垂直；

（4）直线

l

与



垂直的充分必要条件是

l

与



内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号 ★ （写出所有真命题的序号）.

．．．

（1）（2）。

x

2

y

2

13．如图，在平面直角坐标系

xoy

中，

A

1

,A

2

,B

1

,B

2

为椭圆

2



2

1(ab0)

的

ab

四个顶点，

F

为其右焦点，直线

A

1

B

2

与直线

B

1

F

相交于点T，线段

OT

与椭圆的交点

M

恰为线段

OT

的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .

2

e275

。

14．设

y



a

n



是公比为

q

的等比数列，，

|q|1

令

T

B

2

M

b

n

a

n

1(n1,2,

若数列



b

n



有连续四项在集合



53,23,19,37,82



中，则

6q

★ .

6q9

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡

指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

设向量

a

A

1

O A

2

x

(4cos



,sin



),b(sin



,4cos



),c(cos



,4sin



)





)

的值； （1）若

a

与

b2c

垂直，求

tan(



（2）求

|bc|

的最大值;

（3）若

tan



tan



16

，求证：

a

∥

b

.

所以

a

∥

b

.

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

E,F

分别是

A

1

B,AC

1

的中点，点

D

在

B

1

C

1

上，

A

1

DB

1

C

求证：（1）

EF

∥

平面ABC

（2）

A

D

F

B

1

C

1

平面A

1

FD平面BB

1

C

1

C

E

3

A C

B

17．（本小题满分14分）

设



a

n



是公差不为零的等差数列，

S

n

为其前

n

项和，满足

a

2

2

a

3

2

a

4

2

a

5

2

,S

7

7



a

n



的通项公式及前

n

项和

S

n

； （1）求数列

a

m

a

m1

（2）试求所有的正整数

m

，使得为数列



a

n



中的项.

a

m2

（1）设公差为

d

，则

a

2

为

d

2222

a

5

a

4

a

3

，由性质得

3d(a

4

a

3

)d(a

4

a

3

)

，因

0

，所以

a

4

a

3

0

，即

2a

1

5d0

，又由

S

7

7

得

7a

1



5

，

d2

76

d7

，

2

解得

a

1

4