2024年4月10日发(作者：皋思慧)

2016年全国高考理科数学试题全国卷2

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )

A．(–3,1) B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞,–3)

2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，则A∪B=( )

A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{–1,0,1,2,3}

3、已知向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，则m=( )

A．–8 B．–6 C．6 D．8

4、圆x

2

+y

2

–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=( )

43

A．– B．– C．

34

3 D．2

5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活

动，则

径条数

小明到老年公寓可以选择的最短路

为( )

A．24 B．18

C．12 D．9

6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．20π B．24π C．28π D．32π

π

7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )

12

kπ

π

kπ

π

kπ

π

kπ

π

A．x=

–

(k∈Z) B．x=+(k∈Z) C．x=

–

(k∈Z) D．x=+(k∈Z)

2626212212

8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的

x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=( )

A．7 B．12 C．17 D．34

3

π

9、若cos(

–α)=

，则sin2α= ( )

45

117

A． B． C．– D．–

255525

10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x

1

，x

2

，…，x

n

，y

1

，y

2

，…，y

n

，构成n个数对(x

1

,y

1

)，(x

2

,y

2

)，…，(x

n

,y

n

)，

其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

4n2n4m2m

A． B． C． D．

mmnn

x

2

y

2

1

11、已知F

1

、F

2

是双曲线E：

2

–

2

=1的左，右焦点，点M在E上，MF

1

与x轴垂直，sin∠MF

2

F

1

=,则E

ab3

的离心率为( )

A．

3

2 B． C．

2

3 D．2

7

x+1

12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x

1

,y

1

)，(x

2

,y

2

)，...(x

m

,y

m

)，

x

则



(xy)

( )

ii

i1

m

A．0 B．m C．2m D．4m

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

45

13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=___________．

513

14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。 (2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。

(3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。

(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。

其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。

15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我

的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．

16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(本题满分12分)S

n

为等差数列{a

n

}的前n项和，且a

1

=1，S

7

=28。记b

n

=[lga

n

]，其中[x]表示不超过x

的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．

(1)求b

1

，b

11

，b

101

；

(2)求数列{b

n

}的前1 000项和．

18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年

度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

保费

0

0.85a

1

a

2

1.25a

3

1.5a

4

1.75a

≥5

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]

一年内出险次数

概率

0

0.30

1

0.15

2

0.20

3

0.20

4

0.10

≥5

0. 05

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、

5

CD上，AE=CF=，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=

4

(1)证明：D'H⊥平面ABCD；

(2)求二面角B–D'A–C的正弦值．

10．

x

2

y

2

20、(本小题满分12分)已知椭圆E：+=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E

t3

于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=e

x

的单调性，并证明当x>0时，(x–2)e

x

+x+2>0；

x+2

e

x

–ax–a

(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．

x

2

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上(不

与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

x–2

(1) 证明：B，C，G，F四点共圆；

(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)

2

+y

2

=25．

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；



x=tcosα

(2)直线

l

的参数方程是



(t为参数)，

l

与C交于A，B两点，|AB|=10，求

l

的斜率．

y=tsinα



11

24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–|+|x+|，M为不等式f(x)<2的解集．

22

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．

参考答案

1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–3

2、解析：B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}={x|–1

3、解析： 向量a+b=(4,m–2)，∵(a+b)⊥b，∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0，解得m=8，故选D．

4、解析：圆x

2

+y

2

–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)

2

+(y–4)

2

=4，故圆心为(1,4)，d=

|a+4–1|

=1，解得

2

a+1

4

a=–，故选A．

3

5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B．

解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C

4

条路，再从F处到G处最短共有C

3

条路，则小明到

老年公寓可以选择的最短路径条数为C

4

·C

3

=18条，故选B。

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为

l

，圆柱高为h．

由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：

l

=

C．

2

2

+(23)

2

=4，S

1

2

+ch+c

l

=4π+16π+8π=28π，故选=πr

表

2

21

21

πππ

7、解析：由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位得y=2sin2(x+)=2sin(2x+)，则平移后函

12126

πππ

kπ

数的对称轴为2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z，故选B。

6262

8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C．

37

πππ

2

9、解析：∵cos(

–α)=

，sin2α=cos(

–2α)=2cos

(

–α)–1=

，故选D．

452425

3

解法二：对cos(

–α)=

展开后直接平方

45

π

解法三：换元法

10、解析：由题意得：(x

i

,y

i

)(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中

π/4

m4m

由几何概型概率计算公式知=，∴π=，故选C．

1nn

2

11、解析： 离心率e=，由正弦定理得e===

MF

2

–MF

1

MF

2

–MF

1

sinF

1

–sinF

2

F

1

F

2

F

1

F

2

sinM

3

1

1–

3

2

=2．故选A．

x+11

12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y==1+也关于(0,1)对称，

xx

∴对于每一组对称点x

i

+x'

i

=0，y

i

+y'

i

=2，

∴





x

i

y

i







x

i





y

i

02

i1i1i1

mmm

m

m

，故选B．

2

2024年4月10日发(作者：皋思慧)

2016年全国高考理科数学试题全国卷2

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )

A．(–3,1) B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞,–3)

2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，则A∪B=( )

A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{–1,0,1,2,3}

3、已知向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，则m=( )

A．–8 B．–6 C．6 D．8

4、圆x

2

+y

2

–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=( )

43

A．– B．– C．

34

3 D．2

5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活

动，则

径条数

小明到老年公寓可以选择的最短路

为( )

A．24 B．18

C．12 D．9

6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．20π B．24π C．28π D．32π

π

7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )

12

kπ

π

kπ

π

kπ

π

kπ

π

A．x=

–

(k∈Z) B．x=+(k∈Z) C．x=

–

(k∈Z) D．x=+(k∈Z)

2626212212

8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的

x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=( )

A．7 B．12 C．17 D．34

3

π

9、若cos(

–α)=

，则sin2α= ( )

45

117

A． B． C．– D．–

255525

10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x

1

，x

2

，…，x

n

，y

1

，y

2

，…，y

n

，构成n个数对(x

1

,y

1

)，(x

2

,y

2

)，…，(x

n

,y

n

)，

其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

4n2n4m2m

A． B． C． D．

mmnn

x

2

y

2

1

11、已知F

1

、F

2

是双曲线E：

2

–

2

=1的左，右焦点，点M在E上，MF

1

与x轴垂直，sin∠MF

2

F

1

=,则E

ab3

的离心率为( )

A．

3

2 B． C．

2

3 D．2

7

x+1

12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x

1

,y

1

)，(x

2

,y

2

)，...(x

m

,y

m

)，

x

则



(xy)

( )

ii

i1

m

A．0 B．m C．2m D．4m

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

45

13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=___________．

513

14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。 (2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。

(3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。

(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。

其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。

15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我

的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．

16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(本题满分12分)S

n

为等差数列{a

n

}的前n项和，且a

1

=1，S

7

=28。记b

n

=[lga

n

]，其中[x]表示不超过x

的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．

(1)求b

1

，b

11

，b

101

；

(2)求数列{b

n

}的前1 000项和．

18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年

度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

保费

0

0.85a

1

a

2

1.25a

3

1.5a

4

1.75a

≥5

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]

一年内出险次数

概率

0

0.30

1

0.15

2

0.20

3

0.20

4

0.10

≥5

0. 05

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、

5

CD上，AE=CF=，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=

4

(1)证明：D'H⊥平面ABCD；

(2)求二面角B–D'A–C的正弦值．

10．

x

2

y

2

20、(本小题满分12分)已知椭圆E：+=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E

t3

于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=e

x

的单调性，并证明当x>0时，(x–2)e

x

+x+2>0；

x+2

e

x

–ax–a

(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．

x

2

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上(不

与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

x–2

(1) 证明：B，C，G，F四点共圆；

(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)

2

+y

2

=25．

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；



x=tcosα

(2)直线

l

的参数方程是



(t为参数)，

l

与C交于A，B两点，|AB|=10，求

l

的斜率．

y=tsinα



11

24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–|+|x+|，M为不等式f(x)<2的解集．

22

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．

参考答案

1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–3

2、解析：B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}={x|–1

3、解析： 向量a+b=(4,m–2)，∵(a+b)⊥b，∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0，解得m=8，故选D．

4、解析：圆x

2

+y

2

–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)

2

+(y–4)

2

=4，故圆心为(1,4)，d=

|a+4–1|

=1，解得

2

a+1

4

a=–，故选A．

3

5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B．

解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C

4

条路，再从F处到G处最短共有C

3

条路，则小明到

老年公寓可以选择的最短路径条数为C

4

·C

3

=18条，故选B。

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为

l

，圆柱高为h．

由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：

l

=

C．

2

2

+(23)

2

=4，S

1

2

+ch+c

l

=4π+16π+8π=28π，故选=πr

表

2

21

21

πππ

7、解析：由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位得y=2sin2(x+)=2sin(2x+)，则平移后函

12126

πππ

kπ

数的对称轴为2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z，故选B。

6262

8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C．

37

πππ

2

9、解析：∵cos(

–α)=

，sin2α=cos(

–2α)=2cos

(

–α)–1=

，故选D．

452425

3

解法二：对cos(

–α)=

展开后直接平方

45

π

解法三：换元法

10、解析：由题意得：(x

i

,y

i

)(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中

π/4

m4m

由几何概型概率计算公式知=，∴π=，故选C．

1nn

2

11、解析： 离心率e=，由正弦定理得e===

MF

2

–MF

1

MF

2

–MF

1

sinF

1

–sinF

2

F

1

F

2

F

1

F

2

sinM

3

1

1–

3

2

=2．故选A．

x+11

12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y==1+也关于(0,1)对称，

xx

∴对于每一组对称点x

i

+x'

i

=0，y

i

+y'

i

=2，

∴





x

i

y

i







x

i





y

i

02

i1i1i1

mmm

m

m

，故选B．

2