2024年5月18日发(作者：兰复)

名师总结 精品知识点

解析几何知识点总结

第一部分

:

直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角

。

(2)

范围：（

0,180

）

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

k=tanα

（

1

）

.倾斜角为90°的直线没有斜率。

（

2

）

.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于

x

轴时，

其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这

两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过A（x1,y1）和B（x2,y2）两点的直线的斜率为K，

则当X1≠X2时，k=tanα=Y1-Y2/X1-X2；当X1=X2时，α=90°；斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P（x

0

,y

0

）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：

y-y

0

=k(x-x

0

)

注意：

当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；

2.斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为

b

，斜率为

k

，则直线

方程：y=kx+b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1≠X2，y1≠y2）则直线的方程：

yy

1

xx

1



；

y

2

y

1

x

2

x

1

注意：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式

(x

2

x

1

)(yy

1

)(y

2

y

1

)(xx

1

)0

时，方程可以适应在于

任何一条直线。

4截距式：若已知直线在

x

轴，

y

轴上的截距分别是a，b（a≠0，b≠0）则直线方程：



x

a

y

1

；

b

注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方

程可设为x-y=a

5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；（A,B不同时为零）；反之，任何一

个二元一次方程都表示一条直线。

三、两条直线的位置关系

位置关系

l

1

:yk

1

xb

1

l

2

:yk

2

xb

2

l

1

:A

1

xB

1

yC

1

0

l

2

:A

2

xB

2

yC

2

0

名师总结 精品知识点

平行



k

1

k

2

，且

b

1

b

2

A

1

B

1

C

1

(A

1

B

2

-A

2

B

1

=0)



A

2

B

2

C

2

A

1

B

1

C

1



A

2

B

2

C

2

重合



k

1

k

2

，且

b

1

b

2

相交





k

1

k

2

A

1

B

1



A

2

B

2

A

1

A

2

B

1

B

2

0

垂直

k

1

k

2

1

设两直线的方程分别为：

l

1

:yk

1

xb

1

或

l

1

:A

1

xB

1

yC

1

0

；当

kk

或

12

l

2

:yk

2

xb

2

l

2

:A

2

xB

2

yC

2

0

ykxb



AxByC

1

0

解；

A

1

B

2

A

2

B

1

时它们相交，交点坐标为方程组





yk

1

xb

1

或



A

1

xB

1

yC0

2222



2

五、点到直线的距离公式：

1.点P(X0，Y0)到直线

L:Ax+By+C=0

的距离为：

d

|Ax

0

By

0

C|

AB

22

；

2.两平行线

L1:Ax+By+C1=0，L2:Ax+By+C2=0

的距离为：

d

六、直线系：

|C

1

C

2

|

AB

22

；

（1）设直线

L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2x+B2y+C2=0，

经过

L1,L2

的交点的直线方程为

A

1

xB

1

yC

1





(A

2

xB

2

yC

2

)0

（除去L2）；

如：①

Y=kx+1→y-1-kx=0

，即也就是过

y-1=0

与x=0的交点

(0,1)

除去

x=0

的直线方程。

②直线

L:（m-1）x+（2m-1）y=m-5

恒过一个定点 。

（2）和

L:Ax+By+C=0

平行的直线为

Ax+By+C1=0

（3）与

L:Ax+By+C=0

垂直的直线为

Bx-Ay+C1=0；

七、对称问题：

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点

A（a.b）

关于

C（c,d）

的对

称点

（2c-a,2d-b）

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再

由两点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用L1//L2由点斜式得出直线方程；

Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

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如：求与已知直线

l

1

:2x3y60

关于点

P(1,1)

对称的直线

l

2

的方程。

（2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐

标公式求解。

如：求点

A(3,5)

关于直线

l:3x4y40

对称的坐标。

②直线关于直线对称：（设

a,b

关于

l

对称）

Ⅰ、若a.b相交，则a到L的角等于b到L的角；若a∥L，则b∥L，且a.b与L的距

离相等。

Ⅱ、求出a上两个点

A,B

关于

l

的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设

P(x,y)

为所求直线直线上的任意一点，则

P

关于

l

的对称点

P'

的坐标适合

a

的

方程。

如：求直线

a:2xy40

关于

l:3x4y10

对称的直线

b

的方程。

第二部分：圆与方程

2.1圆的标准方程：

(xa)(yb)r

圆心

C(a,b)

，半径

r

特例：圆心在坐标原点，半径为

r

的圆的方程是：

xyr

.

2.2点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 d＞r；(3)点在圆内

2.给定点

M(x

0

,y

0

)

及圆

C:(xa)

2

(yb)

2

r

2

.

（x

0

a)

2

(y

0

b)

2

r

2

①

M

在圆

C

内

(x

0

a)

2

(y

0

b)

2

r

2

②

M

在圆

C

上



222

222

d＜r．

③

M

在圆

C

外

(x

0

a)

2

(y

0

b)

2

r

2

2.3 圆的一般方程：

x

2

y

2

DxEyF0

.



DE



当

DE4F0

时，方程表示一个圆，其中圆心

C



,



，半径

r

2



2

22

D

2

E

2

4F

.

2

当

D

2

E

2

4F0

时，方程表示一个点







DE



,



.

22



当

D

2

E

2

4F0

时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程

Ax

2

BxyCy

2

DxEyF0

表示圆的充要条件是：

B0

且

AC0

且

名师总结 精品知识点

D

2

E

2

4AF0

.

圆的直径系方程：已知AB是圆的直径

A(x

1

,y

1

)B(x

2

,y

2

)(xx

1

)(xx

2

)(yy

1

)(yy

2

)0

2.4 直线与圆的位置关系： 直线

AxByC0

与圆

(xa)

2

(yb)

2

r

2

的位置关系有三

种，d是圆心到直线的距离，(

d

AaBbC

AB

；(2)

22

(1)

dr相离0

dr相切0

；（3）

dr相交0

。

2.5 两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O

1

，O

2

，半径分别为r

1

，r

2

，

O

1

O

2

d

。

（1）

dr

1

r

2

外离4条公切线

；（2）

dr

1

r

2

外切3条公切线

；

（3）

r

1

r

2

dr

1

r

2

相交2条公切线

；（4）

dr

1

r

2

内切1条公切线

；

（5）

0dr

1

r

2

内含无公切线

；

外离 外切 相交 内切 内含

2.6 圆的切线方程：

直线与圆相切的性质：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜

率互为负倒数）

过一定点做圆的切线要分成两种情况：点在圆上和点在圆外。

若点在圆上则切线只有一条，利用性质（2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。

若点在圆外则切线有两条，用性质（1）来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类

讨论。

2.7圆的弦长问题：

L



L



22

半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：



Rd

2



2



第三部分:椭圆

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F

1

，F

2

距离的和等于常数

2aF

1

F

2

的点的轨迹叫做椭

2



名师总结 精品知识点

圆，即点集M={P| |PF

1

|+|PF

2

|=2a，2a＞|F

1

F

2

|=2c}；

这里两个定点F

1

，F

2

叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（

2aF

1

F

2

2c

时为线段

F

1

F

2

，

2aF

1

F

2

2c

无轨迹）。

2．标准方程：

c

2

a

2

b

2

x

2

y

2

①焦点在x轴上：

2



2

1

（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）

ab

y

2

x

2

②焦点在y轴上：

2



2

1

（a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）

ab

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，

abc

并且椭圆的焦点总在长轴上；

222

x

2

y

2

1

或者

mx2ny21(m0,n0,mn)

②一般形式表示：

mn

二．椭圆的简单几何性质：

1.范围

x

2

y

2

（1）椭圆

2



2

1

（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

ab

y

2

x

2

（2）椭圆

2



2

1

（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

ab

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称

中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

（1）椭圆的顶点：A

1

（-a，0），A

2

（a，0），B

1

（0，-b），B

2

（0，b）

（2）线段A

1

A

2

，B

1

B

2

分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭

圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

我们把椭圆的焦距与长轴长的比

2cc

，即称为椭圆的离心率，

a

2a

2

cb

22

e1()

记作e（

0e1

），

2

aa

名师总结 精品知识点

e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；

5．椭圆的的内外部

22

xy

00

x

2

y

2

1

. （1）点

P(x

0

,y

0

)

在椭圆

2



2

1(ab0)

的内部

22

ab

ab

（2）点

P(x

0

,y

0

)

在椭圆

6.几何性质

xy



a

2

b

2

22

22

x

0

y

0

1(ab0)

的外部



2



2

1

.

ab

2b

2

（1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）

AB

a

（2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：

S

MF

1

F

2

btan

2



2

其中

F

1

MF

2





7直线与椭圆的位置关系：

(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式



的符号判断位置关系：

0有两个交点相交

0相切有一个交点

0相离没有交点

x

2

y

2

(2)弦中点问题:（用点差法解决—）斜率为k的直线l

与椭圆

1(m0,n0,mn)

m

2

n

2

交于两点

A(x

1

,y

1

)、B(x

2

,y

2

)

M（x

0

,y

0

）

是AB的中点，则：

k

AB

2

AB（x

1

x

2

）(y

1

y

2

)

2

n

2

x

0



2



my

0

(3)弦长公式：

（1k）[(x

1

x

2

)4x

1

x

2

]

第四部分：双曲线

标准方程（焦点在

x

轴）

双曲线

标准方程（焦点在

y

轴）

22

x

2

y

2



2

1(a0,b0)

2

ab

y

2

x

2



2

1(a0,b0)

2

ab

名师总结 精品知识点

第一定义：平面内与两个定点

F

1

，

F

2

的距离的差的绝对值是常数（小于

F

1

F

2

）的点的

轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。



MMFMF

12

2a





2aF

1

F

2



y

定义

P

y

x

y

y

x

P

F

2

x

F

1

F

2

x

F

1

范围

对称轴

对称中心

xa

，

yR

ya

，

xR

x

轴 ，

y

轴；实轴长为

2a

,虚轴长为

2b

原点

O(0,0)

F

1

(c,0)

F

2

(c,0)

焦点坐标

22

F

1

(0,c)

F

2

(0,c)

焦点在实轴上，

cab

；焦距：

F

1

F

2

2c

顶点坐标

离心率

（

a

,0） (

a

,0) (0,

a

,) (0，

a

)

e

c

(e



1)

a

2b

2

（1）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）

AB

a

重要结论

S

MF

1

F

2



（2）焦点三角形：

渐近线

方程

共渐近线

的双曲线

系方程

补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长；

b

2

tan



2

b

2

cot



2

y

b

x

a

x

b

y

a

x

2

y

2



2

k

（

k0

）

2

ab

y

2

x

2



2

k

（

k0

）

2

ab

名师总结 精品知识点

（2）其标准方程为

xyC

其中C≠0；

（3）离心率

e

22

2

；

（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；

第五部分：抛物线知识点总结

y

2

2px(p0)

图象

l

y

y

2

2px(p0)

y

x

2

2py(p0)

y

x

2

2py(p0)

y

l

O

F

x

l

F

O

x

O

x

l

O

F

x

F

平面内与一个定点

F

和一条定直线

l

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点

F

叫做抛物线

定义

的焦点，直线

l

叫做抛物线的准线。{

MMF

=点M到直线

l

的距离}

范围

对称性

焦点

x0,yR

x0,yR

xR,y0

xR,y0

关于

x

轴对称

(

关于

y

轴对称

p

,0)

2

(



p

,0)

2

(0,

p

)

2

(0,



p

)

2

焦点在对称轴上

顶点

离心率

准线

方程

焦点到准线

的距离

O(0,0)

e

=1

x

p

2

x

p

2

p

y

p

2

y

p

2

焦半径

A(x

1

,y

1

)

AFx

1



p

2

AFx

1



p

2

AFy

1



p

2

AFy

1



p

2

名师总结 精品知识点

焦点弦 长

AB

(x

1

x

2

)p

(y

1

y

2

)p

(y

1

y

2

)p

(x

1

x

2

)p

1. 直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，，消y得：

（1）当k=0时，直线

l

与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线

l

与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0， 直线

l

与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0，直线

l

与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线

l

：

ykxb

抛物线，

(p0)

① 联立方程法：



ykxb



k

2

x

2

2(kbp)xb

2

0



2



y2px

设交点坐标为

A(x

1

,y

1

)

,

B(x

2

,y

2

)

，则有

0

,以及

x

1

x

2

,x

1

x

2

，还可进一步求出

y

1

y

2

kx

1

bkx

2

bk(x

1

x

2

)2b

y

1

y

2

(kx

1

b)(kx

2

b)k

2

x

1

x

2

kb(x

1

x

2

)b

2

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a. 相交弦AB的弦长

AB1kx

1

x

2

1k

22

，

(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

1k

2



a

或

AB1



11

2

2

1k

yy1(yy)4yy

121212

22

a

kk

x

1

x

2

yy

2

，

y

0



1

2

2

b. 中点

M(x

0

,y

0

)

,

x

0



② 点差法：

设交点坐标为

A(x

1

,y

1

)

，

B(x

2

,y

2

)

，代入抛物线方程，得

y

1

2px

1

y

2

2px

2

22

名师总结 精品知识点

将两式相减，可得

(y

1

y

2

)(y

1

y

2

)2p(x

1

x

2

)

y

1

y

2

2p



x

1

x

2

y

1

y

2

a. 在涉及斜率问题时，

k

AB



2p

y

1

y

2

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段

AB

的中点为

M(x

0

,y

0

)

，

y

1

y

2

2p2pp



，

x

1

x

2

y

1

y

2

2y

0

y

0

即

k

AB



p

，

y

0

2

同理，对于抛物线

x2py(p0)

，若直线

l

与抛物线相交于

A、B

两点，点

M(x

0

,y

0

)

是

弦

AB

的中点，则有

k

AB



x

1

x

2

2x

0

x

0



2p2pp

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且

不等于零）

2024年5月18日发(作者：兰复)

名师总结 精品知识点

解析几何知识点总结

第一部分

:

直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角

。

(2)

范围：（

0,180

）

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

k=tanα

（

1

）

.倾斜角为90°的直线没有斜率。

（

2

）

.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于

x

轴时，

其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这

两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过A（x1,y1）和B（x2,y2）两点的直线的斜率为K，

则当X1≠X2时，k=tanα=Y1-Y2/X1-X2；当X1=X2时，α=90°；斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P（x

0

,y

0

）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：

y-y

0

=k(x-x

0

)

注意：

当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；

2.斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为

b

，斜率为

k

，则直线

方程：y=kx+b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1≠X2，y1≠y2）则直线的方程：

yy

1

xx

1



；

y

2

y

1

x

2

x

1

注意：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式

(x

2

x

1

)(yy

1

)(y

2

y

1

)(xx

1

)0

时，方程可以适应在于

任何一条直线。

4截距式：若已知直线在

x

轴，

y

轴上的截距分别是a，b（a≠0，b≠0）则直线方程：



x

a

y

1

；

b

注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方

程可设为x-y=a

5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；（A,B不同时为零）；反之，任何一

个二元一次方程都表示一条直线。

三、两条直线的位置关系

位置关系

l

1

:yk

1

xb

1

l

2

:yk

2

xb

2

l

1

:A

1

xB

1

yC

1

0

l

2

:A

2

xB

2

yC

2

0

名师总结 精品知识点

平行



k

1

k

2

，且

b

1

b

2

A

1

B

1

C

1

(A

1

B

2

-A

2

B

1

=0)



A

2

B

2

C

2

A

1

B

1

C

1



A

2

B

2

C

2

重合



k

1

k

2

，且

b

1

b

2

相交





k

1

k

2

A

1

B

1



A

2

B

2

A

1

A

2

B

1

B

2

0

垂直

k

1

k

2

1

设两直线的方程分别为：

l

1

:yk

1

xb

1

或

l

1

:A

1

xB

1

yC

1

0

；当

kk

或

12

l

2

:yk

2

xb

2

l

2

:A

2

xB

2

yC

2

0

ykxb



AxByC

1

0

解；

A

1

B

2

A

2

B

1

时它们相交，交点坐标为方程组





yk

1

xb

1

或



A

1

xB

1

yC0

2222



2

五、点到直线的距离公式：

1.点P(X0，Y0)到直线

L:Ax+By+C=0

的距离为：

d

|Ax

0

By

0

C|

AB

22

；

2.两平行线

L1:Ax+By+C1=0，L2:Ax+By+C2=0

的距离为：

d

六、直线系：

|C

1

C

2

|

AB

22

；

（1）设直线

L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2x+B2y+C2=0，

经过

L1,L2

的交点的直线方程为

A

1

xB

1

yC

1





(A

2

xB

2

yC

2

)0

（除去L2）；

如：①

Y=kx+1→y-1-kx=0

，即也就是过

y-1=0

与x=0的交点

(0,1)

除去

x=0

的直线方程。

②直线

L:（m-1）x+（2m-1）y=m-5

恒过一个定点 。

（2）和

L:Ax+By+C=0

平行的直线为

Ax+By+C1=0

（3）与

L:Ax+By+C=0

垂直的直线为

Bx-Ay+C1=0；

七、对称问题：

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点

A（a.b）

关于

C（c,d）

的对

称点

（2c-a,2d-b）

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再

由两点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用L1//L2由点斜式得出直线方程；

Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

名师总结 精品知识点

如：求与已知直线

l

1

:2x3y60

关于点

P(1,1)

对称的直线

l

2

的方程。

（2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐

标公式求解。

如：求点

A(3,5)

关于直线

l:3x4y40

对称的坐标。

②直线关于直线对称：（设

a,b

关于

l

对称）

Ⅰ、若a.b相交，则a到L的角等于b到L的角；若a∥L，则b∥L，且a.b与L的距

离相等。

Ⅱ、求出a上两个点

A,B

关于

l

的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设

P(x,y)

为所求直线直线上的任意一点，则

P

关于

l

的对称点

P'

的坐标适合

a

的

方程。

如：求直线

a:2xy40

关于

l:3x4y10

对称的直线

b

的方程。

第二部分：圆与方程

2.1圆的标准方程：

(xa)(yb)r

圆心

C(a,b)

，半径

r

特例：圆心在坐标原点，半径为

r

的圆的方程是：

xyr

.

2.2点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 d＞r；(3)点在圆内

2.给定点

M(x

0

,y

0

)

及圆

C:(xa)

2

(yb)

2

r

2

.

（x

0

a)

2

(y

0

b)

2

r

2

①

M

在圆

C

内

(x

0

a)

2

(y

0

b)

2

r

2

②

M

在圆

C

上



222

222

d＜r．

③

M

在圆

C

外

(x

0

a)

2

(y

0

b)

2

r

2

2.3 圆的一般方程：

x

2

y

2

DxEyF0

.



DE



当

DE4F0

时，方程表示一个圆，其中圆心

C



,



，半径

r

2



2

22

D

2

E

2

4F

.

2

当

D

2

E

2

4F0

时，方程表示一个点







DE



,



.

22



当

D

2

E

2

4F0

时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程

Ax

2

BxyCy

2

DxEyF0

表示圆的充要条件是：

B0

且

AC0

且

名师总结 精品知识点

D

2

E

2

4AF0

.

圆的直径系方程：已知AB是圆的直径

A(x

1

,y

1

)B(x

2

,y

2

)(xx

1

)(xx

2

)(yy

1

)(yy

2

)0

2.4 直线与圆的位置关系： 直线

AxByC0

与圆

(xa)

2

(yb)

2

r

2

的位置关系有三

种，d是圆心到直线的距离，(

d

AaBbC

AB

；(2)

22

(1)

dr相离0

dr相切0

；（3）

dr相交0

。

2.5 两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O

1

，O

2

，半径分别为r

1

，r

2

，

O

1

O

2

d

。

（1）

dr

1

r

2

外离4条公切线

；（2）

dr

1

r

2

外切3条公切线

；

（3）

r

1

r

2

dr

1

r

2

相交2条公切线

；（4）

dr

1

r

2

内切1条公切线

；

（5）

0dr

1

r

2

内含无公切线

；

外离 外切 相交 内切 内含

2.6 圆的切线方程：

直线与圆相切的性质：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜

率互为负倒数）

过一定点做圆的切线要分成两种情况：点在圆上和点在圆外。

若点在圆上则切线只有一条，利用性质（2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。

若点在圆外则切线有两条，用性质（1）来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类

讨论。

2.7圆的弦长问题：

L



L



22

半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：



Rd

2



2



第三部分:椭圆

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F

1

，F

2

距离的和等于常数

2aF

1

F

2

的点的轨迹叫做椭

2



名师总结 精品知识点

圆，即点集M={P| |PF

1

|+|PF

2

|=2a，2a＞|F

1

F

2

|=2c}；

这里两个定点F

1

，F

2

叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（

2aF

1

F

2

2c

时为线段

F

1

F

2

，

2aF

1

F

2

2c

无轨迹）。

2．标准方程：

c

2

a

2

b

2

x

2

y

2

①焦点在x轴上：

2



2

1

（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）

ab

y

2

x

2

②焦点在y轴上：

2



2

1

（a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）

ab

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，

abc

并且椭圆的焦点总在长轴上；

222

x

2

y

2

1

或者

mx2ny21(m0,n0,mn)

②一般形式表示：

mn

二．椭圆的简单几何性质：

1.范围

x

2

y

2

（1）椭圆

2



2

1

（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

ab

y

2

x

2

（2）椭圆

2



2

1

（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

ab

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称

中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

（1）椭圆的顶点：A

1

（-a，0），A

2

（a，0），B

1

（0，-b），B

2

（0，b）

（2）线段A

1

A

2

，B

1

B

2

分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭

圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

我们把椭圆的焦距与长轴长的比

2cc

，即称为椭圆的离心率，

a

2a

2

cb

22

e1()

记作e（

0e1

），

2

aa

名师总结 精品知识点

e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；

5．椭圆的的内外部

22

xy

00

x

2

y

2

1

. （1）点

P(x

0

,y

0

)

在椭圆

2



2

1(ab0)

的内部

22

ab

ab

（2）点

P(x

0

,y

0

)

在椭圆

6.几何性质

xy



a

2

b

2

22

22

x

0

y

0

1(ab0)

的外部



2



2

1

.

ab

2b

2

（1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）

AB

a

（2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：

S

MF

1

F

2

btan

2



2

其中

F

1

MF

2





7直线与椭圆的位置关系：

(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式



的符号判断位置关系：

0有两个交点相交

0相切有一个交点

0相离没有交点

x

2

y

2

(2)弦中点问题:（用点差法解决—）斜率为k的直线l

与椭圆

1(m0,n0,mn)

m

2

n

2

交于两点

A(x

1

,y

1

)、B(x

2

,y

2

)

M（x

0

,y

0

）

是AB的中点，则：

k

AB

2

AB（x

1

x

2

）(y

1

y

2

)

2

n

2

x

0



2



my

0

(3)弦长公式：

（1k）[(x

1

x

2

)4x

1

x

2

]

第四部分：双曲线

标准方程（焦点在

x

轴）

双曲线

标准方程（焦点在

y

轴）

22

x

2

y

2



2

1(a0,b0)

2

ab

y

2

x

2



2

1(a0,b0)

2

ab

名师总结 精品知识点

第一定义：平面内与两个定点

F

1

，

F

2

的距离的差的绝对值是常数（小于

F

1

F

2

）的点的

轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。



MMFMF

12

2a





2aF

1

F

2



y

定义

P

y

x

y

y

x

P

F

2

x

F

1

F

2

x

F

1

范围

对称轴

对称中心

xa

，

yR

ya

，

xR

x

轴 ，

y

轴；实轴长为

2a

,虚轴长为

2b

原点

O(0,0)

F

1

(c,0)

F

2

(c,0)

焦点坐标

22

F

1

(0,c)

F

2

(0,c)

焦点在实轴上，

cab

；焦距：

F

1

F

2

2c

顶点坐标

离心率

（

a

,0） (

a

,0) (0,

a

,) (0，

a

)

e

c

(e



1)

a

2b

2

（1）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）

AB

a

重要结论

S

MF

1

F

2



（2）焦点三角形：

渐近线

方程

共渐近线

的双曲线

系方程

补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长；

b

2

tan



2

b

2

cot



2

y

b

x

a

x

b

y

a

x

2

y

2



2

k

（

k0

）

2

ab

y

2

x

2



2

k

（

k0

）

2

ab

名师总结 精品知识点

（2）其标准方程为

xyC

其中C≠0；

（3）离心率

e

22

2

；

（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；

第五部分：抛物线知识点总结

y

2

2px(p0)

图象

l

y

y

2

2px(p0)

y

x

2

2py(p0)

y

x

2

2py(p0)

y

l

O

F

x

l

F

O

x

O

x

l

O

F

x

F

平面内与一个定点

F

和一条定直线

l

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点

F

叫做抛物线

定义

的焦点，直线

l

叫做抛物线的准线。{

MMF

=点M到直线

l

的距离}

范围

对称性

焦点

x0,yR

x0,yR

xR,y0

xR,y0

关于

x

轴对称

(

关于

y

轴对称

p

,0)

2

(



p

,0)

2

(0,

p

)

2

(0,



p

)

2

焦点在对称轴上

顶点

离心率

准线

方程

焦点到准线

的距离

O(0,0)

e

=1

x

p

2

x

p

2

p

y

p

2

y

p

2

焦半径

A(x

1

,y

1

)

AFx

1



p

2

AFx

1



p

2

AFy

1



p

2

AFy

1



p

2

名师总结 精品知识点

焦点弦 长

AB

(x

1

x

2

)p

(y

1

y

2

)p

(y

1

y

2

)p

(x

1

x

2

)p

1. 直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，，消y得：

（1）当k=0时，直线

l

与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线

l

与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0， 直线

l

与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0，直线

l

与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线

l

：

ykxb

抛物线，

(p0)

① 联立方程法：



ykxb



k

2

x

2

2(kbp)xb

2

0



2



y2px

设交点坐标为

A(x

1

,y

1

)

,

B(x

2

,y

2

)

，则有

0

,以及

x

1

x

2

,x

1

x

2

，还可进一步求出

y

1

y

2

kx

1

bkx

2

bk(x

1

x

2

)2b

y

1

y

2

(kx

1

b)(kx

2

b)k

2

x

1

x

2

kb(x

1

x

2

)b

2

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a. 相交弦AB的弦长

AB1kx

1

x

2

1k

22

，

(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

1k

2



a

或

AB1



11

2

2

1k

yy1(yy)4yy

121212

22

a

kk

x

1

x

2

yy

2

，

y

0



1

2

2

b. 中点

M(x

0

,y

0

)

,

x

0



② 点差法：

设交点坐标为

A(x

1

,y

1

)

，

B(x

2

,y

2

)

，代入抛物线方程，得

y

1

2px

1

y

2

2px

2

22

名师总结 精品知识点

将两式相减，可得

(y

1

y

2

)(y

1

y

2

)2p(x

1

x

2

)

y

1

y

2

2p



x

1

x

2

y

1

y

2

a. 在涉及斜率问题时，

k

AB



2p

y

1

y

2

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段

AB

的中点为

M(x

0

,y

0

)

，

y

1

y

2

2p2pp



，

x

1

x

2

y

1

y

2

2y

0

y

0

即

k

AB



p

，

y

0

2

同理，对于抛物线

x2py(p0)

，若直线

l

与抛物线相交于

A、B

两点，点

M(x

0

,y

0

)

是

弦

AB

的中点，则有

k

AB



x

1

x

2

2x

0

x

0



2p2pp

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且

不等于零）